模型06 三角形-8字模型-解析版

三角形模型（六）——8字模型◎結論：如圖，AC與BD相交于點O，則∠A+∠B=∠C+∠D.【證明】在△ABO中，∠A+∠B+∠1=180°在△CDO中，∠C+∠D+∠2=180°，∵∠1=∠2,∴∠A+∠B=∠C+∠D.1：若BP，DP分別是∠ABC，∠ADC的平分線，則∠P=（∠A＋∠C）.2：若∠CBP=∠ABC,∠CDP=∠ADC，則∠P=∠A+∠C3：AB+BC+CD+AD＞AC+BD1．（2022·全國·八年級課時練習）如圖，AB和CD相交于點O，∠A＝∠C，則下列結論中不能完全確定正確的是（

）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D【答案】D【分析】利用三角形的外角性質，對頂角相等逐一判斷即可．【詳解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∴∠2＞∠D，故選項A，B，C正確，故選D．【點睛】本題考查了對頂角的性質，三角形外角的性質，熟練掌握并運用兩條性質是解題的關鍵．2．（2022·全國·八年級課時練習）如圖，∠1=60°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（）A．240° B．280° C．360° D．540°【答案】A【分析】根據三角形內角和定理得到∠B與∠C的和，然后在五星中求得∠1與另外四個角的和，加在一起即可．【詳解】解：由三角形外角的性質得：∠3=∠A+∠E，∠2=∠F+∠D，∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°，∴∠2+∠3=120°，即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°，∵∠B+∠C=120°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．故選A．【點睛】本題考查了三角形的外角和三角形的內角和的相關知識，解決本題的關鍵是將題目中的六個角分成兩部分來分別求出來，然后再加在一起．3．（2022·天津市匯文中學八年級階段練習）如圖是由線段AB，CD，DF，BF，CA組成的平面圖形，，則的度數為A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵如圖可知，，又∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，故選．點睛：本題主要考查了三角形內角和定理即三角形外角與內角的關系，解答本題的關鍵是求出∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D=180°，此題難度不大．1．（2022·全國·八年級課時練習）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度數為__．【答案】1080°【分析】連KF，GI，根據n邊形的內角和定理得到7邊形ABCDEFK的內角和＝（7－2）×180°＝900°，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形內角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度數．【詳解】解：連KF，GI，如圖，∵7邊形ABCDEFK的內角和＝（7－2）×180°＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2），即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°．故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度數為1080°．故答案為：1080°．【點睛】本題考查了n邊形的內角和定理：n邊形的內角和為（n－2）×180°（n≥3的整數）．2．（2021·河北·中考真題）下圖是可調躺椅示意圖（數據如圖），與的交點為，且，，保持不變．為了舒適，需調整的大小，使，則圖中應___________（填“增加”或“減少”）___________度．【答案】

減少

10【分析】先通過作輔助線利用三角形外角的性質得到∠EDF與∠D、∠E、∠DCE之間的關系，進行計算即可判斷．【詳解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°，如圖，連接CF并延長，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，則∠EFD減少了10°，若只調整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此應將∠D減少10度；故答案為：①減少；②10．【點睛】本題考查了三角形外角的性質，同時涉及到了三角形的內角和與對頂角相等的知識；解決本題的關鍵是理解題意，讀懂圖形，找出圖形中各角之間的關系以及牢記公式建立等式求出所需的角，本題蘊含了數形結合的思想方法．3．（2022·全國·八年級專題練習）如圖，，，，，求和的度數．【答案】，【分析】由，可得，根據三角形外角性質可得，因為，即可求得的度數；根據三角形外角的性質可得，即可得的度數．【詳解】解：∵，∴，，∵，，，∴，，∴，∴．∴，．【點睛】本題考查全等三角形的性質，三角形外角的性質，采用了數形結合的思想方法．找到相應等量關系的角是解題的關鍵．4．（2022·全國·八年級）閱讀材料：如圖1，AB、CD交于點O，我們把△AOD和△BOC叫做對頂三角形．結論：若△AOD和△BOC是對頂三角形，則∠A+∠D＝∠B+∠C．結論應用舉例：如圖2：求五角星的五個內角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度數．解：連接CD，由對頂三角形的性質得：∠B+∠E＝∠1+∠2，在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°即五角星的五個內角之和為180°．解決問題：（1）如圖①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝；（2）如圖②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝；（3）如圖③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝；（4）如圖④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝；請你從圖③或圖④中任選一個，寫出你的計算過程．【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；過程見解析【分析】（1）連接CD，由對頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四邊形的內角和定理得出結論；（2）連接ED，由對頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五邊形的內角和定理得出結論；（3）連接BH、DE，由對頂角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根據五邊形的內角和定理得出結論；（4）連接ND、NE，由對頂角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六邊形的內角和定理得出結論．【詳解】解：（1）連接CD，由對頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°；（2）連接ED，由對頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°；（3）連接BH、DE，∵由對頂角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五邊形CDEFG的內角和＋△ABH的內角和＝540°＋180°＝720°；（4）連接ND、NE，∵由對頂角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六邊形BCFGHM的內角和＋△AND的內角和＋△NDE的內角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°．故答案為：360°；540°；720°；1080°．【點睛】本題考查的是三角形內角和定理，根據題意作出輔助線，利用△AOD和△BOC叫做對頂三角形的性質及多邊形的內角和定理解答是解答此題的關鍵．1．（2022·江蘇·江陰市第一初級中學一模）如圖1，已知線段、相交于點O，連接、，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．試解答下列問題：(1)在圖1中，請直接寫出、、、之間的數量關系：________________；(2)如圖2，在圖1的條件下，和的平分線和相交于點P，并且與、分別相交于M、N．請直接利用（1）中的結論，完成下列各題：①仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數：___________個；②若，試求的度數；③若和為任意角，其他條件不變，試問與、之間是否存在一定的數量關系？若存在，請寫出推理過程；若不存在，請說明理由；④若和∠為任意角，，試問與、之間是否存在一定的數量關系？若存在，請直接寫出結論；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)①6②③存在（理由見解析）④存在，【分析】（1）根據三角形內角和定理以及對頂角相等可得出結論．（2）①分別找到以交點M、O、N為頂點的能構成“8字形”的三角形，避免漏數．②利用“8字形”的數量關系并結合角平分線的定義，可求出的度數．③和②同理④利用“8字形”的數量關系并結合“，”即可得出結論．(1)解：在中，在中，（對頂角相等）(2)①解：以M為交點的有1個，即為和以O為交點的有4個，即為和，和，和，和②解：AP平分，CP平分由（1）中的結論得：整理得：③解：理由如下：AP平分，CP平分由（1）中的結論得：整理得：④解：理由如下：由（1）中的結論得：整理得：【點睛】本題考查了三角形內角和定理、角平分線的定義，熟練利用“8字形”模型是解決本題的關鍵．2．（1）如圖①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數；（2）如圖②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度數；（3）如圖③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數．【答案】（1）360°；（2）720°；（3）540°【分析】（1）連接AD，根據三角形的內角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，進而將問題轉化為求四邊形ADEF的內角和，（2）與（1）方法相同轉化為求六邊形ABCDEF的內角和，（3）使用上述方法，轉化為求五邊形ABCDE的內角和．【詳解】解：（1）如圖①，連接AD，由三角形的內角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F即四邊形ADEF的內角和，四邊形的內角和為360°，∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°，（2）如圖②，由（1）方法可得：∠BAH＋∠B＋∠C＋