1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算-數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)（人教A版2019）

第一章空間向量與立體幾何1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算·選擇性必修第一冊(cè)·123學(xué)習(xí)目標(biāo)通過(guò)類比平面向量的相關(guān)概念學(xué)習(xí)空間向量的相關(guān)概念，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)（重點(diǎn)）。通過(guò)類比平面向量的線性運(yùn)算法則與運(yùn)算律推出空間向量的線性運(yùn)算法則和運(yùn)算律并掌握，培養(yǎng)學(xué)生的類比意識(shí)（重點(diǎn)、難點(diǎn)）。通過(guò)合作探究，歸納得出共線向量定理與共面向量定理并理解，培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力和歸納總結(jié)能力，提升直觀想象素養(yǎng)（重點(diǎn)、難點(diǎn)）。引入新知在滑翔的過(guò)程中，飛行員會(huì)受到來(lái)自不同方向、不同大小的力，如繩索的拉力、風(fēng)力、重力等，這些力在同一平面內(nèi)嗎？引入新知國(guó)慶節(jié)期間，某游客從上海世博園(O)游纜結(jié)束后乘車到外灘(A)觀賞黃浦江，然后抵達(dá)東方明珠(B)游玩，如圖(1)，游客的實(shí)際位移是什么？可以用什么數(shù)學(xué)概念來(lái)表示這個(gè)過(guò)程？OABOABD如果游客還要登上東方明珠頂端(D)俯瞰上海美麗的夜景，如圖(2),那他實(shí)際發(fā)生的位移是什么？又如何表示呢?新課探究問(wèn)題1

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)平面向量的概念和線性運(yùn)算，你能類比平面向量，給出空間向量的概念和線性運(yùn)算嗎？平面向量的概念

平面內(nèi)，既有大小又有方向的量，稱為平面向量，平面向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度或模，記作

或|a|.空間向量的概念

空間中，既有大小又有方向的量，稱為空間向量，空間向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度或模，記作

或|a|.新課探究平面向量的表示法空間向量的表示法(1)有向線段

A(起點(diǎn))B(終點(diǎn))a(2)字母a，b，c，…(3)坐標(biāo)表示：a＝(x，y)acb印刷體：a手寫(xiě)體：(1)有向線段(2)字母

a，b，c，…(3)坐標(biāo)表示：a＝(x，y，z)新課探究平面向量的相關(guān)概念空間向量的相關(guān)概念模為0的向量，記作

0；零向量的方向任意；模為1的向量；模和方向都相同的兩個(gè)向量，記作

a＝b；模相同，方向相反的兩個(gè)向量，記作

a＝－b；零

向

量：?jiǎn)挝幌蛄浚合嗟认蛄浚合喾聪蛄浚盒抡n探究平面向量的相關(guān)概念空間向量的相關(guān)概念共線向量：方向相同或相反的兩個(gè)非零向量，叫做共線向量或平行向量，記作a∥b；規(guī)定，零向量和任意向量共線。共線向量：若表示空間向量的有向線段所在直線平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作a∥b；規(guī)定，零向量和任意向量共線。新課探究問(wèn)題2

在學(xué)習(xí)完平面向量的相關(guān)概念以后，我們研究了平面向量的線性運(yùn)算，你能類比平面向量，研究空間向量的線性運(yùn)算嗎？

平面向量的線性運(yùn)算有加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算。先研究它們的定義及運(yùn)算法則，再研究它們的運(yùn)算律。新課探究轉(zhuǎn)化平面向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算abO.α新課探究平面向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算(1)加、減運(yùn)算：求兩個(gè)平面向量的和與差的運(yùn)算。法則：三角形和平行四邊形法則(1)加、減運(yùn)算：求兩個(gè)空間向量的和與差的運(yùn)算。法則：三角形和平行四邊形法則b新課探究平面向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算(2)數(shù)乘運(yùn)算：實(shí)數(shù)λ與平面向量a的積是一個(gè)向量，記作λa，其長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|＝|λ||a|；②若λ>0，λa與a的方向相同；若λ<0，λa與a的方向相反；若λ＝0，λa＝0.(2)數(shù)乘運(yùn)算：實(shí)數(shù)λ與空間向量a的積是一個(gè)向量，記作λa，其長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|＝|λ||a|；②若λ>0，λa與a的方向相同；若λ<0，λa與a的方向相反；若λ＝0，λa＝0.新課探究問(wèn)題3

平面向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律有哪些？你能類比它們得出空間向量線性運(yùn)算的運(yùn)算律嗎？平面向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算(3)運(yùn)算律：(3)運(yùn)算律：①交換律：

a+b＝b+a；②結(jié)合律：a+(b+c)

＝(a+b)

+c，

λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ+μ)a＝λa+

μa，

λ(a+b)＝λa+

λb.①交換律：a+b＝b+a；②結(jié)合律：a+(b+c)

＝(a+b)

+c，

λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ+μ)a＝λa+

μa，

λ(a+b)＝λa+

λb.新課探究思考：

如何證明空間向量的加法結(jié)合律呢？acb在平行六面體ABCD－A'B'C'D'中，記則a+(b+c)

＝

(a+b

)

+c

＝

所以有：a+(b+c)＝(a+b

)

+c.a，b，c.新課探究證明空間向量的加法結(jié)合律acb

一般地，對(duì)于三個(gè)不共面的向量a，b，c，以任意點(diǎn)O為起點(diǎn)，a，b，c為鄰邊作平行六面體，則a，b，c的和等于以O(shè)為起點(diǎn)的平行六面體對(duì)角線所表示的向量。學(xué)習(xí)新知問(wèn)題4

平面向量的線性運(yùn)算可以解決平面中的很多問(wèn)題，空間向量的線性運(yùn)算是否可以解決空間中的相關(guān)問(wèn)題呢？平面向量共線的充要條件空間向量共線的充要條件對(duì)任意兩個(gè)平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是：存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.對(duì)任意兩個(gè)空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是：存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.學(xué)習(xí)新知直線的方向向量在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量，直線可以由其上一點(diǎn)和它的方向向量確定。

如圖，O是直線l上一點(diǎn)，在直線l上取非零向量

，則對(duì)于直線l上任意一點(diǎn)P，由數(shù)乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實(shí)數(shù)

,使得直線

可以由其上一點(diǎn)和它的方向向量確定。學(xué)習(xí)新知共面向量OAl學(xué)習(xí)新知思考：

空間中的任意三個(gè)向量是否共面，什么條件下三個(gè)空間向量共面？若p在α內(nèi)，則有

p＝xa

+yb；若p＝xa

+yb，則p在α內(nèi)。aObpαp.學(xué)習(xí)新知三個(gè)不共線的空間向量共面的充要條件應(yīng)用新知OABCDEFGH圖1.1-9應(yīng)用新知OABCDEFGH圖1.1-9應(yīng)用新知規(guī)律方法應(yīng)用新知變式訓(xùn)練：

能力提升題型一空間向量的有關(guān)概念

例題能力提升題型一空間向量的有關(guān)概念

（要求寫(xiě)出所有適合條件的向量）例題能力提升題型一空間向量的有關(guān)概念

解析能力提升方法總結(jié)解答空間向量有關(guān)概念問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)及注意點(diǎn)

(1)關(guān)鍵點(diǎn)：緊緊抓住向量的兩個(gè)要素，即大小和方向．(2)注意點(diǎn)：注意一些特殊向量的特性．①零向量不是沒(méi)有方向，而是它的方向是任意的，且與任何向量都共線，這一點(diǎn)說(shuō)明了共線向量不具備傳遞性．②單位向量方向雖然不一定相同，但它們的長(zhǎng)度都是1.③兩個(gè)向量模相等，不一定是相等向量；反之，若兩個(gè)向量相等，則它們不僅模相等，方向也相同.若兩個(gè)向量模相等,方向相反,則它們?yōu)橄喾聪蛄?能力提升題型二空間向量的線性表示

例題能力提升題型二空間向量的線性表示

解析能力提升方法總結(jié)空間向量加法、減法運(yùn)算的兩個(gè)技巧(1)巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵，靈活運(yùn)用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量加、減法運(yùn)算時(shí)，務(wù)必注意和向量、差向量的方向，必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得運(yùn)算結(jié)果．能力提升方法總結(jié)利用數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧(1)數(shù)