2022-2023學(xué)年江西省撫州市高一下學(xué)期學(xué)生學(xué)業(yè)發(fā)展水平測(cè)試期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省撫州市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期學(xué)生學(xué)業(yè)發(fā)展水平測(cè)試期末數(shù)學(xué)試題一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)，則它在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.故選：D.2.若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則等于（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，則，所以，所以.故選：A.3.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，可得，又由，，所以.故選：C.4.四邊形直觀圖為如圖矩形，其中，，則四邊形的周長(zhǎng)為（）A.8 B.10 C.12 D.16〖答案〗C〖解析〗由題意可得四邊形為平行四邊形，如圖所示，設(shè)交軸于點(diǎn)，則，所以，所以四邊形的周長(zhǎng)為.故選：C.5.已知平面向量，的夾角為，且，，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，又向量，的夾角為，且，所以，所以在方向上的投影向量為.故選：D.6.若的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，且，則（）A.1 B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，利用正弦定理可得：，所以，又，所以，解得?故選：C.7.把邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折起，使得平面與平面所成二面角的大小為，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，所以，所以為平面與平面所成二面角的平面角，即，所以為等邊三角形，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，即，得，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.8.已知函數(shù)在區(qū)間上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn)，所以，，解得，因此，最小值為.故選：B.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知角的終邊在第一象限，那么角的終邊可能在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗AC〖解析〗因?yàn)榻堑慕K邊在第一象限，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，則終邊在第一象限；當(dāng)時(shí)，，則終邊在第三象限；所以角的終邊可能在第一象限或第三象限.故選：AC.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）AB.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位可得函數(shù)的圖象D.若方程在上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根x1，x2，則〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A：由圖可知，，所以，所以，則，將點(diǎn)代入得：，所以，，又，所以，所以，A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，將函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，可得函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以函?shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，由條件結(jié)合圖象可知，于是，所以，故D正確．故選：ACD．11.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.有最小值 D.在上為增函數(shù)〖答案〗BD〖解析〗由函數(shù)，對(duì)于A中，由，所以的最小正周期為，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以B正確；對(duì)于C中，由函數(shù)的值域?yàn)?，可得，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由，可得，可得函數(shù)單調(diào)遞增，所以在上也單調(diào)遞增，所以D正確.故選：BD.12.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，則（）A.平面B.平面平面C.與平面所成角大小為D.平面與平面所成二面角的余弦值為〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A：因?yàn)榍?，所以為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B：∵，平面，平面，所以，，平面，∴平面，又平面，∴平面平面，故B正確；對(duì)于C：設(shè)，連接，因?yàn)槠矫?，所以即為直線與平面所成角，又，所以，即直線與平面所成角為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：設(shè)，取的中點(diǎn)，連，，，則，，又平面，平面，所以，所以，所以為平面與平面所成的角，又，，，∴，所以平面與平面所成二面角的余弦值為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，，若，則________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，且，所以，解?故〖答案〗為：.14.已知，則________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所?故〖答案〗為：.15.以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形．如圖，已知某勒洛三角形的一段弧的長(zhǎng)度為，則該勒洛三角形的面積是________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)榈拈L(zhǎng)度為，所以，，所以勒洛三角形的面積是.故〖答案〗為：.16.在三棱錐中，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為________．〖答案〗〖解析〗取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以和都是等邊三角形，所以，所以是二面角的平面角，即，設(shè)球心為，和的中心分別為，則平面，平面，因?yàn)?，公共邊，所以≌，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以三棱錐的外接球的表面積為.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答題應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程及演算步驟17.已知復(fù)數(shù)是方程的一個(gè)虛根（是虛數(shù)單位，）．（1）求；（2）復(fù)數(shù)，若為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值．解：（1）∵，∴，∴且，∴，∴，則.（2）∵，又為純虛數(shù)，∴且，∴.18.已知，，如圖，在中，點(diǎn)，滿足，，是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，，三點(diǎn)共線．（1）用，來表示；（2）求的最小值．解：（1）∵，∴，∴.（2）∵，，∴，，∴，∴，∵，，三點(diǎn)共線，∴，∴，∴，∴當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，的最小值為．19.已知函數(shù)．（1）求對(duì)稱中心和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最值及相應(yīng)的值．解：（1）∵，由得，∴的對(duì)稱中心，，由得，∴的增區(qū)間為.（2）令，則，∵，∴，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，∴．20.在平行四邊形中，，過點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，．連接交于點(diǎn)，如圖1，將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置．如圖2．（1）證明：直線平面；（2）若為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且平面平面，求三棱錐與三棱錐的體積之比．解：（1）如圖1在，，，∴，∴，在中，，，∴，∴，∴，∴，，∴，如圖2，，，∵，平面，∴平面．（2）∵平面平面，，平面平面，平面，∴平面，，又，所以，∴，，∵，，又∵，∴．21.已知中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，．（1）求角；（2）若點(diǎn)在邊上，且滿足，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的長(zhǎng)．解：（1）∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即，，∴．（2）∵，∴，∴，，∴僅當(dāng)取等號(hào)，此時(shí)三角形面積有最大值，因?yàn)?，，所以為正三角形，所以，又∵，∴，在中，，所以，∴?2.函數(shù)．（1）證明：函數(shù)是偶函數(shù)，并求的最小值；（2）若，對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）證明：由函數(shù)，可得其定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又由，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令，可得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，即時(shí)，等號(hào)成立，所以函數(shù)的最小值為.（2）由（1）知，函數(shù)是偶函數(shù)，則不等式，即為，任取且，則，因，可得，又因?yàn)?，可得，所以，所以，即，所以在為單調(diào)遞增函數(shù)，可得，因?yàn)?，所以，令，可得，所以，所以，又由函?shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍．江西省撫州市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期學(xué)生學(xué)業(yè)發(fā)展水平測(cè)試期末數(shù)學(xué)試題一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)，則它在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.故選：D.2.若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則等于（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，則，所以，所以.故選：A.3.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，可得，又由，，所以.故選：C.4.四邊形直觀圖為如圖矩形，其中，，則四邊形的周長(zhǎng)為（）A.8 B.10 C.12 D.16〖答案〗C〖解析〗由題意可得四邊形為平行四邊形，如圖所示，設(shè)交軸于點(diǎn)，則，所以，所以四邊形的周長(zhǎng)為.故選：C.5.已知平面向量，的夾角為，且，，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，又向量，的夾角為，且，所以，所以在方向上的投影向量為.故選：D.6.若的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，且，則（）A.1 B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，利用正弦定理可得：，所以，又，所以，解得?故選：C.7.把邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折起，使得平面與平面所成二面角的大小為，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，所以，所以為平面與平面所成二面角的平面角，即，所以為等邊三角形，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，即，得，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.8.已知函數(shù)在區(qū)間上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn)，所以，，解得，因此，最小值為.故選：B.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知角的終邊在第一象限，那么角的終邊可能在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗AC〖解析〗因?yàn)榻堑慕K邊在第一象限，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，則終邊在第一象限；當(dāng)時(shí)，，則終邊在第三象限；所以角的終邊可能在第一象限或第三象限.故選：AC.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）AB.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位可得函數(shù)的圖象D.若方程在上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根x1，x2，則〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A：由圖可知，，所以，所以，則，將點(diǎn)代入得：，所以，，又，所以，所以，A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，將函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，可得函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以函?shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，由條件結(jié)合圖象可知，于是，所以，故D正確．故選：ACD．11.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.有最小值 D.在上為增函數(shù)〖答案〗BD〖解析〗由函數(shù)，對(duì)于A中，由，所以的最小正周期為，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以B正確；對(duì)于C中，由函數(shù)的值域?yàn)?，可得，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由，可得，可得函數(shù)單調(diào)遞增，所以在上也單調(diào)遞增，所以D正確.故選：BD.12.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，則（）A.平面B.平面平面C.與平面所成角大小為D.平面與平面所成二面角的余弦值為〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A：因?yàn)榍?，所以為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B：∵，平面，平面，所以，，平面，∴平面，又平面，∴平面平面，故B正確；對(duì)于C：設(shè)，連接，因?yàn)槠矫?，所以即為直線與平面所成角，又，所以，即直線與平面所成角為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：設(shè)，取的中點(diǎn)，連，，，則，，又平面，平面，所以，所以，所以為平面與平面所成的角，又，，，∴，所以平面與平面所成二面角的余弦值為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，，若，則________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，且，所以，解?故〖答案〗為：.14.已知，則________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所?故〖答案〗為：.15.以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形．如圖，已知某勒洛三角形的一段弧的長(zhǎng)度為，則該勒洛三角形的面積是________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)榈拈L(zhǎng)度為，所以，，所以勒洛三角形的面積是.故〖答案〗為：.16.在三棱錐中，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為________．〖答案〗〖解析〗取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以和都是等邊三角形，所以，所以是二面角的平面角，即，設(shè)球心為，和的中心分別為，則平面，平面，因?yàn)?，公共邊，所以≌，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以三棱錐的外接球的表面積為.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答題應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程及演算步驟17.已知復(fù)數(shù)是方程的一個(gè)虛根（是虛數(shù)單位，）．（1）求；（2）復(fù)數(shù)，若為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值．解：（1）∵，∴，∴且，∴，∴，則.（2）∵，又為純虛數(shù)，∴且，∴.18.已知，，如圖，在中，點(diǎn)，滿足，，是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，，三點(diǎn)共線．（1）用，來表示；（2）求的最小值．解：（1）∵，∴，∴.（2）∵，，∴，，∴，∴，∵，，三點(diǎn)共線，∴，∴，∴，∴當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，的最小值為．19.已知函數(shù)．（1）求對(duì)稱中心和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）