高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義(新高考版)專題1第1講函數(shù)的圖象與性質(zhì)(學(xué)生版+解析)

專題一第1講函數(shù)的圖象與性質(zhì)【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)一函數(shù)的概念與表示1．復(fù)合函數(shù)的定義域(1)若f(x)的定義域?yàn)閇m，n]，則在f(g(x))中，m≤g(x)≤n，從中解得x的范圍即為f(g(x))的定義域．(2)若f(g(x))的定義域?yàn)閇m，n]，則由m≤x≤n確定的g(x)的范圍即為f(x)的定義域．2．分段函數(shù)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)值域的并集．【熱點(diǎn)突破】【典例1】(1)若函數(shù)f(x)＝log2(x－1)＋eq\r(2－x)，則函數(shù)f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))的定義域?yàn)?)A．(1,2]B．(2,4]C．[1,2)D．[2,4)(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≤0，,4x，x>0，))則滿足f(x)＋f(x－1)≥2的x的取值范圍是________．【拓展練習(xí)】(1)已知實(shí)數(shù)a<0，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2a，x<1，,－x，x≥1，))若f(1－a)≥f(1＋a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－2] B．[－2，－1]C．[－1,0) D．(－∞，0)(2)(多選)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果對任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，則稱函數(shù)f(x)為“H函數(shù)”．下列為“H函數(shù)”的是()A．y＝sinxcosx B．y＝lnx＋exC．y＝2x D．y＝x2－2x【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)二函數(shù)的性質(zhì)1．函數(shù)的奇偶性(1)定義：若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則有：f(x)是偶函數(shù)?f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；f(x)是奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x)．(2)判斷方法：定義法、圖象法、奇偶函數(shù)性質(zhì)法(如奇函數(shù)×奇函數(shù)是偶函數(shù))．2．函數(shù)單調(diào)性判斷方法：定義法、圖象法、導(dǎo)數(shù)法．3．函數(shù)圖象的對稱中心或?qū)ΨQ軸(1)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(a＋x)＝2b－f(a－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對稱．(2)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱．【熱點(diǎn)突破】考向1單調(diào)性與奇偶性【典例2】(1)(2020·新高考全國Ⅰ)若定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f(2)＝0，則滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是()A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3](2)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－πx))＋x＋e2,x2＋e2)的最大值為M，最小值為N，則(M＋N－1)2021的值為________．考向2奇偶性與周期性【典例3】(1)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＝f(x)，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))時(shí)，f(x)＝，則f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))內(nèi)是()A．減函數(shù)且f(x)>0 B．減函數(shù)且f(x)<0C．增函數(shù)且f(x)>0 D．增函數(shù)且f(x)<0(2)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，且x≥0時(shí)恒有f(x＋2)＝f(x)，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝ex－1，則f(2020)＋f(－2021)＝________.【拓展練習(xí)】(1)(2018·全國Ⅱ)已知f(x)是定義域?yàn)?－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于()A．－50B．0C．2D．50(2)(多選)關(guān)于函數(shù)f(x)＝x＋sinx，下列說法正確的是()A．f(x)是奇函數(shù)B．f(x)是周期函數(shù)C．f(x)有零點(diǎn)D．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞增【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)三函數(shù)的圖象1．作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點(diǎn)法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對稱變換．2．利用函數(shù)圖象可以判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，作圖時(shí)要準(zhǔn)確畫出圖象的特點(diǎn)．【熱點(diǎn)突破】考向1函數(shù)圖象的識別【典例4】(1)(2020·衡水模擬)函數(shù)f(x)＝x·ln|x|的圖象可能是()(2)已知某函數(shù)圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式可能是()A．f(x)＝eq\f(1－ex,1＋ex)·sinx B．f(x)＝eq\f(ex－1,ex＋1)·sinxC．f(x)＝eq\f(1－ex,1＋ex)·cosx D．f(x)＝eq\f(ex－1,ex＋1)·cosx考向2函數(shù)圖象的變換及應(yīng)用【典例5】(1)若函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝－f(x＋1)的圖象大致為()(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤0，,－x2－3x，x>0，))若不等式|f(x)|≥mx－2恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A．[3－2eq\r(2)，3＋2eq\r(2)] B．[0,3－2eq\r(2)]C．(3－2eq\r(2)，3＋2eq\r(2)) D．[0,3＋2eq\r(2)]【拓展練習(xí)3】(1)(2020·天津市大港第一中學(xué)模擬)函數(shù)y＝2|x|sin2x的圖象可能是()(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x，x≤0，,lnx＋1，x>0，))若存在x0∈R使得f(x0)≤ax0－1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(0，＋∞) B．[－3,0]C．(－∞，－3]∪[3，＋∞) D．(－∞，－3]∪(0，＋∞)專題突破一、單項(xiàng)選擇題1．函數(shù)y＝eq\f(\r(－x2＋2x＋3),lgx＋1)的定義域?yàn)?)A．(－1,3] B．(－1,0)∪(0,3]C．[－1,3] D．[－1,0)∪(0,3]2．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log21－x，x<0，,22x－1，x≥0，))則f(－3)＋f(log23)等于()A.eq\f(11,2)B.eq\f(13,2)C.eq\f(15,2)D．103．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(4x2,3|x|)，則函數(shù)f(x)的圖象大致為()4．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2|x－a|，x≤1，,x＋1，x>1，))若f(1)是f(x)的最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[－1,2) B．[－1,0]C．[1,2] D．[1，＋∞)5．(2020·撫順模擬)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，當(dāng)x∈[－1,0]時(shí)，f(x)＝－x－2，則()A．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,6)))>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6))) B．f(sin3)<f(cos3)C．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(4π,3)))<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(4π,3))) D．f(2020)>f(2019)6．定義新運(yùn)算：當(dāng)a≥b時(shí)，ab＝a；當(dāng)a<b時(shí)，ab＝b2.則函數(shù)f(x)＝(1x)x－(2x)，x∈[－2,2]的最大值為()A．－1B．1C．6D．127．(2020·全國Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，則f(x)()A．是偶函數(shù)，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))單調(diào)遞增B．是奇函數(shù)，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))單調(diào)遞增D．是奇函數(shù)，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))單調(diào)遞減8．已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)＝f(2－x)，若函數(shù)y＝|x2－2x－3|與y＝f(x)圖象的交點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則i等于()A．0B．mC．2mD．4m二、多項(xiàng)選擇題9．若函數(shù)f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)、奇函數(shù)，且滿足f(x)＋2g(x)＝ex，則()A．f(x)＝eq\f(ex＋e－x,2) B．g(x)＝eq\f(ex－e－x,2)C．f(－2)<g(－1) D．g(－1)<f(－3)10．(2020·福州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(3,2)x，x≥0，,x2－\f(3,2)x，x<0，))則()A．f(x)是偶函數(shù)B．f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增C．f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增D．若f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))≥f(1)，則－1≤a≤111．符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[3.14]＝3，[－1.6]＝－2，定義函數(shù)f(x)＝x－[x]，則下列命題正確的是()A．f(－0.8)＝0.2B．當(dāng)1≤x<2時(shí)，f(x)＝x－1C．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0,1)D．函數(shù)f(x)是增函數(shù)、奇函數(shù)12．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x＋1)是偶函數(shù)，f(x－1)是奇函數(shù)，則下列說法正確的是()A．f(7)＝0B．f(x)的一個(gè)周期為8C．f(x)圖象的一個(gè)對稱中心為(3,0)D．f(x)圖象的一條對稱軸為直線x＝2019三、填空題13．(2020·江蘇)已知y＝f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝，則f(－8)的值是________．14．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－eq\f(1,fx)，當(dāng)x∈(0,2]時(shí)，f(x)＝2x＋1，則f(2020)＋f(2021)的值為________．15．對于函數(shù)y＝f(x)，若存在x0使f(x0)＋f(－x0)＝0，則稱點(diǎn)(x0，f(x0))是曲線f(x)的“優(yōu)美點(diǎn)”．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x<0，,kx＋2，x≥0，))若曲線f(x)存在“優(yōu)美點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________________．16．(2020·全國Ⅲ)關(guān)于函數(shù)f(x)＝sinx＋eq\f(1,sinx)有如下四個(gè)命題：①f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；②f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；③f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對稱；④f(x)的最小值為2.其中所有真命題的序號是________．專題一第1講函數(shù)的圖象與性質(zhì)【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)一函數(shù)的概念與表示1．復(fù)合函數(shù)的定義域(1)若f(x)的定義域?yàn)閇m，n]，則在f(g(x))中，m≤g(x)≤n，從中解得x的范圍即為f(g(x))的定義域．(2)若f(g(x))的定義域?yàn)閇m，n]，則由m≤x≤n確定的g(x)的范圍即為f(x)的定義域．2．分段函數(shù)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)值域的并集．【熱點(diǎn)突破】【典例1】(1)若函數(shù)f(x)＝log2(x－1)＋eq\r(2－x)，則函數(shù)f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))的定義域?yàn)?)A．(1,2]B．(2,4]C．[1,2)D．[2,4)(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≤0，,4x，x>0，))則滿足f(x)＋f(x－1)≥2的x的取值范圍是________．【答案】eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))【解析】∵函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≤0，,4x，x>0，))∴當(dāng)x≤0時(shí)，x－1≤－1，f(x)＋f(x－1)＝2x＋1＋2(x－1)＋1＝4x≥2，無解；當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,x－1≤0，))即0<x≤1時(shí)，f(x)＋f(x－1)＝4x＋2(x－1)＋1＝4x＋2x－1≥2，得eq\f(1,2)≤x≤1；當(dāng)x－1>0，即x>1時(shí)，f(x)＋f(x－1)＝4x＋4x－1≥2，得x>1.綜上，x的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).【方法總結(jié)】(1)形如f(g(x))的函數(shù)求值時(shí)，應(yīng)遵循先內(nèi)后外的原則．(2)對于分段函數(shù)的求值(解不等式)問題，必須依據(jù)條件準(zhǔn)確地找出利用哪一段求解．【拓展練習(xí)】(1)已知實(shí)數(shù)a<0，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2a，x<1，,－x，x≥1，))若f(1－a)≥f(1＋a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－2] B．[－2，－1]C．[－1,0) D．(－∞，0)【答案】B【解析】當(dāng)a<0時(shí)，1－a>1且1＋a<1，即f(1－a)＝－(1－a)＝a－1；f(1＋a)＝(1＋a)2＋2a＝a2＋4a＋1，由f(1－a)≥f(1＋a)，得a2＋3a＋2≤0，解得－2≤a≤－1，所以a∈[－2，－1]．(2)(多選)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果對任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，則稱函數(shù)f(x)為“H函數(shù)”．下列為“H函數(shù)”的是()A．y＝sinxcosx B．y＝lnx＋exC．y＝2x D．y＝x2－2x【答案】AB【解析】由題意，得“H函數(shù)”的值域關(guān)于原點(diǎn)對稱．A中，y＝sinxcosx＝eq\f(1,2)sin2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，其值域關(guān)于原點(diǎn)對稱，故A是“H函數(shù)”；B中，函數(shù)y＝lnx＋ex的值域?yàn)镽，故B是“H函數(shù)”；C中，因?yàn)閥＝2x>0，故C不是“H函數(shù)”；D中，y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，其值域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故D不是“H函數(shù)”．綜上所述，A，B是“H函數(shù)”．【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)二函數(shù)的性質(zhì)1．函數(shù)的奇偶性(1)定義：若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則有：f(x)是偶函數(shù)?f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；f(x)是奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x)．(2)判斷方法：定義法、圖象法、奇偶函數(shù)性質(zhì)法(如奇函數(shù)×奇函數(shù)是偶函數(shù))．2．函數(shù)單調(diào)性判斷方法：定義法、圖象法、導(dǎo)數(shù)法．3．函數(shù)圖象的對稱中心或?qū)ΨQ軸(1)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(a＋x)＝2b－f(a－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對稱．(2)若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱．【熱點(diǎn)突破】考向1單調(diào)性與奇偶性【典例2】(1)(2020·新高考全國Ⅰ)若定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f(2)＝0，則滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是()A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，則f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f(2)＝0，畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖(1)所示，則函數(shù)f(x－1)的大致圖象如圖(2)所示．當(dāng)x≤0時(shí)，要滿足xf(x－1)≥0，則f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.當(dāng)x>0時(shí)，要滿足xf(x－1)≥0，則f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是[－1,0]∪[1,3]．(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－πx))＋x＋e2,x2＋e2)的最大值為M，最小值為N，則(M＋N－1)2021的值為________．【答案】1【解析】由已知x∈R，f(x)＝eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－πx))＋x＋e2,x2＋e2)＝eq\f(sinπx＋x2＋e2＋2ex,x2＋e2)＝eq\f(sinπx＋2ex,x2＋e2)＋1，令g(x)＝eq\f(sinπx＋2ex,x2＋e2)，易知g(x)為奇函數(shù)，由于奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的最大值與最小值的和為0，M＋N＝f(x)max＋f(x)min＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，(M＋N－1)2021＝1.考向2奇偶性與周期性【典例3】(1)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＝f(x)，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))時(shí)，f(x)＝，則f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))內(nèi)是()A．減函數(shù)且f(x)>0 B．減函數(shù)且f(x)<0C．增函數(shù)且f(x)>0 D．增函數(shù)且f(x)<0【答案】D【解析】當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))時(shí)，由f(x)＝可知，f(x)單調(diào)遞增且f(x)>0，又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))上函數(shù)也單調(diào)遞增，且f(x)<0.由f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＝f(x)知，函數(shù)的周期為eq\f(3,2)，所以在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))上，函數(shù)單調(diào)遞增且f(x)<0.故選D.(2)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，且x≥0時(shí)恒有f(x＋2)＝f(x)，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝ex－1，則f(2020)＋f(－2021)＝________.【答案】1－e【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，所以y＝f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，又定義域?yàn)镽，所以函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)，因?yàn)閤≥0時(shí)恒有f(x＋2)＝f(x)，所以x≥0時(shí)，f(x)是周期為2的周期函數(shù)．所以f(2020)＋f(－2021)＝f(0)－f(2021)＝f(0)－f(1)＝(e0－1)－(e1－1)＝1－e.二級結(jié)論(1)若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且f(a＋x)＝f(a－x)，則2a是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期．(2)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且f(a＋x)＝f(a－x)，則4a是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期．(3)若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)，且f(b＋x)＝f(b－x)，則2(b－a)是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期．【拓展練習(xí)】(1)(2018·全國Ⅱ)已知f(x)是定義域?yàn)?－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于()A．－50B．0C．2D．50【答案】C【解析】∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)．由f(x)為奇函數(shù)且定義域?yàn)镽得f(0)＝0，又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，∴f(2)＝f(0)＝0，又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.(2)(多選)關(guān)于函數(shù)f(x)＝x＋sinx，下列說法正確的是()A．f(x)是奇函數(shù)B．f(x)是周期函數(shù)C．f(x)有零點(diǎn)D．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】由題可知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(－x)＝－x－sinx＝－f(x)，則f(x)為奇函數(shù)，故A正確；根據(jù)周期函數(shù)的定義，可知f(x)一定不是周期函數(shù)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)閒(0)＝0＋sin0＝0，所以f(x)有零點(diǎn)，故C正確；對f(x)求導(dǎo)得f′(x)＝1＋cosx≥0在R上恒成立，故f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，故D正確．【要點(diǎn)提煉】考點(diǎn)三函數(shù)的圖象1．作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點(diǎn)法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對稱變換．2．利用函數(shù)圖象可以判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，作圖時(shí)要準(zhǔn)確畫出圖象的特點(diǎn)．【熱點(diǎn)突破】考向1函數(shù)圖象的識別【典例4】(1)(2020·衡水模擬)函數(shù)f(x)＝x·ln|x|的圖象可能是()【答案】D【解析】函數(shù)f(x)＝x·ln|x|是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A，C；當(dāng)x＝eq\f(1,e)時(shí)，y＝－eq\f(1,e)，對應(yīng)點(diǎn)在x軸下方，排除B.(2)已知某函數(shù)圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式可能是()A．f(x)＝eq\f(1－ex,1＋ex)·sinx B．f(x)＝eq\f(ex－1,ex＋1)·sinxC．f(x)＝eq\f(1－ex,1＋ex)·cosx D．f(x)＝eq\f(ex－1,ex＋1)·cosx【答案】B【解析】根據(jù)題意，由圖象可得，該函數(shù)為偶函數(shù)，且在y軸右側(cè)，先為正值，然后為負(fù)值．C，D選項(xiàng)中的函數(shù)均為奇函數(shù)，不符合題意；對于A選項(xiàng)，f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x∈(0，π)時(shí)，sinx>0，eq\f(1－ex,1＋ex)<0，則f(x)<0，不符合題意；對于B選項(xiàng)，f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x∈(0，π)時(shí)，sinx>0，eq\f(ex－1,ex＋1)>0，則f(x)>0，符合題意．考向2函數(shù)圖象的變換及應(yīng)用【典例5】(1)若函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝－f(x＋1)的圖象大致為()【答案】C【解析】要想由y＝f(x)的圖象得到y(tǒng)＝－f(x＋1)的圖象，需要先將y＝f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱得到y(tǒng)＝－f(x)的圖象，然后再向左平移一個(gè)單位長度得到y(tǒng)＝－f(x＋1)的圖象，根據(jù)上述步驟可知C正確．(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤0，,－x2－3x，x>0，))若不等式|f(x)|≥mx－2恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A．[3－2eq\r(2)，3＋2eq\r(2)] B．[0,3－2eq\r(2)]C．(3－2eq\r(2)，3＋2eq\r(2)) D．[0,3＋2eq\r(2)]【答案】D【解析】由函數(shù)的【解析】式易知f(x)≤0恒成立，則|f(x)|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋1，x≤0，,x2＋3x，x>0，))不等式|f(x)|≥mx－2恒成立，等價(jià)于函數(shù)y＝|f(x)|的圖象在函數(shù)y＝mx－2圖象的上方恒成立．作出函數(shù)y＝|f(x)|的圖象，如圖所示，函數(shù)y＝mx－2的圖象是過定點(diǎn)(0，－2)的直線，由圖可知，當(dāng)m<0時(shí)，不滿足題意；當(dāng)m＝0時(shí)，滿足題意；當(dāng)m>0時(shí)，考慮直線y＝mx－2與曲線y＝x2＋3x(x>0)相切的情況．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝mx－2，,y＝x2＋3x，))得x2＋(3－m)x＋2＝0，令Δ＝(3－m)2－8＝m2－6m＋1＝0，解得m＝3＋2eq\r(2)或m＝3－2eq\r(2)，結(jié)合圖形可知0<m≤3＋2eq\r(2).綜上，m的取值范圍是[0,3＋2eq\r(2)]．【方法總結(jié)】(1)確定函數(shù)圖象的主要方法是利用函數(shù)的性質(zhì)，如定義域、奇偶性、單調(diào)性等，特別是利用一些特征點(diǎn)排除不符合要求的圖象．(2)函數(shù)圖象的應(yīng)用主要體現(xiàn)為數(shù)形結(jié)合思想，借助于函數(shù)圖象的特點(diǎn)和變化規(guī)律，求解有關(guān)不等式恒成立、最值、交點(diǎn)、方程的根等問題．求解兩個(gè)函數(shù)圖象在給定區(qū)間上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題時(shí)，可以先畫出已知函數(shù)完整的圖象，再觀察．【拓展練習(xí)3】(1)(2020·天津市大港第一中學(xué)模擬)函數(shù)y＝2|x|sin2x的圖象可能是()【答案】D【解析】令f(x)＝2|x|sin2x，因?yàn)閤∈R，f(－x)＝2|－x|sin2(－x)＝－2|x|sin2x＝－f(x)，所以f(x)＝2|x|sin2x為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A，B；因?yàn)楫?dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時(shí)，f(x)<0，所以排除選項(xiàng)C.(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x，x≤0，,lnx＋1，x>0，))若存在x0∈R使得f(x0)≤ax0－1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(0，＋∞) B．[－3,0]C．(－∞，－3]∪[3，＋∞) D．(－∞，－3]∪(0，＋∞)【答案】D【解析】根據(jù)題意，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x，x≤0，,lnx＋1，x>0))的圖象如圖，直線y＝ax－1恒過定點(diǎn)(0，－1)，若存在x0∈R使得f(x0)≤ax0－1，則函數(shù)f(x)的圖象在直線y＝ax－1下方有圖象或與直線有交點(diǎn)，當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)的圖象恒在y＝ax－1圖象的上方，不符合題意；當(dāng)a>0時(shí)，直線y＝ax－1經(jīng)過第一、三、四象限，與函數(shù)f(x)的圖象必有交點(diǎn)，符合題意；當(dāng)a<0時(shí)，直線y＝ax－1經(jīng)過第二、三、四象限，若直線y＝ax－1與f(x)有交點(diǎn)，必然相交于第二象限．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2－x，,y＝ax－1，))即ax－1＝x2－x，變形可得x2－(a＋1)x＋1＝0，令Δ＝0，解得a＝－3或1(舍)，則有a≤－3，綜上可得，a的取值范圍為(－∞，－3]∪(0，＋∞)．專題突破一、單項(xiàng)選擇題1．函數(shù)y＝eq\f(\r(－x2＋2x＋3),lgx＋1)的定義域?yàn)?)A．(－1,3] B．(－1,0)∪(0,3]C．[－1,3] D．[－1,0)∪(0,3]【答案】B【解析】由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋3≥0，,x＋1>0，,x＋1≠1，))解得x∈(－1,0)∪(0,3]．2．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log21－x，x<0，,22x－1，x≥0，))則f(－3)＋f(log23)等于()A.eq\f(11,2)B.eq\f(13,2)C.eq\f(15,2)D．10【答案】B【解析】依題意f(－3)＋f(log23)＝log24＋－1＝2＋＝2＋eq\f(9,2)＝eq\f(13,2).3．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(4x2,3|x|)，則函數(shù)f(x)的圖象大致為()【答案】A【解析】觀察函數(shù)【解析】式發(fā)現(xiàn)，x是以平方、絕對值的形式出現(xiàn)的，所以f(x)為偶函數(shù)，排除B；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝eq\f(4x2,3x)，當(dāng)x→＋∞時(shí)，f(x)→0，排除C.因?yàn)閒(2)＝eq\f(4×22,32)＝eq\f(16,9)<2，選項(xiàng)D中f(2)>2，所以D不符合題意．4．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2|x－a|，x≤1，,x＋1，x>1，))若f(1)是f(x)的最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[－1,2) B．[－1,0]C．[1,2] D．[1，＋∞)【答案】C【解析】f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2|x－a|，x≤1，,x＋1，x>1，))若x>1，則f(x)＝x＋1>2，易知f(x)＝2|x－a|在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－∞，a)上單調(diào)遞減．若a<1，則f(x)在x＝a處取得最小值，不符合題意；若a≥1，則要使f(x)在x＝1處取得最小值，只需2a－1≤2，解得a≤2，∴1≤a≤2，綜上所述，a的取值范圍是[1,2]．5．(2020·撫順模擬)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，當(dāng)x∈[－1,0]時(shí)，f(x)＝－x－2，則()A．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,6)))>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6))) B．f(sin3)<f(cos3)C．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(4π,3)))<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(4π,3))) D．f(2020)>f(2019)【答案】B【解析】由f(x＋2)＝f(x)，得f(x)是周期函數(shù)且周期為2，根據(jù)f(x)在x∈[－1,0]上的圖象和f(x)是偶函數(shù)可得f(x)在[0,1]上是增函數(shù)．對于A,0<sineq\f(π,6)<coseq\f(π,6)<1，∴f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,6)))<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)))，A錯(cuò)誤；對于B,0<sin3<－cos3<1，∴f(sin3)<f(－cos3)＝f(cos3)，B正確；對于C,0<－coseq\f(4π,3)<－sineq\f(4π,3)<1，∴f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(4π,3)))<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(4π,3)))，C錯(cuò)誤；對于D，f(2020)＝f(0)<f(2019)＝f(1)，D錯(cuò)誤．6．定義新運(yùn)算：當(dāng)a≥b時(shí)，ab＝a；當(dāng)a<b時(shí)，ab＝b2.則函數(shù)f(x)＝(1x)x－(2x)，x∈[－2,2]的最大值為()A．－1B．1C．6D．12【答案】C【解析】當(dāng)－2≤x≤1時(shí)，f(x)＝x－2；當(dāng)1<x≤2時(shí)，f(x)＝x3－2.又∵y＝x－2，y＝x3－2在R上都為增函數(shù)，且f(x)在x＝1處連續(xù)，∴f(x)的最大值為f(2)＝23－2＝6.7．(2020·全國Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，則f(x)()A．是偶函數(shù)，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))單調(diào)遞增B．是奇函數(shù)，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))單調(diào)遞增D．是奇函數(shù)，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))單調(diào)遞減【答案】D【解析】f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠±\f(1,2))))).又f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)，故排除A，C.當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))時(shí)，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝lneq\f(－2x－1,1－2x)＝lneq\f(2x＋1,2x－1)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,2x－1)))，∵y＝1＋eq\f(2,2x－1)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上單調(diào)遞減，∴由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上單調(diào)遞減．8．已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)＝f(2－x)，若函數(shù)y＝|x2－2x－3|與y＝f(x)圖象的交點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則i等于()A．0B．mC．2mD．4m【答案】B【解析】由題意可知f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，而y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的圖象也關(guān)于直線x＝1對稱，所以兩個(gè)圖象的交點(diǎn)關(guān)于直線x＝1對稱，且每對關(guān)于直線x＝1對稱的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2，所i＝m.二、多項(xiàng)選擇題9．若函數(shù)f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)、奇函數(shù)，且滿足f(x)＋2g(x)＝ex，則()A．f(x)＝eq\f(ex＋e－x,2) B．g(x)＝eq\f(ex－e－x,2)C．f(－2)<g(－1) D．g(－1)<f(－3)【答案】AD【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)、奇函數(shù)，且滿足f(x)＋2g(x)＝ex，①所以f(－x)＋2g(－x)＝e－x，即f(x)－2g(x)＝e－x，②聯(lián)立①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＋2gx＝ex，,fx－2gx＝e－x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝\f(ex＋e－x,2)，,gx＝\f(ex－e－x,4)，))所以f(－2)＝eq\f(e－2＋e2,2)，f(－3)＝eq\f(e－3＋e3,2)，g(－1)＝eq\f(e－1－e,4)<0，所以g(－1)<f(－2)，g(－1)<f(－3)．10．(2020·福州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(3,2)x，x≥0，,x2－\f(3,2)x，x<0，))則()A．f(x)是偶函數(shù)B．f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增C．f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增D．若f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))≥f(1)，則－1≤a≤1【答案】ABD【解析】由題可知f(－x)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，故A正確；由y＝x2＋eq\f(3,2)x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,4)))2－eq\f(9,16)，知y＝x2＋eq\f(3,2)x在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，由y＝x2－eq\f(3,2)x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2－eq\f(9,16)，知y＝x2－eq\f(3,2)x在(－∞，0)上單調(diào)遞減，故B正確，C錯(cuò)誤；若f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))≥f(1)，則有f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))))≥f(1)，結(jié)合函數(shù)f(x)的單調(diào)性可得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))≥1，所以|a|≤1，解得－1≤a≤1，故D正確．11．符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[3.14]＝3，[－1.6]＝－2，定義函數(shù)f(x)＝x－[x]，則下列命題正確的是()A．f(－0.8)＝0.2B．當(dāng)1≤x<2時(shí)，f(x)＝x－1C．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0,1)D．函數(shù)f(x)是增函數(shù)、奇函數(shù)【答案】ABC【解析】由f(x)＝x－[x]，得f(－0.8)＝－0.8＋1＝0.2，故A正確；當(dāng)1≤x<2時(shí)，f(x)＝x－[x]＝x－1，故B正確；函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0,1)，故C正確；當(dāng)0≤x<1時(shí)，f(x)＝x－[x]＝x，當(dāng)1≤x<2時(shí)，f(x)＝x－1，當(dāng)x＝0.5時(shí)，f(0.5)＝0.5，當(dāng)x＝1.5時(shí)，f(1.5)＝0.5，則f(0.5)＝f(1.5)，即f(x)不為增函數(shù)，由f(－1.5)＝0.5，f(1.5)＝0.5，可得f(－1.5)＝f(1.5)，即f(x)不為奇函數(shù)，故D不正確．12．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x＋1)是偶