空間直線、平面垂直教案

8.6空間直線、平面的垂直

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一：異面直線所成的角

(1)定義：已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a，〃a,br//b,則a，與b，所成的銳角(或直

角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).

(2)異面直線所成的角6的取值范圍：0。＜0學(xué)0。.

(3)如果兩條異面直線a,b所成的角是直角，就說這兩條直線互相垂直，記作a，b.

知識(shí)點(diǎn)二：直線與直線垂直的定義

兩條直線垂直的定義：如果兩條直線相交于一點(diǎn)或經(jīng)過平移后相交于一點(diǎn)，并且交角為直角，則稱這兩

條直線互相垂直。

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

空間中兩直線垂直可能是相交垂直，也可能是異面垂直，即兩條直線互相垂直時(shí)可能沒有垂足。

知識(shí)點(diǎn)三：直線與平面垂直的定義與判定

1.直線和平面垂直的定義

如果直線/和平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線/與平面a互相垂直，記作a.直線/叫

平面a的垂線；平面a叫直線/的垂面；垂線和平面的交點(diǎn)叫垂足.垂線上任意一點(diǎn)到垂足間的線段，叫做

這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線段。垂線段的長度叫做這個(gè)點(diǎn)到平面的距離。

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

(1)定義中的“任何直線”與“所有直線”是同義語，定義是說這條直線和平面內(nèi)所有直線垂直.

(2)直線和平面垂直是直線和平面相交的一種特殊形式.

(3)如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直，簡述之，即“線面垂直，則

線線垂直”，這是我們判定兩條直線垂直時(shí)經(jīng)常使用的一種重要方法.畫直線和平面垂直時(shí)，通常要把直線

畫成和表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖所示.符號(hào)語言描述：

(4)在平面幾何中，我們有命題：經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，在本節(jié)中，也有類似的

命題.

命題1:過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直.

命題2：過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和已知直線垂直.

2.直線和平面垂直的判定定理

文字語言：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.

mcza,ncza,mln=B

符號(hào)語言：>n/_La

IA.m,lLn

特征：線線垂直n線面垂直

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

(1)判定定理的條件中：“平面內(nèi)的兩條相交直線”是關(guān)鍵性詞語，不可忽視.

(2)要判定一條已知直線和一個(gè)平面是否垂直，取決于在這個(gè)平面內(nèi)能否找出兩條相交直線和已知直線垂

直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點(diǎn)，則無關(guān)緊要.

相關(guān)的重要結(jié)論

①過一點(diǎn)與已知直線垂直的平面有且只有一個(gè)；過一點(diǎn)與已知平面垂直的直線有且只有一條.

②如果兩條平行線中的一條與一個(gè)平面垂直，那么另一條也與這個(gè)平面垂直.

③如果兩個(gè)平行平面中的一個(gè)與一條直線垂直，那么另一個(gè)也與這條直線垂直.

知識(shí)點(diǎn)四：直線與平面所成的角

(1)如圖，一條直線PA和一個(gè)平面a相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線

和平面的交點(diǎn)A叫做斜足，過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線P0,過垂足0和斜足A的直線A0叫

做斜線在這個(gè)平面上的射影，平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面

所成的角.

(2)一條直線垂直于平面，稱它們所成的角是直角；一條直線在平面內(nèi)或一條直線和平面平行，稱它們

所成的角是0°的角，于是，直線與平面所成的角0的范圍是0°W0W90。.

知識(shí)點(diǎn)五：直線與平面垂直的性質(zhì)

1.基本性質(zhì)

文字語言：一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的所有直線.

符號(hào)語言：/-L(Z,7"U￡=>/_1_7〃

圖形語言：

2.性質(zhì)定理

文字語言：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.

符號(hào)語言：I工a,m工a=lHm

圖形語言：

知識(shí)點(diǎn)六：距離

(1)直線與平面的距離：一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.

(2)平面與平面的距離：兩個(gè)平面平行時(shí)，其中一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離.

知識(shí)點(diǎn)七：二面角

(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫二面角的棱，這兩個(gè)半

平面叫二面角的面.圖中的二面角可記作：二面角a-ABf或a-1-B或P-AB-Q.

(2)二面角的平面角：如圖，在二面角a-1-p的棱1上任取一點(diǎn)O,以點(diǎn)O為垂足，在半平面a和p內(nèi)

分別作垂直與直線1的射線OA,0B,則射線0A和0B構(gòu)成的NAOB叫做二面角的平面角.平面角是直角

知識(shí)點(diǎn)八：平面與平面垂直的定義與判定

1.平面與平面垂直定義

定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面垂直.

表示方法：平面a與夕垂直，記作。

畫法：兩個(gè)互相垂直的平面通常把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直.如圖:

2.平面與平面垂直的判定定理

文字語言：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.

符號(hào)語言：ILa,lu/30a工/3

圖形語言：

特征：線面垂直n面面垂直

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

平面與平面垂直的判定定理告訴我們，可以通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直.通常我們將其記

為“線面垂直，則面面垂直”.因此，處理面面垂直問題轉(zhuǎn)化為處理線面垂直問題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為處理線線垂

直問題.以后證明平面與平面垂直，只要在一個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線和另一個(gè)平面內(nèi)的一條直線垂直即

可.

知識(shí)點(diǎn)九：平面與平面垂直的性質(zhì)

1.性質(zhì)定理

文字語言：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直.

符號(hào)語言：a工/3,aC/3=m,lu/3,l]m=lLa

圖形語言：

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

面面垂直的性質(zhì)定理是作線面垂直的依據(jù)和方法，在解決二面角問題中作二面角的平面角經(jīng)常用到.這

種線面垂直與面面垂直間的相互轉(zhuǎn)化，是我們立體幾何中求解（證）問題的重要思想方法.

2.平面與平面垂直性質(zhì)定理的推論

如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線，在第一個(gè)平面內(nèi).

知識(shí)點(diǎn)十：垂直關(guān)系的綜合轉(zhuǎn)化

線線垂直、線面垂直、面面垂直是相互聯(lián)系的，能夠相互轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化的紐帶是對(duì)應(yīng)的定義、判定定理和

性質(zhì)定理，具體的轉(zhuǎn)化關(guān)系如下圖所示：

線面垂直的定義、判定定理

面面垂直

知識(shí)點(diǎn)十一：求點(diǎn)線、點(diǎn)面、線面距離的方法

(1)若P是平面a外一點(diǎn)，a是平面a內(nèi)的一條直線，過P作平面a的垂線PO,O為垂足，過。作

OA±a,連接PA,則以PALa.則線段PA的長即為P點(diǎn)到直線a的距離(如圖所示).

(2)一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離叫直線與平面的距離.

(3)求點(diǎn)面距離的常用方法：①直接過點(diǎn)作面的垂線，求垂線段的長，通常要借助于某個(gè)直角三角形來

求解.

②轉(zhuǎn)移法：借助線面平行將點(diǎn)轉(zhuǎn)移到直線上某一特殊點(diǎn)到平面的距離來求解.

③體積法：利用三棱錐的特征轉(zhuǎn)換位置來求解.

知識(shí)點(diǎn)十二：作二面角的三種常用方法

(1)定義法：在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線.如圖①，則/AOB

為二面角a-1-p的平面角.

(2)垂直法：過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的

角，即為二面角的平面角.如圖②，/AOB為二面角a-1-P的平面角.

(3)垂線法：過二面角的一個(gè)面內(nèi)異于棱上的一點(diǎn)A向另一個(gè)平面作垂線，垂足為B,由點(diǎn)B向二面角

的棱作垂線，垂足為O,連接AO,則/AOB為二面角的平面角或其補(bǔ)角.如圖③，/AOB為二面角a-1-p

的平面角.

【典型例題】

題型一：證明兩直線垂直

例1.(2021?全國?高一課前預(yù)習(xí))如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2,E,F分別是AB,CD

的中點(diǎn)，EF=72,求證：ADXBC.

【解析】

證明：如圖所示，取BD的中點(diǎn)H,連接EH,FH.

因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，且AD=2,

所以EH〃AD,EH=1.同理FH〃:BC,FH=1.

所以/EHF(或其補(bǔ)角)是異面直線AD,BC所成的角.

因?yàn)镋F=0,所以EH2+FH2=EF2,

所以AEFH是等腰直角三角形，EF是斜邊，

所以NEHF=90。，即AD與BC所成的角是90。，

所以AD_LBC.

解題技巧(證明兩直線垂直的常用方法)

(1)利用平面幾何的結(jié)論，如矩形，等腰三角形的三線合一，勾股定理；

(2)定義法：即證明兩條直線夾角是90。；

(3)利用一些事實(shí)：兩條平行直線，若其中一條直線垂直另一條直線，則其平行線也垂直此直線.

例2.(2021?全國?高一課時(shí)練習(xí))如圖，已知正方體ABCD-A瓦G'.

(1)求AG與8c所成角的大??；

(2)若E,F分別為棱AB,AD的中點(diǎn)，求證：±EF.

【解析】

解：(1)如圖，連接AC,AB,,由幾何體ABCD-A4G2是正方體，知四邊形A41GC為平行四邊形，所

以AC〃AG,

從而AC與qC所成的角為AG與BC所成的角，

由AB]=AC=B|C,可知/B]CA=60。.

故AG與8c所成的角為60。.

(2)如圖，連接3。，易知四邊形AAGC為平行四邊形，所以AC〃AG，

因?yàn)樗鶠锳ABD的中位線，

所以EF//BD.

又AC_L8D,

所以￡F_L4C,

所以4￡_L斯.

題型二求異面直線所成的角

例3.(2021.全國.高一課時(shí)練習(xí))在正方體ABCD-AiBiCiDi中，E,F分別是AiBi,BiCi的中點(diǎn)，求異面

直線DBi與EF所成角的大小.

【解析】

如圖所示，連接AiCi,BiDi,并設(shè)它們相交于點(diǎn)O,取DDi的中點(diǎn)G,連接OG,AiG,CiG,則0G〃:BQ,

EF〃A1C1,ZGOAi為異面直線DBi與EF所成的角（或其補(bǔ)角）.

VGAi=GCi,O為A1C1的中點(diǎn)，

AGOXAiCi.

...異面直線DBi與EF所成的角為90°.

解題技巧（求異面直線所成角的一般步驟）

求異面直線所成角的一般步驟：

（1）找（或作出）異面直線所成的角一用平移法，若題設(shè)中有中點(diǎn)，?？紤]中位線.

（2）求——轉(zhuǎn)化為求一個(gè)三角形的內(nèi)角，通過解三角形，求出所找的角.

（3）結(jié)論——設(shè)⑵所求角大小為0.若0。＜0學(xué)0。，則0即為所求；若90。＜0＜180。，則180。-0即為所求

例4.（2021.全國?高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，D、E分別是VB、

VC的中點(diǎn)，求異面直線DE與AB所成的角.

【解析】

解：因?yàn)镈、E分別是VB、VC的中點(diǎn)，

所以BC〃DE,因此NABC是異面直線DE與AB所成的角,

又因?yàn)锳B是圓O的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，

所以4ABC是以NACB為直角的等腰直角三角形，

于是/ABC=45。，

故異面直線DE與AB所成的角為45°.

題型三線面垂直的概念與定理的理解

例5.（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)。是空間中的一個(gè)平面，1,m,n是三條不同的直線，則（）

A.若mua,“ua,I_Lm,ILn,則/_LaB.若〃/“zjw/a,則〃_La

C.若/〃想"7_1。,〃_1。，則/_1_"D.若根ua,ILn,nVa,則/〃加

【答案】B

【解析】

解：由a是空間中的一個(gè)平面，/，加，"是三條不同的直線，知：

對(duì)A：若mua,"ua,/1m,l_\_n,

則/與a相交、平行或/ua,故A錯(cuò)誤；

對(duì)B：若/〃加，mHn,ILa,

則由線面垂直的判定定理得〃_La,故B正確；

對(duì)C：若IHm,mA-a,nLa,則///“，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D：若〃?ua,nl.a,Un,貝!]/與加相交、平行或異面，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

解題技巧（判定定理理解的注意事項(xiàng)）

線面垂直的判定定理中，直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，“相交”兩字必不可少，否則，就是換成無

數(shù)條直線，這條直線也不一定與平面垂直.

例6.（2021?全國?高一課前預(yù)習(xí)）在正方體AB。-A4GR中P,Q分別是BC和C2的中點(diǎn)，則下列判斷

錯(cuò)誤的是（）

A.PQ1CQB.平面AACG

C.PQ//BDD.尸。〃平面AB。1

【答案】D

【解析】

取CG中點(diǎn)E,連接尸瓦房，因?yàn)閜,Q分別是8G和CM的中點(diǎn)，易得cq1PE,CCXLQE,又PEcQE=E,

.?（6，平面2。￡,?.?PQu平面P。E,.^.CG，PQ,故A正確；

分別取CDBC中點(diǎn)￡G,連接。RFG,尸G,易得PG〃。內(nèi)且PG=QF,

所以四邊形PQFG為平行四邊形，，尸Q//FG,又FGUBD,「PQHBD,故C正確；

-.-BD1AC,PQ±AC,又PQLCG，ACncq=C,,PQ_L平面4ACG,故B正確；

平面42R即為平面ABGR,顯然PQc平面ABC|R=p,故D錯(cuò)誤.

故選：D.

例7.（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，H是E尸的中

點(diǎn).現(xiàn)沿AE、A尸、即把這個(gè)正方形折成一個(gè)幾何體，使B、C、D三點(diǎn)重合于點(diǎn)G,則下列結(jié)論中成立的

B.A8_L平面跖G

C.G/L平面A跖D.G"_L平面AEF

【答案】A

【解析】

對(duì)于選項(xiàng)A,VB,C、D重合于點(diǎn)G,/.AGLGF,AG±GE,GFcGE=G,

平面跳6,故A正確;

對(duì)于選項(xiàng)B,由A選項(xiàng)可知，46_1平面現(xiàn)P，因AG與AH不平行，知A"不垂直與平面跳G,故B錯(cuò);

對(duì)于選項(xiàng)C,由DF不與AF垂直，得GP不與AF1垂直，進(jìn)而可知。尸不垂直于平面AEP,

故C錯(cuò);

對(duì)于選項(xiàng)D,由B選項(xiàng)可知，AH不垂直于平面￡FG,且AH_LEF,得Aff不垂直GH,進(jìn)而可知G”不

垂直于平面AEF.

故選：A.

題型四直線與平面垂直的判定

例8.(2022?陜西?寶雞市渭濱區(qū)教研室高一期末)如圖，四棱錐P-43CD的底面是邊長為2的菱形,

E、廠分別是棱PB、如的中點(diǎn).

(2)求四棱錐P—ABCD的體積.

【解析】

QPAIAC=A,.］叨，平面PAC,

因?yàn)镕分別是棱尸3、PO的中點(diǎn)，則EF,EF_L平面PAC.

(2)

解：四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的菱形，ZABC=6Q°,則AABC為等邊三角形,

所以，S菱粕ABCD=2S&ABC=2x與x22=26，

因?yàn)?=3,PAJ_平面ABC。，ikVP_ABCD=1X2A/3X3=2A/3.

解題技巧（應(yīng)用判定定理的注意事項(xiàng)）

利用直線與平面垂直的判定定理證明線面垂直的關(guān)鍵是在這個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線，證明它們都

和這條直線垂直.

例9.（2020?廣西?昭平中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，在三棱錐P-ABC中，P4,底面ABC,PBLBC,D為

BP的中點(diǎn)，PA^AB.

⑴求證：3C_L平面PAB；

⑵求證：AD_L平面PBC.

【解析】

（1）

證明：因?yàn)镻AJL底面ABC,BCu底面ABC,所以

又PB上BC,PBC\PA=P,PAPBu平面PAB；所以BC,平面PAB；

（2）

證明：由（1）得3c，平面PAB,又ADu平面PAB,所以AO_LBC,

又D為BP的中點(diǎn)，PA=AB,所以

又PBcBC=B,P8,8Cu平面PBC,所以ADJ_平面PBC.

例10.（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在AABC中，M為邊BC的中點(diǎn)，沿AM將AABM折起，使點(diǎn)B

在平面ACM外.在什么條件下直線AM垂直于平面BMC?

A

A

【解析】

解：由線面垂直的判斷定理有，要使直線AM垂直于平面BMC,

則應(yīng)有AM垂直于MC,且垂直于MB,即AM是BC上的高，

又因?yàn)镸為邊BC的中點(diǎn)，

所以AB=AC,即在AB=AC的條件下直線AM垂直于平面BMC.

例11.（2021?上海中學(xué)高一期末）如圖1,在咫AABC中，ZC=90°,D,E分別為AC,A3的中點(diǎn)，點(diǎn)、F

是線段CD上的一點(diǎn)，將AADE沿OE折起到的位置，使4尸，CD,如圖2.

A

4

（2）線段A8上是否存在點(diǎn)Q,使AC,平面。EQ?若存在，求出溪的值；若不存在，說明理由.

【解析】

（1）證明：由已知得AC_13c且。E//BC,，OE，AC,

:.DEVA,D,又DELCD，ADCCD=D,

??.DE，平面A。。，面A尸U平面AQC,

.?.OE_LA尸，

又4尸_LCD,DEcCD=D,:.\F_L平面BCDE,

AjFIBE.

(2)

線段AB上存在點(diǎn)。，使AC，平面。EQ.

理由如下：如圖，分別取AC,AB的中點(diǎn)尸,。，貝IJPQ/ABC.

-DEIIBC,:.DEUPQ.:.平面DEQ即為平面DEP.

由（1）知DE_L平面ADC/.OE，AC,

又；尸是等腰三角形DA。底邊AC的中點(diǎn)，AC，。尸，

?;DEcDP=D,:.AC±平面DEP,從而Ac-L平面DEQ,

A01

故線段AB上存在點(diǎn)。，使AC，平面。EQ,其中瑞=彳.

A]nZ

題型五直線與平面所成角

例12.（2021?全國?高一課時(shí)練習(xí)）在正方體ABCD-A.B^D,中,E是棱DDt的中點(diǎn)，求直線BE與平面ABB{\

所成的角的正弦值.

【解析】

在正方體ABCD-AB￡Z）i中，取的中點(diǎn)M,連接EM,BM,如圖，

因E是。2的中點(diǎn)，四邊形A為正方形，即有EM〃AD,而平面42片4，

則平面A84A，從而為直線班在平面42片A內(nèi)的射影，NEBA1為直線班與平面43瓦4所成的

角，

設(shè)正方體的棱長為2,則E7Vf=AO=2,在RMBEM中，

BM=y/AB2+AM2=^22+12=-y/5-BE=^BM2+EM2=J(^)2+22=3>于是得sinNEBM=整=],

YDEJJ

2

所以直線BE與平面ABBIA所成的角的正弦值為;.

解題技巧(求平面的斜線與平面所成的角的一般步驟)

(1)確定斜線與平面的交點(diǎn)(斜足)；

(2)通過斜線上除斜足以外的某一點(diǎn)作平面的垂線，連接垂足和斜足即為斜線在平面上的射影，則斜線

和射影所成的銳角即為所求的角；

(3)求解由斜線、垂線、射影構(gòu)成的直角二角形.

例13.(2021?全國?高一課時(shí)練習(xí))如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD.

(1)指出圖中有哪些三角形是直角三角形，并說明理由；

(2)若==試求PC與平面ABCD所成角的正切值.

【解析】

(1)

解：圖中三角形PAD、PAB、PDC、BBC均為直角三角形.

原因如下：

?.?24_1平面43。。，

:.PAYAD,PA±AB,則三角形PAD、R4B為直角三角形;

???上4_1_平面ABC。，:.PA±DC,

又ADLDC,且B4cAD=A,

.?.OC_L平面PAD,則。C_LPD,

三角形PZJC為直角三角形，同理說明APBC為直角三角形；

⑵

解：連接AC,由已知可得叢，AC,

可知NPCA為PC與平面ABCD所成角，

PA=AD=AB=a,則

.'.tanZPCA=名=奈=",即PC與平面ABCD所成角的正切值為正.

ACy/2a22

題型六直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用

例14.(2021.全國?高一課時(shí)練習(xí))如圖，已知正方體AiC.

⑴求證：AiCXBiDi；

(2)M,N分別為BiDi與CiD上的點(diǎn)，且MN_LBiDi,MN±CiD,求證：MN//A1C.

【解析】

(1)

如下圖，連接AiCi.

因?yàn)镃Ci_L平面AiBiCiDi,BiDiu平面AiBiCiDi,

所以CCBiDi.因?yàn)樗倪呅蜛iBiCiDi是正方形,

所以AiCi_LBiDi.又因?yàn)镃CQAiCi=Ci,

所以BiDi_L平面A1C1C.又因?yàn)锳iCu平面ACC,所以BiDi_LAiC.

(2)

如上圖，連接BiA,ADi.因?yàn)锽iCi=AD,BCi〃AD

所以四邊形ADC1B1為平行四邊形，所以CiD〃ABi,因?yàn)镸NLCiD,所以MNLABi.

又因?yàn)镸N_LBiDi,ABinBiDi=Bi,所以MN_L平面AB1D1.由(1)知AiC_LBiDi.

同理可得AiC_LABi.又因?yàn)锳BiABiDi=Bi,所以AiC_L平面AB1D1.所以AiC〃MN.

解題技巧(證明兩條直線平行的常見方法)

(1)公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行；

(2)線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過這條直線的任一平面與此平面的交

線與該直線平行；

(3)面面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行；

(4)線面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.

例15.(2021?全國?高一課時(shí)練習(xí))如圖所示，在三棱錐尸-45c中，平面ABC,D是側(cè)面P3C上的

一點(diǎn)，過￡(作平面A3C的垂線DE,其中。走PC,證明：￡見〃平面PAC.

【解析】

因?yàn)镈E_L平面ABC,24_L平面ABC,

所以0E/AR4.

又。平面PAC,上4u平面PAC,

所以DE//平面PAC.

題型七空間中的距離問題

例16.(2020婀北?高一期末)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD_L平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB//DC,

AB=2CD,ZBCD=90°.

A

(I)求證：PB±AD；

(ID求點(diǎn)C到平面PAB的距離.

【解析】

如圖，取A8中點(diǎn)為連接

因?yàn)锳B=2CD,AM=MB,DC=BC=1,CD//AB,ZBCD=90°

所以四邊形3CDM為正方形.

所以DM=8C=AM=Affi=l

所以4。=0,8。=夜,AB=2.

所以A&=%)2+短)2

所以

因?yàn)镻D_L平面ABCD,ADu平面ABCD,所以尸D_LAD.

又因?yàn)閼?yīng)>「尸。=。

所以AD_L平面

而PBu平面尸￡>5,所以A￡>_LPB

(2)連接AC,設(shè)點(diǎn)C到平面E鉆的距離為“,

則%-PAB=^P-ABC=-X—xABxBCxPD=—X2xlxl=-

3263

因?yàn)锳B_L尸。,AB_LDM,且FDcDA/=。

所以鉆1_平面以加，所以AB,尸M.

在RJPDM中PM2=PD2+DM2=2,即尸加=應(yīng).

所以^y/PAB=gXA3xPM=1x2XV2=V2.

所以^C-PAB—2X‘VPABX%=h?

所以J_=1/7,所以/Z=Y1.

332

所以點(diǎn)C到平面PAB的距離為變.

解題技巧(空間中距離的轉(zhuǎn)化)

（1）利用線面、面面平行轉(zhuǎn)化：利用線面距、面面距的定義，轉(zhuǎn)化為直線或平面上的另一點(diǎn)到平面的

距離.

（2）利用中點(diǎn)轉(zhuǎn)化：如果條件中具有中點(diǎn)條件，將一個(gè)點(diǎn)到平面的距離，借助中點(diǎn)（等分點(diǎn)），轉(zhuǎn)化為

另一點(diǎn)到平面的距離.

（3）通過換底轉(zhuǎn)化：一是直接換底，以方便求幾何體的高；二是將底面擴(kuò)展（分割），以方便求底面積

和高.

例17.（2019?廣東東莞?高一期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面A5CD,底面A8CD是菱形,

ZADC=120°,AD=1,尸。=應(yīng).

（1）求證：AC1PB；

（2）求點(diǎn)。到面PAC的距離.

【解析】

證明：（1）?.?底面ABC。是菱形，，或），AC,

?.?PD_L平面ABC。，ACu平面ABC。，:.PD±AC,

QBD,尸。是平面PSD內(nèi)的兩條直交線，

.?.AC_L平面尸3D,

又尸3u平面PSD,ACA.PB.

解：（2）?.■底面ABCD是菱形，，AD=CD=1,

又?.?ZADC=120。，：.AC=6

?.?PD_L平面ABC￡>,；.PA=PC=>/5,

設(shè)點(diǎn)。到平面PAC的距離為/z,且P￡>_L平面ABC。,

=

…^P~ADC^D-PAC>即g8AADCPD=gS"Ach,

QAPAC是等邊三角形，，=

S&ADC=9遙X；=''

解得/2=變，

3

二點(diǎn)。到面PAC的距離為正.

3

題型八面面垂直的概念與定理的理解

例18.（2022?陜西?寶雞市金臺(tái)區(qū)教育體育局教研室高一期末）已知兩條直線/,〃?及兩個(gè)平面以下說

法中正確的是（）

A.若〃/尸，mll/3,則〃/〃?

B.若〃少，IHm,則，〃///

C.若,may,i//m,則尸，7

D.若1工0,m^Y,l//m,則/〃7

【答案】C

【解析】

對(duì)于A,〃//，，"〃尸，則可能平行、相交、異面，故錯(cuò)誤；

對(duì)于B,////,Him,則機(jī)在平面內(nèi)或相〃7,故錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由“/加，可得加，尸，又m與丫,所以尸，7,故正確；

對(duì)于D,由C可知得不到4/少，故錯(cuò)誤.

故選：C

例19.（2021.全國.高一專題練習(xí)）設(shè)m,n是兩條不同的直線，a,B是兩個(gè)不同的平面，下列命題中不正

確的是（）

A.a「|'=〃，maa,m///3^>m//n

B.aX.13,a^\（3=m,m工w=nL0

C.mln,mua,"u￡=>a_L〃

D.m//a,nuanm〃n

【答案】BCD

【解析】

解：對(duì)于A,因?yàn)閍Pl尸=〃，mua,m///3,所以現(xiàn)〃〃，故A正確；

對(duì)于B,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得，由a_L￡,a[\[3=m,mLn,當(dāng)〃ua時(shí)，nV/3,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由m_L〃，“zutz,“up,可得a,月平行或相交，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由〃2〃1，〃ua,可得相，”平行或異面，故D錯(cuò)誤.

故選：BCD.

例20.（2021?河北省鹽山中學(xué)高一階段練習(xí)）已知m、n是兩條不重合的直線，是三個(gè)兩兩不重合的

平面，下列四個(gè)命題中真命題是（）

A.若tz_L7,6_La,則/〃夕

B.若m_1_￡,機(jī)_1_>0,則a//月

C.若m、n是異面直線,m±a,m//j3,n-Lj3,n//a,則a_L￡

D.若機(jī)///”//萬，機(jī)//”,則?！?7

【答案】BC

【解析】

若,a、夕、7是三個(gè)兩兩不重合的平面，可知a,4平行或相交，故A錯(cuò)誤；

因?yàn)閍、夕是不重合的平面，m±a,ml/?,由判定定理可知a//￡,故B正確；

因?yàn)?7?///，所以必有加〃加，Wu/7,又因?yàn)閙_La,所以加_Le,所以tz_L〃，故C正確；

因?yàn)榧?/a,〃//￡,m//n,所以名尸可能相交，不一定平行，故D錯(cuò)誤.

故選：BC

題型九面面垂直判定定理的應(yīng)用

例21.（2021?陜西?西安高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為4的菱形，

PC=3,P8=PZ)=5,E為必的中點(diǎn).求證:

(1)直線尸C_L平面ABC。；

⑵平面￡DB_L平面ABCD.

【解析】

(1)

證明：因?yàn)樗睦忮F尸-ABCD的底面是邊長為4的菱形，PC=3,PB=PD=5,

PB-=PC2+BC2,PD2=PC2+DC2,

所以尸又3CnDC=C,

所以直線尸C，平面ABC。；

(2)

如圖所示：

連接AC與BD交于點(diǎn)0,連接0E,

因?yàn)镺,E為中點(diǎn)，

所以0E//PC,

所以線0E,平面ABCD,

又OEu平面EDB,

所以平面平面ABCD.

解題技巧(判定兩個(gè)平面垂直的常用方法)

(1)定義法：即說明兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角；

(2)判定定理法：其關(guān)鍵是在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一直線與另一個(gè)平面垂直，即把問題轉(zhuǎn)化為“線面垂直”;

(3)性質(zhì)法：兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面，則另一個(gè)也垂直于此平面.

例22.(2021?陜西?西安高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí))如圖，在四棱錐P-ABCZ)中，側(cè)面八仍，平面ABC。，

側(cè)棱24，尸￡＞,底面ABCD是直角梯形，其中BC〃4。/氏4。=90。,4。=38(?,。是4￡＞上一點(diǎn).

⑴若〃平面P80,求訪；

(2)求證：平面PAB_L平面PCD

【解析】

(1)

解：因?yàn)镃D〃平面P50,CDu平面A5CD,且平面43?！辏究谄矫妗?0=30,

所以80//CD,

又BCUAD,

所以四邊形BCDO為平行四邊形，則3C=OO,

又AD=3BC,所以AO=2OD,即方=2.

(2)

證明：因?yàn)槠矫鍼AD，平面ABC。，ABI底面ABCD,面PADC面ABCD=AD,^.ABIAD,所以AS,

平面PAD,則

又R4_LPD,且R4u平面PAB,平面BR,ABr^PA^A,

所以PD_L平面BIB,

又BDu平面PCD,

所以平面PAB_L平面PCD.

例23.(2021.陜西?西安中學(xué)高一階段練習(xí))如圖，在四棱錐P-ABC。中四邊形ABCD為平行四邊形,

ZBAP^ZCDP=90°,是正三角形，且=

⑴當(dāng)點(diǎn)M在線段上4上什么位置時(shí)，有DM，平面P4B?

(2)在(1)的條件下，點(diǎn)N在線段PB上什么位置時(shí)，有平面平面P3C?

【解析】

(1)

解：當(dāng)點(diǎn)M為線段R4的中點(diǎn)時(shí)，有。欣，平面

下面先證明：AB_L平面PAD.

,??四邊形ABC。是平行四邊形，，至〃。/).

X???ZBAP=ZCDP=90°,即AB_LAP,CD±DP,

:.AB1.DP,￡>Pu平面PAD,APu平面PAD,PD^\AP=P,

從而AB_L平面PAD,ZM/u平面PAD.:.AB±DM.

QVPAD是正三角形，PM=MA,

:.DM±AP,

又APp|AB=A,APu平面上4B,ABI平面R4B,.?.JDM_L平面上4B.

(2)

解：在(1)的條件下，點(diǎn)DNLPB時(shí)，有平面平面PBC,即點(diǎn)N在線段PB的靠近點(diǎn)尸的四等分

點(diǎn)時(shí)，有平面DWN_L平面PBC.

下面給出證明：在（1）的條件下，平面PAB,RBu平面R4B..?.ZW_LPB,又DN_L尸瓦DNp\DM=D,

DNu平面DAW,DA/u平面￡）ACV

.?.尸3_1_平面￡?加.因?yàn)槭?u平面PBC

??.平面DAW_L平面PBC.

不妨設(shè)AB=2,則尸3=20=02，PD=2.

貝I]PD2=PB2+BD2-2PB-BDcosB,即2'=(2夜『+R應(yīng)『_?x2夜x2應(yīng)cosB,解得COS8=;

BN=DBcosB=2^x-=—.

42

述

網(wǎng)__2-

PB2-724

???點(diǎn)N在線段PB的靠近點(diǎn)P的四等分點(diǎn)時(shí)，有平面，平面PBC.

例24.（2021?北京市八一中學(xué)高一期末）如圖所示，在正四棱柱A8C。-agCQi中，尸是線段4。上的動(dòng)

點(diǎn).

(1)證明：3尸〃平面AC，；

(2)在線段AC上是否存在一點(diǎn)尸，使得平面山)「，平面AC。？若存在，請(qǐng)求出AG：4P的值；若不存

在，請(qǐng)說明理由.

【解析】

解：(1)連接BA，BC],在正四棱柱ABC￡>-a4GR中，A引/￡>?且AB=RG，所以四邊形ABGR為平

行四邊形，所以曲〃B￡,因?yàn)锳Ru平面AC。-平面AC，，所以BQ〃平面AC，，

CB//2A且CB=RA，所以四邊形CBAD為平行四邊形，所以?！?,因?yàn)镃Ru平面AC2,平面

ACD),所以網(wǎng)〃平面4。一

又54口8￡=2,網(wǎng),BGu面照G,所以平面A4c〃平面AC?,又BPu平面BAG，

所以3P〃平面AC。

(2)因?yàn)樵谡睦庵鵄BCD-ABCR,AC±BD,8旦，面ABC。，ACu面ABCO,所以BBjAC,

8月c2。=B,8。u面2耳。，所以AC，面BB、D，因?yàn)锳Cu平面ACD,,所以平面ACD,1平面BB、D,

因?yàn)槊鍮DPnffiBBQ=BD,

要使平面平面AC，，則平面3D尸與面2居O重合，即尸在AC的中點(diǎn)時(shí)滿足題意，所以AG：A/=2

題型十求二面角

例25.(2022?浙江省開化中學(xué)高一期末)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，旬_1_平

面PCD,平面ADP_L平面APC,PC=PD=2,A￡>=4,Af為R4的中點(diǎn).

B.-------------------,A

P

⑴求證：PC1PD；

(2)求二面角C-MO-P的正切值.

【解析】

(1)

證明：過。在平面尸AD內(nèi)作DE_LX4,垂足為點(diǎn)尸，

???平面ADP_L平面APC,平面ADPc平面APC=AP,/)尸u平面ADP,

，￡)尸_1平面APC,

?.?尸Cu平面APC,則￡>尸JLPC,

?.?AD_L平面尸CD,PCu平面PDC,：.PCLAD,

?：ADcDF=D,..PC_L平面PAD,QPDu平面PAD,..PC_LPr).

⑵

解：過點(diǎn)尸在平面PAD內(nèi)作PN,NW,垂足為點(diǎn)N,連接CN,

Br------------------------------X4

由(1)知「C_L平面ADP,八Mu平面ADP,.^.Z)M_L尸C,

■.■DMA.PN,PNcPC=P,所以，ZM/_L平面PNC,

因?yàn)镃TVu平面尸CN,所以，CN1DM,

所以，/PNC為二面角C—DM—P的平面角，

?.?AD_L平面尸CD,尸￡)<=平面尸。。，:4。_1?。，

???AD=4,PD=2,則PA=JA/Y+POZ=2也,

???M為心的中點(diǎn)，所以，DM：PA=E

2

iii廠4

由SAPDM=-PD-AD=-MDPN=4=&PN=PN=F，

2Z275

PC2y[5

tanZCNP=-=—=—^因此，二面角c-。加一p的正切值為好.

存2

解題技巧：(作二面角的三種常用方法)

(1)定義法：在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線.如圖①，則/AOB

為二面角a-1-P的平面角.

圖①圖②圖③

(2)垂直法：過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的

角，即為二面角的平面角.如圖②，NAOB為二面角a-1-P的平面角.

(3)垂線法：過二面角的一個(gè)面內(nèi)異于棱上的一點(diǎn)A向另一個(gè)平面作垂線，垂足為B,由點(diǎn)B向二面角

的棱作垂線，垂足為0,連接A0,則NA0B為二面角的平面角或其補(bǔ)角.如圖③，NA0B為二面角a-1-B

的平面角.

例26.(2021?全國?高一課時(shí)練習(xí))如圖所示，在三棱柱ABC-A4G中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).

⑴求證：AG〃平面CDB一

⑵若平面ABC,AC1BC,短=1,AC=BC=①，求二面角瓦-的平面角的余弦值.

【解析】

(1)

連接BG交81c于點(diǎn)連接如圖，

則M是BG中點(diǎn)，又。是48中點(diǎn)，所以。河〃AC-

MDu平面COB1,AG<Z平面所以ACJ/平面CDB1；

(2)

的，平面ABC,CDu平面ABC,所以⑨LCD,

又AC=BC,￡)是A3中點(diǎn)，所以CDLA5,

48cA4]=A,4氏的<=平面42比4，所以CD,平面AB笈A,

4。匚平面48為4,所以CD，"D,所以是二面角耳一CD-B的平面角，

由AC_L3C,AAt=l,AC=BC=6，得AB=2,BD=1,BB,=1,所以BQ=亞,

cosZB.DB=.

12

例27.(2021?全國?高一課時(shí)練習(xí))如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形，PAJ_底面ABCD,

PA=AB,E為線段PB的中點(diǎn)，若F為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)(不含B).

(1)平面AEF與平面PBC是否相互垂直？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說明理由;

BF

⑵若標(biāo)=尢4為何值時(shí)？二面角B—AF—E為60°.

BC

【解析】

(1)

因?yàn)镻A=AB,E為線段PB的中點(diǎn)，所以因?yàn)?4,底面ABCD,BCu平面ABCD,所以R4L3C,

又因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，所以5LPA^AB=A,所以平面PAB,：AEu平面PAB,

BCLAE,因?yàn)锽Bc3C=3,所以AE_L平面PBC,因?yàn)锳Eu平面AEF,所以平面AEF_L平面PBC

(2)

如圖，取AB的中點(diǎn)M,作交AF于點(diǎn)N,連接EM,EN,

因?yàn)镋M為△BE4的中位線，所以助又以，平面ABCD,產(chǎn)e線段BC

故￡711_1_平面ABF,EM±AF,MNLAF,EMcMN=M

故AFL平面EMN,所以NMNE即為二面角3—AF—E的平面角，即NACVE=60。

設(shè)3c=2,則3尸=24,

,MNBFMN22…,A

因?yàn)?777="T77'即―?—=/，2'所以MN=I

AA/A.F1，4+44A/1+A

又tanNWE=蟠，即屬'1+上,得％=也

MNA2

題型十一平面與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用

例28.(2020?廣西?昭平中學(xué)高一階段練習(xí))在三棱錐P-ABC中，分別為A8,AC的中點(diǎn)，且C4=CB.

P

B

⑴證明：3C〃平面PDE；

（2）若平面PCD_L平面A3C,證明：ABLPC.

【解析】

（1）

證明:因?yàn)?。，E分別為48,AC的中點(diǎn)，

所以DE7/BC,

又。Eu平面PDE,8。0平面尸￡>￡,

所以8c〃平面PDE；

（2）

證明：因?yàn)镃4=C3,。為AB的中點(diǎn)，AJBYCD,

又平面PCD_L平面ABC

平面尸CDp|平面ABC=CD,

所以AB，平面PCD

又尸Cu平面PCD

所以ABJ.PC.

解題技巧（性質(zhì)定理應(yīng)用的注意事項(xiàng)）

利用面面垂直的性質(zhì)定理，證明線面垂直的問題時(shí)，要注意以下三點(diǎn):（1）兩個(gè)平面垂直；（2）直線必須在

其中一個(gè)平面內(nèi)；（3）直線必須垂直于它們的交線.

例29.（2021?全國?高一單元測試）如圖1,在直角梯形ABCD中，AB//CD,AB,AD,且AB=AD=1.

現(xiàn)以A。為一邊向形外作正方形ADEF,然后沿邊AD將正方形A￡>￡F翻折，使平面ADEF與平面ABCD垂

直，M為瓦）的中點(diǎn)，如圖2.

(1)求證：AM//平面BEC；

(2)求證：3C_L平面3DE.

【解析】

證明：取EC中點(diǎn)N,連結(jié)MN,BN.

在△EDC中，分別為￡D,EC的中點(diǎn)，

所以MN//CD,S.MN=-CD.

2

由已知AB//CD,AB=~CD,所以且肱V=AB,

2

因此四邊形MNB4是平行四邊形，所以有BN〃40,

又因?yàn)锽Nu平面3EC,且AMs平面3EC,所以AM〃平面BEC；

(2)證明：在正方形AD￡F中，EDYAD.

又因?yàn)槠矫鍭DEF_L平面ABCD中，且平面AD砂口平面ABCD=AD，

所以Z)E_L平面ABCD,又BCu平面ABCD,所以ED_L3C.

在直角梯形ABCD中，AB=AD=^CD=1,可得8C=0.

在△BCD中，BD=BC=應(yīng),CD=2,所以+3C?=CD?.

所以即_L3C,BDcDE=D,BD,DEu平面BDE,

3C_L平面BDE.

例30.(2021?全國?高一課時(shí)練習(xí))如圖所示，三角形PDC所在的平面與矩形A5CD所在的平面垂直，且

PD=PC.

(1)證明：BC〃平面PZM；

(2)證明：BC1.PD.

【解析】

(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以BCV/AD.

又BCU平面PDA,ADu平面PDA,

所以3c〃平面PZM.

(2)取C￡＞的中點(diǎn)H,連接尸”.

因?yàn)镻D=PC,所以P”_LCD.

又平面PDC±平面ABCD,平面PDC0平面ABCD=CD,PHu平面PDC,

所以平面ABCD.

又BCu平面A3CD,所以尸3c.

因?yàn)?C_LCCD=",

所以BC_L平面PDC.

又PDu平面PDC,所以3CJ_PZ).

例31.(2021?湖北?丹江口市第一中學(xué)高一階段練習(xí))如圖，已知四棱錐S-ABCD中ABCZ)為矩形，SAL平

面ABCD,AE_LS_B于點(diǎn)E,EF_LSC于點(diǎn)尸.

⑴求證：AF±SC；

(2)若平面AEP交SD于點(diǎn)G,求證：AG±SD.

【解析】

(1)

因?yàn)镾AL平面ABCD,