11.2平面的基本事實與推論課件高一下學期數(shù)學人教B版

11.2平面的基本事實與推論一、點、線、面之間的位置關系及表示【問題思考】

1.“直線l不在平面α內(nèi)”就是說“直線l與平面α平行”對嗎?提示:不對,直線l不在平面α內(nèi)說明直線l與平面α平行或者直線l與平面α相交.2.填寫下表:一、點、線、面之間的位置關系及表示3.做一做:下列圖形中,滿足α∩β=AB,a?α,b?β,a∥AB,b∥AB的圖形是(

)C二、平面的基本性質【問題思考】

1.經(jīng)過空間中的三點,能作出幾個平面?提示:當三點共線時,能作出無數(shù)個平面,當三點不共線時,只能過該三點作出唯一的一個平面.2.填寫下表:二、平面的基本性質3.做一做:如果直線a?平面α,直線b?平面α,M∈a,N∈b,且M∈l,N∈l,那么(

)A.l?α

B.l?α

C.l∩α=M

D.l∩α=NA4.做一做:若兩個不重合的平面有公共點,則公共點有(

)A.1個B.2個C.1個或無數(shù)個D.無數(shù)個且在同一條直線上D三、平面基本性質的推論【問題思考】

1.給你一些半徑相同(無限小)的球和小棍，如何支撐起一張白卡紙？2.填寫下表:三、平面基本性質的推論三、平面基本性質的推論【問題思考】

確定一個平面的條件有哪些？四、空間兩條直線的位置關系【問題思考】

1.如圖所示長方體ABCD-A1B1C1D1,你能找出一個平面能同時經(jīng)過棱AB和棱B1C1所在的直線嗎?提示:找不到,因為這兩條棱所在的直線既不平行,也不相交.它們是不能同在任何一個平面內(nèi)的,這樣的兩條直線就是本節(jié)所要研究的異面直線.判斷兩條直線為異面直線的一種方法：與一平面相交于一點的直線與這個平面內(nèi)不經(jīng)過交點的直線是異面直線。2.填寫下表:四、空間兩條直線的位置關系思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)如果直線a與直線b是異面直線,直線b與直線c也是異面直線,那么直線a與直線c也一定是異面直線.(

)(2)如果兩個平面有三個公共點,那么這兩個平面必重合.(

)(3)平面α與平面β只有一個公共點.(

)(4)不共線的四點最多可確定4個平面.(

)(5)兩兩相交的三條直線必共面.(

)×××√×探究一探究二探究三探究四思維辨析文字語言、圖形語言和符號語言的轉換【例1】

如圖所示,寫出圖形中的點、直線和平面之間的關系.圖(1)可以用幾何符號表示為

.

圖(2)可以用幾何符號表示為

.

探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟在立體幾何中使用符號語言時,應明確符號語言在代數(shù)與幾何中的差異.首先是結合集合知識了解規(guī)定符號的背景,然后找出它們的區(qū)別與聯(lián)系:(1)“∈,?,?,∩”等符號來源于集合符號,但在讀法上用幾何語言,例如,A∈α,讀作“點A在平面α內(nèi)”,a?α讀作“直線a在平面α內(nèi)”,α∩β=l讀作“平面α,β相交于直線l”.(2)在“A∈α,A?α,l?α,l?α”中“A”視為平面α(集合)內(nèi)的點(元素),直線l(集合)視為平面α(集合)的子集.明確這一點,才能正確使用集合符號.探究一探究二探究三探究四思維辨析點線共面問題【例2】

(1)有下列四個說法:①過三點確定一個平面;②矩形是平面圖形;③三條直線兩兩相交則確定一個平面;④兩個相交平面把空間分成四個區(qū)域.其中錯誤的序號是(

)A.①和② B.①和③ C.②和④ D.②和③(2)如圖所示,已知直線a與兩平行直線b,c都相交.求證:a,b,c三線共面.B探究一探究二探究三探究四思維辨析(2)思路分析:有兩種方法.①先用兩平行直線b,c確定一個平面,再證a也在這個平面內(nèi);②先由兩條相交直線a,b確定一個平面,再證c也在這個平面內(nèi).證法一因為b∥c,所以b,c確定一個平面,設為α,如圖.令a∩b=A,a∩c=B,

所以A∈α,B∈α,

所以AB?α,即直線a?α.

所以a,b,c三線共面.證法二因為a與b是相交直線,所以a,b確定一個平面,設為α,如圖.設a∩c=A,過A點在α內(nèi)作直線c’∥b,

因為c∥b,c'∥b,所以c∥c'.又因為c與c'相交于點A,

所以c與c'重合.所以a,b,c三線共面.反思感悟1.本題為我們證明共面問題提供了多角度的思維模式,但整體套路都是先用部分對象確定一個平面,再證明剩余對象都在這個平面內(nèi).2.證明點線共面還可以先證明有關的點、線確定平面α,再證明其余元素確定平面β,最后證明平面α,β重合.探究一探究二探究三探究四思維辨析線共點問題【例3】

(1)在空間四邊形ABCD的各邊AB,BC,CD,DA上依次取點E,F,G,H,若EH,FG所在直線相交于點P,則(

)A.點P必在直線AC上B.點P必在直線BD上C.點P必在平面BCD外D.點P必在平面ABC內(nèi)B探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟證明三線共點常用的方法1.先說明兩條直線共面且交于一點,再說明這個點在兩個平面內(nèi).于是該點在這兩個平面的交線上,從而得到三線共點.2.先說明a,b相交于一點A,b與c相交于一點B,再說明A,B是同一點,從而得到a,b,c三線共點.注意:證明線共點主要利用基本性質1,基本性質3作為推理的依據(jù).探究一探究二探究三探究四思維辨析交線問題【例4】

如圖所示,G是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延長線上一點,E,F是棱AB,BC的中點.試分別畫出過下列點、直線的平面與正方體表面的交線.(1)過點G及直線AC;(2)過三點E,F,D1.探究一探究二探究三探究四思維辨析探究一探究二探究三探究四思維辨析思路分析:找出兩個平面的兩個公共點,則過這兩個公共點的直線為兩平面的交線.解:(1)畫法:連接GA交A1D1于點M;連接GC交C1D1于點N;連接MN,AC,則MA,CN,MN,AC為所求平面與正方體表面的交線.如圖①所示.(2)畫法:連接EF交DC的延長線于點P,交DA的延長線于點Q;連接D1P交CC1于點M,連接D1Q交AA1于點N;連接MF,NE,則D1M,MF,FE,EN,ND1為所求平面與正方體表面的交線.如圖②所示.探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟1.畫兩平面的交線時,關鍵是找到這兩個平面的兩個公共點,這兩個公共點的連線即是.在找公共點的過程中往往要借助于基本性質1和基本性質3,一般是用基本性質1找到,再用基本性質3證明.2.還要注意:(1)在平面幾何中,凡是所引的輔助線都要畫成虛線.(2)在立體幾何中,被遮擋的部分畫成虛線,沒被遮擋的部分則畫成實線.在學習時,一定要正確添加輔助線,否則將影響空間立體感的形成,不利于空間想象力的培養(yǎng).探究一探究二探究三探究四思維辨析對點、線、面的位置關系考慮不全而致誤【典例】

在空間四點中,如果任意三點都不共線,那么由這四點可以確定多少個平面?說明理由.探究一探究二探究三探究四思維辨析正解:空間任意三點都不共線的四個點有兩種位置關系:第一種,當由其中任意不共線的三點所確定的平面都過第四個點時,由這四個點只能確定一個平面;第二種,當由其中任意不共線的三點所確定的平面都不過第四個點時,由這四個點可確定四個平面.綜上所述,由題設條件中的四點可確定一個或四個平面.防范措施1.對于確定平面?zhèn)€數(shù)問題,在討論中要考慮全面,尤其要分清給出幾個點的可能的位置關系,進行分類討論.2.可借助正方體、三棱錐等特殊幾何體進行直觀觀察.1234561.下面空間圖形畫法錯誤的是(

)答案:D1234562.平面α∩β=l,點A∈α,點B∈α,且C?l,但C∈β,又AB∩l=R,如圖,由A,B,C三點確定的平面為γ,則β∩γ是(

)A.直線AC B.直線BCC.直線CR

D.直線AR答案:C1234563.空間中可以確定一個平面的條件是(

)A.兩兩相交的三條直線B.三條直線,其中的一條與另外兩條直線分別相交C.三個點D.三條直線,它們兩兩相交,但不交于同一點D1234564.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,下列敘述正確的是

.(只填序號)

(1)直線AC1?平面CC1B1B;(2)設正方形ABCD與A1B1C1D1的中心分別為O,O1,則平面AA1C1C∩平面BB1D1D=OO1;(3)點A,O,C只能確定一個平面;(4)由點A,C1,B1確定的平面是ADC1B1;(5)由點A,C1,B1確定的平面和由點A,C1,D確定的平面是同一平面.答案:(2)(4)(5)1234565.如圖所示,在直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一點,畫出平面SBD和平面SAC的交線.解:很明顯,點S是平面SBD和平面SAC的一個公共點,即點S在交線上.由于AB>CD,則分別延長AC和BD交于點E,如圖所示.因為E∈AC