高考總復習理數(shù)（北師大版）課件第11章第6節(jié)離散型隨機變量的均值與方差

概率、隨機變量及其分布列第十一章第六節(jié)離散型隨機變量的均值與方差考點高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)離散型隨機變量的期望與方差2017·全國卷Ⅰ·T19·12分正態(tài)分布的期望公式、3σ原則數(shù)學運算2017·全國卷Ⅲ·T18·12分由頻率分布表求出概率，列出分布列求出期望數(shù)學運算2016·全國卷Ⅰ·T19·12分頻率代替概率以及利用互斥事件獨立事件的概率公式求出概率，列出分布列求出期望數(shù)學運算2016·全國卷Ⅱ·T18·12分根據(jù)條件概率公式求解概率，寫出分布列求出期望數(shù)學運算命題分析本節(jié)是高考的熱點，一般以解答題形式出現(xiàn)，以實際問題為背景，考查離散型隨機變量的期望與方差的實際應用，解題時要熟練應用公式，題目難度不大.02課堂·考點突破03課后·高效演練欄目導航01課前·回顧教材01課前·回顧教材1．離散型隨機變量的均值與方差設(shè)隨機變量X的可能取值為a1，a2，…，ar，取ai的概率為pi(i＝1,2，…，r)，即X的分布列為P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…，r)．(1)均值稱EX＝________________________為隨機變量X的均值或______________，均值EX刻畫的是X取值的“_________________”．a(chǎn)1p1＋a2p2＋…＋arpr

數(shù)學期望中心位置E(X－EX)2集中分散2．均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝_______________.(2)D(aX＋b)＝________.3．兩點分布與二項分布的期望與方差(1)若X服從兩點分布，則EX＝_____，DX＝____________.(2)若X～B(n，p)，則EX＝________，DX＝_____________.aEX＋ba2DXpp(1－p)np

np(1－p)提醒：求離散型隨機變量均值、方差的基本方法(1)已知隨機變量的分布列求它的均值、方差，可直接按定義(公式)求解；(2)已知隨機變量X的均值、方差，求X的線性函數(shù)Y＝aX＋b的均值、方差，可直接用X的均值、方差的性質(zhì)求解；(3)如能分析所給隨機變量服從常用的分布(如兩點分布、二項分布等)，可直接利用它們的均值、方差公式求解．1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)數(shù)學期望是算術(shù)平均數(shù)概念的推廣，與概率無關(guān)．(

)(2)隨機變量的均值是常數(shù)，樣本的均值是隨機變量．(

)(3)隨機變量的方差反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差越小，則偏離均值的平均程度越小．(

)(4)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機變量的情況，因此它們是一回事．(

)(5)在正態(tài)密度曲線中，當μ一定時，σ越大，圖象越瘦高；σ越小，圖象越低矮．(

)(6)正態(tài)密度曲線與x軸圍成的面積為1.(

)答案：(1)×

(2)√

(3)√

(4)×

(5)×

(6)√答案：A4．設(shè)隨機變量X～B(8，p)，且DX＝1.28，則概率p的值是(

)A．0.2

B．0.8C．0.2或0.8

D．0.16C

解析：由DX＝8p(1－p)＝1.28，∴p＝0.2或p＝0.8.[析考情]離散型隨機變量的期望與方差是近幾年高考的主要的概率題型，一般是計算量較大，特別是分布列一定不能出錯．02課堂·考點突破離散型隨機變量的均值與方差[提能力]【典例】

(2017·全國卷Ⅲ)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位：瓶)的分布列；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位：瓶)為多少時，Y的數(shù)學期望達到最大值？(2)由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮200≤n≤500.當300≤n≤500時，若最高氣溫不低于25，則Y＝6n－4n＝2n；若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1200－2n；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.因此EY＝2n×0.4＋(1200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.當200≤n＜300時，若最高氣溫不低于20，則Y＝6n－4n＝2n；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n，因此EY＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.所以n＝300時，Y的數(shù)學期望達到最大值，最大值為520元．[悟技法]求離散型隨機變量的均值和方差的兩個步驟(1)定型，即先判斷隨機變量的分布是特殊類型，還是一般類型，如兩點分布、二項分布、超幾何分布等屬于特殊類型；(2)定性，對于特殊類型的均值和方差可以直接代入相應公式求解，而對于一般類型的隨機變量，應先求其分布列然后代入相應公式計算，注意離散型隨機變量的取值與概率間的對應．[刷好題]1．一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖．如圖所示．將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨立．(1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機變量X的分布列，期望EX及方差DX.解：(1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個”，因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.[析考情]利用離散型隨機變量的均值與方差，對現(xiàn)實生活中的問題進行分析、作出決策是高考考查離散型隨機變量分布列、均值與方差的一個重要考向，常與古典概型、二項分布、相互獨立事件概率等知識綜合，以解答題的形式出現(xiàn)．均值與方差的應用[提能力]【典例】

(2016·全國卷Ⅰ)某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰，機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù)．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，確定n的最小值；(3)以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在n＝19與n＝20之中選其一，應選用哪個？解：(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2，從而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04；[悟技法]利用均值、方差進行決策的2個方略(1)當均值不同時，兩個隨機變量取值的水平可見分歧，可對問題作出判斷．(2)若兩隨機變量均值相同或相差不大，則可通過分析兩變量的方差來研究隨機變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進而進行決策．[刷好題](2017·北京卷)為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥．一段時間后，記錄了兩組患者的生理指標x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中“*”表示服藥者，“＋”表示未服藥者．(1)從服藥的50名患者中隨機選出一人，求此人指標y的值小于60的概率；(2)從圖中A，B，C，D四人中隨機選出兩人，記ξ為選出的兩人中指標x的值大于1.7的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望Eξ；(3)試判斷這100名患者中服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差的大?。?只需寫出結(jié)論)二項分布的均值與方差[明技法]與二項分布有關(guān)的期望、方差的求法(1)求隨機變量ξ的期望與方差時，可首先分析