第21章一元二次方程（復(fù)習(xí)課件）九年級數(shù)學(xué)上冊（人教版）

第21章一元二次方程

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數(shù)學(xué)九年級

上冊單元復(fù)盤提升思維導(dǎo)圖知識串講一元二次方程的基本概念1.定義：只含有一個未知數(shù)的整式方程，并且都可以化為

ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數(shù)，a≠0)的形式，

這樣的方程叫做一元二次方程．2.一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數(shù)，a≠0)知識串講3.項數(shù)和系數(shù)：

ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數(shù)，a≠0)二次項：ax2

二次項系數(shù)：a一次項：bx一次項系數(shù)：b常數(shù)項：c4.注意事項：(1)只含有一個未知數(shù)；(2)未知數(shù)的最高次數(shù)為2；(3)二次項系數(shù)不為0；(4)整式方程．

知識串講解一元二次方程的方法一元二次方程的解法適用的方程類型直接開平方法配方法公式法因式分解法x2+px+q=0

（p2-4q≥0）(x+m)2＝n（n≥0）ax2+bx+c=0(a≠0，

b2-4ac≥0)(x+m)

（x+n）＝0各種一元二次方程的解法及適用類型知識串講一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與系數(shù)的關(guān)系數(shù)學(xué)語言文字語言一元二次方程的兩個根的和等于一次項系數(shù)與二次項系數(shù)的比的相反數(shù)，兩個根的積等于常數(shù)項與二次項系數(shù)的比.使用條件1.方程是一元二次方程，即二次項系數(shù)不為0；2.方程有實數(shù)根，即Δ≥0.重要結(jié)論考點梳理考點一：一元一次方程的定義例1若關(guān)于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，則m的取值范圍是()A.m≠1 B.m=1 C.m≥1 D.m≠0解：本題考查了一元二次方程的定義，即方程中必須保證有二次項(二次項系數(shù)不為0)，因此它的系數(shù)m-1≠0，即m≠1，故選A.A考點梳理例2解：根據(jù)一元二次方程根的定義可知，將x=0代入原方程一定會使方程左右兩邊相等，故只要把x=0代入就可以得到以m為未知數(shù)的方程，即m2-1=0，解得m=±1.又二次項系數(shù)不能為0，所以m≠1，即m=-1.若關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=0有一個根為0，則m=

.-1這種解題方法我們稱之為

“有根必代”.考點梳理例3(1)方程5x2-x-3=x2-3+x的二次項系數(shù)是

，

一次項系數(shù)是

，常數(shù)項是

.4-20(2)一元二次方程x2+px-2=0的一個根為2，則p的值為

.-1解：把x=2代入方程x2+px-2=0得4+2p-2=0，解得p=-1．刻意練習(xí)練12

－3－1刻意練習(xí)練2(1)關(guān)于

x的一元二次方程

x2

+

px

?

2

=

0

的一個根為

2，則

p的值為

.(2)若

x

=

?2

是方程

ax2

+

bx

+

3

=

0(a

≠

0)的一個解，則代數(shù)式

1

?

8a

+

4b

的值是

．(3)若

x

=

a

是方程

x2

?

x

?

1

=

0

的一個根，則

?a3

+

2a

+

2025的值為________.?120247考點梳理考點二：一元二次方程的解法例1解：配方法的關(guān)鍵是配上一次項系數(shù)一半的平方.用配方法解方程x2-2x-5=0時，原方程應(yīng)變?yōu)?)A.(x-1)2=6 B.(x+2)2=9C.(x+1)2=6 D.(x-2)2=9A考點梳理例2用公式法和配方法分別解方程：x2-4x-1=0(要求寫出必要解題步驟).

考點梳理例2用公式法和配方法分別解方程：x2-4x-1=0(要求寫出必要解題步驟).

考點梳理例3配方法公式法直接開平方法因式分解法十字相乘法(a為1，b為偶數(shù)）(其他方法都不合適時）(左平方，右非負(fù)）（可提公因式或用平方差分解因式）(數(shù)較小時，可嘗試）注意：只有配方法、公式法可用于所有方程.請為下列方程選擇合適的解法考點梳理例4解方程

(x2

?

2x)2

?

5x2

+

10x

+

6

=

0．解：方程整理得

(x2

?2x)2

?5(x2

?2x)+

6

=

0.設(shè)

x2

?2x

=

m，則原方程變?yōu)?/p>

m2

?5m

+

6

=

0.解得

m1

=

3，m2

=

2.當(dāng)

m

=

3

時，x2

?2x

=

3，解得

x

=

3

或

x

=

?1；當(dāng)

m

=

2

時，x2

?2x

=

2，解得

x

=

1±.綜上所述，原方程的解為

x1

=

3，x2

=

?1，x3

=

1

+，x4

=

1?．換元法刻意練習(xí)練1解：解方程x2-13x+36=0得x1=9，x2=4，即第三邊長為9或4．邊長為9，3，6不能構(gòu)成三角形；而4，3，6能構(gòu)成三角形，所以三角形的周長為3+4+6=13，故選A．三角形兩邊長分別為3和6，第三邊的長是方程x2﹣13x+36=0的根，

則該三角形的周長為()A.13 B.15 C.18 D.13或18A刻意練習(xí)練2菱形ABCD的一條對角線長為6，邊AB的長是方程x2-7x+12=0的一個根，

則菱形ABCD的周長為()A.16 B.12

C.16或12 D.24A解：方程x2-7x+12=0可轉(zhuǎn)化為(x-3)(x-4)=0，x-3=0或x-4=0，所以x1=3，x2=4，因為菱形ABCD的一條對角線長為6，所以邊AB的長是4，所以菱形ABCD的周長為16．故選A．刻意練習(xí)練3考點梳理考點三：一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用例1已知關(guān)于x的一元二次方程x2-3m=4x有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是()A. B.m<2 C.m≥0 D.m<0A

考點梳理例2下列所給方程中，沒有實數(shù)根的是()A.x2+x=0 B.5x2-4x-1=0C.3x2-4x+1=0 D.4x2-5x+2=0D

考點梳理例3考點梳理例3刻意練習(xí)練1A

練2刻意練習(xí)練3刻意練習(xí)練3考點梳理考點四：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系例1已知一元二次方程x2－4x－3＝0的兩根分別為m，n，則m2－mn＋n2＝

．25解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知

m+n=4，mn=-3.m2－mn＋n2=m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3×(-3)=25.考點梳理例2

A

考點梳理例3(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根.∴方程有兩個不相等的實數(shù)根.考點梳理例3(2）若△ABC的兩邊AB,AC的長是方程的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5.當(dāng)△ABC是等腰三角形時，求k的值.解：分兩種情況：①當(dāng)BC為底邊時.AB=AC.即方程有兩個相等的實數(shù)根.由（1）得，方程有兩個不相等的實數(shù)根.∴這種情況不成立.考點梳理例3(2）若△ABC的兩邊AB,AC的長是方程的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5.當(dāng)△ABC是等腰三角形時，求k的值.當(dāng)k+1做底邊時，k=BC=5.此時三邊為5,5,6.當(dāng)k做底邊時，k+1=BC=5.解得k=4.此時三邊為5，5,4.綜上，k的值為4或5.②以BC為腰時，底邊是AB或AC.考點梳理例3(3）若△ABC的兩邊AB,AC的長是方程的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5.當(dāng)k取何值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形.∴當(dāng)k=3時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形.刻意練習(xí)練1-311.52刻意練習(xí)練2解：(1)根據(jù)題意得

Δ=

(2m)2

?4(m2

+

m)≥0，解得

m≤0.已知關(guān)于

x

的一元二次方程

x2

+

2mx

+

m2

+

m

=

0

有兩個實數(shù)根．(1)求

m

的取值范圍；(2)設(shè)

x1，x2

是方程的兩根，且

=

12，求

m

的值.(2)根據(jù)題意得

x1

+

x2

=

?2m，x1x2

=

m2

+

m，故

m

的值是

?2.∴(?2m)2

?2(m2

+

m)=

12，解得

m1

=

?2，m2

=

3(不合題意，舍去).∵=12，∴(x1

+

x2)2

?2x1x2

=

12.考點梳理考點五：一元二次方程的應(yīng)用例1完成下列問題，只列方程1.如圖，在寬為20m、長為32m的矩形地面上修建同樣寬的小路（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪，要使草坪的面積為540㎡求小路的寬.設(shè)小路的寬為xm.或考點梳理例12.九年級（3）班學(xué)生畢業(yè)時，每個同學(xué)都給其他同學(xué)寫一份畢業(yè)留念作為紀(jì)念，全班學(xué)生共寫了930份留言.設(shè)全班有x名學(xué)生.3.若AB上共有45條線段（包含AB),求線段AB上共有多少個端點？設(shè)線段AB上有x個端點.完成下列問題，只列方程考點梳理例14.已知某工廠把某種產(chǎn)品的年產(chǎn)量從2016年的100萬臺提高到2018年的121萬臺，求平均每年的增長率.設(shè)平均每年的增長率為x.5.某公司一月份營業(yè)額為10萬元，第一季度總營業(yè)額為33.1萬元，該公司二、三月份營業(yè)額的平均增長率為x.完成下列問題，只列方程考點梳理例16.某商品的售價為每件60元，每星期可賣出300件.市場調(diào)查反映：每降價1元，每星期可多賣出20件.已知商品的進(jìn)價為每件40元，商家想獲得6080元的利潤，應(yīng)將銷售單價定為多少元？設(shè)銷售單價為每件x元.設(shè)銷售單價為每件降了x元.或完成下列問題，只列方程考點梳理例2考點梳理例2刻意練習(xí)練1在△ABC中，∠B=90°，點P從點A開始，沿AB邊以1cm/s的速度向點B移動；點Q從點