2021屆北京市第四中學(xué)高三下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題解析版

2021屆北京市第四中學(xué)高三下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求解集合，再求集合的交集即可.【詳解】因為，所以，又集合，所以，故選：B.2．已知復(fù)數(shù)滿足，則A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)，則，由已知有，所以，解得，即，選D.3．設(shè)為等差數(shù)列，，為其前項和，若，則公差A(yù)．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】A【分析】由題意結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項和的定義求解公差即可.【詳解】由題意可得：，則，等差數(shù)列的公差.本題選擇A選項.【點睛】本題主要考查數(shù)列的前n項和與通項公式的關(guān)系，等差數(shù)列公差的計算等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.4．函數(shù)的圖象是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，結(jié)合此時，得到函數(shù)圖像；【詳解】由函數(shù)解析知，，函數(shù)為偶函數(shù)，且時，，則，觀察選項知，A正確，BCD錯誤；故選：A5．已知向量，，則向量與的夾角為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求解向量，再根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)公式求解即可.【詳解】因為，，設(shè)，所以，解得，所以，設(shè)向量與的夾角為，所以，又因為，所以，故選：D.6．從0，2中選一個數(shù)字，從1，3，5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這個數(shù)是奇數(shù)的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先計算全部無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)情況和奇數(shù)的情況，再利用古典概型公式計算概率即可.【詳解】先計算全部無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)情況：若選2，則有個，若選0，則有個，所以共有個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).再計算奇數(shù)的情況：若選0，則有個奇數(shù)，若選2，則有個，所以共有個，奇數(shù)的概率為.故選：B7．已知函數(shù)若函數(shù)存在零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】在同一坐標(biāo)系中，作出指數(shù)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)存在零點，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【詳解】如圖所示：指數(shù)函數(shù)，沒有零點，有唯一的零點，所以若函數(shù)存在零點，須有零點，即，所以，故選：B.【點睛】本題主要考查函數(shù)的零點，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于基礎(chǔ)題.8．已知實數(shù),，則“”是“”的（）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用基本不等式和充分，必要條件的判斷方法判斷.【詳解】且，，等號成立的條件是，又，，等號成立的條件是,，反過來，當(dāng)時，此時，但，不成立，“”是“”的充分不必要條件.故選:C【點睛】本題考查基本不等式和充分非必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題型.9．科赫曲線是一種外形像雪花的幾何曲線，一段科赫曲線可以通過下列操作步驟構(gòu)造得到，任畫一條線段，然后把它均分成三等分，以中間一段為邊向外作正三角形，并把中間一段去掉，這樣，原來的一條線段就變成了4條小線段構(gòu)成的折線，稱為“一次構(gòu)造”；用同樣的方法把每條小線段重復(fù)上述步驟，得到16條更小的線段構(gòu)成的折線，稱為“二次構(gòu)造”，…，如此進行“次構(gòu)造”，就可以得到一條科赫曲線.若要在構(gòu)造過程中使得到的折線的長度達(dá)到初始線段的1000倍，則至少需要通過構(gòu)造的次數(shù)是（）.（取，）A．16 B．17 C．24 D．25【答案】D【分析】由折線長度變化規(guī)律可知“次構(gòu)造”后的折線長度為，由此得到，利用運算法則可知，由此計算得到結(jié)果.【詳解】記初始線段長度為，則“一次構(gòu)造”后的折線長度為，“二次構(gòu)造”后的折線長度為，以此類推，“次構(gòu)造”后的折線長度為，若得到的折線長度為初始線段長度的倍，則，即，，即，至少需要次構(gòu)造.故選：.【點睛】本題考查數(shù)列新定義運算的問題，涉及到對數(shù)運算法則的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造原則得到每次構(gòu)造后所得折線長度成等比數(shù)列的特點.10．袋中裝有偶數(shù)個球，其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個空盒.每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球，就將另一個球放入乙盒，否則就放入丙盒.重復(fù)上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B．乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多C．乙盒中紅球不多于丙盒中紅球 D．乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多【答案】B【詳解】試題分析：若乙盒中放入的是紅球，則須保證抽到的兩個均是紅球；若乙盒中放入的是黑球，則須保證抽到的兩個球是一紅一黑，且紅球放入甲盒；若丙盒中放入的是紅球，則須保證抽到的兩個球是一紅一黑：且黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，則須保證抽到的兩個球都是黑球.由于抽到兩個紅球的次數(shù)與抽到兩個黑球的次數(shù)應(yīng)是相等的，故乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多，選B.【解析】概率統(tǒng)計分析【名師點睛】本題創(chuàng)新味十足，是能力立意的好題.如果所求事件對應(yīng)的基本事件有多種可能，那么一般我們通過逐一列舉計數(shù)，再求概率，此題即是如此.列舉的關(guān)鍵是要有序(有規(guī)律)，從而確保不重不漏.另外注意對立事件概率公式的應(yīng)用.二、填空題11．在二項式的展開式中，常數(shù)項為______．【答案】160【分析】求得二項展開式的通項，令，求得，代入即可求解.【詳解】由題意，二項式的展開式的通項為，令，可得，代入可得，所以展開式的常數(shù)項為.故答案為：.12．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值為____________.【答案】【分析】由圖可得的周期、振幅，即可得，再將代入可解得，進一步求得解析式及.【詳解】由圖可得，，所以，即，又，即，，又，故，所以，.故答案為：【點睛】本題考查由圖象求解析式及函數(shù)值，考查學(xué)生識圖、計算等能力，是一道中檔題.13．某三棱錐的三視圖如圖所示(網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1)，則該三棱錐的體積為___________.【答案】【分析】首先根據(jù)三視圖得到直觀圖，再求體積即可.【詳解】由三視圖可知：在棱長為2的正方體中，對應(yīng)的幾何體為，.故答案為：14．能說明“直線與圓有兩個不同的交點”是真命題的一個m的值為___________.【答案】0（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意得到，再解不等式即可得到答案.【詳解】因為圓，所以，圓心，半徑.因為直線與圓有兩個不同的交點，所以，解得.所以命題為真的一個的值為0（答案不唯一).故答案為：0（答案不唯一）.15．笛卡爾?牛頓都研究過方程，關(guān)于這個方程的曲線有下列說法：①該曲線關(guān)于y軸對稱；②該曲線關(guān)于原點對稱；③該曲線不經(jīng)過第三象限；④該曲線上有且只有三個點的橫?縱坐標(biāo)都是整數(shù).其中不正確的是___________.【答案】①②④【分析】將點，得到的方程是否與原方程一樣，進而可判斷①②，根據(jù)第三象限的取值判斷③，求曲線的點的坐標(biāo)，判斷④.【詳解】因為滿足方程，則將點代入方程有，原方程不成立，所以該曲線不關(guān)于y軸對稱；將點代入方程有，原方程不成立，所以該曲線不關(guān)于原點對稱；當(dāng)時，，所以方程不可能成立，所以該曲線不經(jīng)過第三象限；令易得即滿足題意，同理可得符合題意，所以該曲線上有且只有三個點的橫?縱坐標(biāo)都是整數(shù)是錯誤的；故答案為：①②④.三、解答題16．已知滿足___________，且，，求的值及面積.從①②③這三個條件中選一個，補充上面的問題中，并完成解答.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】選①，，；選②，不存在，故無解；選③，，.【分析】若選①，首先根據(jù)得到，利用正弦定理得到，再利用面積公式求解面積即可；若選②，根據(jù)，，，即可判斷此時不存在，故無解；若選③，首先根據(jù)，從而得到，根據(jù)得到，利用正弦定理得到，再利用面積公式求解面積即可.【詳解】若選①，，因為，所以.若選②，因為，，，所以，此時，不存在，故無解.若選③，，因為，所以，即.所以，因為，所以.17．如圖，已知梯形中，，，，四邊形為矩形，，面平面.

（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）若點P在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.【答案】（1）證明見詳解；（2）；（3）；【分析】（1）利用線面平行的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求解兩個平面的法向量，再根據(jù)公式求解即可；（3）設(shè)，則，根據(jù)直線與平面所成角的正弦值為列出方程求解，最后求出線段的長.【詳解】（1）如圖，設(shè)對角線與相交于點，取線段中點，連接,因為點為中點，所以,由題意，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以,又面，面,所以平面,即平面；（2）因為四邊形為矩形，面平面，所以平面,在平面內(nèi)過作一條線垂直于，并以此作為軸，以，分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以,設(shè)面的法向量為，面的法向量為，因為，不妨取，則，所以，因為，不妨取，則，，所以，設(shè)二面角的平面角為，所以，由圖可知：二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值為；（3）因為點P在線段上，所以設(shè),,又因為面的法向量為，所以整理得，又因為，解得，此時，所以綜上：線段時，直線與平面所成角的正弦值為.18．某貧困縣在政府“精準(zhǔn)扶貧”的政策指引下，充分利用自身資源，大力發(fā)展養(yǎng)茶業(yè).該縣農(nóng)科所為了對比A，B兩種不同品種茶葉的產(chǎn)量，在試驗田上分別種植了A，B兩種茶葉各20畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)(單位：千克)如下：A：41.3，47.3，48.1，49.2，51.2，51.3，52.7，53.3，54.2，55.3，56.4，57.6，58.9，59.3，59.6，59.7，60.6，60.7，61.1，62.2；B：46.3，48.2，48.3，48.9，49.2，50.1，50.2，50.3，50.7，51.5，52.3，52.5，52.6，52.7，53.4，54.9，55.6，56.7，56.9，58.7；（1）從A，B兩種茶葉畝產(chǎn)數(shù)據(jù)中各任取1個，求這兩個數(shù)據(jù)都不低于55的概率；（2）從B品種茶葉的畝產(chǎn)數(shù)據(jù)中任取2個，記這兩個數(shù)據(jù)中不低于55的個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為選擇該縣應(yīng)種植茶葉A還是茶葉B？請說明理由.【答案】（1）；（2）分布列見解析，；（3）選擇種植茶葉A，理由見解析.【分析】（1）從種茶葉畝產(chǎn)數(shù)據(jù)中任取一個，不低于55的有11個，從種茶葉畝產(chǎn)數(shù)據(jù)中任取一個，不低于55的有4個，由此能求出這兩個數(shù)據(jù)都不低于55的概率；（2）的所有可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列和；（3）從的畝產(chǎn)數(shù)據(jù)的平均值比高，所以選擇種植茶葉.【詳解】（1）從種茶葉畝產(chǎn)數(shù)據(jù)中任取一個，不低于55的有11個，從種茶葉畝產(chǎn)數(shù)據(jù)中任取一個，不低于55的有4個，設(shè)“所取兩個數(shù)據(jù)都不低于55”為事件，則．（2）的所有可能取值為0，1，2，，，，的分布列為：012期望．（3）由題得，所以種茶葉的平均畝產(chǎn)量比種茶葉的平均畝產(chǎn)量高，所以選擇種茶葉.19．已知橢圓的左、右焦點分別為、，且，橢圓經(jīng)過點.（1）求橢圓的方程；（2）直線過橢圓右頂點，交橢圓于另一點，點在直線上，且.若，求直線的斜率．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用橢圓的定義可求得的值，利用可求得的值，進而可求得橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為，將該直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出點的坐標(biāo)，由題中條件求出點的坐標(biāo)，由得出，據(jù)此計算出實數(shù)的值，進而可求得直線的斜率.【詳解】（1）易知點，由橢圓的定義得，，，因此，橢圓的方程為；（2）由題意可知，直線的斜率存在，且斜率不為零，設(shè)直線的方程為，設(shè)點，聯(lián)立，消去得，則，，所以，點的坐標(biāo)為，，則，可得，所以，點的坐標(biāo)為，，則，，，所以，，解得，因此，直線的斜率為.【點睛】本題考查橢圓方程的求解，同時也考查了利用直線垂直求直線的斜率，考查計算能力，屬于中等題.20．已知函數(shù)()，().（1）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時，過上一點作的切線，判斷：可以作出多少條切線，并說明理由.【答案】（1）.（2）2條切線，理由見解析【分析】（1）把轉(zhuǎn)化為：，要使得恒成立，即滿足的最小值大于0.（2）設(shè)切點，則，對方程化簡，判斷的個數(shù)即可，得出切線的條數(shù).【詳解】（1）令()所以令，解得.當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：-0+減極小值增所以在的最小值為令，解得.所以當(dāng)時，恒成立，即恒成立.（2）可作出2條切線.理由如下：當(dāng)時，.設(shè)過點的直線與相切于點，則即整理得令，則在上的零點個數(shù)與切點的個數(shù)一一對應(yīng).，令解得.當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：-0+減極小值增所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.且所以在和上各有一個零點，即有兩個不同的解.所以過點可作出的2條切線.【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題及切線的問題，考查了邏輯思維能力，屬于中檔題目.21．已知項數(shù)為的數(shù)列滿足如下條件：①；②若數(shù)列滿足其中則稱為的“伴隨數(shù)列”.（I）數(shù)列是否存在“伴隨數(shù)列”，若存在，寫出其“伴隨數(shù)列”；若不存在，請說明理由；（II）若為的“伴隨數(shù)列”，證明：；（III）已知數(shù)列存在“伴隨數(shù)列”且求的