福建省福州市2025屆高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)福建省福州市2025屆高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A=x∣x2?4x?5≤0,B=A.x∣?5≤x≤6 B.x∣?1≤x≤6

C.x∣0≤x≤1 D.x∣0≤x≤52.已知復(fù)數(shù)z=52?i，則z=A.355 B.95 C.3.以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為始邊的角α，其終邊落在直線y=2x上，則(

)A.sinα=?255 B.cosα=4.以y=±3x為漸近線的雙曲線可以是(

)A.x23?y2=1 B.x5.如圖，梯形ABCD的腰CD的中點(diǎn)為E，且BC=3AD，記AB=m,AD=n，則A.?12m+2n B.126.已知圓x2+y2+4mx?2my+m=0m∈R與A.1 B.0或14 C.0或1 D.7.已知圓錐SO的底面半徑為1，過(guò)高線的中點(diǎn)且垂直于高線的平面將圓錐SO截成上?下兩部分，若截得小圓錐的體積為324π，則圓錐SO的側(cè)面積為A.4π B.2π C.2π 8.大氣壓強(qiáng)p(單位：kPa)與海拔?(單位：m)之間的關(guān)系可以由p=p0e?k?近似描述，其中p0為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓強(qiáng)，k為常數(shù).已知海拔為5000m,8000m兩地的大氣壓強(qiáng)分別為54kPa,36kP.若測(cè)得某地的大氣壓強(qiáng)為80kPa，則該地的海拔約為(

A.295m B.995m C.2085m D.3025m二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知(1?2x)9=aA.a0=1 B.a1=18

C.10.如圖是函數(shù)fx=sinωx+φ的部分圖象，則(

)A.π是fx的一個(gè)周期 B.fπ2=f4π3

C.fπ211.已知函數(shù)fx,gx均為定義在R上的非常值函數(shù)，且gx為fx的導(dǎo)函數(shù).對(duì)?x,y∈R,fx+yA.f0=0 B.fx為偶函數(shù)

C.g三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，高為3，則其體積為

．13.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，且點(diǎn)M到直線x=?2的距離為6，則MF=14.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a6=?600，當(dāng)且僅當(dāng)n=30時(shí)Sn四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題12分)數(shù)列an滿足a1=2(1)證明數(shù)列an(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn16.(本小題12分)已知?ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且2acosC=(1)求角C；(2)若a=4,b=3,D為AB中點(diǎn)，求17.(本小題12分)如圖，在四棱錐S?ABCD中，BC⊥平面SAB,AD//BC,SA=BC=1,SB=2，

(1)求證：SA⊥平面ABCD；(2)若AD=12，求平面SCD與平面SAB18.(本小題12分)已知橢圓W:x2a2+(1)求W的方程；(2)直線x?my+1=0m≠0交W于A,B(i)點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為C，直線BC的斜率為k，證明：km(ii)若W上存在點(diǎn)P使得AP,PB在AB上的投影向量相等，且?PAB的重心在y軸上，求直線AB19.(本小題12分)閱讀以下材料：①設(shè)f′x為函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù).若f′x在區(qū)間D單調(diào)遞增；則稱fx為區(qū)D上的凹函數(shù)；若f′x在區(qū)間D②平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P稱為函數(shù)fx的“k切點(diǎn)”，當(dāng)且僅當(dāng)過(guò)點(diǎn)P恰好能作曲線y=fx的k條切線，其中(1)已知函數(shù)fx(i)當(dāng)a≤0時(shí)，討論f1(ii)當(dāng)a=0時(shí)，點(diǎn)P在y軸右側(cè)且為fx的“3切點(diǎn)”，求點(diǎn)P(2)已知函數(shù)gx=xex，點(diǎn)Q在y軸左側(cè)且為gx的“3切點(diǎn)”，寫(xiě)出點(diǎn)Q的集合(參考答案1.D

2.C

3.C

4.B

5.A

6.D

7.B

8.C

9.AD

10.ABD

11.BCD

12.3

13.5

14.24,25

15.(1)證明：因?yàn)閍n+1=3a又因?yàn)閍1+1=3≠0，所以數(shù)列an+1是首項(xiàng)為3，公比為(2)解：由(1)知an+1=3所以Sn

16.(1)因?yàn)?acos由正弦定理，得2===因?yàn)?<A<π，則sinA≠0，所以cos由于0<C<π，則C=π(2)因?yàn)镈為AB中點(diǎn)，故CD=所以|===31所以CD的長(zhǎng)為31

17.(1)解法一：在△SAB中，因?yàn)镾A=1,∠SBA=45由正弦定理，得SAsin∠SBA=所以sin∠SAB=1因?yàn)?°<∠SAB<180°，所以因?yàn)锽C⊥平面SAB,SA?平面SAB，所以BC⊥SA，又BC∩AB=B，BC,AB?平面ABCD所以SA⊥平面ABCD；方法二：證明：設(shè)AB=x，在△SAB中，因?yàn)镾A=1,∠SBA=45由余弦定理，得SA所以1=2+x2?22所以SA2+A因?yàn)锽C⊥平面SAB,SA?平面SAB，所以BC⊥SA，又BC∩AB=B，BC,AB?平面ABCD所以SA⊥平面ABCD；解法三：設(shè)AB=x，在△SAB中，因?yàn)镾A=1,∠SBA=45由余弦定理，得S所以1=2+x2?22所以SA2+A因?yàn)锽C⊥平面SAB,BC?平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面SAB；又平面ABCD∩平面SAB=AB,SA⊥AB,SA?平面SAB，所以SA⊥平面ABCD；(2)解法一：由(1)知SA⊥平面ABCD，又AB,AD?平面ABCD，所以SA⊥AB,SA⊥AD，因?yàn)锽C⊥平面SAB，AB?平面SAB，所以BC⊥AB，因?yàn)锳D/?/BC，所以AD⊥AB，所以SA,AD,AB兩兩垂直．以點(diǎn)A為原點(diǎn)，分別以AD,AB,AS所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則S0,0,1,C1,1,0設(shè)平面SCD的法向量為n1則n1⊥SC,n1⊥顯然平面SAB的一個(gè)法向量n2所以cos所以平面SCD與平面SAB的夾角的余弦值為6解法二：由(1)知SA⊥平面ABCD，過(guò)B作BM//SA，則BM⊥平面ABCD，又AB,BC?平面ABCD，所以BM⊥AB,BM⊥BC，因?yàn)锽C⊥平面SAB，又AB?平面SAB，所以BC⊥AB，所以BM,BA,BC兩兩垂直．以點(diǎn)B為原點(diǎn)，分別以BA,BC,BM所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則S1,0,1,C0,1,0設(shè)平面SCD的法向量為n1則n1⊥SC,n1⊥顯然平面SAB的一個(gè)法向量n2所以cos所以平面SCD與平面SAB的夾角的余弦值為6解法三：延長(zhǎng)CD?BA交于點(diǎn)M，連接SM，則平面SCD∩平面SAB=SM，在?SBM中，

SB=由余弦定理，得SM所以SM2=(所以SM⊥SB，因?yàn)锽C⊥平面SAB,SM?平面SAB，所以SM⊥BC，又SM⊥SB,SB∩BC=B，所以SM⊥平面SBC，又SC?平面SBC，所以SM⊥SC，所以∠BSC為平面SCD與平面SAB的夾角，因?yàn)锽C⊥平面SAB,SB?平面SAB，所以BC⊥SB，因?yàn)镾B=2,BC=1所以cos∠BSC=所以平面SCD與平面SAB的夾角的余弦值為6

18.(1)由題意，得ca=所以W的方程為x2(2)依題意可設(shè)點(diǎn)A?x1(i)證明：因?yàn)辄c(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為C，所以C?因?yàn)辄c(diǎn)A,B在W上，所以x124+y因?yàn)橹本€AB:x?my+1=0m≠0的斜率為1m，直線BC所以km=y2?(ii)設(shè)弦AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為xD點(diǎn)P的坐標(biāo)為xP,yP,?PAB由x24+所以Δ=36m2+36因?yàn)?PAB的重心G在y軸上，所以x1所以xP所以xD因?yàn)锳P,PB在AB上的投影向量相等，所以PA=所以直線PD的方程為y?y所以yP所以點(diǎn)P8又點(diǎn)P在W上，所以83即m又因?yàn)閙≠0，所以m=±33，所以直線AB

19.(1)因?yàn)閒x所以f′x令?x所以?′x(i)當(dāng)a=0時(shí)，?′x=6x?1，令?′令?′x≤0，解得故fx為區(qū)間1,+∞上的凹函數(shù)，為區(qū)間?∞,1當(dāng)?14<a<0時(shí)，令?′令?′x≤0，解得x≤1或故fx為區(qū)間1,?2a+12a上的凹函數(shù)，為區(qū)間?∞,1當(dāng)a=?14時(shí)，?′x=?3(x?1)當(dāng)a<?14時(shí)，令解得?2a+1令?′x≤0，解得x≥1或故fx為區(qū)間?2a+12a,1上的凹函數(shù)，為區(qū)間綜上所述，當(dāng)a<?14時(shí)，fx為區(qū)間和1,+∞上的凸函數(shù)；當(dāng)a=?14時(shí)，fx當(dāng)?14<a<0時(shí)，fx為區(qū)間1,?上的凸函數(shù)；當(dāng)a=0時(shí)，fx為區(qū)間1,+∞上的凹函數(shù)，為區(qū)間?∞,1(ii)當(dāng)a=0時(shí)，fx故在點(diǎn)t,ft處的切線方程為y=設(shè)Pu,v(u>0)為fx則關(guān)于t的方程v=3即關(guān)于t的方程v=?