2023-2024學年浙江省9+1聯(lián)盟高二下學期期中數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2浙江省9+1聯(lián)盟2023-2024學年高二下學期期中數(shù)學試題一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，不選、多選、錯選均不得分）1.在的展開式中常數(shù)項是（）A.1120 B.160 C. D.〖答案〗D〖解析〗的展開式通項公式為，令，解得，故常數(shù)項為.故選：D2.已知事件，且，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由條件概率公式知：，則.故選：B3.已知可導函數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗對求導，故，故選：A4.已知等差數(shù)列的前n項和為，則（）A.18 B.36 C.54 D.60〖答案〗D〖解析〗由可得，故，故選：D5.已知函數(shù)在內(nèi)有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗函數(shù)的定義域為，，令可得或（舍），當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，即最小值，又因為函數(shù)在內(nèi)有最小值，故，解得，所以的取值范圍是.故選：B6.已知函數(shù)為不相等的兩個實數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗因為函數(shù)為不相等的兩個實數(shù)，不妨設，當時，有，即，解得，當時，，，即，當時，，，即，，則，當時，一定有，且，則，所以“”是“”的充分必要條件；故選：C7.2024年伊始，隨著“廣西砂糖桔”“馬鈴薯公主”等熱梗的不斷爆出，哈爾濱火爆出圈，成為旅游城市中的“頂流”．某班級六位同學也準備共赴一場冰雪之約，制定了“南方小土豆，勇闖哈爾濱”的出游計劃，這六位同學準備在行程第一天在圣索菲亞教堂、冰雪大世界、中央大街三個景點中選擇一個去游玩，已知每個景點至少有一位同學會選，六位同學都會進行選擇并且只能選擇其中一個景點，若學生甲和學生乙準備選同一個景點，則不同的選法種數(shù)是（）A.132 B.144 C.150 D.168〖答案〗C〖解析〗若學生甲、乙選的景點沒有其他人選，則分組方式為或（其中為甲、乙），當為時，則有種選法；當為（其中為甲、乙）時，則有種選法；若學生甲、乙選的景點有其他人選，則分組方式為或（其中為甲、乙與另一學生），當為時，則有種選法；當為（其中為甲、乙與另一學生）時，則有種選法；綜上可得一共有種不同的選法.故選：C8.已知數(shù)列的前n項和為，且關于n的不等式有3個解，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由可得：，由上可得是常數(shù)列，當時，，所以，即，而，則，令，則，當時，，即，而，，，了滿足不等式有三個解，則，此時有，滿足條件，故選：A.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題列出的四個備選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知隨機變量滿足，且，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由隨機變量滿足，且，可得，解得，對于A中，由，所以A錯誤；對于B中，因為，即，可得，所以B正確；對于C中，由，所以C正確；對于D中，由，可得，所以D正確.故選：BCD.10.“楊輝三角”是中國古代數(shù)學文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝于1261年所著的《詳析九章算法》一書中．“楊輝三角”揭示了二項式系數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示．下列關于“楊輝三角”的結(jié)論正確的是（）A.2024行中從左往右第1012個數(shù)與第1014個數(shù)相等B.C.記第10行的第個數(shù)為，則D.記第行的第個數(shù)為，則〖答案〗AC〖解析〗對于A，第2024行中數(shù)為的展開式的二項式系數(shù)，則從左往右第1012個數(shù)為，第1014個數(shù)為，由于，故A正確；對于B，由，可得，故B不正確；對于C，第行的第個數(shù)為，則，故C正確；對于D，第行第個數(shù)為，則故D錯誤；故選：AC11.有個等分為五個扇形的圓形幸運轉(zhuǎn)盤，這五個扇形分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，轉(zhuǎn)動圓盤等其靜止時，指針均指向扇形的內(nèi)部，記錄下對應的數(shù)字．持續(xù)這個過程，記前次所得的數(shù)字之和是偶數(shù)的概率為，則（）A. B.C.是等比數(shù)列 D.是遞減數(shù)列〖答案〗AD〖解析〗根據(jù)題意，有個等分為五個扇形的圓形幸運轉(zhuǎn)盤，這五個扇形分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，則每次旋轉(zhuǎn)中，指針指向數(shù)字為偶數(shù)的概率為，指向數(shù)字為奇數(shù)的概率為，則，又由，則，故A正確；對于，變形可得，，則，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故，變形可得，對于B，，，則，故B錯誤；對于C，，此時，而，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故C錯誤；對于D，，由于，故是遞減數(shù)列，故D正確.故選：AD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知隨機變量X服從正態(tài)分布，且，則__________．〖答案〗0.9〖解析〗根據(jù)題意，，則，所以，則.故〖答案〗為：0.913.將1，2，3，4，5，6這6個數(shù)填入圖所示的格子中，要求每個數(shù)字都要填入，且每個格子只能填一個數(shù)，其中1與2相鄰（有公共邊的兩格子稱為相鄰）的不同的填法有__________種（結(jié)果用數(shù)字作答）．〖答案〗336〖解析〗1從第一排開始排，滿足題意有如下情況．如右圖，此時2所在位置2種，其他全排即可，有種，如右圖，此時2所在位置3種，其他全排即可，有種，如右圖，此時2所在位置２種，其他全排即可，有種，同理，由圖形對稱性知道，1從第二排開始排，與前面第一排情況數(shù)一樣.種.故〖答案〗為：336.14.已知實數(shù)，且函數(shù)，則函數(shù)的最小值為__________．〖答案〗〖解析〗由題意得，設，，則點在曲線上，點在拋物線上，的幾何意義為，兩點間距離與點到軸的距離之和．設拋物線的焦點為，則由拋物線的定義知，所以，所以，問題轉(zhuǎn)化為求曲線上的點到點的距離的最小值，設曲線上的點，到點的距離最小，則與曲線在點處切線垂直，即，所以，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖象知，兩函數(shù)圖象只有一個交點，所以方程的解為，則．所以，所以函數(shù)的最小值為．故〖答案〗為：．四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．解：（1）當時，，故在處的切線方程為，即（2）由題意知在(0,+∞)恒成立，，化簡得在恒成立，而，所以16.已知正項等比數(shù)列的前n項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列也的前n項和．解：（1）由，整理得，因為是正項等比數(shù)列，所以，于是，解得或（舍去）.又，解得.所以.（2）由已知得兩式相減得，即，當時，，所以，即，當n為偶數(shù)時，；當n為奇數(shù)時，.所以．17.小明參加一個抽紙牌游戲，規(guī)則如下：有九張質(zhì)地完全相同的紙牌，其中有一張大王牌，其余四種花色為：紅桃、黑桃、方塊、梅花各2張．逐次從9張牌中不放回地隨機抽取一張紙牌，每次抽牌后，都往牌堆中加入一張新的大王牌．（1）求小明在前兩次抽牌中只抽到一張大王牌的情況下，第三次抽牌抽到紅桃牌的概率．（2）抽牌過程中，若抽到大王牌，則宣告游戲結(jié)束：若累計抽到兩張花色相同的紙牌，也宣告游戲結(jié)束；否則游戲繼續(xù)．用X表示小明在游戲中一共抽到的紙牌數(shù)，求X的分布列．解：（1）設事件A表示“前兩次抽牌中只抽到一張大王牌”,設事件B表示“第三次抽到紅桃牌”.則．則小明在前兩次抽牌中只抽到一張大王牌的情況下，第三次抽牌抽到紅桃牌的概率為.（2）X的可能所有取值為:1,2,3,4,5．，，，，，則X的分布列為：X12345P18.已知數(shù)列，滿足，記．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證：；（3）設數(shù)列的前n項和為，證明：．解：（1）設，即，因為，所以，解得，所以，因為，則，所以，所以.（2）令，因為，所以，要證，只要證，即可．因為，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以單調(diào)遞增，則，所以得證．（3）由（2）可知，，所以，即，另一方面，所，則，所以19.藥房里有若干味藥．藥劑師用這些藥配成22副藥方，每副藥方中恰有5味藥，從中任選的三味藥都恰好只包含在某一副藥方中．（1）藥房中共有幾味藥？（2）藥物分為烈性藥和非烈性藥，要求每副藥方中至少有一味是烈性藥．（i）假設藥房中有7味烈性藥，證明：全部藥方中一定有一副藥方至少含有4味烈性藥；（ii）證明：全部藥方中一定有一副藥方至少含有4味烈性藥．解：（1）設共有n味藥，一共可形成個“三藥組”，另一方面，每個“三藥組”恰有一副藥方包含它，22副藥方中，每副藥方可形成個“三藥組”，合計220個“三藥組”，所以，所以．（2）設共有烈性藥r味，假設每副藥方中至多含有3味烈性藥，不妨把1味烈性藥味非烈性藥稱為“三藥組”，共有個“三藥組”，另一方面，因為每3種烈性藥恰有一副藥方包含它，故有副藥方恰含有3種烈性藥，每副這樣的藥方含有個“三藥組”，其余副藥方只含有1種或2種烈性藥，它們中每一幅都可形成或個“三藥組”，故22副藥方一共可形成個“三藥組”，故有，得，（i）將代入即說明假設藥房中有7味烈性藥，全部藥方中一定有一副藥方至少含有4味烈性藥；（ii）兩邊考慮都除以5，右側(cè)余2，對于，當r取0，1，2，3，4，5時，均不成立，即說明假設每副藥方中至多含有3味烈性藥不成立，所以全部藥方中一定有一副藥方至少含有4味烈性藥．浙江省9+1聯(lián)盟2023-2024學年高二下學期期中數(shù)學試題一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，不選、多選、錯選均不得分）1.在的展開式中常數(shù)項是（）A.1120 B.160 C. D.〖答案〗D〖解析〗的展開式通項公式為，令，解得，故常數(shù)項為.故選：D2.已知事件，且，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由條件概率公式知：，則.故選：B3.已知可導函數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗對求導，故，故選：A4.已知等差數(shù)列的前n項和為，則（）A.18 B.36 C.54 D.60〖答案〗D〖解析〗由可得，故，故選：D5.已知函數(shù)在內(nèi)有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗函數(shù)的定義域為，，令可得或（舍），當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，即最小值，又因為函數(shù)在內(nèi)有最小值，故，解得，所以的取值范圍是.故選：B6.已知函數(shù)為不相等的兩個實數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗因為函數(shù)為不相等的兩個實數(shù)，不妨設，當時，有，即，解得，當時，，，即，當時，，，即，，則，當時，一定有，且，則，所以“”是“”的充分必要條件；故選：C7.2024年伊始，隨著“廣西砂糖桔”“馬鈴薯公主”等熱梗的不斷爆出，哈爾濱火爆出圈，成為旅游城市中的“頂流”．某班級六位同學也準備共赴一場冰雪之約，制定了“南方小土豆，勇闖哈爾濱”的出游計劃，這六位同學準備在行程第一天在圣索菲亞教堂、冰雪大世界、中央大街三個景點中選擇一個去游玩，已知每個景點至少有一位同學會選，六位同學都會進行選擇并且只能選擇其中一個景點，若學生甲和學生乙準備選同一個景點，則不同的選法種數(shù)是（）A.132 B.144 C.150 D.168〖答案〗C〖解析〗若學生甲、乙選的景點沒有其他人選，則分組方式為或（其中為甲、乙），當為時，則有種選法；當為（其中為甲、乙）時，則有種選法；若學生甲、乙選的景點有其他人選，則分組方式為或（其中為甲、乙與另一學生），當為時，則有種選法；當為（其中為甲、乙與另一學生）時，則有種選法；綜上可得一共有種不同的選法.故選：C8.已知數(shù)列的前n項和為，且關于n的不等式有3個解，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由可得：，由上可得是常數(shù)列，當時，，所以，即，而，則，令，則，當時，，即，而，，，了滿足不等式有三個解，則，此時有，滿足條件，故選：A.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題列出的四個備選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知隨機變量滿足，且，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由隨機變量滿足，且，可得，解得，對于A中，由，所以A錯誤；對于B中，因為，即，可得，所以B正確；對于C中，由，所以C正確；對于D中，由，可得，所以D正確.故選：BCD.10.“楊輝三角”是中國古代數(shù)學文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝于1261年所著的《詳析九章算法》一書中．“楊輝三角”揭示了二項式系數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示．下列關于“楊輝三角”的結(jié)論正確的是（）A.2024行中從左往右第1012個數(shù)與第1014個數(shù)相等B.C.記第10行的第個數(shù)為，則D.記第行的第個數(shù)為，則〖答案〗AC〖解析〗對于A，第2024行中數(shù)為的展開式的二項式系數(shù)，則從左往右第1012個數(shù)為，第1014個數(shù)為，由于，故A正確；對于B，由，可得，故B不正確；對于C，第行的第個數(shù)為，則，故C正確；對于D，第行第個數(shù)為，則故D錯誤；故選：AC11.有個等分為五個扇形的圓形幸運轉(zhuǎn)盤，這五個扇形分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，轉(zhuǎn)動圓盤等其靜止時，指針均指向扇形的內(nèi)部，記錄下對應的數(shù)字．持續(xù)這個過程，記前次所得的數(shù)字之和是偶數(shù)的概率為，則（）A. B.C.是等比數(shù)列 D.是遞減數(shù)列〖答案〗AD〖解析〗根據(jù)題意，有個等分為五個扇形的圓形幸運轉(zhuǎn)盤，這五個扇形分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，則每次旋轉(zhuǎn)中，指針指向數(shù)字為偶數(shù)的概率為，指向數(shù)字為奇數(shù)的概率為，則，又由，則，故A正確；對于，變形可得，，則，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故，變形可得，對于B，，，則，故B錯誤；對于C，，此時，而，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故C錯誤；對于D，，由于，故是遞減數(shù)列，故D正確.故選：AD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知隨機變量X服從正態(tài)分布，且，則__________．〖答案〗0.9〖解析〗根據(jù)題意，，則，所以，則.故〖答案〗為：0.913.將1，2，3，4，5，6這6個數(shù)填入圖所示的格子中，要求每個數(shù)字都要填入，且每個格子只能填一個數(shù)，其中1與2相鄰（有公共邊的兩格子稱為相鄰）的不同的填法有__________種（結(jié)果用數(shù)字作答）．〖答案〗336〖解析〗1從第一排開始排，滿足題意有如下情況．如右圖，此時2所在位置2種，其他全排即可，有種，如右圖，此時2所在位置3種，其他全排即可，有種，如右圖，此時2所在位置２種，其他全排即可，有種，同理，由圖形對稱性知道，1從第二排開始排，與前面第一排情況數(shù)一樣.種.故〖答案〗為：336.14.已知實數(shù)，且函數(shù)，則函數(shù)的最小值為__________．〖答案〗〖解析〗由題意得，設，，則點在曲線上，點在拋物線上，的幾何意義為，兩點間距離與點到軸的距離之和．設拋物線的焦點為，則由拋物線的定義知，所以，所以，問題轉(zhuǎn)化為求曲線上的點到點的距離的最小值，設曲線上的點，到點的距離最小，則與曲線在點處切線垂直，即，所以，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖象知，兩函數(shù)圖象只有一個交點，所以方程的解為，則．所以，所以函數(shù)的最小值為．故〖答案〗為：．四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．解：（1）當時，，故在處的切線方程為，即（2）由題意知在(0,+∞)恒成立，，化簡得在恒成立，而，所以16.已知正項等比數(shù)列的前n項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列也的前n項和．解：（1）由，整理得，因為是正項等比數(shù)列，所以，于是，解得或（舍去）.又，解得.所以.（2）由已知得兩式相減得，即，當時，，所以，即，當n為偶數(shù)時，；當n為奇數(shù)時，.所以．17.小明參加一個抽紙牌游戲，規(guī)則如下：有九張質(zhì)地完全相同的紙牌，其中有一張大王牌，其余四種花色為：紅桃、黑桃、方塊、梅花各2張．逐次從9張牌中不放回地隨機抽取一張紙牌，每次抽牌后，都往牌堆中加入一張新的大王牌．（1）求小明在前兩次抽牌中只抽到一張大王牌的情況下，第三次抽牌抽到紅桃牌的概率．（2）抽牌過程中，若抽到大王牌，則宣告游戲結(jié)束：若累計抽到兩張花色相同的紙牌，也宣告游戲結(jié)束；否則游戲繼續(xù)．用X表示小明在游戲中一共抽到的紙牌數(shù)，求X的分布列．解：（1）設事件A表示“前兩次抽牌中只抽到一張大王牌”,設事件B表示“第三次抽到紅桃牌”.則．則小明在前兩次抽牌中