湖南省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

高二期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁(yè)，19題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題日的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.非選擇題的作答：用簽字筆直接寫(xiě)在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若，則（）A.1B.C.3D.52.若，則下列三角函數(shù)值一定為負(fù)值的是（）A.B.C.D.3.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，則（）A.B.C.D.14.設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線，垂足為，若，則（）A.B.C.D.5.某學(xué)校開(kāi)展“國(guó)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽”，共有“詩(shī)經(jīng)組”，“論語(yǔ)組”，“春秋組”，“禮記組”4個(gè)小組參賽，每組10位選手，若該組每位選手的失分不超過(guò)6分，該組獲得“優(yōu)秀”稱(chēng)號(hào)，則根據(jù)每組選手的失分情況，下列小組一定獲得“優(yōu)秀”稱(chēng)號(hào)的是（）A.詩(shī)經(jīng)組中位數(shù)為3，眾數(shù)為2B.論語(yǔ)組平均數(shù)為3，方差為1C.春秋組平均數(shù)為3，眾數(shù)為2D.禮記組中位數(shù)為3，極差為46.如圖，在四棱錐中，平面，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A.B.C.D.7.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.C.在區(qū)間共有8097個(gè)零點(diǎn)D.的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的新圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)8.在平面直角坐標(biāo)系中，為曲線上位于第一象限上的一點(diǎn)，為在軸上的投影，則的最大值為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知均為正數(shù)，則使得“”成立的充分條件可以為（）A.B.C.D.10.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.時(shí)，平面B.時(shí)，四面體的體積為定值C.時(shí)，，使得平面D.若三棱錐的外接球表面積為，則11.已知函數(shù)，其中實(shí)數(shù)，且，則（）A.當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極值點(diǎn)B.當(dāng)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)D.當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作曲線的切線有且只有1條三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知某果園中芒果單果的質(zhì)量（單位：）服從正態(tài)分布，若從該果園中隨機(jī)挑選4個(gè)芒果，則恰有2個(gè)單果的質(zhì)量均不低于100的概率為_(kāi)_________.13.已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，且，則的最大值為_(kāi)_________.14.在銳角中，依次為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，已知，求的取值范圍為_(kāi)_________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）北京地鐵四號(hào)線被譽(yù)為“學(xué)霸地鐵”，因?yàn)樗灤┝藥姿鶉?guó)內(nèi)特別有名的高校.某校5名高中生利用暑假假期去北京游學(xué)，他們?cè)趧?dòng)物園站開(kāi)始乘坐4號(hào)線，以下幾個(gè)站：國(guó)家圖書(shū)館，魏公村，人民大學(xué)，中關(guān)村，北京大學(xué)為他們的可能參觀點(diǎn)，由于時(shí)間安排和個(gè)人喜好不同，他們各自行動(dòng)，每人選一個(gè)自己最喜歡的景點(diǎn)，每個(gè)人在北京大學(xué)站下車(chē)的概率為，在其他站下車(chē)的概率均為，且不走回頭路，在圓明園站匯合，每個(gè)人在各個(gè)車(chē)站下車(chē)互不影響.（1）求在魏公村下車(chē)的人數(shù)的分布列及期望；（2）已知賈同學(xué)比李同學(xué)先下車(chē)，求賈同學(xué)在魏公村下車(chē)且李同學(xué)在北京大學(xué)站下車(chē)的概率.16.（本小題滿分15分）數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，，數(shù)列滿足：.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）記數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.17.（本小題滿分15分）如圖，是半圓的直徑，依次是半圓弧上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，將沿翻折到，使得，得到四棱錐.（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.18.（本小題滿分17分）已知函數(shù).（1）若是的極大值點(diǎn)，求的值；（2）用表示中的最大值，設(shè)函數(shù)，試討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).注：若，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.19.（本小題滿分17分）已知橢圓的離心率，且上的點(diǎn)到的距離的最大值為.（1）求的方程；（2）過(guò)的直線與交于，記關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為.①試證直線恒過(guò)定點(diǎn)；②若在直線上的投影分別為，記的面積分別為，求的取值范圍.高二期末聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案及解析一?選擇題1.A【解析】.故選A.2.C【解析】與異號(hào)，又.故選C.3.C【解析】由題意可得..故選C.4.D【解析】由拋物線定義可知2，即有，解得，所以為原點(diǎn)，從而.故選D.5.B【解析】對(duì)于A數(shù)據(jù)為：時(shí)，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，但不滿足每位選手的失分不超過(guò)6分，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，假設(shè)有一位同學(xué)失7分，則方差與方差為1矛盾，假設(shè)不成立，故B正確；對(duì)于C，數(shù)據(jù)為：1，2，2，2，2，時(shí)，滿足平均數(shù)為3，眾數(shù)為2，但是不滿足每位選手失分不超過(guò)6分，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，數(shù)據(jù)為：，滿足中位數(shù)為3，極差為4，但最大值超過(guò)6分，故D錯(cuò)誤.故選B.6.A【解析】（或補(bǔ)角）為異面直線與所成的角，平面，又平面，，.故選A.7.D【解析】對(duì)于A，由題圖可知，，從而，且位于單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合，可知，故A不正確；對(duì)于B，由圖可得，解得，，又，所以，所以，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)于，共有8096個(gè)零點(diǎn)，故C不正確；對(duì)于D，的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象的函數(shù)解析式為，顯然的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，所以的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng).故D正確.故選D.8.B【解析】由題意設(shè)，設(shè)，，則，其中，故，對(duì)任意的，則，令函數(shù)，其中，則.當(dāng)（時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.所以，故.故選B.二?多選題9.AD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，故，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，取，此時(shí)滿足0，但，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，取，滿足，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，由可知，，因?yàn)?，所以，故D選項(xiàng)正確.故選AD.10.ABD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，時(shí)，，，又平面，平面，故平面，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，時(shí)，的面積為定值；而點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且平面點(diǎn)到平面的距離即為直線到平面的距離為定值，四面體的體積為定值，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，時(shí)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸為正向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，則，，記平面的法向量為，則，即，故可取，又時(shí)，，即不存在，使得平面，故C不正確；對(duì)于D選項(xiàng)，平面于點(diǎn)，且的外接圓半徑；外接球的半徑；故由有：，故D正確.故選ABD.11.BCD【解析】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，所以分別是函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，當(dāng)或時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.當(dāng)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，且得得，選項(xiàng)B正確；當(dāng)時(shí)，，所以為奇函數(shù)，選項(xiàng)C正確；不在曲線上.設(shè)過(guò)點(diǎn)的曲線切線的切點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的曲線切線的方程為，又點(diǎn)在的切線上，有，即，設(shè)，當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，易知與只有一個(gè)交點(diǎn)，選項(xiàng)D正確.故選BCD.三?填空題12.【解析】由題可知，若從該果園中隨機(jī)挑選4個(gè)芒果，則恰有2個(gè)單果的質(zhì)量均不低于100g的概率為.故答案為.13.99【解析】由已知，可得-，所以，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，若100，即，因?yàn)楹瘮?shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以滿足的最大整數(shù)的值為99.故答案為99.14.【解析】，同理：，將看作常數(shù)，上式可以看作關(guān)于的函數(shù)，故只需求分母的取值范圍，令，解法一：，當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)，又，代入.故答案為.解法二：令，令，則，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，取最大值，當(dāng)或時(shí)，取，所以，即，代入.故答案為.四?解答題15.解：（1）的可能取值為，由題意知每個(gè)人在魏公村下車(chē)的概率均為，且相互不影響，所以，，012345.（2）設(shè)事件：賈同學(xué)比李同學(xué)先下車(chē)；事件：賈同學(xué)在魏公村下車(chē)，且李同學(xué)在北京大學(xué)站下車(chē)，，，.16.解：（1）由時(shí)，，知數(shù)列是等差數(shù)列，由，知數(shù)列的公差為1，則，，當(dāng)時(shí)，，且也滿足上式，，，由為定值，知數(shù)列是等比數(shù)列.（2）易見(jiàn)，則則兩式相減得，化簡(jiǎn)得.17.解：（1）如圖1，連接，設(shè)，連接，由是依次是半圓弧上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以，又是全等的等邊三邊形，四邊形及均為菱形，由，得，在中，是的中點(diǎn)，且，所以，在中，是的中點(diǎn)，且，所以，又，所以平面.（2）法一：如圖2，由為半圓的直徑，在半圓弧上，所以由（1）得平面，又平面，所以，又，，所以平面，所以二面角的大小等于二面角的大小與的和，由平面，所以平面，作于，由，得為的中點(diǎn)，連，因?yàn)槠矫?，所以，又，則平面，又平面，所以，故即為的平面角.在中，，在中，分別為的中點(diǎn)，所以，則，設(shè)二面角的大小為，所以.法二：由，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，，設(shè)平面的法向量，由，即，取，則，則，由（1）平面，所以可取平面的法向量，，設(shè)二面角的大小為，則.18.解：（1），由是的極大值點(diǎn)，則，解得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，令，則所以在上單調(diào)遞減，則，即，此時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，則故即單調(diào)遞減，又所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn).（2）I：當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)；II：當(dāng)時(shí)，，①若，即時(shí)，，此時(shí)不是的零點(diǎn)；②若，即時(shí)，，此時(shí)是的零點(diǎn).III：當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)個(gè)數(shù)等于零點(diǎn)個(gè)數(shù).顯然是的一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，可轉(zhuǎn)化為，令，則，由（1）知，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的圖象如下：①當(dāng)或或時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)或時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn).綜合I，II，III得，當(dāng)或時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或或時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有4