西藏拉薩市那曲二高2025屆高三數(shù)學上學期第一次月考試題理含解析

PAGE17-西藏拉薩市那曲二高2025屆高三數(shù)學上學期第一次月考試題理（含解析）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解不等式,再由交集的定義求解即可.【詳解】由題,,解得,則,所以,故選:B【點睛】本題考查集合的交集運算,屬于基礎題.2.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解不等式和,再由并集的定義求解即可.【詳解】由題,,解得,即；,解得,則,所以,故選:D【點睛】本題考查集合的并集運算,考查解一元二次不等式.3.已知集合，，則中有幾個元素（）A.1 B.2 C.3 D.【答案】B【解析】【分析】集合表示橢圓上的點的集合,集合表示直線上的點的集合,則表示橢圓與直線的交點的集合,即將問題轉化為橢圓與直線的交點個數(shù),聯(lián)立求解即可.【詳解】由題,聯(lián)立,消去得,則,即橢圓與直線有兩個交點,所以中有2個元素,故選:B【點睛】本題考查集合的交集運算,考查橢圓與直線的位置關系的判定,考查轉化思想.4.（）A.i B.1 C.0 D.【答案】B【解析】【分析】先將整理為形式,再求模即可.【詳解】由題,,所以,故選:B【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算,考查復數(shù)的模.5.已知定義在R上的奇函數(shù)滿意且當時，則（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由可知是周期為3的函數(shù),再由是定義在上的奇函數(shù),可得,則,即可將代入解析式求解.【詳解】由題,因為,所以的周期為3,則,又因為是定義在上的奇函數(shù),所以,即,故選:B【點睛】本題考查利用函數(shù)的周期性和奇偶性求函數(shù)值,屬于基礎題.6.已知冪函數(shù)，且過則（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先將代入中解得,再將代入求解即可.【詳解】由題,因為過,所以,則,所以,則,故選:D【點睛】本題考查求函數(shù)值,考查冪函數(shù)的解析式的應用.7.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先將轉換為同為2為底的指數(shù)，，可以轉換為指數(shù)相同．所以．【詳解】因為，，所以，故選A．【點睛】1.比較冪值大小時，要留意區(qū)分底數(shù)相同還是指數(shù)相同．是用指數(shù)函數(shù)的單調性，還是用冪函數(shù)的單調性或指數(shù)函數(shù)的圖象解決．要留意圖象的應用，還應留意中間量0、1等的運用．2.指數(shù)函數(shù)的圖象在第一象限內底大圖高(逆時針方向底數(shù)依次變大)．當冪的底數(shù)不確定時，要留意探討底數(shù)的不同取值狀況.3.依據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象推斷底數(shù)大小的問題，可以通過直線x＝1與圖象的交點進行推斷．如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關系為c＞d＞1＞a＞b.規(guī)律：在y軸右(左)側圖象越高(低)，其底數(shù)越大．屬于較易題目．8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，當輸入的的值為4時，輸出的的值為2，則空白推斷框中的條件可能為（）.A. B.C. D.【答案】B【解析】方法一：當x=4,輸出y=2,則由y=log2x輸出，須要x>4，本題選擇B選項.方法二：若空白推斷框中的條件x>3，輸入x=4，滿意4>3，輸出y=4+2=6，不滿意，故A錯誤，若空白推斷框中的條件x>4,輸入x=4,滿意4=4,不滿意x>3,輸出y=y=log24=2，故B正確；若空白推斷框中的條件x?4，輸入x=4，滿意4=4，滿意x?4，輸出y=4+2=6，不滿意，故C錯誤，若空白推斷框中的條件x?5，輸入x=4，滿意4?5，滿意x?5，輸出y=4+2=6，不滿意，故D錯誤，本題選擇B選項.9.若，且，則的最小值為（）A.6 B.2 C.1 D.【答案】B【解析】可行域如圖，直線過點（1,1）時取最小值為2，選B.點睛：線性規(guī)劃的實質是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結合的思想.須要留意的是：一，精確無誤地作出可行域；二，畫目標函數(shù)所對應的直線時，要留意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避開出錯；三，一般狀況下，目標函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得.10.設，，．若，則實數(shù)的值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知得，因為，則，因此，解得，故選A．考點：平面對量數(shù)量積．11.寫出的極坐標方程（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用求解即可.【詳解】由題,因為,且,所以其極坐標方程為,即,故選:C【點睛】本題考查直角坐標方程與極坐標方程的轉化,屬于基礎題.12.函數(shù)的部分圖像大致為A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知，函數(shù)為奇函數(shù)，故解除B；當時，，故解除D；當時，，故解除A．故選C．點睛:函數(shù)圖像問題首先關注定義域，從圖像的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性，依據(jù)函數(shù)的奇偶性解除部分選擇項，從圖像的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值，利用特值檢驗，較難的須要探討單調性、極值等，從圖像的走向趨勢，分析函數(shù)的單調性、周期性等．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上）.13.已知：且，則________.【答案】8【解析】分析】由的解析式先推斷的奇偶性,再利用函數(shù)的奇偶性求解即可.【詳解】由題,明顯,因為,所以,則為偶函數(shù),所以,故答案為:8【點睛】本題考查求函數(shù)值,考查函數(shù)的奇偶性的應用.14.已知圓的參數(shù)方程為，則該圓的圓心是________.【答案】【解析】【分析】圓心為,半徑為的圓的參數(shù)方程為,則對應圓的參數(shù)方程即可得到結果.【詳解】因為圓心為,半徑為的圓的參數(shù)方程為,由題,圓的參數(shù)方程為,所以圓心為,故答案為:【點睛】本題考查圓的參數(shù)方程,屬于基礎題.15.若則________.【答案】2【解析】【分析】先求得,則,將代入求解即可.【詳解】由題,因為,所以,則,又,所以,即,故答案為:2【點睛】本題考查由分段函數(shù)求函數(shù)值,屬于基礎題.16.函數(shù)：有________個零點.【答案】1【解析】【分析】利用導函數(shù)推斷的單調性,可知為的微小值且,即可推斷零點個數(shù).【詳解】由題,,令,則,,所以在,上單調遞增,在上單調遞減,則的值域為,且為的微小值,因為,所以只有1個零點,故答案為:1【點睛】本題考查利用導函數(shù)推斷函數(shù)的單調性,考查函數(shù)的零點個數(shù)問題.三、解答題：（本大題共5小題，共60分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）17.已知是數(shù)列的前n項和，且.（Ⅰ）求證：是等差數(shù)列，并且求出的通項公式；（Ⅱ）若，則.【答案】（Ⅰ）證明見解析，；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）當時,,當時也符合,則可得,利用為常數(shù)即可證明；（Ⅱ）由題可得,利用裂項相消法求解即可.【詳解】（Ⅰ）證明:當時,,當時,,也符合,又,是一個常數(shù),故是等差數(shù)列,且；（Ⅱ）因,則【點睛】本題考查等差數(shù)列的證明,考查由與的關系求通項公式,考查裂項相消法求數(shù)列的和.18.已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24，16，16．現(xiàn)采納分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調查．（1）應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠足夠，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查．用X表示抽取的3人中睡眠足夠的員工人數(shù)，求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望.【答案】（1）3人，2人，2人；（2）分布列見解析，.【解析】【分析】(1)由甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之比為，利用分層抽樣的方法，即可求得從甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)；(2)由題意，隨機變量的全部可能取值為，求得相應的概率，得出其分布列，利用期望的公式，即可求解.【詳解】(1)由題意知，某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24，16，16，可得甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之比為，由于采納分層抽樣的方法從中抽取7人，所以應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．(2)隨機變量的全部可能取值為，則，所以，隨機變量的分布列為0123所以隨機變量的數(shù)學期望．【點睛】本題主要考查了分層抽樣的應用，以及離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望的求解，其中解答中仔細審題，精確得到隨機變量的可能取值，求得相應的概率是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的實力，屬于基礎題.19.如圖，三棱柱中，側棱底面，，，是棱的中點.（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）求平面與平面所成二面角的余弦值.【答案】（1）詳見解析；（2）【解析】試題分析：(1)首先由題意證得平面.然后結合面面垂直的推斷定理即可證得平面平面；(2)利用題意建立空間直角坐標系，結合平面對量的法向量可得平面與平面所成二面角的余弦值為.試題解析：（Ⅰ）因為側棱底面，所以，又因為，，所以平面，因為平面，所以，設，由，，是棱的中點.所以，，則，所以，因，所以平面.又因為平面，所以平面平面.（Ⅱ）如圖所示，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，不妨設，則，，，.明顯是平面一個法向量，設平面的法向量，由令，得平面的一個法向量，所以，即平面與平面所成二面角的余弦值為.點睛：利用平面的法向量求二面角的大小時，當求出兩半平面α，β的法向量n1，n2時，要依據(jù)向量坐標在圖形中視察法向量的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等，還是互補.20.已知橢圓的長半軸，其中離心率，（Ⅰ）求出該橢圓的方程；（Ⅱ）求該橢圓被直線所截的弦長.【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）由及可得,再利用解得,則分別探討焦點在軸與軸的狀況,即可得到結果；（Ⅱ）聯(lián)立直線與橢圓方程,由直線的對稱性,則所截弦長為,求解即可.【詳解】（Ⅰ）由題,因為,且,所以,則,當焦點在軸上時,橢圓的方程為；當焦點在軸上時,橢圓的方程為.（Ⅱ）由（Ⅰ）,當橢圓方程為時,聯(lián)立,消去可得,則,因為關于原點對稱,所以截得弦長為；當橢圓的方程為時,聯(lián)立,消去可得,則,因為關于原點對稱,所以截得弦長為.【點睛】本題考查由橢圓的幾何性質求橢圓方程,考查求弦長.21.已知函數(shù)（Ⅰ）探討它的單調性；（Ⅱ）求出該函數(shù)的極值.【答案】（Ⅰ）在上遞減；（Ⅱ）不存在極值【解析】【分析】（Ⅰ）求導可得,設,由可知恒成立,即恒成立,即可推斷的單調性；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知單調遞減,則可知不存在極值.【詳解】解:（Ⅰ）因為,則,所以,設,因為,所以,所以,則在上單調遞減；（Ⅱ）由（Ⅰ）,因為在上單調遞減,所以不存在極值.【點睛】本題考查利用導函數(shù)推斷函數(shù)的單調性,考查利用導函數(shù)求極值.請考生在22、23、題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計分，作答時請寫清題號.22.在平面直角坐標系中，參數(shù)方程為（為參數(shù)），過點且傾斜角為的直線與交于兩點．（1）求的取值范圍；（2）求中點的軌跡的參數(shù)方程．【答案】（1）（2）為參數(shù)，【解析】分析：（1）由圓與直線相交，圓心到直線距離可得．（2）聯(lián)立方程，由根與系數(shù)的關系求解詳解：（1）的直角坐標方程為．當時，與交于兩點．當時，記，則的方程為．與交于兩點當且僅當，解得或，即或．綜上，的取值范圍是．（2）的參數(shù)方程為