吉林省吉林市2025屆高三數學第四次調研測試試題理含解析

PAGE26-吉林省吉林市2025屆高三數學第四次調研測試試題理（含解析）一?選擇題1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用一元二次不等式的解法化簡集合A，再利用并集的定義求解.【詳解】因為，又，所以.故選：B【點睛】本題主要考查集合的基本運算以及一元二次不等式的解法，還考查了運算求解的實力，屬于基礎題.2.復數滿意（為虛數單位），則復數的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先化簡復數z，然后結合復數的定義確定其虛部即可.【詳解】由題意可得：，據此可知，復數z的虛部為.本題選擇D選項.【點睛】復數的代數形式的運算主要有加、減、乘、除及求低次方根．除法事實上是分母實數化的過程．3.《九章算術》是我國古代第一部數學專著，它有如下問題：“今有圓堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.問積幾何？”意思是“今有圓柱體形的土筑小城堡，底面周長為4丈8尺，高1丈1尺，問它的體積是多少？”（注：1丈=10尺，?。ǎ〢.704立方尺 B.2112立方尺 C.2115立方尺 D.2118立方尺【答案】B【解析】【分析】依據題意，由底面圓周長，得究竟面圓半徑，再由體積公式求出其體積.【詳解】設圓柱體底面圓半徑為，高為，周長為.因為，所以，所以（立方尺）.故選B項.【點睛】本題考查圓柱底面圓半徑、體積等相關計算，屬于簡潔題.4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為3，則輸出的值是()A.1 B.2 C.4 D.7【答案】C【解析】試題分析：第一次循環(huán)；其次次循環(huán)；第三次循環(huán)；結束循環(huán)，輸出選C.考點：循環(huán)結構流程圖【名師點睛】算法與流程圖的考查，側重于對流程圖循環(huán)結構的考查.先明晰算法及流程圖的相關概念，包括選擇結構、循環(huán)結構、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點條件、循環(huán)次數、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖探討的數學問題，是求和還是求項.5.在中，內角的對邊分別為，，，，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得，然后利用正弦定理求得.【詳解】因為，所以，所以.故選：C點睛】本題考查解三角形，考查運算求解實力.6.已知函數是偶函數，當時，，則曲線在處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用導數的幾何意義以及點斜式方程即可求解.【詳解】因為，，，，，所以曲線在處的切線方程為，即.故選：A.【點睛】本小題主要考查依據函數奇偶性求函數解析式，考查利用導數求切線方程，屬于基礎題.7.某單位去年的開支分布的折線圖如圖1所示，在這一年中的水、電、交通開支（單位：萬元）如圖2所示，則該單位去年的水費開支占總開支的百分比為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由折線圖找出水、電、交通開支占總開支的比例，再計算出水費開支占水、電、交通開支的比例，相乘即可求出水費開支占總開支的百分比.【詳解】水費開支占總開支的百分比為.故選：A點睛】本題考查折線圖與柱形圖，屬于基礎題.8.已知正方體的棱長為2，點在線段上，且，平面經過點，則正方體被平面截得的截面面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先依據平面的基本性質確定平面，然后利用面面平行的性質定理，得到截面的形態(tài)再求解.【詳解】如圖所示：確定一個平面，因為平面平面，所以，同理，所以四邊形是平行四邊形.即正方體被平面截的截面.因為，所以，即所以由余弦定理得：所以所以四邊形故選：B【點睛】本題主要考查平面的基本性質，面面平行的性質定理及截面面積的求法，還考查了空間想象和運算求解的實力，屬于中檔題.9.已知是拋物線的焦點，是上一點，的延長線交軸于點.若，則的值為（）A.8 B.6 C.4 D.2【答案】A【解析】【分析】由拋物線的標準方程,可求出焦點.由可知,從而,繼而可求出.【詳解】解:由拋物線的方程可得焦點,準線方程為:.作垂直于軸交于因為,所以可得為線段的三等分點,即.由,所以,即,所以故選:A.【點睛】本題考查了拋物線的標準方程,考查了拋物線的定義.對于拋物線中焦點弦問題,在求長時,首先考慮拋物線的定義,其次才是聯立拋物線與焦點弦直線方程,代入弦長公式進行求解.本題的關鍵是長度的轉化.10.函數的一條對稱軸方程為，則（）A.1 B. C.2 D.3【答案】B【解析】【詳解】試題分析：的對稱軸是化簡得考點：三角函數性質點評：利用對稱軸處取最值求解11.三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，Q是BC邊上的一個動點，且直線PQ與面ABC所成角的最大值為則該三棱錐外接球的表面積為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據題意畫出圖形，結合圖形找出△ABC的外接圓圓心與三棱錐P﹣ABC外接球的球心，求出外接球的半徑，再計算它的表面積．【詳解】三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，直線PQ與平面ABC所成角為θ，如圖所示；則sinθ==，且sinθ的最大值是，∴（PQ）min=2，∴AQ的最小值是，即A到BC的距離為，∴AQ⊥BC，∵AB=2，在Rt△ABQ中可得，即可得BC=6；取△ABC的外接圓圓心為O′，作OO′∥PA，∴=2r，解得r=2；∴O′A=2，取H為PA的中點，∴OH=O′A=2，PH=，由勾股定理得OP=R==，∴三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積是S=4πR2=4×=57π．故答案為C【點睛】本題主要考查正弦定理和線面位置關系，考查了幾何體外接球的應用問題，意在考查學生對這些學問的駕馭水平和分析推理實力.解題的關鍵求外接球的半徑．12.2024年末，武漢出現新型冠狀病毒肺炎（）疫情，并快速席卷我國其他地區(qū)，傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人體中發(fā)覺的冠狀病毒新毒株，所以目前沒有特異治療方法，防控難度很大.武漢市出現疫情最早，感染人員最多，防控壓力最大，武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、無法明確解除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的親密接觸者等“四類”人員，強化網格化管理，不落一戶、不漏一人.在排查期間，一戶6口之家被確認為“與確診患者的親密接觸者”，這種狀況下醫(yī)護人員要對其家庭成員隨機地逐一進行“核糖核酸”檢測，若出現陽性，則該家庭為“感染高危戶”.設該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為（）且相互獨立，該家庭至少檢測了5個人才能確定為“感染高危戶”的概率為，當時，最大，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據題意分別求出事務A：檢測5個人確定為“感染高危戶”發(fā)生的概率和事務B：檢測6個人確定為“感染高危戶”發(fā)生的概率,即可得出的表達式,再依據基本不等式即可求出.【詳解】設事務A：檢測5個人確定為“感染高危戶”,事務B：檢測6個人確定為“感染高危戶”,∴,.即設,則∴當且僅當即時取等號,即.故選：A．【點睛】本題主要考查概率的計算,涉及相互獨立事務同時發(fā)生的概率公式的應用,互斥事務概率加法公式的應用,以及基本不等式的應用,解題關鍵是對題意的理解和事務的分解,意在考查學生的數學運算實力和數學建模實力,屬于較難題.二?填空題13.已知隨機變量聽從正態(tài)分布且，則_____________【答案】0.76【解析】【分析】由已知條件可知數據對應的正態(tài)曲線的對稱軸，依據對稱性即可得到結果.【詳解】隨機變量聽從正態(tài)分布,則曲線的對稱軸為，，由可得，則故答案為0.76．【點睛】本題考查依據正態(tài)曲線的對稱性求在給定區(qū)間上的概率，求解的關鍵是把所求區(qū)間用已知區(qū)間表示；正態(tài)曲線的主要性質是：（1）正態(tài)曲線關于對稱；（2）在正態(tài)曲線下方和x軸上方范圍內的區(qū)域面積為1.14.在數列中，，，則__________．【答案】2492【解析】【分析】依據累加法可得，代入即得結果.【詳解】令，則，，∴，∴，∴.【點睛】本題考查利用累加法求數列通項，考查基本運算求解實力，屬基礎題.15.已知雙曲線的一條漸近線為，圓與交于兩點，若是等腰直角三角形，且(其中為坐標原點)，則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】【分析】求出雙曲線的漸近線方程，圓的圓心與半徑，在中，由余弦定理得：，利用距離推出關系式，然后求解離心率即可．【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，取的方程為：由是等腰直角三角形，則又，即，即所以，，在中，由余弦定理得：由是等腰直角三角形，可得邊上的高為2，即圓心到漸近線的距離為2.所以，即，所以則，則故答案為：【點睛】本題考查雙曲線的簡潔性質的應用，直線與圓的位置關系的應用，考查計算實力，屬于中檔題．16.若函數為自然對數的底數）在和兩處取得極值，且，則實數的取值范圍是______．【答案】【解析】分析】先將函數在和兩處取得極值，轉化為方程有兩不等實根，且，再令，將問題轉化為直線與曲線有兩交點，且橫坐標滿意，用導數方法探討單調性，作出簡圖，求出時，的值，進而可得出結果.【詳解】因為，所以，又函數在和兩處取得極值，所以是方程的兩不等實根，且，即有兩不等實根，且，令，則直線與曲線有兩交點，且交點橫坐標滿意，又，由得，所以，當時，，即函數在上單調遞增；當，時，，即函數在和上單調遞減；當時，由得，此時，因此，由得.故答案為【點睛】本題主要考查導數的應用，已知函數極值點間的關系求參數的問題，通常須要將函數極值點，轉化為導函數對應方程的根，再轉化為直線與曲線交點的問題來處理，屬于常考題型.三?解答題17.如圖,五邊形中,四邊形為長方形,為邊長為的正三角形,將沿折起,使得點在平面上的射影恰好在上.（Ⅰ）當時,證明:平面平面；（Ⅱ）若,求平面與平面所成二面角的余弦值的肯定值.【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ).【解析】【詳解】【分析】試題分析：（Ⅰ）作，垂足為，依題意得平面，則，平面，，結合勾股定理可得，則平面，平面平面.（Ⅱ）由幾何關系，以為軸建立空間直角坐標系，由題意可得平面的法向量，平面的法向量.計算可得平面與平面所成二面角的余弦值的肯定值為.試題解析：（Ⅰ）作，垂足為，

依題意得平面，，又，平面，利用勾股定理得，同理可得.在中，平面，又平面，所以平面平面（Ⅱ）連結，，，，又四邊形為長方形，.取中點為，得∥，連結，其中，，由以上證明可知相互垂直，不妨以為軸建立空間直角坐標系.

，，設是平面的法向量，

則有即，令得設是平面的法向量，則有即令得.則所以平面與平面所成二面角的余弦值的肯定值為.18.已知數列為等差數列，是數列的前項和，且，，數列滿意：，當，時，.（1）求數列，的通項公式；（2）令，證明：.【答案】（1）;;(2)證明見解析.【解析】【分析】（1）用和將已知，表示出來即可求出首項公差,從而可求通項公式；由可得，兩式相減進行整理可求出的通項公式.（2）用錯位相減法求出的前項和，即可證明不等式.【詳解】解：（1）數列為等差數列，是數列的前項和，且，設數列的首項為，公差為，則：，解得：，所以.因為①所以當時，.②①﹣②得：，由于，整理得（常數）.所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列.所以.證明：（2）由（1）得.所以①，故②①﹣②得：.所以.即.【點睛】本題考查了等差數列通項公式，考查了由遞推數列求通項公式，考查了錯位相減法.對于等差數列求通項公式時，常用的方法為基本量法，即用首項和公差表示出已知條件，從而求出首項和公差.本題的易錯在于錯位相減時的計算上，常算錯數，或者最終遺忘系數化1.19.體溫是人體健康狀況的干脆反應，一般認為成年人腋下溫度T（單位：）平均在之間即為正常體溫，超過即為發(fā)熱．發(fā)熱狀態(tài)下，不同體溫可分成以下三種發(fā)熱類型：低熱：；高熱：；超高熱（有生命危急）：．某位患者因患肺炎發(fā)熱，于12日至26日住院治療．醫(yī)生依據病情改變，從14日起先，以3天為一個療程，分別用三種不同的抗生素為該患者進行消炎退熱．住院期間，患者每天上午8：00服藥，護士每天下午16：00為患者測量腋下體溫記錄如下：抗生素運用狀況沒有運用運用“抗生素A”療運用“抗生素B”治療日期12日13日14日15日16日17日18日19日體溫（）38.739.439.740.139.939.238.939.0抗生素運用狀況運用“抗生素C”治療沒有運用日期20日21日22日23日24日25日26日體溫（）38.438.037.637.136.836.636.3（I）請你計算住院期間該患者體溫不低于的各天體溫平均值；（II）在19日—23日期間，醫(yī)生會隨機選取3天在測量體溫的同時為該患者進行某一特別項目“a項目”的檢查，記X為高熱體溫下做“a項目”檢查的天數，試求X的分布列與數學期望；（III）抗生素治療一般在服藥后2-8個小時就能出現血液濃度的高峰，起先殺滅細菌，達到消炎退熱效果．假設三種抗生素治療效果相互獨立，請依據表中數據，推斷哪種抗生素治療效果最佳，并說明理由．【答案】（I）平均值為（II）分布列見解析，．（III）“抗生素C”治療效果最佳，理由見解析.【解析】【分析】（I）依據所給表格，可計算體溫不低于的各天體溫平均值；（II）由題意可知X的全部可能取值為0，1，2，分別求得各自的概率，即可得分布列，進而求得數學期望；（III）依據三種抗生素治療后溫度的改變狀況，結合平均體溫柔體溫方差，即可做出推斷.【詳解】（I）由表可知，該患者共6天的體溫不低于，記平均體溫為，．所以，患者體溫不低于的各天體溫平均值為（Ⅱ）X的全部可能取值為0，1，2，，，則X的分布列為：X012所以．（Ⅲ）“抗生素C”治療效果最佳，理由如下：①“抗生素B”運用期間先連續(xù)兩天降溫后又回升，“抗生素C”運用期間持續(xù)降溫共計，說明“抗生素C”降溫效果最好，故“抗生素C”治療效果最佳②“抗生素B”治療期間平均體溫，方差約為0.0156：“抗生素C”平均體溫，方差約為0.1067，“抗生素C”治療期間體溫離散程度大，說明存在某個時間節(jié)點降溫效果明顯，故“抗生素C”治療效果最佳．【點睛】本題考查了平均數的求法，古典概型概率求法，離散型隨機變量分布列及數學期望的求法，分析實際問題方案的解決方法，屬于中檔題.20.已知橢圓E：，直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與E有兩個交點A，B，線段AB的中點為M．若，點K在橢圓E上，、分別為橢圓的兩個焦點，求的范圍；證明：直線OM斜率與l的斜率的乘積為定值；若l過點，射線OM與橢圓E交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時直線l斜率；若不能，說明理由．【答案】（1）（2）見證明；（3）見解析【解析】【分析】，橢圓E：，兩個焦點，，設，求出的表達式，然后求解范圍即可．設A，B的坐標分別為，，利用點差法轉化求解即可．直線l過點，直線l不過原點且與橢圓E有兩個交點的充要條件是且設，設直線，代入橢圓方程，通過四邊形OAPB為平行四邊形，轉化求解即可．【詳解】，橢圓E：，兩個焦點，設，，，，，的范圍是設A，B的坐標分別為，，則兩式相減，得，，即，故；設，設直線，即，由的結論可知，代入橢圓方程得，，由與，聯立得若四邊形OAPB為平行四邊形，那么M也是OP的中點，所以，即，整理得解得，．經檢驗滿意題意所以當時，四邊形OAPB為平行四邊形【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合應用，點差法，直線與橢圓的交點，考查分析問題解決問題的實力，精確轉化平行四邊形是關鍵，是中檔題21.已知，函數.（1）推斷極值點的個數；（2）若是函數的兩個極值點，證明：.【答案】（1）個.（2）證明見解析【解析】【分析】(1)依據函數的導數，推斷出的單調區(qū)間，進而證得函數有兩個極值點.(2)依據（1）的結論，得，且，化簡后可得，由此證得不等式成立.【詳解】（1）由題意得，，令，，則在上遞增，且，當時，，遞減；當，，遞增∴∵，，∴，.當時，，遞增；當時，，遞減，∴是的極大值點∵，，∴，.當時，，遞減；當時，，遞增，∴是的微小值點.∴在上有兩個極值點（2）證明：是函數的兩個極值點.由（1）得，且，即，所以.∴，，，由，則，即，所以∴設，則，∴在時單調遞減，則∴，則.∴【點睛】本題主要考查利用二次求導探討函數的單調性與極值，考查了分析問題解決問題的實力，考查化歸與轉化的數學思想方法，難度較大，屬于難題.22.在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以原點為極點