高中數學 2.3 空間直角坐標系基礎鞏固 北師大版必修2

【成才之路】-學年高中數學2.3空間直角坐標系基礎鞏固北師大版必修2一、選擇題1．有下列敘述：①在空間直角坐標系中，在Ox軸上的點的坐標一定是(0，b，c)；②在空間直角坐標系中，在yOz平面上的點的坐標一定是(0，b，c)；③在空間直角坐標系中，在Oz軸上的點的坐標可記作(0,0，c)；④在空間直角坐標系中，在xOz平面上的點的坐標是(a,0，c)．其中正確的個數是()A．1 B．2C．3 D．4[答案]C[解析]②③④正確．2．已知點A(－1,2,7)，則點A關于x軸對稱的點的坐標為()A．(－1，－2，－7) B．(－1，－2,7)C．(1，－2，－7) D．(1,2，－7)[答案]A[解析]在空間中，若點關于x軸對稱，則x坐標不變，其余均變?yōu)橄喾磾担捎邳cA(－1,2,7)關于x軸對稱，因此對稱點A′(－1，－2，－7)．3．點A(1,2,3)關于xOy平面的對稱點為A1，點A關于xOz平面的對稱點為A2，則d(A1，A2)＝()A．2eq\r(13) B．eq\r(13)C．6 D．4[答案]A[解析]A(1,2,3)關于xOy的平面的對稱點為A1(1,2，－3)，點A關于xOz平面的對稱點為A2(1，－2,3)，∴d(A1，A2)＝eq\r(1－12＋2＋22＋－3－32)＝eq\r(16＋36)＝2eq\r(13).4．△ABC在空間直角坐標系中的位置及坐標如圖所示，則BC邊上中線AD的長是()A．2 B．eq\r(6)C．3 D．2eq\r(2)[答案]B[解析]由題意可知A(0,0,1)，B(4,0,0)，C(0,2,0)，所以BC邊的中點坐標為D(2,1,0)，所以BC邊的中線長|AD|＝eq\r(2－02＋1－02＋0－12)＝eq\r(6).故應選B.5．如圖所示，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，棱長為1，點P在BD′上，BP＝eq\f(1,3)BD′，則P點坐標為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)，\f(1,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(1,3)))[答案]D[解析]連BD′，點P在坐標平面xOy上的射影在BD上，∵BP＝eq\f(1,3)BD′，所以Px＝Py＝eq\f(2,3)，Pz＝eq\f(1,3)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(1,3))).6．已知A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)則|AB|的最小值為()A．eq\f(\r(5),5) B．eq\f(\r(55),5)C．eq\f(3\r(5),5) D．eq\f(11,5)[答案]C[解析]|AB|＝eq\r(1－t－22＋1－t－t2＋t－t2)＝eq\r(5t2－2t＋2)＝eq\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,5)))2＋\f(9,5))≥eq\r(\f(9,5))＝eq\f(3,5)eq\r(5).二、填空題7．以棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，則面AA1B1B[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))[解析]如圖所示，A(0,0,0)，B1(1,0,1)．面AA1B1B對角線交點是線段AB1的中點，由中點坐標公式得所求點的坐標為(eq\f(1,2)，0，eq\f(1,2))．8．在空間直角坐標系中，已知△ABC的頂點坐標分別是A(0,3,4)，B(3，－1,4)，C(eq\f(3,2)，eq\f(7,2)，4)，則△ABC是________三角形．[答案]直角[解析]∵|AB|＝eq\r(0－32＋3＋12＋4－42)＝5，|AC|＝eq\r(0－\f(3,2)2＋3－\f(7,2)2＋4－42)＝eq\f(\r(10),2)，|BC|＝eq\r(3－\f(3,2)2＋－1－\f(7,2)2＋4－42)＝eq\f(3\r(10),2)，而|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，∴△ABC是直角三角形．三、解答題9．正三棱柱ABC－A1B1C1底面邊長為2，高為eq\r(3)，D為A1B1的中點，建立適當的坐標系，寫出A、B、C、D、C1、B1的坐標，并求出CD的長．[解析]取AC的中點為坐標原點，射線OA、OB分別為x軸、y軸，過點O作垂直于底面ABC的垂線為z軸，如圖所示，建立空間直角坐標系，由題意知A(1,0,0)，B(0，eq\r(3)，0)，C(－1,0,0)，D(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2)，eq\r(3))，C1(－1,0，eq\r(3))，B1(0，eq\r(3)，eq\r(3))．∴|CD|＝eq\r(\f(1,2)＋12＋\f(\r(3),2)2＋\r(3)2)＝eq\r(6).一、選擇題1．點B(eq\r(3)，0,0)是點A(m,2,5)在x軸上的射影，則點A到原點的距離為()A．2eq\r(2) B．3eq\r(2)C．4eq\r(2) D．5eq\r(2)[答案]C[解析]A(m,2,5)在x軸上的射影是(m,0,0)，所以m＝eq\r(3)，|OA|＝4eq\r(2).2．已知ABCD為平行四邊形，且A(－3,1,5)，B(1，－2,4)，C(0,3,7)，則點D的坐標為()A．(－4,2,1) B．(－4,6,8)C．(2,3,1) D．(5,13，－3)[答案]B[解析]設D(x，y，z)，由ABCD為平行四邊形知，AC與BD互相平分，即AC與BD的中點重合，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,2)＝－\f(3,2)，,\f(y－2,2)＝2，,\f(z＋4,2)＝6，))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝6，,z＝8.))故選B.二、填空題3．在空間直角坐標系中，正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點A(3，－1,2)，其中心M[答案]eq\f(2\r(39),3)[解析]設正方體的棱長為a，顯然C1和A點的中點為點M(0,1,2)．∴C1(－3,3,2)．∴|AC1|＝eq\r(－3－32＋3＋12＋02)＝2eq\r(13)＝eq\r(3)a.∴a＝eq\f(2,3)eq\r(39).4．已知點P在z軸上，且滿足|PO|＝1(O為坐標原點)，則點P到點A(1,1,1)的距離是__________．[答案]eq\r(2)或eq\r(6)[解析]由題意P(0,0,1)或P(0,0，－1)，所以|PA|＝eq\r(2)或eq\r(6).三、解答題5．如圖，正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長為a，P、Q分別是D′B，B′C的中點，求PQ的長．[解析]建立如圖所示空間直角坐標系∴B(a，a,0)，C(0，a,0)，B′(a，a，a)，D′(0,0，a)，∴P(eq\f(a,2)，eq\f(a,2)，eq\f(a,2))，Q(eq\f(a,2)，a，eq\f(a,2))．∴|PQ|＝eq\r(\f(a,2)－\f(a,2)2＋\f(a,2)－a2＋\f(a,2)－\f(a,2)2)＝eq\f(a,2).6．正方形ABCD和ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD與平面ABEF互相垂直，點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM＝BN＝a(0<a<eq\r(2))，(1)求MN的長；(2)求a為何值時，MN的長最?。甗解析](1)∵面ABCD⊥面ABEF，而ABCD∩ABEF＝AB，AB⊥BE，∴BE⊥面ABC.∴AB、BC、BE兩兩垂直．∴以B為原點，以BA、BE、BC所在直線為x軸、y軸和z軸，建立如圖所示空間直角坐標系．則M(eq\f(\r(2),2)a,0,1－eq\f(\r(2),2)a)，N(eq\f(\r(2),2)a，eq\f(\r(2),2)a,0)．|MN|＝eq\r(\f(\r(2),2)a－\f(\r(2),2)a2＋0－\f(\r(2),2)a2＋1－\f(\r(2),2)a－02)＝eq\r(a2－\r(2)a＋1)＝eq\r(a－\f(\r(2),2)2＋\f(1,2)).(2)則當a＝eq\f(\r(2),2)時，|MN|最短為eq\f(\r(2),2)，此時，M、N恰為AC、BF的中點．7．在空間直角坐標系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)，試問：(1)在y軸上是否存在點M，滿足|MA|＝|MB|?(2)在y軸上是否存在點M，使△MAB為等邊三角形？若存在，試求出點M的坐標．[解析](1)假設在y軸上存在點M滿足|MA|＝|MB|，設M(0，y,0)，則有eq\r(32＋－y2＋12)＝eq\r(－12＋y2＋32)，由于此式對任意y∈R恒成立，即y軸上所有點均滿足條件|MA|＝|MB|.(2)假設在y軸上存在點M，使△MAB為等邊三角形．由(1)可知，y軸上任一點都滿足|MA|＝|MB|，所以只要|