2024年浙江省寧波市鄞州中學強基招生數學試題含答案

2024年浙江省寧波市鄞州中學強基招生數學試卷一、填空題：本題共10小題，每小題3分，共30分。1.若，且，則________.2.__________.3.已知正實數，，滿足，則的最小值為_________.4.已知函數，當時，有最大值5，則的值為__________.5.已知中，上的一點，，，則的最大值為_________.6.若點為線段中點，，且，，，，則_______.7.如圖，在中，，分別在，上，連結交于，若，，，，共線，的面積為11，則的面積為________.8.已知整數，，滿足，則的最小值為________.9.已知，，是大于1的正整數，且為整數，則_______.10.已知、為圓的兩條切線，連結交圓于點，若，，，則__________.二、解答題：本題共2小題，共16分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。11.（本小題8分）已知，矩形的，頂點分別在軸，軸上，反比例函數與矩形的，分別交于，，的面積為4.5.（1）判斷并證明直線與的關系.（2）求的值.（3）若，分別為直線和反比例函數上的動點，為中點，求的最小值.12.（本小題8分）如圖，在中，，是垂心，是外心，延長交于，于.（1）求證：.（2）證明：，，，四點共圓.（3）若，求.

答案和解析1.【答案】【解析】解：，，，，，是方程的兩個根，，.故答案為.根據觀察方程組的系數特點，可把方程組轉化成的形式，其中，是其兩個不等的實數根，利用根與系數的關系，得到結果.本題考查了解方程組，一元二次方程根與系數關系的應用.關鍵是觀察方程組的系數特點，得到，是方程的兩個根，得到結果.2.【答案】【解析】解：原式.故答案為：.將改寫為，改寫為，，再利用裂項相消法即可解決問題.本題主要考查了數字變化的規(guī)律，能將改寫為，改寫為，，及熟知裂項相消法是解題的關鍵.3.【答案】18【解析】解：構造圖示的三個直角三角形，即，，，滿足，，，，，，則由勾股定理可知，即同理可得，，所以可知當，，四點共線時，最小，即為長，當當，，，四點共線時，.在中.故答案為18.本題利用幾何法求解，通過構造圖示的三個直角三角形，即，，，則由勾股定理可知，即同理可得，，所以可知當，，，四點共線時，最小，即為長，本題主要考查二次根式最值問題，用幾何法構造直角三角形，結合最短路徑問題是解決問題的關鍵.4.【答案】1或7【解析】解：由題意，的對稱軸是直線，當時，.又當時，，當時，，①當最大值為，或（不合題意）；②當最大值為，或，均不合題意；③當最大值為，（不合題意）或.綜上，或7.故答案為：1或7.依據題意，由的對稱軸是直線，結合當時，，又當時，，當時，，進而分類討論即可判斷得解.本題主要考查了二次函數的性質、非負數的性質：絕對值、二次函數的最值，解題時要熟練掌握并能靈活運用二次函數的性質是關鍵.5.【答案】【解析】解：如圖，以為邊作等邊三角形，連接，過點作于，，設，則，，，點在以為半徑，為半徑的圓上運動，當與圓相切時，有最大值，此時：，是等邊三角形，，，，，又，，，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是矩形，，故答案為：.由題意可得點在以為半徑，為半徑的圓上運動，則當與圓相切時，有最大值，由“”可證，可得，可證四邊形是矩形，可得，即可求解.本題考查了四點共圓，圓的有關知識，全等三角形的判定和性質，矩形的判定和性質等知識，確定點的運動軌跡是解題的關鍵.6.【答案】3【解析】解：如圖，過作.延長交于.，，為線段中點，，在和中，，，，，面積，，，，，，，.故答案為：3.先畫出圖形，過作.延長交于.由，得，再證明，得，，由面積，得，，，，，最后再計算即可.本題考查了平行線的性質，利用中線倍長是解題關鍵.7.【答案】30【解析】解：梅涅勞斯定理：如圖，，證明：過作交延長線于點，則，，；塞瓦定理：如圖，，證明：根據上述梅涅勞斯定理，可得出，在中，是梅涅線，①在中，是梅涅線，②.根據梅涅勞斯定理，在中，是梅涅線，，，，，，根據塞瓦定理可得，，，而，，.故答案為：30.根據梅涅勞斯定理和塞瓦定理可得出和，從而得出，再利用即可得解.本題主要考查了相似三角形的判定和性質、三角形面積問題等內容，在初中競賽、自招、強基等題目中，梅涅勞斯定理和塞瓦定理是必須掌握的基礎內容.8.【答案】118【解析】解：，，，，，，即，故答案為：118.根據，得出，從而得出結論.本題考查了因式分解的應用，關鍵是掌握完全全平方公式和非負數的性質.9.【答案】12【解析】解：、、是大于1的正整數，，，是分數，，，為假分數，為整數，且分子分母能互相約分，，①當，時，分子中定有7，分母中有7才能進行約分，當時，，故符合題意，，②，時，分子中定有13，分母中有13才能進行約分，當時，不是整數，故不符合題意，③，時，分子中定有21，分母中有21才能進行約分，當時，不是整數，故不符合題意，其余情況依次討論均不符合題意故答案為：12.根據、、的條件和三個分數的乘積為整數，得出、、的值，進而求和.本題考查了分式的混合運算，關鍵是根據已知條件分類討論得到、、的值.10.【答案】【解析】解：連接，，，作，設，同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍，，，，是等邊三角形，，，，是的切線，，，，，，，，，，，同理可證：，得出：，，，，，是直徑，，，，，，，，，，，，.連接，，，作，設，證是等邊三角形，得出，證，，得出，得出是直徑，再解直角三角形，求出，即可.本題考查切線長定理，相似三角形的判定和性質，圓周角定理等知識.作輔助線構造相似三角形是解題的關鍵.11.【答案】解：（1）如圖1，，理由如下：由題意得，，，，，，，，，，，，；（2）如圖2，圖2作于，，，，，，（舍去），；（3）如圖2，取點，，則直線與直線關于對稱，連接，并延長交于，連接，則，是的中點，，當最小時，最小，作直線，交軸與，且使與雙曲線在第一象限的圖象相切，切點為，作于，作，則的最小值是的長，直線的解析式為：，設直線的解析式為：，由整理得，，，，（舍去），，，，，，，，，.【解析】（1）可表示出，，從而得出，，進而表示出和，進而得出，進而證得，從而，從而得出；（2）作于，可推出，從而，進一步得出結果；（3）取點，，則直線與直線關于對稱，連接，并延長交于，連接，則，可得出當最小時，最小，作直線，交軸與，且使與雙曲線在第一象限的圖象相切，切點為，作于，作，則的最小值是的長，可設直線的解析式為：，由整理得，，從而得出，求得的值，進一步得出結果.本題考查了求反比例函數和一次函數的解析式，函數圖象的交點與方程（組）之間的關系，三角形中位線的性質，解直角三角形等知識，解決問題的關鍵是作輔助線，構造三角形的中位線.12.【答案】解：（1）根據題意，以為圓心，為半徑作圓，延長交圓于點，延長交于點，連接，，，，是直徑，，，為垂心，，，，，，是平行四邊形，，，，，，設半徑為，，，又，；（2）為垂心，，，，，，，，，、、、四點共圓；（3）設，，，在直角中，，，，，，，在直角中，，即：，在直角中，，即：，，，在中，，即：，，或（舍去），.【解析】（1）由垂心，得到垂直關系，結合圓周角度數為，得到圓心角的度數，得到是平行四邊形，從而得到結果；（