2023-2024學(xué)年福建省福寧古五校教學(xué)聯(lián)合體高二下學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2福建省福寧古五校教學(xué)聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將姓名、座號(hào)、考場(chǎng)、班級(jí)填寫在答題卡上．2．選擇題用2B鉛筆將〖答案〗涂在答題卡上，非選擇題將〖答案〗寫在答題卡上．3．考試結(jié)束，考生只將答題卡交回，試卷自己保留．一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．1.已知且，則（）．A.4 B.6 C.8 D.10〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋源嬖趯?shí)數(shù)，使得，又,所以，所以，解得，所以.故選：C.2.已知在上遞增，則實(shí)數(shù)的范圍是（）A B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意，在上恒成立，即恒成立，易知，當(dāng)時(shí)，，所以，使得恒成立，則.故選：D.3.已知，則在上的投影向量為（）．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.4.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，把代入可得，解得，故選：C.5.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，則BE與DF所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，連接，因?yàn)榉謩e為棱的中點(diǎn)，可得且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，故，則或其補(bǔ)角為直線BE與直線DF所成的角.在中，，，由余弦定理得，所以BE與DF所成角的余弦值為.故選：A.6.設(shè)在上存在導(dǎo)數(shù)，滿足，且有的解集為（）．A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由題，所以，即，即的解集為，故選：D.7.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，若點(diǎn)P是棱上一點(diǎn)(含頂點(diǎn))，則滿足的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）A.8 B.12 C.18 D.24〖答案〗B〖解析〗如圖所示：以點(diǎn)D為原點(diǎn)，以DA所在的直線為x軸，以DC所在的直線為y軸，以所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則點(diǎn)，，考慮P在上底面的棱上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則由題意可得，.所以，故，即，因?yàn)辄c(diǎn)P是棱上一點(diǎn)（含頂點(diǎn)），所以與正方形切于4個(gè)點(diǎn)，即上底面每條棱的中點(diǎn)即為所求點(diǎn)；同理P在右側(cè)面的棱上，也有4個(gè)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，，即與正方形切于個(gè)點(diǎn)，即右側(cè)面每條棱的中點(diǎn)即為所求點(diǎn)；同理可得：正方體每條棱的中點(diǎn)都滿足題意，故點(diǎn)的個(gè)數(shù)有個(gè).故選：C8.已知函數(shù)，若不等式的解集為且，且，則函數(shù)的極小值為（）A. B. C.0 D.〖答案〗B〖解析〗由得，為二次函數(shù)且圖象開口向上.若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不符合題意；若，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，不妨設(shè)，當(dāng)單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，若使的解集為，且，則的大致圖象如圖所示：則m，n為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且為函數(shù)的極大值點(diǎn)，所以或，當(dāng)時(shí)，，，則不是函數(shù)的極值點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，令，則或，所以為極小值點(diǎn).所以的極小值為.故選：B二、多項(xiàng)選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列運(yùn)算正確的有（）．A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A：因?yàn)?，故A不正確；對(duì)于B：因，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，故D不正確.故選：BC.10.已知函數(shù)，則（）．A.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是 B.函數(shù)的遞減區(qū)間為C.函數(shù)存在最大值和最小值 D.函數(shù)有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則〖答案〗ABD〖解析〗由，得,所以，又，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是，即，故A正確；令，可得，解得；令，解得或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，且，，當(dāng)時(shí)，,作出函數(shù)的圖形，如圖所示，可得A、B正確；所以，無(wú)最大值，故C錯(cuò)誤；若方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解，即與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，可得，故D正確.故選：ABD.11.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包括邊界），則下列說法正確的有（）．A.不存在點(diǎn)，使得B.過三點(diǎn)的正方體的截面面積為C.四面體的內(nèi)切球的表面積為D.點(diǎn)在棱上，且，若，則點(diǎn)的軌跡是圓〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，若，則，即，與題意矛盾，所以A正確；對(duì)于B，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以可得四點(diǎn)共面，所以過三點(diǎn)的正方體的截面為以為底的等腰梯形，過點(diǎn)作，所以，所以梯形的高為，所以，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如下圖知：四面體的體積為正方體體積減去四個(gè)三棱錐的體積，可知四面體是棱長(zhǎng)為的正四面體，取的外心，連接，則平面，則，則，所以，所以四面體的高，設(shè)四面體的側(cè)面積為，其內(nèi)切球的半徑為，球心為，，，即，所以C正確；對(duì)于D，，即，可得軌跡為圓：，所以，圓心，又，所以，軌跡為圓：被四邊形ABCD截得的4段圓弧，所以D錯(cuò)誤.故選：AC．三、填空題:本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，且，則_________〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，，所以，解得?故〖答案〗為：.13.在四面體OABC中，是棱OA上靠近的三等分點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，設(shè)，若，則_________．〖答案〗〖解析〗，故.故〖答案〗為：.14.已知曲線和，點(diǎn)分別在曲線上，記點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，則的最小值是_______.〖答案〗〖解析〗設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，為的焦點(diǎn)，點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為，則，則，又，設(shè)，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，故，則，即的最小值是.故〖答案〗為：.四、解答題:共77分．解答應(yīng)寫出必要文字、證明過程或演算步驟．15.已知是直線l的方向向量，是平面的法向量．（1）若，求a，b的關(guān)系式；（2）若，求a，b的值．解：（1）由得，所以，即，整理得；（2）由得，所以，解得，.16.已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）若是曲線的一條切線，求的值;（2）若，對(duì)恒成立，求的取值范圍．解：（1）由已知可得設(shè)為切點(diǎn)，依題意解得.（2）等價(jià)于，等價(jià)于，設(shè)，則，設(shè)，則，時(shí)，．所以，所以，當(dāng)時(shí)，在時(shí)恒成立，所以的取值范圍為．17.如圖，在四棱錐中，底面，是直角梯形，，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）若二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以．因?yàn)?，所以，所以，故．又，且兩直線在平面內(nèi)，所以平面．因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?）如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則易知為平面的一個(gè)法向量設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由，即，所以取，則．依題意，，解得．于是，則．所以直線與平面所成角的正弦值為18.“曼哈頓距離”是人臉識(shí)別中一種重要的測(cè)距方式．其定義為:如果在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，那么稱為兩點(diǎn)間的曼哈頓距離．（1）已知點(diǎn)分別在直線上，點(diǎn)與點(diǎn)的曼哈頓距離分別為，求和的最小值;（2）已知點(diǎn)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，其中，點(diǎn)與點(diǎn)的曼哈頓距離記為，求的最大值．參考數(shù)據(jù)解：（1）由題可設(shè)，又，所以，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，故，即的最小值為2；因?yàn)樵谥本€上，故可設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，則，即的最小值為1．（2）因?yàn)槭乔€上的動(dòng)點(diǎn)，故設(shè)，所以當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減，故；當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增，故；當(dāng)時(shí)，，所以上單調(diào)遞增，故；又，所以，，綜上，的最大值為.19.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍;（ii）求證:．解：（1）因?yàn)?，所以，其中①?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，由得，由可得．所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．（2）（ⅰ）方程可化為，即．令，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，易知函數(shù)的值域?yàn)?，結(jié)合題意，關(guān)于的方程（*）有兩個(gè)不等的實(shí)根．又因?yàn)椴皇欠匠蹋?）的實(shí)根，所以方程（*）可化為．令，其中，則．由可得或，由可得，所以，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以，函數(shù)的極小值為，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則．作出函數(shù)和的圖象如圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是．（ⅱ）要證，只需證，即證．因?yàn)?，所以只需證，由（i）知，不妨設(shè)．因?yàn)?，所以，即，作差可得所以只需證，即只需證．令，只需證，令，其中，則，所以在上單調(diào)遞增，故，即在上恒成立．所以原不等式得證.福建省福寧古五校教學(xué)聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將姓名、座號(hào)、考場(chǎng)、班級(jí)填寫在答題卡上．2．選擇題用2B鉛筆將〖答案〗涂在答題卡上，非選擇題將〖答案〗寫在答題卡上．3．考試結(jié)束，考生只將答題卡交回，試卷自己保留．一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．1.已知且，則（）．A.4 B.6 C.8 D.10〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋源嬖趯?shí)數(shù)，使得，又,所以，所以，解得，所以.故選：C.2.已知在上遞增，則實(shí)數(shù)的范圍是（）A B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意，在上恒成立，即恒成立，易知，當(dāng)時(shí)，，所以，使得恒成立，則.故選：D.3.已知，則在上的投影向量為（）．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.4.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，把代入可得，解得，故選：C.5.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，則BE與DF所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，連接，因?yàn)榉謩e為棱的中點(diǎn)，可得且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，故，則或其補(bǔ)角為直線BE與直線DF所成的角.在中，，，由余弦定理得，所以BE與DF所成角的余弦值為.故選：A.6.設(shè)在上存在導(dǎo)數(shù)，滿足，且有的解集為（）．A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由題，所以，即，即的解集為，故選：D.7.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，若點(diǎn)P是棱上一點(diǎn)(含頂點(diǎn))，則滿足的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）A.8 B.12 C.18 D.24〖答案〗B〖解析〗如圖所示：以點(diǎn)D為原點(diǎn)，以DA所在的直線為x軸，以DC所在的直線為y軸，以所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則點(diǎn)，，考慮P在上底面的棱上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則由題意可得，.所以，故，即，因?yàn)辄c(diǎn)P是棱上一點(diǎn)（含頂點(diǎn)），所以與正方形切于4個(gè)點(diǎn)，即上底面每條棱的中點(diǎn)即為所求點(diǎn)；同理P在右側(cè)面的棱上，也有4個(gè)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，，即與正方形切于個(gè)點(diǎn)，即右側(cè)面每條棱的中點(diǎn)即為所求點(diǎn)；同理可得：正方體每條棱的中點(diǎn)都滿足題意，故點(diǎn)的個(gè)數(shù)有個(gè).故選：C8.已知函數(shù)，若不等式的解集為且，且，則函數(shù)的極小值為（）A. B. C.0 D.〖答案〗B〖解析〗由得，為二次函數(shù)且圖象開口向上.若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不符合題意；若，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，不妨設(shè)，當(dāng)單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，若使的解集為，且，則的大致圖象如圖所示：則m，n為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且為函數(shù)的極大值點(diǎn)，所以或，當(dāng)時(shí)，，，則不是函數(shù)的極值點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，令，則或，所以為極小值點(diǎn).所以的極小值為.故選：B二、多項(xiàng)選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列運(yùn)算正確的有（）．A. B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A：因?yàn)?，故A不正確；對(duì)于B：因，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，故D不正確.故選：BC.10.已知函數(shù)，則（）．A.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是 B.函數(shù)的遞減區(qū)間為C.函數(shù)存在最大值和最小值 D.函數(shù)有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則〖答案〗ABD〖解析〗由，得,所以，又，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程是，即，故A正確；令，可得，解得；令，解得或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，且，，當(dāng)時(shí)，,作出函數(shù)的圖形，如圖所示，可得A、B正確；所以，無(wú)最大值，故C錯(cuò)誤；若方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解，即與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，可得，故D正確.故選：ABD.11.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在底面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包括邊界），則下列說法正確的有（）．A.不存在點(diǎn)，使得B.過三點(diǎn)的正方體的截面面積為C.四面體的內(nèi)切球的表面積為D.點(diǎn)在棱上，且，若，則點(diǎn)的軌跡是圓〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，若，則，即，與題意矛盾，所以A正確；對(duì)于B，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以可得四點(diǎn)共面，所以過三點(diǎn)的正方體的截面為以為底的等腰梯形，過點(diǎn)作，所以，所以梯形的高為，所以，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如下圖知：四面體的體積為正方體體積減去四個(gè)三棱錐的體積，可知四面體是棱長(zhǎng)為的正四面體，取的外心，連接，則平面，則，則，所以，所以四面體的高，設(shè)四面體的側(cè)面積為，其內(nèi)切球的半徑為，球心為，，，即，所以C正確；對(duì)于D，，即，可得軌跡為圓：，所以，圓心，又，所以，軌跡為圓：被四邊形ABCD截得的4段圓弧，所以D錯(cuò)誤.故選：AC．三、填空題:本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，且，則_________〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，，所以，解得?故〖答案〗為：.13.在四面體OABC中，是棱OA上靠近的三等分點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，設(shè)，若，則_________．〖答案〗〖解析〗，故.故〖答案〗為：.14.已知曲線和，點(diǎn)分別在曲線上，記點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，則的最小值是_______.〖答案〗〖解析〗設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，為的焦點(diǎn)，點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為，則，則，又，設(shè)，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，故，則，即的最小值是.故〖答案〗為：.四、解答題:共77分．解答應(yīng)寫出必要文字、證明過程或演算步驟．15.已知是直線l的方向向量，是平面的法向量．（1）若，求a，b的關(guān)系式；（2）若，求a，b的值．解：（1）由得，所以，即，整理得；（2）由得，所以，解得，.16.已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）若是曲線的一條切線，求的值;（2）若，對(duì)恒成立，求的取值范圍．解：（1）由已知可得設(shè)為切點(diǎn)，依題意解得.（2）等價(jià)于，等價(jià)于，設(shè)，則，設(shè)，則，時(shí)，．所以，所以，當(dāng)時(shí)，在時(shí)恒成立，所以的取值范圍為．17.如圖，在四棱錐中，底面，是直角梯形，，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）若二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以．因?yàn)?，所以，所以，故．又，且兩直線在平面內(nèi)，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面?）如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則易知為平面的一個(gè)法向量設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由，即，所以取，則．依題意，，解得．于是，則．所以直線與平面所成角的正弦值為18.“曼哈頓距離”是人臉識(shí)別中一種重要的測(cè)距方式．其定義為:如果在平面直角坐標(biāo)系中，