2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第七章 復(fù)數(shù) 7.3 復(fù)數(shù)的三角表示（1）教案 新人教A版必修第二冊(cè)

2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第七章復(fù)數(shù)7.3復(fù)數(shù)的三角表示（1）教案新人教A版必修第二冊(cè)主備人備課成員教材分析本節(jié)課為人教A版必修第二冊(cè)第七章第三節(jié)“復(fù)數(shù)的三角表示（1）”。學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)掌握了復(fù)數(shù)的基本概念和代數(shù)表示方法，本節(jié)課將引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的三角表示，即用角度來(lái)表示復(fù)數(shù)，進(jìn)一步深化對(duì)復(fù)數(shù)概念的理解。本節(jié)課的內(nèi)容與后續(xù)的三角函數(shù)、復(fù)數(shù)運(yùn)算等有著密切的聯(lián)系，是高中數(shù)學(xué)中重要的基礎(chǔ)概念。

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)包括：理解復(fù)數(shù)的三角表示的概念，掌握復(fù)數(shù)在極坐標(biāo)系下的表示方法，能夠進(jìn)行基本的復(fù)數(shù)三角表示的運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的三角表示的概念和表示方法，復(fù)數(shù)在極坐標(biāo)系下的運(yùn)算。

教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)數(shù)三角表示的運(yùn)算規(guī)則的理解和應(yīng)用。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課旨在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，主要包括邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀(guān)想象和數(shù)學(xué)建模。通過(guò)學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的三角表示，學(xué)生能夠培養(yǎng)邏輯推理能力，理解復(fù)數(shù)從代數(shù)表示到三角表示的轉(zhuǎn)化過(guò)程。在復(fù)數(shù)的三角表示運(yùn)算過(guò)程中，學(xué)生能夠提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，熟練掌握三角表示的運(yùn)算規(guī)則。同時(shí)，通過(guò)直觀(guān)想象，學(xué)生能夠?qū)?fù)數(shù)三角表示與幾何圖形相結(jié)合，形成直觀(guān)的認(rèn)識(shí)。最后，在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中，學(xué)生能夠運(yùn)用復(fù)數(shù)的三角表示解決實(shí)際問(wèn)題，提升解決實(shí)際問(wèn)題的能力。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的三角表示的概念和表示方法，復(fù)數(shù)在極坐標(biāo)系下的運(yùn)算。

難點(diǎn)：復(fù)數(shù)三角表示的運(yùn)算規(guī)則的理解和應(yīng)用。

解決辦法：

1.對(duì)于重點(diǎn)內(nèi)容，通過(guò)多媒體演示和實(shí)物模型輔助教學(xué)，讓學(xué)生直觀(guān)地理解復(fù)數(shù)的三角表示，并借助數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行實(shí)例操作，加深對(duì)概念和方法的理解。

2.對(duì)于難點(diǎn)，采用分步教學(xué)法，先從簡(jiǎn)單的三角表示運(yùn)算入手，逐步過(guò)渡到復(fù)雜的運(yùn)算問(wèn)題。同時(shí)，設(shè)計(jì)具有梯度的練習(xí)題，讓學(xué)生在實(shí)踐中掌握運(yùn)算規(guī)則。

3.課堂上組織小組討論，讓學(xué)生互相交流思路和解題方法，教師巡回指導(dǎo)，針對(duì)學(xué)生的不同困惑進(jìn)行針對(duì)性解答。

4.利用課后作業(yè)和輔導(dǎo)時(shí)間，對(duì)學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)，幫助其克服難點(diǎn)，提高學(xué)習(xí)效果。學(xué)具準(zhǔn)備Xxx課型新授課教法學(xué)法講授法課時(shí)第一課時(shí)師生互動(dòng)設(shè)計(jì)二次備課教學(xué)方法與手段教學(xué)方法：

1.問(wèn)題驅(qū)動(dòng)法：通過(guò)提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考復(fù)數(shù)三角表示的必要性，激發(fā)學(xué)生的探究欲望。

2.案例分析法：選取典型的實(shí)例，讓學(xué)生觀(guān)察、分析和總結(jié)復(fù)數(shù)三角表示的方法和規(guī)律。

3.合作學(xué)習(xí)法：組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，共同解決復(fù)數(shù)三角表示的運(yùn)算問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。

教學(xué)手段：

1.多媒體教學(xué)：利用PPT、動(dòng)畫(huà)等多媒體資源，生動(dòng)展示復(fù)數(shù)的三角表示，增強(qiáng)學(xué)生的直觀(guān)感受。

2.數(shù)學(xué)軟件輔助：運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行實(shí)例演示和操作，讓學(xué)生親身體驗(yàn)復(fù)數(shù)三角表示的運(yùn)用，提高學(xué)生的實(shí)踐能力。

3.在線(xiàn)教學(xué)平臺(tái)：利用在線(xiàn)教學(xué)平臺(tái)，發(fā)布預(yù)習(xí)資料、課堂講解、課后作業(yè)等，方便學(xué)生隨時(shí)隨地學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)效果。

4.實(shí)體模型：借助復(fù)數(shù)圓模型、極坐標(biāo)系模型等實(shí)體模型，讓學(xué)生直觀(guān)地理解復(fù)數(shù)三角表示的概念。

5.互動(dòng)式教學(xué)：通過(guò)課堂提問(wèn)、小組討論、搶答等互動(dòng)環(huán)節(jié)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高課堂氛圍。

6.個(gè)性化輔導(dǎo)：針對(duì)學(xué)生的不同需求，提供個(gè)性化的輔導(dǎo)資源和學(xué)習(xí)計(jì)劃，幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)難點(diǎn)。教學(xué)實(shí)施過(guò)程1.課前自主探索

教師活動(dòng)：

-發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：通過(guò)在線(xiàn)平臺(tái)或班級(jí)微信群，發(fā)布預(yù)習(xí)資料（如PPT、視頻、文檔等），明確預(yù)習(xí)目標(biāo)和要求。

-設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)問(wèn)題：圍繞復(fù)數(shù)三角表示課題，設(shè)計(jì)一系列具有啟發(fā)性和探究性的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生自主思考。

-監(jiān)控預(yù)習(xí)進(jìn)度：利用平臺(tái)功能或?qū)W生反饋，監(jiān)控學(xué)生的預(yù)習(xí)進(jìn)度，確保預(yù)習(xí)效果。

學(xué)生活動(dòng)：

-自主閱讀預(yù)習(xí)資料：按照預(yù)習(xí)要求，自主閱讀預(yù)習(xí)資料，理解復(fù)數(shù)三角表示的基本概念。

-思考預(yù)習(xí)問(wèn)題：針對(duì)預(yù)習(xí)問(wèn)題，進(jìn)行獨(dú)立思考，記錄自己的理解和疑問(wèn)。

-提交預(yù)習(xí)成果：將預(yù)習(xí)成果（如筆記、思維導(dǎo)圖、問(wèn)題等）提交至平臺(tái)或老師處。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：引導(dǎo)學(xué)生自主思考，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)能力。

-信息技術(shù)手段：利用在線(xiàn)平臺(tái)、微信群等，實(shí)現(xiàn)預(yù)習(xí)資源的共享和監(jiān)控。

作用與目的：

-幫助學(xué)生提前了解復(fù)數(shù)三角表示課題，為課堂學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

-培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和獨(dú)立思考能力。

2.課中強(qiáng)化技能

教師活動(dòng)：

-導(dǎo)入新課：通過(guò)故事、案例或視頻等方式，引出復(fù)數(shù)三角表示課題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

-講解知識(shí)點(diǎn)：詳細(xì)講解復(fù)數(shù)三角表示的基本概念和方法，結(jié)合實(shí)例幫助學(xué)生理解。

-組織課堂活動(dòng)：設(shè)計(jì)小組討論、實(shí)際操作等活動(dòng)，讓學(xué)生在實(shí)踐中掌握復(fù)數(shù)三角表示的運(yùn)用。

-解答疑問(wèn)：針對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的疑問(wèn)，進(jìn)行及時(shí)解答和指導(dǎo)。

學(xué)生活動(dòng)：

-聽(tīng)講并思考：認(rèn)真聽(tīng)講，積極思考老師提出的問(wèn)題。

-參與課堂活動(dòng)：積極參與小組討論、實(shí)際操作等活動(dòng)，體驗(yàn)復(fù)數(shù)三角表示的應(yīng)用。

-提問(wèn)與討論：針對(duì)不懂的問(wèn)題或新的想法，勇敢提問(wèn)并參與討論。

教學(xué)方法/手段/資源：

-講授法：通過(guò)詳細(xì)講解，幫助學(xué)生理解復(fù)數(shù)三角表示的基本概念。

-實(shí)踐活動(dòng)法：設(shè)計(jì)實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生在實(shí)踐中掌握復(fù)數(shù)三角表示的運(yùn)用。

-合作學(xué)習(xí)法：通過(guò)小組討論等活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和溝通能力。

作用與目的：

-幫助學(xué)生深入理解復(fù)數(shù)三角表示的基本概念和方法。

-通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和解決問(wèn)題的能力。

-通過(guò)合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和溝通能力。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動(dòng)：

-布置作業(yè)：根據(jù)復(fù)數(shù)三角表示課題，布置適量的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。

-提供拓展資源：提供與復(fù)數(shù)三角表示相關(guān)的拓展資源（如書(shū)籍、網(wǎng)站、視頻等），供學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

-反饋?zhàn)鳂I(yè)情況：及時(shí)批改作業(yè)，給予學(xué)生反饋和指導(dǎo)。

學(xué)生活動(dòng)：

-完成作業(yè)：認(rèn)真完成老師布置的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。

-拓展學(xué)習(xí)：利用老師提供的拓展資源，進(jìn)行進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和思考。

-反思總結(jié)：對(duì)自己的學(xué)習(xí)過(guò)程和成果進(jìn)行反思和總結(jié)，提出改進(jìn)建議。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：引導(dǎo)學(xué)生自主完成作業(yè)和拓展學(xué)習(xí)。

-反思總結(jié)法：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)過(guò)程和成果進(jìn)行反思和總結(jié)。

作用與目的：

-鞏固學(xué)生在課堂上學(xué)到的復(fù)數(shù)三角表示知識(shí)點(diǎn)和技能。

-通過(guò)拓展學(xué)習(xí)，拓寬學(xué)生的知識(shí)視野和思維方式。

-通過(guò)反思總結(jié)，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的不足并提出改進(jìn)建議，促進(jìn)自我提升。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

（1）復(fù)數(shù)三角表示在工程中的應(yīng)用：介紹復(fù)數(shù)三角表示在電路分析、信號(hào)處理等工程領(lǐng)域的應(yīng)用，幫助學(xué)生了解復(fù)數(shù)三角表示的實(shí)際意義。

（2）復(fù)數(shù)游戲：通過(guò)數(shù)學(xué)游戲的方式，讓學(xué)生在輕松愉快的氛圍中學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)三角表示，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（3）復(fù)數(shù)三角表示的數(shù)學(xué)史：介紹復(fù)數(shù)三角表示的起源和發(fā)展歷程，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)的演進(jìn)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的文化素養(yǎng)。

（4）復(fù)數(shù)三角表示的練習(xí)題庫(kù)：提供大量復(fù)數(shù)三角表示的練習(xí)題，涵蓋各種難度和類(lèi)型，幫助學(xué)生鞏固知識(shí)點(diǎn)。

2.拓展建議：

（1）讓學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源，查找復(fù)數(shù)三角表示在工程中的應(yīng)用案例，并進(jìn)行分析和總結(jié)，提高學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力。

（2）組織學(xué)生進(jìn)行復(fù)數(shù)游戲活動(dòng)，如復(fù)數(shù)接龍、復(fù)數(shù)猜謎等，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的動(dòng)手能力和思維能力。

（3）鼓勵(lì)學(xué)生閱讀關(guān)于復(fù)數(shù)三角表示的數(shù)學(xué)史資料，了解復(fù)數(shù)三角表示的起源和發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的歷史觀(guān)念和文化素養(yǎng)。

（4）建議學(xué)生利用課余時(shí)間，完成復(fù)數(shù)三角表示的練習(xí)題庫(kù)，檢測(cè)自己的學(xué)習(xí)效果，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。

（5）引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注復(fù)數(shù)三角表示的最新研究成果和學(xué)術(shù)動(dòng)態(tài)，拓寬學(xué)生的知識(shí)視野，提高學(xué)生的學(xué)術(shù)素養(yǎng)。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)課堂小結(jié)：

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的三角表示，主要包括復(fù)數(shù)在極坐標(biāo)系下的表示方法和復(fù)數(shù)的三角表示的運(yùn)算規(guī)則。通過(guò)學(xué)習(xí)，我們知道了復(fù)數(shù)可以用角度來(lái)表示，進(jìn)一步深化了對(duì)復(fù)數(shù)概念的理解。同時(shí)，我們也了解到了復(fù)數(shù)的三角表示在工程、數(shù)學(xué)史和實(shí)際應(yīng)用等方面的廣泛用途。

當(dāng)堂檢測(cè)：

1.選擇題：

（1）復(fù)數(shù)1的三角表示是（）。

A.1°

B.1rad

C.π°

D.πrad

（2）復(fù)數(shù)（3+4i）的三角表示是（）。

A.3+4i

B.3rad

C.4rad

D.5rad

2.填空題：

（1）復(fù)數(shù)1的三角表示是______。

（2）復(fù)數(shù)（3+4i）的模是______，輻角是______。

3.計(jì)算題：

（1）已知復(fù)數(shù)1的三角表示是1rad，求復(fù)數(shù)1的代數(shù)表示。

（2）已知復(fù)數(shù)（3+4i）的三角表示是3rad，求復(fù)數(shù)（3+4i）的代數(shù)表示。

4.應(yīng)用題：

（1）已知電路中有一個(gè)電阻R和電容C，復(fù)數(shù)表示為R+jωL，其中ω=2πf，f為頻率。求該電路的復(fù)數(shù)表示。

（2）某信號(hào)的復(fù)數(shù)表示為2∠30°，求該信號(hào)的振幅和頻率。

答案解析：

1.選擇題答案：

（1）B

（2）D

2.填空題答案：

（1）1

（2）5；30°

3.計(jì)算題答案：

（1）1

（2）3-4i

4.應(yīng)用題答案：

（1）R+jωL

（2）振幅為2，頻率為50Hz板書(shū)設(shè)計(jì)1.復(fù)數(shù)的三角表示的概念和表示方法

-復(fù)數(shù)的三角表示：復(fù)數(shù)可以用角度來(lái)表示，即復(fù)數(shù)z=a+bi可以表示為z=r∠θ（其中r為模，θ為輻角）

-復(fù)數(shù)的三角表示的運(yùn)算規(guī)則：復(fù)數(shù)的三角表示與代數(shù)表示之間的轉(zhuǎn)換，以及復(fù)數(shù)的三角表示的加減乘除運(yùn)算規(guī)則

2.復(fù)數(shù)在極坐標(biāo)系下的運(yùn)算

-復(fù)數(shù)在極坐標(biāo)系下的加法運(yùn)算：兩個(gè)復(fù)數(shù)相加，模相加，輻角相加

-復(fù)數(shù)在極坐標(biāo)系下的減法運(yùn)算：兩個(gè)復(fù)數(shù)相減，模相減，輻角相加

-復(fù)數(shù)在極坐標(biāo)系下的乘法運(yùn)算：兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，模相乘，輻角相加

-復(fù)數(shù)在極坐標(biāo)系下的除法運(yùn)算：兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，模相除，輻角相加

3.復(fù)數(shù)的三角表示的實(shí)際應(yīng)用

-復(fù)數(shù)在電路分析中的應(yīng)用：復(fù)數(shù)可以用來(lái)表示電路中的電阻、電容和電感等元件，便于進(jìn)行電路分析

-復(fù)數(shù)在信號(hào)處理中的應(yīng)用：復(fù)數(shù)可以用來(lái)表示信號(hào)的幅度和相位信息，便于進(jìn)行信號(hào)處理重點(diǎn)題型整理1.復(fù)數(shù)的三角表示與代數(shù)表示的轉(zhuǎn)換

（1）已知復(fù)數(shù)z=3+4i的代數(shù)表示，求其三角表示。

解：復(fù)數(shù)z=3+4i的模r=√(3^2+4^2)=5，輻角θ=arctan(4/3)=45°。所以，復(fù)數(shù)z=3+4i的三角表示為z=5∠45°。

（2）已知復(fù)數(shù)z=3∠60°的三角表示，求其代數(shù)表示。

解：復(fù)數(shù)z=3∠60°的模r=|3|=3，輻角θ=60°。所以，復(fù)數(shù)z=3∠60°的代數(shù)表示為z=3+0i。

2.復(fù)數(shù)的三角表示的加減運(yùn)算

（1）已知復(fù)數(shù)z1=2∠30°和z2=3∠45°，求z1+z2和z1-z2。

解：復(fù)數(shù)z1和z2的模分別為r1=√2，r2=√3，輻角分別為θ1=30°，θ2=45°。

z1+z2的模r=r1+r2=√2+√3，輻角θ=θ1+θ2=30°+45°=75°。

z1-z2的模r=r1-r2=√2-√3，輻角θ=θ1-θ2=30°-45°=15°。

所以，z1+z2=2√6∠75°，z1-z2=√6∠15°。

3.復(fù)數(shù)的三角表示的乘除運(yùn)算

（1）已知復(fù)數(shù)z1=2∠30°和z2=3∠45°，求z1*z2和z1/z2。

解：復(fù)數(shù)z1和z2的模分別為r1=√2，r2=√3，輻角分別為θ1=30°，θ2=45°。

z1*z2的模r=r1*r2=2*√3=√6，輻角θ=θ1+θ2=30°+45°=75°。

z1/z2的模r=r1/r2=√2/√3=√6/3，輻角θ=θ1-θ2=30°-45°=15°。

所以，z1*z2=2√6∠75°，z1/z2=√6∠15°。

4.復(fù)數(shù)三角表示的實(shí)際應(yīng)用

（1）已知信號(hào)的復(fù)數(shù)表示為2∠45°，求該信號(hào)的振幅和頻率。

解：信號(hào)的振幅為|2|=2，頻率為ω=tan(θ/2)=tan(45°/2)=√2。

（2）已知電路中有一個(gè)電阻R和電容C，復(fù)數(shù)表示為R+jωL，其中ω=2πf，f為頻率。求該電路的復(fù)數(shù)表示。

解：電路的復(fù)數(shù)表示為R+jωL，其中模r=√(R^2+(ωL)^2)，輻角θ=arctan(ωL/R)。

5.復(fù)數(shù)的三角表示的綜合應(yīng)用

（1）已知復(fù)數(shù)z1=2∠30°和z2=3∠45°，求復(fù)數(shù)z1*z2和z1/z2。

解：復(fù)數(shù)z1和z2的模分別為r1=√2，r2=√3，輻角分別為θ1=30°，θ2=45°。

z1*z2的模r=r1*r2=2*√3=√6，輻角θ=θ1+θ2=30°+45°=75°。

z1/z2的模r=r1/r2=√2/√3=√6/3，輻角θ=θ1-θ2=30°-45°=15°。

所以，z1*z2=2√6∠75°，z1/z2=√6∠15°。反思改進(jìn)措施（一）教學(xué)特色創(chuàng)新

1.引入實(shí)際應(yīng)用案例：在教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)引入復(fù)數(shù)在電路分析、信號(hào)處理等領(lǐng)域的實(shí)際應(yīng)用案例，幫助學(xué)生更好地理解復(fù)數(shù)的三角表示，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性。

2.利用信息技術(shù)手段：充分利用多媒體教學(xué)資源，如PPT、動(dòng)畫(huà)等，形象生動(dòng)地展示復(fù)數(shù)的三角表示，提高學(xué)生的直觀(guān)感受，增強(qiáng)教學(xué)效果。

3.組織小組合作學(xué)習(xí)：通過(guò)小組合作學(xué)習(xí)的方式，讓學(xué)生在小組內(nèi)共同探討復(fù)數(shù)的三角表示，互相交流學(xué)習(xí)心得，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)和溝通能力。

（二）存在主要問(wèn)題

1.學(xué)生基礎(chǔ)差異較大：在教學(xué)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)的基本概念掌握不夠牢固，導(dǎo)致學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的三角表示時(shí)感到困難。

2.教學(xué)方法單一：在教學(xué)過(guò)程中