山西省山西名校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題理

PAGEPAGE12山西省山西名校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題理一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．2．橢圓的離心率為（）A． B． C． D．3．三張卡片上分別寫上字母A、M、N，將三張卡片隨機(jī)地排成一行，恰好排成英文單詞的概率為（）A． B． C． D．4．已知雙曲線的一條漸近線的斜率為，焦距為10，則雙曲線C的方程為（）A． B． C． D．5．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A．6 B．8 C．10 D．126．“”是“直線與直線相互平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知直線，圓，則下列說(shuō)法正確的是（）A．l與C可能相切或相交 B．l與C可能相離或相切C．l與C肯定相交 D．l與C可能相交或相離8．已知直線與拋物線的準(zhǔn)線相交于M，與C的其中一個(gè)交點(diǎn)為N，若線段的中點(diǎn)在x軸上，則p=（）A．2 B．4 C． D．9．函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A．， B．，C．， D．，10．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，對(duì)隨意的都有，則（）A． B． C． D．11．點(diǎn)P在橢圓上，的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)Q在圓上，則的最小值為（）A． B． C． D．12．設(shè)雙曲線的上頂點(diǎn)為A，直線與M交于B，C兩點(diǎn)，過(guò)B，C分別作，的垂線交于點(diǎn)D．若D到點(diǎn)的距離不超過(guò)，則M的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____．14．已知兩個(gè)單位向量和的夾角為120°，則在方向上的投影為_(kāi)_____．15．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，則______．16．已知在長(zhǎng)方體中，，，，E是側(cè)棱的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為_(kāi)_____．三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．17．（本小題滿分10分）已知橢圓的離心率為e，長(zhǎng)軸為，短軸為．（1）若W的一個(gè)焦點(diǎn)為，，求W的方程；（2）若，，求W的方程．18．（本小題滿分12分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)（t為常數(shù)且）的距離與到直線的距離相等，且點(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)P的軌跡上．（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程，并求t的值；（2）在（1）的條件下，已知直線l與軌跡C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求直線l的方程．19．（本小題滿分12分）如圖，在長(zhǎng)方體中，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，，，求點(diǎn)E到平面的距離．20．（本小題滿分12分）如圖，四邊形為正方形，，且，平面．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．21．（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的方程為，M為圓C的圓心，過(guò)原點(diǎn)O的直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B兩點(diǎn)均不在x軸上）．（1）若，求直線l的方程；（2）求面積的最大值．22．（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，焦距為2，其上、下頂點(diǎn)分別為A，B．直線與y軸交于點(diǎn)E．點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)（異于A，B），直線，分別與直線交于點(diǎn)M，N．連接，與橢圓C交于點(diǎn)Q．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)的面積為，的面積為，試推斷是否為定值?并說(shuō)明理由．山西名校2024~2025學(xué)年度高二第一學(xué)期期末考試·數(shù)學(xué)（理科）參考答案、提示及評(píng)分細(xì)則1．D由題意知，，則．2．A因?yàn)?，，所以，故離心率．3．C包括的基本領(lǐng)件為：，，，，，，故恰好排成英文單詞的概率為．4．D由，得．5．C這個(gè)幾何體可看成是由正方體及直三棱柱組成的組合體，所求幾何體的體積6．C若直線與直線相互平行，則，解得或，當(dāng)時(shí)，兩直線重合；當(dāng)時(shí)，兩直線平行．7．C將l方程整理得，發(fā)覺(jué)l恒過(guò)點(diǎn)，而點(diǎn)在圓C內(nèi)部，所以l與C肯定相交．8．B線段的中點(diǎn)即為直線與x軸的交點(diǎn)，過(guò)N作垂直于準(zhǔn)線于G因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為F，所以，又，，所以，所以，故F即為C的焦點(diǎn)，故．9．B，則，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，，解得，．因?yàn)?，所以．，令，，得，?0．C數(shù)列滿意，對(duì)隨意的都有，則有，可得數(shù)列為常數(shù)列，有，得，得，又由，所以．11．C記的左焦點(diǎn)為，則，所以，因?yàn)?，所以，而，所以的最小值為?2．D記，由題意可知，，由雙曲線的對(duì)稱性可知D點(diǎn)在y軸上，設(shè)，則，所以，所以，所以．因?yàn)?，所以，即，，又，所以?3．拋物線開(kāi)口向上，．14．因?yàn)?，所以在方向上的投影?5．2，由正弦定理得，，則，所以．16．以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，，所以，．故與平面所成角的正弦值為．17．解：（1）由題意可知，且W的焦點(diǎn)在x軸上，所以，所以W的方程為為．（2）因?yàn)?，，所以，故．?dāng)W的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，W的方程為；當(dāng)W的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，W的方程為；18．解：（1）由題意知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為拋物線，設(shè)拋物線C的方程為，則，所以，所以拋物線C的方程為故（2）設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，可得有，可得，有，可得直線l的斜率為故直線l的方程為，整理為．19．解：（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)G，連，為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，，，且四邊行為平行四邊形，，平面，平面，平面（2）由長(zhǎng)方體的性質(zhì)，平面平面，在中，由，，可得．在中，由，，可得設(shè)點(diǎn)E到平面的距離為d由，有，可得．故點(diǎn)E到平面的距離為．20．（1）證明：四邊形為正方形，．，，．又平面，．，平面，．又，平面，平面，平面平面．（2）解：平面，平面．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，則令，則，．設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，，．二面角為銳角，二面角的余弦值為．21．解：由直線l與圓C相交于兩點(diǎn)，直線l的斜率必定存在，設(shè)直線l的方程為（1）當(dāng)時(shí)，為等邊三角形，由圓C的半徑為1，可知．圓心到直線l的距離為有，解得故直線l的方程為．（2）由圓心到直線l的距離為，可得設(shè)的面積為，有設(shè)，可得，有可得當(dāng)時(shí)，，故面積的最大值為．22．解：（1）由題意可知，，，所以，，所以，即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；