二次根式知識點(diǎn)總結(jié)和習(xí)題教師用

二次根式的學(xué)問點(diǎn)匯總學(xué)問點(diǎn)一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式，但必需留意：因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。學(xué)問點(diǎn)二：取值范圍1.二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)a≧0時，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。2.二次根式無意義的條件：因負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，所以當(dāng)a﹤0時，沒有意義。學(xué)問點(diǎn)三：二次根式（）的非負(fù)性（）表示a的算術(shù)平方根，也就是說，（）是一個非負(fù)數(shù)，即0（）。注：因?yàn)槎胃剑ǎ┍硎綼的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0的算術(shù)平方根是0，所以非負(fù)數(shù)（）的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即0（），這特性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和一定值、偶次方類似。這特性質(zhì)在解答題目時應(yīng)用較多，如若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0。學(xué)問點(diǎn)四：二次根式（）的性質(zhì)文字語言敘述為：一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個非負(fù)數(shù)。學(xué)問點(diǎn)五：二次根式的性質(zhì)學(xué)問點(diǎn)六：及的異同點(diǎn)1、不同點(diǎn)：及表示的意義是不同的，表示一個正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而表示一個實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在中，而中a可以是正實(shí)數(shù)，0，負(fù)實(shí)數(shù)。但及都是非負(fù)數(shù)，即，。因此它的運(yùn)算的結(jié)果是有差異的，，而2、一樣點(diǎn)：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時，=；時，無意義，而.學(xué)問點(diǎn)七：二次根式的運(yùn)算（1）因式的外移和內(nèi)移：假如被開方數(shù)中有的因式可以開得盡方，則，就可以用它的算術(shù)根代替而移到根號外面；假如被開方數(shù)是代數(shù)和的形式，則先解因式，變形為積的形式，再移因式到根號外面，反之也可以將根號外面的正因式平方后移到根號里面．（2）二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡二次根式再合并同類二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），將被開方數(shù)相乘（除），所得的積（商）仍作積（商）的被開方數(shù)并將運(yùn)算結(jié)果化為最簡二次根式．=·（a≥0，b≥0）；（b≥0，a>0）．（4）有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律和結(jié)合律，乘法對加法的安排律以和多項(xiàng)式的乘法公式，都適用于二次根式的運(yùn)算．【例題精選】二次根式有意義的條件：例1：求下列各式有意義的全部x的取值范圍。解：（1）要使有意義，必需，由得，當(dāng)時，式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義。（2）要使有意義，為隨意實(shí)數(shù)均可，當(dāng)x取隨意實(shí)數(shù)時均有意義。（3）要使有意義，必需的范圍內(nèi)。當(dāng)時，式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義。小練習(xí)：（1）當(dāng)x是多少時，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？（2）當(dāng)x是多少時，+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？②（3）當(dāng)x是多少時，+x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？（4）當(dāng)時，有意義。2.使式子有意義的未知數(shù)x有（）個．A．0B．1C．2D．多數(shù)3．已知y=++5，求的值．4．若+有意義，則=_______．5.若有意義，則的取值范圍是。最簡二次根式例2：把下列各根式化為最簡二次根式：分析：根據(jù)最簡二次根式的概念進(jìn)展化簡，（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。解：同類根式：例3：推斷下列各組根式是否是同類根式：分析：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，假如被開方數(shù)一樣，則這幾個二次根式就叫做同類二次根式，所以推斷幾個二次根式是否為同類二次根式，首先要將其化為最簡二次根式。解：分母有理化：例4：把下列各式的分母有理化：分析：把分母中的根號化去，叫做分母有理化，兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，假如它們的積不含有二次根式，我們說，這兩個代數(shù)式互為有理化因子，如及，均為有理化因式。解：求值：例5：計(jì)算：分析：快速、精確地進(jìn)展二次根式的加減乘除運(yùn)算是本章的重點(diǎn)內(nèi)容，必需駕馭，要特殊留意運(yùn)算依次和有意識的運(yùn)用運(yùn)算律，尋求合理的運(yùn)算步驟，得到正確的運(yùn)算結(jié)果。解：（1）原式化簡：例6：化簡：分析：應(yīng)留意（1）式，（2），所以，可看作可利用乘法公式來進(jìn)展化簡，使運(yùn)算變得簡潔。解：例7：化簡練習(xí)：解：化簡求值：例8：已知：求：的值。分析：假如把a(bǔ)，b的值干脆代入計(jì)算的計(jì)算都較為繁瑣，應(yīng)另辟蹊徑，考慮到互為有理化因子可計(jì)算，然后將求值式子化為的形式。解：小結(jié)：明顯上面的解法特別簡捷，在運(yùn)算過程中我們必需留意尋求合理的運(yùn)算途徑，進(jìn)步運(yùn)算實(shí)力。類似的解法在很多問題中有廣泛的應(yīng)用，大家應(yīng)有意識的總結(jié)和積累。例9：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：2x2－4；【提示】先提取2，再用平方差公式．【答案】2（x＋）（x－）．．x4－2x2－3．【提示】先將x2看成整體，利用x2＋px＋q＝（x＋a）（x＋b）其中a＋b＝p，ab＝q分解．再用平方差公式分解x2－3．【答案】（x2＋1）（x＋）（x－）．例10、綜合應(yīng)用：如圖所示的Rt△ABC中，∠B=90°，點(diǎn)P從點(diǎn)B開場沿BA邊以1厘米/秒的速度向點(diǎn)A挪動；同時，點(diǎn)Q也從點(diǎn)B開場沿BC邊以2厘米/秒的速度向點(diǎn)C挪動．問：幾秒后△PBQ的面積為35平方厘米？PQ的間隔是多少厘米？（結(jié)果用最簡二次根式表示）【專項(xiàng)訓(xùn)練】：一、選擇題：在以下所給出的四個選擇支中，只有一個是正確的。1、成立的條件是： A． B． C． D．2、把化成最簡二次根式，結(jié)果為： A． B． C． D．3、下列根式中，最簡二次根式為： A． B． C． D．4、已知t<1，化簡得： A． B． C．2 D．05、下列各式中，正確的是： A． B． C． D．6、下列命題中假命題是： A．設(shè) B．設(shè) C．設(shè) D．設(shè)7、及是同類根式的是： A． B． C． D．8、下列各式中正確的是： A． B． C． D．三、 1、化簡 2、已知：求：【答案】：一、選擇題： 1、B 2、C 3、B 4、D 5、B 6、C 7、D 8、D 9、C 10、B二、計(jì)算：三、拓展訓(xùn)練分式，平方根，一定值；成立的條件是_______________當(dāng)a________時，；當(dāng)a________時，。若，則__________；若，則__________。把根號外的因式移入根號內(nèi)，結(jié)果為________。把-3根號外的因式移到根號內(nèi)，結(jié)果為________。x＜y，則化簡為________10.若EQ\R(a+b,4b)及EQ\R(,3a＋b)是同類二次根式，則a=____，b=_____。11.求使為實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)的值為____。二、根式，一定值的和為0；若=0，則=__________。假如求的算術(shù)平方根。6.在ΔABC中，a，b，c為三角形的三邊，則=_______。7.已知8.假如，則=_______。三、分式的有理化1、已知x=EQ\F(EQ\R(,2)+1,EQ\R(,2)－1),y=EQ\F(EQ\R(,3)－1,EQ\R(,3)+1)，求x2－y2的值。5.已知，求下列各式的值；yx四、整數(shù)局部及小數(shù)局部1.的整數(shù)局部是_________，小數(shù)局部是________。4.已知，的整數(shù)局部為，小數(shù)局部為，求的值。根式，分式的倒數(shù)；1.已知x＋EQ\F(1,x)=4,求x－EQ\F(1,x)的值。若x2