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文檔簡(jiǎn)介

第3課時(shí)兩平面垂直的性質(zhì)第1章

平面與平面的位置關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握直線與平面垂直,平面與平面垂直的性質(zhì)定理.2.能運(yùn)用性質(zhì)定理解決一些簡(jiǎn)單的問題.3.了解直線與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理間的相互聯(lián)系.題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)平面與平面垂直的性質(zhì)定理思考

黑板所在的平面與地面所在的平面垂直,你能否在黑板上畫一條直線與地面垂直?答案容易發(fā)現(xiàn)墻壁與墻壁所在平面的交線與地面垂直,因此只要在黑板上畫出一條與這條交線平行的直線,則所畫的直線必與地面垂直.答案梳理文字語言

如果兩個(gè)平面互相垂直,那么在

垂直于它

的直線

于另一個(gè)平面符號(hào)語言α⊥β,α∩β=l,

,

?a⊥β圖形語言一個(gè)平面內(nèi)交線垂直a?αa⊥l題型探究例1

如圖所示,P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn),ABCD是∠DAB=60°且邊長(zhǎng)為a的菱形.側(cè)面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,G為AD邊的中點(diǎn).求證:(1)BG⊥平面PAD;類型一平面與平面垂直的性質(zhì)定理證明證明由題意知△PAD為正三角形,G是AD的中點(diǎn),∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PG⊥平面ABCD,∴PG⊥BG.又∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB=60°,∴△ABD是正三角形,∴BG⊥AD.又AD∩PG=G,∴BG⊥平面PAD.(2)AD⊥PB.證明由(1)可知BG⊥AD,PG⊥AD,BG∩PG=G,所以AD⊥平面PBG.又PB?平面PBG,所以AD⊥PB.證明當(dāng)題目條件中有面面垂直的條件時(shí),往往要由面面垂直的性質(zhì)定理推導(dǎo)出線面垂直的條件,進(jìn)而得到線線垂直的關(guān)系.因此見到面面垂直條件時(shí)要找準(zhǔn)兩平面的交線,有目的地在平面內(nèi)找交線的垂線.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練1

如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.求證:BC⊥AB.證明證明如圖,在平面PAB內(nèi),作AD⊥PB于點(diǎn)D.∵平面PAB⊥平面PBC,且平面PAB∩平面PBC=PB,∴AD⊥平面PBC.又BC?平面PBC,∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴PA⊥BC.又∵PA∩AD=A,∴BC⊥平面PAB.又AB?平面PAB,∴BC⊥AB.例2

如圖,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E為CD的中點(diǎn).將△ADE沿AE折起,使平面ADE⊥平面ABCE,得到幾何體D—ABCE.類型二立體幾何中的折疊問題證明求證:BE⊥平面ADE.證明在△ADE中,AE2=AD2+DE2=12+12=2,在△BCE中,BE2=BC2+CE2=12+12=2,故在△AEB中,∵AE2+BE2=AB2,∴BE⊥AE.又平面ADE⊥平面ABCE,且平面ADE∩平面ABCE=AE,BE?平面ABCE,∴BE⊥平面ADE.(1)抓住折疊前后的不變量與變化量,同在半平面內(nèi)的兩個(gè)元素之間的關(guān)系保持不變,而位于兩個(gè)半平面內(nèi)的兩個(gè)元素之間關(guān)系改變.(2)特別要有意識(shí)地注意折疊前后不變的垂直性和平行性.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練2

如圖①所示,在平面四邊形ABCD中,AB=BC=CD=a,∠B=90°,∠C=135°.沿對(duì)角線AC將四邊形折成直二面角,如圖②所示.證明求證:平面ABD⊥平面BCD.證明∵∠ACD=135°-45°=90°,∴CD⊥AC.由已知得二面角B—AC—D是直二面角,過B作BO⊥AC,垂足為O,由AB=BC知,O為AC的中點(diǎn),作OE⊥AC交AD于E,則∠BOE=90°,∴BO⊥OE.而OE∩AC=O,∴BO⊥平面ACD.∵CD?平面ACD,∴BO⊥CD.又AC∩BO=O,∴CD⊥平面ABC,∵AB?平面ABC,∴AB⊥CD.由已知∠ABC=90°,∴AB⊥BC.而BC∩CD=C,∴AB⊥平面BCD.又∵AB?平面ABD,∴平面ABD⊥平面BCD.證明因?yàn)槠矫鍼AD⊥底面ABCD,且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD,所以PA⊥底面ABCD.例3

如圖,在四棱錐P—ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分別是CD和PC的中點(diǎn).求證:(1)PA⊥底面ABCD;類型三線線、線面、面面垂直的綜合應(yīng)用證明(2)BE∥平面PAD;證明證明因?yàn)锳B∥CD,CD=2AB,E為CD的中點(diǎn),所以AB∥DE,且AB=DE,所以四邊形ABED為平行四邊形,所以BE∥AD.又因?yàn)锽E?平面PAD,AD?平面PAD,所以BE∥平面PAD.(3)平面BEF⊥平面PCD.證明因?yàn)锳B⊥AD,而且四邊形ABED為平行四邊形,所以BE⊥CD,AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD.又PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD.因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn),所以PD∥EF,所以CD⊥EF.又EF∩BE=E,所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.證明(1)線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的轉(zhuǎn)化:反思與感悟(2)在運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí),一般需作輔助線,基本作法是過其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線,這樣把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直或線線垂直.跟蹤訓(xùn)練3

如圖,在四棱錐S—ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥平面ABCD,且SA=AB,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),點(diǎn)F為SC的中點(diǎn).求證:(1)EF⊥CD;證明證明連結(jié)AC、AF、BF.∵SA⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,∴SA⊥AC.又∵四邊形ABCD是正方形,∴BC⊥AB.而由SA⊥平面ABCD,得CB⊥SA.又SA∩AB=A.∴CB⊥平面SAB.∵SB?平面SAB,∴CB⊥SB,∴△AFB為等腰三角形,∵E為AB的中點(diǎn),∴EF⊥AB.又CD∥AB,∴EF⊥CD.(2)平面SCD⊥平面SCE.證明證明由已知易得Rt△SAE≌Rt△CBE,∴SE=EC,即△SEC是等腰三角形,∴EF⊥SC.又∵EF⊥CD,且SC∩CD=C,∴EF⊥平面SCD.又EF?平面SCE,∴平面SCD⊥平面SCE.當(dāng)堂訓(xùn)練1.給出下列四個(gè)說法:①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行,那么這兩個(gè)平面相互平行;②若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線,那么這兩個(gè)平面相互垂直;③垂直于同一直線的兩條直線相互平行;④若兩個(gè)平面垂直,那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直.其中正確的是________.(填序號(hào))答案2341②④5解析解析①中若兩直線平行,則結(jié)論錯(cuò)誤;②正確;在空間中③錯(cuò)誤;④正確.234152.已知平面α⊥平面β,直線a∥α,則直線a與β的位置關(guān)系可能是________.(填序號(hào))①a⊥β;②a∥β;③a與β相交.答案23415①②③3.若將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿AC折疊成直二面角,則B,D兩點(diǎn)間的距離為______.答案2341254.如圖,在三棱錐P—ABC內(nèi),側(cè)面PAC⊥底面ABC,且∠PAC=90°,PA=1,AB=2,則PB=___.2341答案解析5解析∵側(cè)面PAC⊥底面ABC,交線為AC,∠PAC=90°(即PA⊥AC),∴PA⊥平面ABC,5.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,已知AD=2AB=2a,BD=

a,AC∩BD=E,將其沿對(duì)角線BD折成直二面角.2341證明5

求證:(1)AB⊥平面BCD;23415∴AB2+BD2=AD2,∴∠ABD=90°,AB⊥BD.又∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB?平面ABD,∴AB⊥平面BCD.(2)平面ACD⊥平面ABD.23

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