2023-2024學年廣東省清遠市四校聯(lián)盟高二下學期期中檢測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2廣東省清遠市四校聯(lián)盟2023-2024學年高二下學期期中檢測數(shù)學試題第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題只有一項是符合要求，共8小題，每小題5分，共40分）1.已知，則（）A.0 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗求導(dǎo)得：，所以，即，解得：.故選：C2.已知五個區(qū)域A，B，C，D，E依次相鄰，如圖所示，現(xiàn)在給這5個區(qū)域涂色，要求相鄰的兩個區(qū)域不能涂相同的顏色，現(xiàn)有5種不同的顏色可供選擇，則不同的涂色方法有（）A.1140 B.1200 C.1280 D.1400〖答案〗C〖解析〗依題意，分5步依次對涂色，所以不同的涂色方法有（種）.故選：C3.設(shè)函數(shù)y＝xsinx＋cosx的圖象上點P(t，f(t))處的切線斜率為k，則函數(shù)k＝g(t)的大致圖象為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗可得：．可得：，由于，函數(shù)是奇函數(shù)，排除選項，C；當時，，排除選項D．故選：B4.要從某小組6名男生和3名女生中隨機選出3人去參加社會實踐活動，則抽取的3人中，男生至少為1人的選法種數(shù)為（）A.55 B.63 C.65 D.83〖答案〗D〖解析〗男生至少為人的反面是人全是女生，總數(shù)為，人全是女生為，所以共有種.故選：D.5.已知函數(shù)的圖象如圖所示，是的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（）A.B.CD.〖答案〗A〖解析〗由圖形可知，在點處的切線斜率大于割線的斜率，割線的斜率大于在點處的斜率，且都大于零，即，則．故選：A．6.在的展開式中，項的系數(shù)為（）A.10 B.12 C.15 D.21〖答案〗C〖解析〗由二項式定理，得的展開式中，項的系數(shù)為：．故選：C．7.展開式中，的系數(shù)為（）A.15 B.20 C.30 D.40〖答案〗C〖解析〗，，所以的系數(shù)為．故選：C．8.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時不等式成立，若，，，則的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，當時，，故函數(shù)在上為減函數(shù).又因是R上的奇函數(shù)，由可知是R上的偶函數(shù)，故在上是增函數(shù).因，，，，，，則，故得，即，故.故選：D.二、多選題（本大題有多項是符合要求的，全部選對6分，有選錯0分，部分選對得部分分，共3小題，每小題6分，共18分）9.高二年級安排甲、乙、丙三位同學到A，B，C，D，E五個社區(qū)進行暑期社會實踐活動，每位同學只能選擇一個社區(qū)進行活動，且多個同學可以選擇同一個社區(qū)進行活動，下列說法正確的有（）A.如果社區(qū)A必須有同學選擇，則不同的安排方法有61種B.如果同學甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有25種C.如果三名同學選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有60種D.如果甲、乙兩名同學必須在同一個社區(qū)，則不同的安排方法共有20種〖答案〗ABC〖解析〗安排甲、乙、丙三位同學到A，B，C，D，E五個社區(qū)進行暑期社會實踐活動，選項A：如果社區(qū)A必須有同學選擇，則不同的安排方法有（種）.判斷正確；選項B：如果同學甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有（種）.判斷正確；選項C：如果三名同學選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有（種）.判斷正確；選項D：如果甲、乙兩名同學必須在同一個社區(qū)，再分為丙與甲、乙兩名同學在一起和不在一起兩種情況，則不同的安排方法共有（種）.判斷錯誤.故選：ABC10.下列不等式中，對任意的恒成立的是（）A B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗對于A，令，，則，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；所以，即恒成立，所以對任意的恒成立，A正確；對于B，令，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以對任意的恒成立，故B錯誤；對于C，令，，則，令，易知，使，即，，當時，，單調(diào)遞減；當,時，，單調(diào)遞增；所以，所以，即對任意的恒成立，C正確；對于D，令，，則，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；又因為，所以，即，所以，即，所以，D錯誤．故選：AC．11.關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（）A.是的極小值點B.函數(shù)圖像上的點到直線的最短距離為C.函數(shù)有且只有1個零點D.不存在正實數(shù)k，使成立〖答案〗AB〖解析〗對A：函數(shù)的定義域為，，當時，；當時，；故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極小值點，故A正確；對B：設(shè)直線與函數(shù)的圖像相切，切點坐標為，由，可得，解得，所以，即切點為，則切點到直線的距離為，即函數(shù)圖像上的點到直線的最短距離為，故B正確；對C：因，所以，當時，；當時，；故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以函數(shù)不存在零點，故C不正確，對D：由選項C可知：，即恒成立，所以存在正實數(shù)k，使恒成立，故D錯誤．故選：AB．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（每小題5分，共15分）12.若質(zhì)點按照規(guī)律做直線運動（位移單位：m，時間單位：s），則質(zhì)點在時的瞬時速度為______．〖答案〗28〖解析〗，則，．故〖答案〗為：28．13.已知，則______．〖答案〗10〖解析〗由兩邊求導(dǎo)得，，取，可得：.故〖答案〗為：10.14.已知，是的導(dǎo)函數(shù)，即，，，，，若當時，，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，可得，，，，，，依此規(guī)律，可得：．所以，由，可得．所以當時，，即為當時，，即時，恒成立，令，則，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以，所以，即的取值范圍是．故〖答案〗為：四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答題應(yīng)寫出必要的文字說明，推理證明過程或演算步驟），15.在①只有第5項的二次式系數(shù)最大；②第3項與第7項的二項式系數(shù)相等；③所有二項式系數(shù)的和為．從以上三個條件中任選一個，補充在下面（橫線處）問題中，解決下面問題．已知，，若的展開式中，______．（1）求的值；（2）求的系數(shù)；（3）求的值．解：（1）選擇①時，只有第5項的二次式系數(shù)最大，則二項展開式共有9項，故；選擇②時，有，由組合數(shù)的性質(zhì)可得，；選擇③時，因所有二項式系數(shù)的和為，解得.（2）由（1）可得，其通項公式為：，由可得，故的系數(shù)即為；（3）由通項知為負數(shù)，為正數(shù).在中，取，可得，，取，可得，①，取，可得，②，由：，將代入整理得，；由:,整理得，，而.16設(shè)函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若的圖象與軸沒有公共點，求a的取值范圍.解：（1）函數(shù)的定義域為，又，因為，故，當時，；當時，；所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）因為且的圖與軸沒有公共點，所以的圖象在軸的上方，由（1）中函數(shù)的單調(diào)性可得，故即.17.2024年3月31日在連南舉行半程馬拉松賽，為確保馬拉松賽事順利舉行，組委會在沿途一共設(shè)置了7個飲水點，每兩個飲水點中間再設(shè)置一個服務(wù)站，一共6個服務(wù)站．由含甲、乙在內(nèi)的13支志愿者服務(wù)隊負責這13個站點的服務(wù)工作，每一個站點有且僅有一支服務(wù)隊負責服務(wù)．（1）求甲隊只去首尾的飲水點，且乙隊只去與甲隊不相鄰的服務(wù)站的概率；（2）為了解志愿者服務(wù)隊的工作效果，將四名工作人員隨機分派到A，B，C三個站點進行抽查，每人被分派到哪個站點互不影響，求三個站點中恰有一個站點未分配到任何工作人員的概率．解：（1）由題意可知，甲隊和乙隊共有種不同的安排方法，甲隊只去首尾的飲水點，且乙隊只去與甲隊不相鄰的服務(wù)站，共有種，所以所求概率為；（2）將四名工作人員隨機分派到，，三個站點進行抽查，共有種不同的安排方法，三個站點中恰有一個站點未分配到任何工作人員，共有種不同的安排方法，所以所求概率為．18.2024年是龍年，為了弘揚中華傳統(tǒng)文化，和增添節(jié)日氛圍，某校在春季學期開學典禮時舉行了舞龍活動．現(xiàn)2班的同學接受了設(shè)計舞龍服裝的任務(wù)，如圖，有一塊半橢圓形布料，其長半軸長為2，短半軸長為1，計劃先將此塊布料切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點在橢圓上，記，梯形面積為．（1）求面積以為自變量的函數(shù)關(guān)系式，并寫出其定義域；（2）求梯形布料面積的最大值．解：（1）依題意，以的中點為原點建立直角坐標系（如圖），易知橢圓的方程為：，因為是半橢圓的短軸，的端點在橢圓上，且，所以，,，所以；（2）因為，令，則，又因為，令，解得，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；所以，所以．即梯形面積的最大值為．19.已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，．（1）設(shè)兩曲線，有公共點為，且在點處的切線相同，若，求點的橫坐標；（2）在（1）的條件下，求證：；（3）若，，函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）函數(shù)的定義域為，設(shè)曲線的公共點，求導(dǎo)得，依題意，，即，由，得，，所以點的橫坐標為.（2）由（1）知，設(shè)，，求導(dǎo)得，當時，，當時，，則函數(shù)在上遞減，在上遞增，因此，即當時，，所以.（3）依題意，，定義域為，由，得，令，由函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不同的零點，得直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，而，當時，，當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，而，且當時，恒有，則當且僅當時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，即函數(shù)有兩個不同零點，所以實數(shù)的取值范圍是.廣東省清遠市四校聯(lián)盟2023-2024學年高二下學期期中檢測數(shù)學試題第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題只有一項是符合要求，共8小題，每小題5分，共40分）1.已知，則（）A.0 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗求導(dǎo)得：，所以，即，解得：.故選：C2.已知五個區(qū)域A，B，C，D，E依次相鄰，如圖所示，現(xiàn)在給這5個區(qū)域涂色，要求相鄰的兩個區(qū)域不能涂相同的顏色，現(xiàn)有5種不同的顏色可供選擇，則不同的涂色方法有（）A.1140 B.1200 C.1280 D.1400〖答案〗C〖解析〗依題意，分5步依次對涂色，所以不同的涂色方法有（種）.故選：C3.設(shè)函數(shù)y＝xsinx＋cosx的圖象上點P(t，f(t))處的切線斜率為k，則函數(shù)k＝g(t)的大致圖象為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗可得：．可得：，由于，函數(shù)是奇函數(shù)，排除選項，C；當時，，排除選項D．故選：B4.要從某小組6名男生和3名女生中隨機選出3人去參加社會實踐活動，則抽取的3人中，男生至少為1人的選法種數(shù)為（）A.55 B.63 C.65 D.83〖答案〗D〖解析〗男生至少為人的反面是人全是女生，總數(shù)為，人全是女生為，所以共有種.故選：D.5.已知函數(shù)的圖象如圖所示，是的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（）A.B.CD.〖答案〗A〖解析〗由圖形可知，在點處的切線斜率大于割線的斜率，割線的斜率大于在點處的斜率，且都大于零，即，則．故選：A．6.在的展開式中，項的系數(shù)為（）A.10 B.12 C.15 D.21〖答案〗C〖解析〗由二項式定理，得的展開式中，項的系數(shù)為：．故選：C．7.展開式中，的系數(shù)為（）A.15 B.20 C.30 D.40〖答案〗C〖解析〗，，所以的系數(shù)為．故選：C．8.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時不等式成立，若，，，則的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，當時，，故函數(shù)在上為減函數(shù).又因是R上的奇函數(shù)，由可知是R上的偶函數(shù)，故在上是增函數(shù).因，，，，，，則，故得，即，故.故選：D.二、多選題（本大題有多項是符合要求的，全部選對6分，有選錯0分，部分選對得部分分，共3小題，每小題6分，共18分）9.高二年級安排甲、乙、丙三位同學到A，B，C，D，E五個社區(qū)進行暑期社會實踐活動，每位同學只能選擇一個社區(qū)進行活動，且多個同學可以選擇同一個社區(qū)進行活動，下列說法正確的有（）A.如果社區(qū)A必須有同學選擇，則不同的安排方法有61種B.如果同學甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有25種C.如果三名同學選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有60種D.如果甲、乙兩名同學必須在同一個社區(qū)，則不同的安排方法共有20種〖答案〗ABC〖解析〗安排甲、乙、丙三位同學到A，B，C，D，E五個社區(qū)進行暑期社會實踐活動，選項A：如果社區(qū)A必須有同學選擇，則不同的安排方法有（種）.判斷正確；選項B：如果同學甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有（種）.判斷正確；選項C：如果三名同學選擇的社區(qū)各不相同，則不同的安排方法共有（種）.判斷正確；選項D：如果甲、乙兩名同學必須在同一個社區(qū)，再分為丙與甲、乙兩名同學在一起和不在一起兩種情況，則不同的安排方法共有（種）.判斷錯誤.故選：ABC10.下列不等式中，對任意的恒成立的是（）A B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗對于A，令，，則，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；所以，即恒成立，所以對任意的恒成立，A正確；對于B，令，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以對任意的恒成立，故B錯誤；對于C，令，，則，令，易知，使，即，，當時，，單調(diào)遞減；當,時，，單調(diào)遞增；所以，所以，即對任意的恒成立，C正確；對于D，令，，則，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；又因為，所以，即，所以，即，所以，D錯誤．故選：AC．11.關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（）A.是的極小值點B.函數(shù)圖像上的點到直線的最短距離為C.函數(shù)有且只有1個零點D.不存在正實數(shù)k，使成立〖答案〗AB〖解析〗對A：函數(shù)的定義域為，，當時，；當時，；故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極小值點，故A正確；對B：設(shè)直線與函數(shù)的圖像相切，切點坐標為，由，可得，解得，所以，即切點為，則切點到直線的距離為，即函數(shù)圖像上的點到直線的最短距離為，故B正確；對C：因，所以，當時，；當時，；故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以函數(shù)不存在零點，故C不正確，對D：由選項C可知：，即恒成立，所以存在正實數(shù)k，使恒成立，故D錯誤．故選：AB．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（每小題5分，共15分）12.若質(zhì)點按照規(guī)律做直線運動（位移單位：m，時間單位：s），則質(zhì)點在時的瞬時速度為______．〖答案〗28〖解析〗，則，．故〖答案〗為：28．13.已知，則______．〖答案〗10〖解析〗由兩邊求導(dǎo)得，，取，可得：.故〖答案〗為：10.14.已知，是的導(dǎo)函數(shù)，即，，，，，若當時，，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，可得，，，，，，依此規(guī)律，可得：．所以，由，可得．所以當時，，即為當時，，即時，恒成立，令，則，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以，所以，即的取值范圍是．故〖答案〗為：四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答題應(yīng)寫出必要的文字說明，推理證明過程或演算步驟），15.在①只有第5項的二次式系數(shù)最大；②第3項與第7項的二項式系數(shù)相等；③所有二項式系數(shù)的和為．從以上三個條件中任選一個，補充在下面（橫線處）問題中，解決下面問題．已知，，若的展開式中，______．（1）求的值；（2）求的系數(shù)；（3）求的值．解：（1）選擇①時，只有第5項的二次式系數(shù)最大，則二項展開式共有9項，故；選擇②時，有，由組合數(shù)的性質(zhì)可得，；選擇③時，因所有二項式系數(shù)的和為，解得.（2）由（1）可得，其通項公式為：，由可得，故的系數(shù)即為；（3）由通項知為負數(shù)，為正數(shù).在中，取，可得，，取，可得，①，取，可得，②，由：，將代入整理得，；由:,整理得，，而.16設(shè)函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若的圖象與軸沒有公共點，求a的取值范圍.解：（1）函數(shù)的定義域為，又，因為，故，當時，；當時，；所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）因為且的圖與軸沒有公共點，所以的圖象在軸的上方，由（1）中函數(shù)的單調(diào)性可得，故即.17.2024年3月31日在連南舉行半程馬拉松賽，為確保馬拉松賽事順利舉行，組委會在沿途一共設(shè)置了7個飲水點，每兩個飲水點中間再設(shè)置一個服務(wù)站，一共6個服務(wù)站．由含甲、乙在內(nèi)的13支志愿者服務(wù)隊負責這13個站點的服務(wù)工作，每一個站點有且僅有一支服務(wù)隊負責服務(wù)．（1）求甲隊只去首尾的飲水點，且乙隊只去與甲隊不相鄰的服務(wù)站的概率；（2）為了解志愿者服務(wù)隊的工作效果，將四名工作人員隨機分派到A，B，C三個站點進行抽查，每人被分派到哪個站點互不影響，求三個站點中恰有一個站點未分配到任何工作人員的概率．解：（1）由題意可知，甲隊和乙隊共有