模型19 軸對稱-海盜埋寶模型-原卷版

軸對稱模型（十九）——海盜埋寶模型【結論】如圖，△ADC和△BEC是等腰直角三角形，A，B為直角頂點，F(xiàn)為DE的中點，連接FA，F(xiàn)B，則△FAB是等腰直角三角形.【特征】⑴兩等腰直角三角形⑵一組底角共頂點⑶另一組底角頂點相連取中點【證明】（方法一：倍長中線法）如圖，延長AF至點P使得FP=AF，連接PE，PB，延長PE交AC于點Q.在△DAF和△EPF中，DF=EF,∠DFA=∠EFP,AF=PF,∴△DAF≌△EPF(SAS)，∴DA=EP,∠DAF=∠EPF.∴DA∥EP.∴∠EQC＝∠DAQ＝90°.在四邊形EQCB中，∠EQC＋∠EBC＝90°＋90°＝180°，∴∠QEB＋∠QCB＝360°-180°=180°.又∵∠QEB＋∠PEB＝180°，∴∠QCB＝∠PEB.在△ACB和△PEB中，AC=PE,∠ACB＝∠PEB,BC=BE,∴△ACB≌△PEB(SAS).∴AB=PB，∠ABC＝∠PBE∴∠ABC＋∠ABE＝∠PBE＋∠ABE,即∠ABP＝∠CBE=90°.∴△ABP是等腰直角三角形.又∵F是AP的中點，∴BF⊥AP,BF=AF.∴△FAB是等腰直角三角形，F(xiàn)為直角頂點.（方法二∶構造手拉手模型）將△DAC沿AC對稱，得△PAC，將△EBC沿BC對稱，得△QBC，連接EP，DQ.易證△PCE≌△DCQ（手拉手模型），∴PE=DQ，PE⊥DQ（手拉手模型的結論）.∵AF是△DPE的中位線，BF是△DQE的中位線，∴AF＝PE，AF∥PE，BF＝DQ.BF∥DQ，∴AF=BF，AF⊥BF，∴△FAB是等腰直角三角形，F(xiàn)為直角頂點.1．（山東省萊城區(qū)（五四學制）2017-2018學年八年級上學期期末數(shù)學試題）如圖，兩個等腰和，點在上，，連接，取的中點，連接.求證：.1．（湖北省武漢市東湖新技術開發(fā)區(qū)2020-2021學年八年級下學期期中數(shù)學試題）某研究性學習小組在探究矩形的折紙問題時，將一塊直角三角板的直角項點繞矩形ABCD（AB＜BO）的對角線的交點O旋轉(zhuǎn)（圖①?圖②），圖中的M、N分別為直角三角形的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點．（1）如圖①，當三角板一直角邊與OD重合時，該學習小組成員意外的發(fā)現(xiàn)：BN2＝CD2+CN2，請你說明理由；（2）試探究圖②中BN、CN、CM、DM這四條線段之間的數(shù)量關系，寫出你的結論，并說明理由；（3）如圖③，若AD＝8，AB＝6，E為矩形外的一點，且AE⊥CE，F(xiàn)為AE的中點，O為AC的中點，取AO的中點G，連接BG，當F在線段BG上時，則BF的值為．1．（專題32圖形的變化（翻折與旋轉(zhuǎn)變換）-解答題專項訓練-備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學臨考題號押題（全國通用））如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，點D在邊AC上（不與點A，C重合），連接BD，點K為線段BD的中點，過點D作DE⊥AB于點E，連接CK，EK，CE．(1)如圖1，若α＝45°，則△ECK的形狀為．(2)在（1）的條件下，若將圖1中△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角小于90°），使得D，E，B三點共線，點K為線段BD的中點，如圖2所示．求證：BE﹣AE＝2CK．(3)若BC＝8，AC＝15，點D在邊AC上（不與點A，C重合），AD＝2CD，將線段AD繞點A旋轉(zhuǎn)，點K始終為BD的中點，則線段CK長度的最大值是多少？請直接寫出結果．2．（2019年遼寧省葫蘆島市綏中縣九年級一模數(shù)學試題）如圖，在中，∠AC8=90°，∠BAC=a，點D在邊AC上（不與點A、C重合）連接BD，點K為線段BD的中點，過點D作于點E，連結CK，EK，CE，將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角小于90度)(1)如圖1．若a=45，則的形狀為__________________；(2)在（1)的條件下，若將圖1中的三角形ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，使得D，E，B三點共線，點K為線段BD的中點，如圖2所示，求證：；(3)若三角形ADE繞點A旋轉(zhuǎn)至圖3位置時，使得D，E，B三點共線，點K仍為線段BD的中點，請你直接寫出BE，AE，CK三者之間的數(shù)量關系（用含a的三角函數(shù)表示）

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