抽象函數(shù)性質(zhì)知識總結(jié)與題型歸納（解析）

抽象函數(shù)性質(zhì)知識總結(jié)與題型歸納1概念:我們把沒有給出具體解析式的函數(shù)稱為抽象函數(shù)，題目中往往只給出函數(shù)的特殊條件或特征.2常見抽象函數(shù)模型題型一：“巧妙賦值”求函數(shù)值問題技巧再現(xiàn)：“賦值思維”抽象函數(shù)求解或者證明奇偶性和單調(diào)性基礎(chǔ)。有如下規(guī)律技巧：（1）第一層次賦值：常常令字母取0，1,1等（2）第二層次賦值：若題中有條件，則再令字母取。.（3）第三層次賦值：拆分賦值。根據(jù)抽象式子運算，把賦值數(shù)拆成某兩個值對應(yīng)的和與積（較多）或者差與商（較少）。例1：已知函數(shù)f(x)是定義在(0,+∞)上的函數(shù)，且對任意x,y∈(0,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，【解析】∵對任意x，y∈(0,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，∴f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2，f(8)=f(2×4)=f(2)+f(4)=3．例2：已知定義域為，對任意都有，當時，，．求，，的值;解：（1）

在

中令

，得

，因為

，所以

，令

得，

，解得

，令

得，

，即

，解得

；例3：對任意實數(shù)x,y，均滿足fx+y2=f則f(2001)=_______.【解析】令x=y=0，得f(0)=0，令x=n,y=1，得fn+1令n=1，得f1∴f1=12，∴fn+1變式1.設(shè)函數(shù)y=f(x)是定義在R+上的函數(shù)，并且滿足下面三個條件①對任意正數(shù)x,y，都有f(xy)=f(x)+f(y)；②當x>1時，f(x)<0；③f3(1)求f(1),f(1解析：令x=y=1，∴f1=f1令x=y=3，∴f9且f(9)+f(1變式2.定義在上的函數(shù)，滿足對任意，有，且．求，的值；解析：令，得，所以，令，，得，所以．變式3.已知函數(shù)f（x）定義域為R，f（1）=2，f（x）≠0，對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）?f（y），當x＞0時，f（x）＞1；求f(4),f(16解析：∵f（1）=2，∴f（2）=f（1+1）=f2（1）=4；∴f（4）=f（2+2）=f2（2）=16題型二：抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性問題知識再現(xiàn)1：抽象函數(shù)的單調(diào)性常用單調(diào)性定義證明（1）任取x1,x（2）作差f(此步有時也會用作商法：判斷fx1f（3）變形；（4）定號(即判斷差fx（5）下結(jié)論(指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性)．知識再現(xiàn)2：證明奇偶性，實質(zhì)就是賦值。分析出賦值規(guī)律。1.可賦值，得到一些特殊點函數(shù)值，如f（0），f（1）等，2.嘗試適當?shù)膿Q元字母，構(gòu)造出x和x，如f（x+y），可令y=x，f（xy），可令y=1等等。3.通過各類抽象函數(shù)式子，來積累一定的賦值技巧。例1：已知函數(shù)定義域為，若對任意的，都有，且時，.（1）判斷的奇偶性；（2）討論的區(qū)間上的單調(diào)性；（3）設(shè)，若，對所有，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解析：（1）因為有，令，得，所以，令可得：，所以，所以為奇函數(shù).（2）由題意設(shè)，因為是定義在上的奇函數(shù)，則因為時，有，所以，即.所以是在上為單調(diào)遞減函數(shù)；（3）因為在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以在上的最大值為，所以要使，對所有恒成立，只要，即，由得，所以或.變式1：設(shè)函數(shù)對任意的實數(shù)，，都有，且時，，.（1）求證：是奇函數(shù)；（2）試判斷函數(shù)單調(diào)性；（3）試問當時，是否有最大值或最小值？如果有，求出最值；如果沒有，請說出理由.解析：（1）證明：依題意令，得，即，令得，∴，∴是奇函數(shù).（2）單調(diào)遞增函數(shù)，理由如下：任取，設(shè)，則，由已知可得，∵，∴，∴在是單調(diào)遞增函數(shù).（3）有最大值4，最小值.由（2）知在區(qū)間上是增函數(shù).又，，當時，，.例2：已知定義域為的函數(shù)滿足對任，都有．（1）求證：是偶函數(shù)；（2）設(shè)時，①求證：在上是減函數(shù)；②求不等式的解集．解析：（1）取得，即，取得，即，取，得，即是偶函數(shù)．（2）①設(shè)，則，由時，得，則，即在上為減函數(shù)，②由是偶函數(shù)且在上是減函數(shù)，則不等式等價為，即得，得得，即或或，即不等式的解集為.變式2：已知函數(shù)對于任意實數(shù)x，恒有，且當時，，又．(1)判斷的奇偶性并證明；(2)求在區(qū)間的最大值；(3)解關(guān)于x的不等式：.解析：(1)為奇函數(shù)，理由如下：函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱。令得：，解得：令得：所以對任意恒成立所以為奇函數(shù)(2)任取，，且則因為當時，所以，即由第一問知，為奇函數(shù)。所以，則，即所以在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間的最大值為因為，為奇函數(shù)所以。令得：令，得：，即(3)因為。所以由（1）可知，為奇函數(shù)，由（2）知，。所以即。所以由（2）可知，在上單調(diào)遞增。所以整理得：，即當時，，解得：，當時，，解集為當時，，解集為，當時，，解集為當時，，解集為綜上：當時，解集為，當時，解集為，當時，解集為，當時，解集為，當時，解集為例3：已知函數(shù)的定義域是，對于任意實數(shù)，，恒有，且當時，．求證：在上是單調(diào)減函數(shù)．解析：對于任意實數(shù)，，恒有，且當時，．令，，則，且由時，，；設(shè)，，，，，，．即當時，有．即恒成立，設(shè)，則，，，，即，在上單調(diào)遞減．變式3：已知定義在上的函數(shù)對任意實數(shù)都滿足，且．當時，．（1）求的值；（2）證明：在上是增函數(shù)；（3）解不等式．解析：（1）因為任意實數(shù)都滿足，令，則，，（2）當時，則，，，，即時，恒成立，設(shè)任意的，且，則，，，即在上是增函數(shù)，（3），，由（2）知在R上為增函數(shù)，，得：，故不等式的解集為.例4：已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，.（1）求；（2）求證：；（3）若，解不等式：.解析：(1)令，，則，解得,(2)令，，則，因為，所以，(3)因為函數(shù)的定義域為，所以，，因為，所以，解得，因為，所以，即，因為函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，所以，即，即，，解得，的取值范圍為.變式4：已知定義在區(qū)間（0，＋∞）上的函數(shù)f（x）滿足f＝f（x1）－f（x2），且當x>1時f（x）>0，若f（3）＝1．（1）判斷f（x）的單調(diào)性；（2）解關(guān)于的不等式；（3）若對所有恒成立,求實數(shù)．解析：（1）設(shè)時，所以函數(shù)為增函數(shù)（2）中令，不等式轉(zhuǎn)化為，由函數(shù)為增函數(shù)可得，不等式解集為（3）函數(shù)在上是遞增函數(shù)，因此最大值為，所以不等式恒成立轉(zhuǎn)化為對所有恒成立，恒成立，設(shè)，所以需滿足，解不等式得例5：設(shè)函數(shù)的定義域為R，并且滿足，且當時，(1)求的值；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并給出證明；(3)如果，求的取值范圍；解析：（1）令，則，∴；（2）函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，設(shè)，且，則，∴，∵當時，∴，即∴，∴函數(shù)是定義在上的減函數(shù)；（3）∵∴,又，∴，∴函數(shù)是奇函數(shù)，∵，∴，∴，又函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，∴，即，∴的取值范圍為.變式5：定義在上的函數(shù)，滿足對任意，有，且．(1)求，的值；(2)判斷的奇偶性，并證明你的結(jié)論；(3)當時，，解不等式．解析：(1)令，得，所以，令，，得，所以．(2)令得，，即，所以函數(shù)為奇函數(shù)．(3)設(shè)，且，則，所以，所以，故在上為增函數(shù)，，等價于，所以，解得：，故不等式的解集為．例6：已知函數(shù)是定義在上的非常值函數(shù)，對任意，滿足.（1）求，的值；（2）求證：對任意恒成立；（3）若當時，，求證：函數(shù)在上是增函數(shù).解析：（1）令可得，對任意的都有，所以又是非常值函數(shù)，故；令則對任意的都有，所以恒成立對任意成立，故．所以．（2）取則對任意的成立，又函數(shù)是定義在上的非常值函數(shù)，故，，即所以對任意恒成立．（3）取，則，又，所以時，，，又由（2）故，所以當時，，所以函數(shù)在上是增函數(shù)．變式6：已知定義在R上的函數(shù)滿足：對任意的實數(shù)x，y均有，且，當且.(1)判斷的奇偶性；(2)判斷在上的單調(diào)性，并證明；(3)若對任意，，，總有恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)奇函數(shù)(2)單調(diào)遞增，證明見詳解(3)或【分析】（1）根據(jù)題意，令，即可判斷；（2）根據(jù)題意，先證，恒成立，再結(jié)合定義法，即可證明單調(diào)性；（3）根據(jù)題意，先根據(jù)單調(diào)性求出的最值，再將原不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)即可求解.（1）根據(jù)題意，令，得，因為，所以，故結(jié)合定義域可知，為奇函數(shù).（2）在上單調(diào)遞增.證明：由題意，可知，假設(shè)，使得，則，而當時，由題意知，因此矛盾，故，恒成立.設(shè)，且，則，因此，因為，且當時，，所以，又因為，所以，即，又因為，所以在上單調(diào)遞增.（3）根據(jù)題意，結(jié)合（1）（2）可知，在上單調(diào)遞增，因此，，故，，因為，恒成立，所以恒成立，即恒成立，令，則，恒成立，故，解得或.例7：已知定義域為，對任意都有，當時，，．(1)試判斷在上的單調(diào)性，并證明(2)解不等式：解析：（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減，證明如下：任取，且，可得，因為，且時，，所以，所以即，所以在上單調(diào)遞減．（2）令，得，∴

∴∴，又在上的單調(diào)遞減且∴，∴．

∴，即不等式解集為變式7：已知定義域為，對任意都有，當時，，．（1）求的值.（2）試判斷在上的單調(diào)性，并證明？（3）解不等式：.解：（1）

在

中令

，得

，因為

，所以

，令

得，

，解得

，令

得，

，即

，解得

；（2）

在R上單調(diào)遞減，證明過程如下：設(shè)

，則

，所以

，所以

時，

，又因為

時，有

，且

，所以

時，

，對于

，且

，則

，則

，因為

時，

，所以

，故

，故

在R上單調(diào)遞減；（3）由題意得

，因為

，所以

，即

，解得

，在

中，令

得，

，故

，故

，由（2）可知，

在R上的單調(diào)遞減，故

，解得

或

，所以原不等式的解集為

.變式8：若定義在R上的函數(shù)滿足：，都有成立，且為上的增函數(shù)，(1)求的值，并證明為奇函數(shù)；(2)解不等式.(3)若，，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解析：(1)由令，則解得：令，，則即，所以為奇函數(shù)(2)解：由得所以即所以等價于即由，且，令，得：所以等價于又為R上的增函數(shù)所以，即解得：故不等式得解集為：(3)解：由（2）知，，，等價于又為R上的增函數(shù)所以即，恒成立所以即，恒成立①當，即或時，不等式變?yōu)椋?，符合題意時，不等式變?yōu)椋?，即，不符合題意②當時解得：綜上，實數(shù)m的取值范圍為：例8：定義在上的函數(shù)，對任意，都有，且當時，．（1）求與的值；（2）證明為偶函數(shù):（3）判斷在上的單調(diào)性，并求解不等式．解析：（1）令，則令，則（2）令，則，∴為偶函數(shù)．（3）令，，設(shè)，則且∴∴∴在上單調(diào)遞減，又為偶函數(shù)∴或∴或∴或變式9.定義在上的函數(shù)，對任意x，y∈I，都有；且當時，.（1）求的值；（2）證明為偶函數(shù)；（3）求解不等式.解：(1)令，則令，則(2)令，則，∴為偶函數(shù).(3)令，，設(shè)，則且∴∴∴在上單調(diào)遞減又∵為偶函數(shù)∴或∴或∴或變式10：已知函數(shù)，，若對于任意實數(shù)，，都有，求證：為偶函數(shù)．證明：令，，則①，令，，得②．由①②得，即．∴是偶函數(shù)．題型三：抽象函數(shù)的周期性問題例1：奇函數(shù)f(x)定義在R上，且對常數(shù)T>0，恒有f(x+T)=f(x)，則在區(qū)間[0,2T]上，方程f(x)=0根的個數(shù)最小值為.解析∵函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，故f(0)=0，又∵f(x+T)=f(x)，即周期為T，∴f(2T)=f(T)=f(0)=