導數中的函數構造問題 教學設計-2023-2024學年高二下學期數學人教A版（2019）選擇性必修第二冊VIP

導數中的函數構造問題教學設計-2023-2024學年高二下學期數學人教A版（2019）選擇性必修第二冊課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、教學內容分析本節(jié)課的主要教學內容為人教A版（2019）選擇性必修第二冊第七章導數及其應用中7.3節(jié)的“導數中的函數構造問題”。內容包括：利用導數研究函數的單調性、極值和最值，通過實際例子讓學生理解如何構造函數解決問題，以及探討構造函數在導數中的應用。

教學內容與學生已有知識的聯系在于，學生在之前的學習中掌握了導數的定義、計算規(guī)則以及導數與函數單調性的關系。在此基礎上，本節(jié)課將引導學生運用已知的導數知識，通過構造函數來解決實際問題，加深對導數應用的理解，并提高解決問題的能力。教學內容與課本緊密相關，旨在幫助學生將理論知識與實際問題相結合，增強數學學科的實用性。二、核心素養(yǎng)目標本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標主要包括邏輯推理、數學建模和數據分析。通過導數中的函數構造問題，引導學生運用邏輯推理能力，分析函數性質，構建合適的數學模型，培養(yǎng)數學建模素養(yǎng)。同時，在教學過程中，學生將學會運用數據分析的方法，對構造的函數進行求解、優(yōu)化和驗證，提高解決實際問題的能力。此外，注重培養(yǎng)學生的問題意識，激發(fā)創(chuàng)新思維，使學生在探索中發(fā)現數學規(guī)律，提升數學核心素養(yǎng)。這些目標與新教材的要求相符，有助于學生全面發(fā)展。三、學情分析本節(jié)課的教學對象為高二年級學生，經過之前的學習，他們在數學知識、能力和素質方面具備一定基礎。在知識層面，學生已掌握導數的概念、計算法則及應用，能運用導數分析函數的單調性。然而，對于構造函數解決實際問題的能力尚需加強。在能力方面，學生的邏輯推理能力和數學運算能力較強，但在問題發(fā)現、分析和解決方面存在一定局限性。在素質方面，學生具備一定的合作意識和探究精神，但自主學習能力有待提高。

學生在行為習慣方面，課堂參與度較高，但部分學生過于依賴教師引導，自主學習能力不足。這將對課程學習產生影響，特別是在構造函數問題中，學生可能難以獨立發(fā)現問題和解決問題。因此，在本節(jié)課的教學中，需關注學生的個體差異，充分調動學生的主觀能動性，引導他們通過自主探究、合作交流等方式，提升解決實際問題的能力。同時，結合課本內容，注重培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和實踐能力，使他們在掌握知識的同時，提高自身綜合素質。四、教學方法與策略本節(jié)課將采用講授與討論相結合的教學方法，輔以案例研究和項目導向學習。首先，通過講授法對導數中的函數構造問題進行梳理和講解，確保學生掌握基本理論知識。接著，設計小組討論環(huán)節(jié)，讓學生針對特定問題展開討論，促進知識內化。此外，結合課本案例，引導學生進行案例研究，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力。

在教學活動中，設計數學建模實驗，讓學生通過角色扮演、小組合作等方式，將理論知識應用于實際問題中。同時，利用數學軟件或教具輔助教學，增強學生對函數構造過程的理解。教學媒體方面，使用多媒體課件、網絡資源和實物模型等，豐富教學手段，提高學生的學習興趣和參與度。通過以上策略，激發(fā)學生的學習主動性，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新精神和實踐能力。五、教學過程設計1.導入新課（5分鐘）

目標：引起學生對導數中函數構造問題的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過程：

開場提問：“你們知道在實際問題中如何運用導數來構造函數嗎？這與我們的生活有什么關系？”

展示一些關于導數在實際問題中應用的圖片或視頻片段，讓學生初步感受導數的實際應用價值。

簡短介紹導數在函數構造中的基本概念和重要性，為接下來的學習打下基礎。

2.導數基礎知識講解（10分鐘）

目標：讓學生了解導數在函數構造中的基本概念、組成部分和原理。

過程：

講解導數在函數構造中的定義，包括其與函數單調性、極值等的關系。

詳細介紹導數在分析函數性質時的組成部分或功能，使用圖表或示意圖幫助學生理解。

3.導數中的函數構造問題案例分析（20分鐘）

目標：通過具體案例，讓學生深入了解導數在函數構造中的特性和重要性。

過程：

選擇幾個典型的導數在函數構造中的案例進行分析。

詳細介紹每個案例的背景、構造過程、求解方法及意義，讓學生全面了解導數在函數構造中的多樣性或復雜性。

引導學生思考這些案例對實際生活或學習的影響，以及如何應用導數解決實際問題。

小組討論：讓學生分組討論導數在函數構造中的未來發(fā)展或改進方向，并提出創(chuàng)新性的想法或建議。

4.學生小組討論（10分鐘）

目標：培養(yǎng)學生的合作能力和解決問題的能力。

過程：

將學生分成若干小組，每組選擇一個與導數在函數構造中相關的主題進行深入討論。

小組內討論該主題的現狀、挑戰(zhàn)以及可能的解決方案。

每組選出一名代表，準備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點評（15分鐘）

目標：鍛煉學生的表達能力，同時加深全班對導數在函數構造中的認識和理解。

過程：

各組代表依次上臺展示討論成果，包括主題的現狀、挑戰(zhàn)及解決方案。

其他學生和教師對展示內容進行提問和點評，促進互動交流。

教師總結各組的亮點和不足，并提出進一步的建議和改進方向。

6.課堂小結（5分鐘）

目標：回顧本節(jié)課的主要內容，強調導數在函數構造中的重要性。

過程：

簡要回顧本節(jié)課的學習內容，包括導數在函數構造的基本概念、案例分析等。

強調導數在現實生活或學習中的價值和作用，鼓勵學生進一步探索和應用導數。

布置課后作業(yè)：讓學生撰寫一篇關于導數在函數構造中的短文或報告，以鞏固學習效果。六、拓展與延伸1.拓展閱讀材料：

-《數學分析導論》中關于導數與函數構造的相關章節(jié)；

-《高中數學競賽解題策略與技巧》中涉及導數應用的問題；

-《數學建模與實驗》中關于利用導數解決實際問題的案例。

2.自主學習與探究：

-研究導數在其他數學分支（如微積分、優(yōu)化問題等）中的應用；

-探索導數在物理學、經濟學等領域的實際應用，例如運動物體的瞬時速度、邊際成本等；

-分析教材中提到的典型函數（如二次函數、指數函數、對數函數等）的導數性質，并探討其在實際問題中的應用；

-嘗試編寫一些涉及導數的數學題目，與同學互相交換解答，提高解題能力；

-利用數學軟件（如MATLAB、Mathematica等）進行導數相關的數值計算和圖像繪制，加深對導數概念的理解。

鼓勵學生在課后通過以上拓展閱讀材料和自主學習探究，進一步鞏固和深化對導數在函數構造中應用的理解，提高數學綜合運用能力。同時，注意將所學知識與現實生活相結合，培養(yǎng)解決實際問題的能力。通過這些拓展活動，激發(fā)學生的學習興趣，提升數學素養(yǎng)。七、課后作業(yè)1.利用導數證明函數的單調性：

證明函數f(x)=x^3-3x^2-9x+5在區(qū)間（-∞，1）上單調遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調遞增。

解答：

f'(x)=3x^2-6x-9

當x<1時，f'(x)>0，函數單調遞增；

當x>1時，f'(x)<0，函數單調遞減。

2.利用導數求解函數的極值：

求函數g(x)=x^4-4x^3+4x^2的極值，并說明極值類型。

解答：

g'(x)=4x^3-12x^2+8x

令g'(x)=0，得x=0，x=1，x=2

g''(x)=12x^2-24x+8

當x=0時，g''(0)=8>0，為局部極小值；

當x=1時，g''(1)=4>0，為局部極小值；

當x=2時，g''(2)=8>0，為局部極大值。

3.利用導數求解實際問題的最值：

某企業(yè)的生產成本函數為C(x)=0.1x^3+2x^2+100x，其中x為生產數量。求該企業(yè)生產成本的最小值。

解答：

C'(x)=0.3x^2+4x+100

令C'(x)=0，得x≈-41.5（舍去負數解）

當x>0時，C'(x)>0，C(x)單調遞增；

當x<0時，C'(x)<0，C(x)單調遞減。

因此，當x=0時，C(x)取得最小值，最小值為0。

4.構造函數解決實際問題時求臨界點：

一質點做直線運動，其位移s（單位：米）與時間t（單位：秒）的關系為s=t^3-6t^2+9t。求質點在哪個時刻速度為0，并說明此時質點的運動狀態(tài)。

解答：

v(t)=s'(t)=3t^2-12t+9

令v(t)=0，得t=1，t=3

當t=1時，v(t)=0，質點速度為0，可能處于靜止狀態(tài)或極值點；

當t=3時，v(t)=0，質點速度為0，可能處于靜止狀態(tài)或極值點。

5.構造函數求解實際問題的最大（?。┲担?/p>

某商品的需求量Q（單位：萬個）與價格P（單位：元/個）之間的關系為Q=30-2P+0.1P^2。求價格P在什么范圍內，企業(yè)的銷售收入R（單位：萬元）最大？

解答：

R=P*Q=P(30-2P+0.1P^2)

R'(P)=30-4P+0.2P^2

令R'(P)=0，得P≈10，P≈15

當P<10或P>15時，R'(P)<0，R(P)單調遞減；

當10<P<15時，R'(P)>0，R(P)單調遞增。

因此，當P=15時，R(P)取得最大值，最大值為R(15)=112.5萬元。八、板書設計①導數的定義及其在函數構造中的應用

-導數的概念

-導數的計算規(guī)則

-導數與函數的單調性

-導數與函數的極值和最值

②函數構造問題的案例分析

-實際問題背景

-構造函數的思路

-求解函數的導數

-分析函數的性質和特點

③函數構造問題的求解方法

-構造函數的步驟

-求導數的方法

-分析函數的性質

-應用函數解決實際問題

④函數構造問題的拓展與延伸

-導數在其他數學分支的應用

-導數在實際問題中的應用案例

-利用導數求解更復雜的問題

-函數構造問題的創(chuàng)新性思考教學評價與反饋1.課堂表現：學生在課堂上的參與度較高，對導數在函數構造中的基本概念和應用有較好的理解和掌握。學生能積極回答問題，提出自己的見解，展現出較強的邏輯推理能力。

2.小組討論成果展示：各小組在討論過程中能積極思考，提出創(chuàng)新性的想法和建議。在課堂展示環(huán)節(jié)，學生能清晰表達自己的觀點，展現出良好的溝通能力和團隊合作精神。

3.隨堂測試：通過隨堂測試，發(fā)現大部分學生對導數在函數構造中的應用有較好的掌握，但在一些細節(jié)問題上還需加強。測試結果顯示，學生對導數與函數單調性、極值和最值關系的理解較為深刻。

4.課后作業(yè)：從課后作業(yè)的完成情況來看，學生在利用導數求解函數的單調性、極