09幾何綜合大題綜合原卷版+解析

09幾何綜合大題綜合1．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）已知菱形中，點E是對角線上一點，點F是邊上一點，連接、、，【特例探究】(1)如圖1，若且，線段、滿足的數(shù)量關(guān)系是________；(2)如圖2，若且，判定線段、滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)【一般探究】如圖3，根據(jù)特例的探究，若，，請求出的值（用含的式子表示）；(4)【發(fā)現(xiàn)應(yīng)用】如圖3，根據(jù)“一般探究”中的條件，若菱形邊長為1，，點F在直線上運動，則面積的最大值為________，2．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形中，，，點從點出發(fā)，沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動，過點作于點，作交直線于點，交直線于點，設(shè)與菱形重疊部分圖形的面積為（平方單位），點運動時間為（秒）．(1)當(dāng)點與點重合時，則______；(2)求整個運動過程中的最大值；(3)以線段為邊，在右側(cè)作等邊，當(dāng)時，求點的運動路徑的長．3．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，在中，．的頂點P，M，N分別在，，上運動，且，．(1)求證；(2)若，，則的取值范圍是______；(3)已知，，直接寫出的取值范圍（用含m，n的式子表示）．4．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，為邊上一點，將沿翻折，使點恰好落在邊上點處，作的角平分線交的延長線于點，交于點．(1)求證：；(2)若，時，求的長；(3)若時，求的值．5．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考二模）如圖①，在矩形中，，，點P、Q分別是、的中點，點E是折線段上一點．(1)點C到直線距離的最大值是_____；(2)沿所在直線折疊矩形，已知點B的對應(yīng)點為，若點恰好落在矩形的邊上，求的長；(3)如圖②，以為直徑，在右側(cè)作半圓O，當(dāng)半圓O與邊相切于點M時，求的值．6．（2023·江蘇常州·常州實驗初中?？家荒＃┪覀兌x：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”．(1)概念理解：請你根據(jù)上述定義舉一個等鄰角四邊形的例子，例如是等鄰角四邊形；(2)問題探究：如圖1，在等鄰角四邊形中，，，的垂直平分線恰好交于邊上一點P，連接，，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)應(yīng)用拓展：如圖2，在與中，，，，將繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)角得到（如圖3），當(dāng)四邊形為等鄰角四邊形時，求出它的面積．7．（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學(xué)校考一模）如圖，在矩形中，，，E是邊上一點，連接，將矩形沿折疊，頂點恰好落在邊上點處，延長交的延長線于點G．(1)求線段的長．(2)判斷四邊形是什么特殊四邊形，并說明理由．(3)如圖，M、N分別是線段，上的動點（與端點不重合），且，設(shè)．是否存在這樣的點N，使是直角三角形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．8．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）如圖1，平面內(nèi)有一點到的三個頂點的距離分別為、、，若有，則稱點為關(guān)于點的勾股點．(1)如圖2，在的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B、C、D、E均在小正方形的格點上，則點是關(guān)于點______的勾股點；若點在格點上，且點是關(guān)于點的勾股點，請在方格紙中畫出；(2)如圖3，菱形中，與交于點，點是平面內(nèi)一點，且點是關(guān)于點的勾股點．①求證：；②若，，則的最大值為______（直接寫出結(jié)果）；③若，，且是以為底的等腰三角形，求的長．(3)如圖4，矩形中，，，是矩形內(nèi)一點，且點是關(guān)于點的勾股點，那么的最小值為______（直接寫出結(jié)果）．9．（2023·江蘇無錫·?？家荒＃┤鐖D，矩形中，，，(1)點是邊上一點，將沿直線翻折，得到．①如圖，當(dāng)平分時，求的長；②如圖，連接，當(dāng)時，求的面積；(2)點為射線上一動點，將矩形沿直線進行翻折，點的對應(yīng)點為，當(dāng)點，，三點共線時，求的長．10．（2023·江蘇蘇州·?？家荒＃┮阎壕匦沃?，E是的中點，于點F．(1)如圖1，若，求的值；(2)如圖2，連接交于點G，若，求的值；(3)如圖3，延長交于點G，若G點恰好為的中點，連接，過A作交于K，設(shè)的面積為，的面積為，則的值為___________．11．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）【初步感知】（1）如圖1，點均在小正方形網(wǎng)格的格點上，則；【問題解決】（2）求的值；方案①：如圖2，在中，，，作平分交于，…方案②：如圖3，在中，，，過點作，垂足為，…請你選擇其中一種方案求出的值（結(jié)果保留根號）；【思維提升】（3）求的值；

如圖4，在中，，．求的值（結(jié)果保留根號）．12．（2023·江蘇無錫·校考一模）如圖，在矩形中，，，點是射線上的一個動點，連接，過作于點．(1)如圖，當(dāng)點為邊中點時，連接并延長交于點．①求證：；②AE的長為．（直接寫出答案）(2)如圖，點在邊上，且，當(dāng)時，求的長．13．（2023·江蘇揚州·校考二模）在和中，，，，且．(1)如圖1，當(dāng)點在線段上時，連接，若，，求線段的長；(2)如圖2，將圖1中繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)，使點在的內(nèi)部，連接，．線段，相交于點，當(dāng)時，求證：；(3)如圖3，點是點關(guān)于的對稱點，連接，，在（2）的基礎(chǔ)上繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)，過作的平行線，交直線于點，連接，，，若，請直接寫出線段的最小值，以及當(dāng)線段長度最小時的面積．14．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）【基礎(chǔ)模型】：如圖，在中，為上一點，，求證：．【嘗試應(yīng)用】：如圖，在平行四邊形中，為上一點，為延長線上一點，，若，，求的長．【更上層樓】：如圖，在菱形中，是直線上一點，是菱形內(nèi)一點，，，，，，請直接寫出菱形的邊長．15．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）問題提出：（1）“弦圖”是中國古代數(shù)學(xué)成就的一個重要標(biāo)志．小明用邊長為的正方形制作了一個“弦圖”：如圖①，在正方形內(nèi)取一點，使得，作，，垂足分別為、，延長交于點．若，求的長；變式應(yīng)用：（2）如圖②，分別以正方形的邊長和為斜邊向內(nèi)作和，連接，若已知，，的面積為，，則正方形的面積為．拓展應(yīng)用：（3）如圖③，公園中有一塊四邊形空地，米，米，米，，空地中有一段半徑為米的弧形道路（即），現(xiàn)準(zhǔn)備在上找一點將弧形道路改造為三條直路（即、、），并要求，三條直路將空地分割為、和四邊形三個區(qū)域，用來種植不同的花草．①則的度數(shù)為；②求四邊形的面積．16．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）在邊長為8的等邊三角形中，為的中點，分別為上任意一點，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接交于點，連接．(1)如圖1，點與點重合，且的延長線過點，證明：四邊形是菱形；(2)如圖2，的延長線交于點，當(dāng)時，求的度數(shù)；(3)如圖3，為的中點，連接為直線上一動點，連接，將沿翻折至所在平面內(nèi)，得到，連接，直接寫出線段長度的最小值．17．（2023·江蘇泰州·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，點是邊上的一個動點（點與點不重合），連接，過點作，垂足為點，交或的延長線于點．(1)若，．①當(dāng)時，______；②已知點是邊的中點，當(dāng)點在邊上運動時，能不能經(jīng)過點？若能，求出的長度；若不能，說明理由；③若點在邊上，且，當(dāng)點從點開始運動到點停止時，點運動的路徑為______；(2)若，．當(dāng)點在邊上運動時，求使得下列兩個條件都成立的的取值范圍：點始終在邊上；點在某一位置時，點恰好與點重合．18．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考一模）如圖1，在矩形中，，，E是邊上的一點，連接，將矩形沿折疊，頂點D恰好落在邊上的點F處，延長交的延長線于點G．(1)求線段的長；(2)求證四邊形為菱形；(3)如圖2，M，N分別是線段，上的動點（與端點不重合），且，設(shè)，是否存在這樣的點N，使是直角三角形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．19．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖①，在四邊形中，，，，，．點在上，連接、、．(1)求的長；(2)探索：是否存在這樣的點，使得平分、平分同時成立?若存在，求出的長；若不存在，說明理由；(3)如圖②，與相交于點，過點作，與相交于點．設(shè)、的面積分別為、．若，求的長．20．（2023·江蘇揚州·模擬預(yù)測）已知和為等腰直角三角形，，，，將兩三角形如圖1所示放置，其中、、在同一直線上，．現(xiàn)將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為．(1)如圖2，當(dāng)線段過點時，若，，則的度數(shù)為______；(2)若點在邊的延長線上，連接，請在圖3中補全圖形，探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)若點為的中點，旋轉(zhuǎn)至如圖4所示位置，連接、交于點，交于點，且，請直接寫出的值．21．（2023·江蘇揚州·一模）如圖1，在中，，于點D，．(1)求；(2)當(dāng)時，E為邊上一點，連接，F(xiàn)為上一點，且．若，求的長；(3)如圖，延長到點G，使，連接，則．22．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形中，，垂足為，平分，交線段于點．(1)如圖1，延長到點，使得，連接．①若，則______°（用含有α的代數(shù)式表示）；②若，求證：．(2)如圖2，延長到點，使得，連接．若，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)果（不需證明）．23．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）【背景】如圖1，矩形中，，，、分別是、的中點，折疊矩形使點落在上的點處，折痕為．【操作】（1）用直尺和圓規(guī)在圖1中的邊上作出點（不寫作法，保留作圖痕跡）；【應(yīng)用】（2）求的度數(shù)和的長；（3）如圖2，若點是直線上的一個動點．連接，在左側(cè)作等邊三角形，連接，則的最小值是__________；【拓展】（4）如圖3，若點是射線上的一個動點．將沿翻折，得，延長至，使，連接．當(dāng)是直角三角形時，的長為多少？請直接寫出答案：__________．24．（2023·江蘇無錫·模擬預(yù)測）問題提出：已知矩形，點為上的一點，，交于點．將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，則與有怎樣的數(shù)量關(guān)系．【問題探究】探究一：如圖，已知正方形，點為上的一點，，交于點．（1）如圖1，直接寫出的值；（2）將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置，連接、，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；探究二：如圖，已知矩形，點為上的一點，，交于點．如圖3，若四邊形為矩形，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到、的對應(yīng)點分別為、點，連接、，則的值是否隨著的變化而變化．若變化，請說明變化情況；若不變，請求出的值．【一般規(guī)律】如圖3，若四邊形為矩形，，其它條件都不變，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．25．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．(1)操作判斷：操作一：如圖1，對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平；操作二：如圖1，在上選一點P，沿折疊，使點A落在矩形內(nèi)部點M處，把紙片展平，連接，．根據(jù)以上操作，當(dāng)點M在上時，寫出圖1中一個的角：______（寫一個即可）．(2)遷移探究：小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：將正方形紙片按照（1）中的方式操作，并延長交于點，連接．①如圖2，當(dāng)點M在上時，______，______；②如圖3，改變點P在上的位置（點P不與點A，D重合），判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)拓展應(yīng)用：在（2）的探究中，已知正方形紙片的邊長為10cm，當(dāng)cm時，直接寫出的長．26．（2023·江蘇蘇州·一模）【教材再現(xiàn)】在初中數(shù)學(xué)教材中有這樣一個基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例．如圖1，直線，直線m和直線n分別與直線和直線相交于點A，點B，點F，點D，直線m和直線n相交于點E，則；【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2，在中，，，點D在邊上（不與點B，點C重合），連接，點E在邊上，．(1)求證：；(2)當(dāng)時，直接寫出的長；(3)點H在射線AC上，連接EH交線段于點G，當(dāng)，且時，直接寫出的值．27．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）已知四邊形是邊長為1的正方形，點E是邊上的動點，以為直角邊在直線的上方作等腰直角三角形與分別相交于點P、Q，連接，過點A作，垂足為點M，過點P作，垂足為點N，設(shè)．(1)求的長；(2)用含有m的代數(shù)式表示；(3)用含有m的代數(shù)式表示，并求的最大值．28．（2023·江蘇揚州·二模）（1）【問題呈現(xiàn)】如圖1，和都是等邊三角形，連接，．請判斷與的數(shù)量關(guān)系：_________．（2）【類比探究】如圖2，和都是等腰直角三角形，．連接，．請寫出與的數(shù)量關(guān)系：________．（3）【拓展提升】如圖3，和都是直角三角形，，且．連接，．①求的值；②延長交于點，交于點．求的值．29．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）（1）如圖①，在正方形中，E，F(xiàn)分別是，邊上的動點，且，將繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到，可以證明，進一步推出，，之間的數(shù)量關(guān)系為______________；（2）在圖①中，連接分別交和于P，Q兩點，求證：；（3）如圖②，在菱形中，，點E，F(xiàn)分別是邊，上的動點（不與端點重合），且，連接分別與邊，交于M，N．當(dāng)時，猜想，，之間存在什么樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．30．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，，是上一點，．是上的動點，連接，是上一點且（為常數(shù)，），分別過點，作，的垂線，交點為．設(shè)的長為，的長為．(1)若，，則的值是__________．(2)若時，求的最大值．(3)在點從點到點的整個運動過程中，若線段上存在唯一的一點，求此時的值．09幾何綜合大題綜合1．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）已知菱形中，點E是對角線上一點，點F是邊上一點，連接、、，【特例探究】(1)如圖1，若且，線段、滿足的數(shù)量關(guān)系是________；(2)如圖2，若且，判定線段、滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)【一般探究】如圖3，根據(jù)特例的探究，若，，請求出的值（用含的式子表示）；(4)【發(fā)現(xiàn)應(yīng)用】如圖3，根據(jù)“一般探究”中的條件，若菱形邊長為1，，點F在直線上運動，則面積的最大值為________，【答案】(1)(2)，理由見解析(3)(4)【分析】（1）證明，即可得出結(jié)論；（2）證明，即可得出結(jié)論；（3）過點作于點，先證明，得到，再證明，得到，推出，即可得出結(jié)論；（4）連接交于點，過點作于點，由（3）推出，設(shè)，則，求出，根據(jù)，得到，進而求出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出最值即可得出結(jié)果．【詳解】（1）∵四邊形是菱形，，∴，∴和都是等邊三角形，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，，∴，在和中，∴，∴；故答案為：，（2）解：，理由如下：∵四邊形是菱形，，∴，∴，∵，∴，∴∴，∴∴；（3）如圖3，過點作于點，∵四邊形是菱形，，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴（4）如圖4，連接交于點，過點作于點，由（3）可得：，，，∴，∴，∴，設(shè)，則，∵四邊形是菱形，∴，∴∴，∵，∴，，∴∴∵，∴，∴，∴，即∵，∴當(dāng)時，有最大值：．故答案為：．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形以及利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．本題的綜合性強，難度大，屬于中考壓軸題．熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明三角形全等和相似，是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形中，，，點從點出發(fā)，沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動，過點作于點，作交直線于點，交直線于點，設(shè)與菱形重疊部分圖形的面積為（平方單位），點運動時間為（秒）．(1)當(dāng)點與點重合時，則______；(2)求整個運動過程中的最大值；(3)以線段為邊，在右側(cè)作等邊，當(dāng)時，求點的運動路徑的長．【答案】(1)2(2)(3)【分析】（1）根據(jù)所對的直角邊等于斜邊的一半求解即可；（2）分兩種情況：①當(dāng)時，②當(dāng)時，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及三角形的面積求解即可；（3）連接，由直角三角形的性質(zhì)得出為定值，則點的運動軌跡為直線，求出的長，即可得到答案．【詳解】（1）解：與重合時，如圖1，，，，，，；故答案為：2；（2）解：①時，如圖，，，，，，，，當(dāng)時，有最大值，最大值為：；②當(dāng)時，如圖，，，四邊形是菱形，，，，，，，，，，，拋物線對稱軸為直線，，隨的增大而增大，當(dāng)時，最大，最大值為：，綜上所述，的最大值為；（3）解：連接，如圖3，為等邊三角形，，在中，，為定值，點的運動軌跡為直線，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，點運動路徑的長為．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握知識點并靈活運用是解題的關(guān)鍵，注意分類討論思想的運用．3．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，在中，．的頂點P，M，N分別在，，上運動，且，．(1)求證；(2)若，，則的取值范圍是______；(3)已知，，直接寫出的取值范圍（用含m，n的式子表示）．【答案】(1)見詳解(2)(3)【分析】（1）先根據(jù)已知條件證明，再證明即可；（2）先根據(jù)由（1）中，得，再根據(jù)點在上運動，，再根據(jù)，即可求出的取值范圍；（3）方法同（2）．【詳解】（1）證明：在中，，，，，，，，；（2）解：由（1）可知：，，，，點在上運動，，，，故答案為：；（3）解：由（1）可知：，，，，點在上運動，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，不等式的應(yīng)用，動點問題，利用動點問題求出線段的取值范圍是本題的關(guān)鍵．4．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，為邊上一點，將沿翻折，使點恰好落在邊上點處，作的角平分線交的延長線于點，交于點．(1)求證：；(2)若，時，求的長；(3)若時，求的值．【答案】(1)見解析；(2)；(3)．【分析】（1）由角平分線的定義及翻折易得及，從而得到，結(jié)合對頂角相等可得即可得證；（2）設(shè)，則，易證，得，代入求解即可；（3）如圖，過點作，垂足為，設(shè)，，則，可得，易證得，即，解得，，結(jié)合，得，代入即可求解．【詳解】（1）解：∵平分，∴，在矩形中，由翻折可知∵點在的延長線上∴，∴，∴，又，∴，∴；（2）∵，由翻折可知，在中，，∴，設(shè)，則，由（1）可知，，∴，得，∴，解得：，即；（3）如圖，過點作，垂足為，設(shè)，，則，，∵平分，∴，∵，，∴，∴，即，故，，又∵，即，∴，∴．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)定理；解題的關(guān)鍵是熟練掌握折疊的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)．5．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考二模）如圖①，在矩形中，，，點P、Q分別是、的中點，點E是折線段上一點．(1)點C到直線距離的最大值是_____；(2)沿所在直線折疊矩形，已知點B的對應(yīng)點為，若點恰好落在矩形的邊上，求的長；(3)如圖②，以為直徑，在右側(cè)作半圓O，當(dāng)半圓O與邊相切于點M時，求的值．【答案】(1)5；(2)或3；(3)或．【分析】(1)利用斜邊大于直角邊計算判斷即可．(2)分點E在上和邊上，兩種情況求解．(3)分點E在上和邊上，兩種情況求解．【詳解】（1）過點C作交的延長線于點M，∴，∴時，取得最大值，∵，Q是的中點，∴，故答案為：5．（2）或3，如圖當(dāng)點E在上時，，在中，，解得：．如圖，當(dāng)點E在邊上時，連接、，則，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．綜上所述，或．（3）或如圖，當(dāng)點E在線段上時，連接，延長交于點N，∵與半圓相切于點M，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，在中，設(shè)，∵，∴，解得，∴，∵，∴；如圖，當(dāng)點E在邊上時，點M與點E重合，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∴．綜上所述，的值為或．【點睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，正切函數(shù)，切線的性質(zhì)，分類思想，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，正切函數(shù)，切線的性質(zhì)，分類思想是解題的關(guān)鍵．6．（2023·江蘇常州·常州實驗初中?？家荒＃┪覀兌x：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”．(1)概念理解：請你根據(jù)上述定義舉一個等鄰角四邊形的例子，例如是等鄰角四邊形；(2)問題探究：如圖1，在等鄰角四邊形中，，，的垂直平分線恰好交于邊上一點P，連接，，試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)應(yīng)用拓展：如圖2，在與中，，，，將繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)角得到（如圖3），當(dāng)四邊形為等鄰角四邊形時，求出它的面積．【答案】(1)矩形（或正方形）(2)，理由見解析(3)或【分析】（1）矩形或正方形鄰角相等，滿足“等鄰角四邊形”條件；（2）連接，，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，，從而得出，利用得到，進而得出結(jié)論；（3）分兩種情況考慮：（i）當(dāng)時，延長，交于點，結(jié)合圖形求解即可；（ii）當(dāng)時，過點作于點，結(jié)合圖形求解即可．【詳解】（1）在我們所學(xué)的四邊形中矩形或正方形都符合有一組鄰角相等的凸四邊形，∴矩形或正方形是“等鄰角四邊形”，故答案為：矩形（或正方形）；（2），理由如下：如圖1，連接，，∵是的垂直平分線，是的垂直平分線，∴，，∴，，∴，，即，∴，∴，∴；（3）由勾股定理得，分兩種情況考慮：（i）當(dāng)時，延長，交于點，如圖3（i）所示，∴，∴，設(shè)，由勾股定理得：，解得：，過點作于，∴，∴，∴，即，解得：，∴，，則；（ii）當(dāng)時，過點作于點，如圖3（ii）所示，∴四邊形是矩形，∴，在中，根據(jù)勾股定理得：，∴，，則．綜上，當(dāng)四邊形為等鄰角四邊形時，它的面積為或．【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了“等鄰角四邊形”的理解，三角形，四邊形的內(nèi)角和定理，角平分線的意義，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，理解“等鄰角四邊形”的定義是解本題的關(guān)鍵，分類討論是解本題的難點．7．（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在矩形中，，，E是邊上一點，連接，將矩形沿折疊，頂點恰好落在邊上點處，延長交的延長線于點G．(1)求線段的長．(2)判斷四邊形是什么特殊四邊形，并說明理由．(3)如圖，M、N分別是線段，上的動點（與端點不重合），且，設(shè)．是否存在這樣的點N，使是直角三角形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)3(2)菱形，理由見解析(3)或2【分析】（1）由翻折可知：．，設(shè)，則．在中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．（2）首先證明，，推出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)鄰邊相等推出四邊形是菱形．（3）是直角三角形，，只有或．分兩種情形畫出圖形分別求解即可．【詳解】（1）解：如圖1中，四邊形是矩形，，，，由翻折可知：．，設(shè)，則．在中，，，在中，則有：，，．（2）菱形，理由是：證明：如圖2中，四邊形是矩形，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形．（3）是直角三角形，，只有或．如圖中，當(dāng)時，，∴，，，，，在中，，在中，，，，，，，，，，，，，，如圖中，當(dāng)時，，，，，，，，，，，，綜上所述，滿足條件的的值為或2．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．8．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）如圖1，平面內(nèi)有一點到的三個頂點的距離分別為、、，若有，則稱點為關(guān)于點的勾股點．(1)如圖2，在的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B、C、D、E均在小正方形的格點上，則點是關(guān)于點______的勾股點；若點在格點上，且點是關(guān)于點的勾股點，請在方格紙中畫出；(2)如圖3，菱形中，與交于點，點是平面內(nèi)一點，且點是關(guān)于點的勾股點．①求證：；②若，，則的最大值為______（直接寫出結(jié)果）；③若，，且是以為底的等腰三角形，求的長．(3)如圖4，矩形中，，，是矩形內(nèi)一點，且點是關(guān)于點的勾股點，那么的最小值為______（直接寫出結(jié)果）．【答案】(1)C；見解析(2)①見解析；②；③或(3)【分析】（1）根據(jù)勾股定理得到，則點是關(guān)于點的勾股點；根據(jù)勾股定理結(jié)合定義得到，據(jù)此畫圖即可；（2）①根據(jù)定義可得，利用菱形的性質(zhì)和勾股定理可得，即可證明；②利用勾股定理求出，則點E在以O(shè)為圓心，半徑為的圓上運動，即可當(dāng)（點O在）三點共線時，最大，據(jù)此求解即可；如圖3，由②可知點在以為圓心，為半徑的圓上運動．當(dāng)點在左側(cè)時，連接．先證明，過點作，求出，，過點作，則四邊形為正方形，則，，即可得到；當(dāng)點在右側(cè)時，同理求解即可．（3）如圖4，在上取點，使，則，先求出，進而證明，得到，則，故當(dāng)A、E、F共線時，值最小，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：由題意得，，，∴，∴點是關(guān)于點的勾股點；∵點是關(guān)于點的勾股點，∴∵，∴，如圖所示，即為所求；（2）解：①∵點是關(guān)于點的勾股點，∴，∵菱形中，，∴在中，，∴；②∵，，∴在中，，∴，∴點E在以O(shè)為圓心，半徑為的圓上運動，∴當(dāng)（點O在）三點共線時，最大，最大值為；③如圖3，由②可知點在以為圓心，為半徑的圓上運動．當(dāng)點在左側(cè)時，連接．當(dāng)時，∵，∴，過點作，∴點為中點，即，∴，，過點作，則四邊形為正方形，∴，∴，∴．當(dāng)點在右側(cè)時，可得點與點關(guān)于對稱，∴∴或（3）解：如圖4，在上取點，使，則，∵是關(guān)于點的勾股點，∴，在中，，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)A、E、F共線時，值最小，在中，由勾股定理得，∴的最小值為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，圓外一點到圓上一點距離的最值問題，菱形的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)與判定等等，靈活運用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．9．（2023·江蘇無錫·?？家荒＃┤鐖D，矩形中，，，(1)點是邊上一點，將沿直線翻折，得到．①如圖，當(dāng)平分時，求的長；②如圖，連接，當(dāng)時，求的面積；(2)點為射線上一動點，將矩形沿直線進行翻折，點的對應(yīng)點為，當(dāng)點，，三點共線時，求的長．【答案】(1)①；②(2)的長為或【分析】（1）①根據(jù)折疊的性質(zhì)以及平分，得出，根據(jù)勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，得出，即可求解；②延長交的延長線于點，根據(jù)折疊的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)得出，進而在中，勾股定理求得的長，等面積法求得邊上的高，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解；（2）分兩種情況，①當(dāng)在的延長線上時，證明，②當(dāng)在線段上時，分別討論即可求解．【詳解】（1）解：①∵四邊形是矩形，∴，∵折疊，∴，∵平分，∴，∴，∴∴；②如圖所示，延長交的延長線于點，∵四邊形是矩形，∴，∴，∵折疊，∴，，，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，即，解得：，∴，，設(shè)邊上的高為，則，∴，∴的面積；（2）當(dāng)點三點共線時，分兩種情況：①當(dāng)在的延長線上時，∵四邊形是矩形，∴，，∴，由折疊的性質(zhì)得：，∴，∴，∴，∴，∴；②當(dāng)在線段上時，由折疊的性質(zhì)得：，∵，∴，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴；綜上所述，的長為或．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．10．（2023·江蘇蘇州·校考一模）已知：矩形中，E是的中點，于點F．(1)如圖1，若，求的值；(2)如圖2，連接交于點G，若，求的值；(3)如圖3，延長交于點G，若G點恰好為的中點，連接，過A作交于K，設(shè)的面積為，的面積為，則的值為___________．【答案】(1)4(2)(3)【分析】（1）證明，得出，即可得出答案；（2）延長交的延長線于，連接、，證明，得出，證出，得出，證明四邊形是菱形，得出，，，得出，求出，得出，求出，得出，由等腰三角形的性質(zhì)得出，即可得出答案；（3）過作于，交于，作于，則，，，證明，證出，得出四邊形是正方形，得出，設(shè)，則，由三角函數(shù)得出，由勾股定理得出，由三角形面積求出，證明，的，求出，，得出，，由三角函數(shù)得出，設(shè)，則，證明，得出，求出，由得出方程，解得，，由三角形面積公式即可得出答案．【詳解】（1）解：是的中點，，四邊形是矩形，，，，，，，，，；（2）解：延長交的延長線于，連接、，如圖2所示：四邊形是矩形，，，，，，，是的中點，，，∴，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，，，，，，，，，，，，；（3）解：過作于，交于，作于，如圖3所示：則，，，是的中點，是的中點，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，即，，四邊形是正方形，，設(shè)，則，，，，，，，，即，解得：，，，，，，設(shè)，則，，，，，，又，，，即，解得：，，，解得：，，的面積為，的面積為，；故答案為：．【點睛】本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定由性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)定義、三角形面積等知識；本題綜合性強，熟練掌握菱形的判定由性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．11．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）【初步感知】（1）如圖1，點均在小正方形網(wǎng)格的格點上，則；【問題解決】（2）求的值；方案①：如圖2，在中，，，作平分交于，…方案②：如圖3，在中，，，過點作，垂足為，…請你選擇其中一種方案求出的值（結(jié)果保留根號）；【思維提升】（3）求的值；

如圖4，在中，，．求的值（結(jié)果保留根號）．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)格點的特點分別計算出的長，計算出，再根據(jù)正切值的計算方法即可求解；（2）選方案①：作平分交于，過點作垂足為，設(shè)，，根據(jù)等面積法求出的值，根據(jù)正切的計算方法即可求解；選方案②：過點作，垂足為，設(shè)，求出，根據(jù)正切的計算方法即可求解；（3）設(shè)，作平分交于點，可證，，計算出的長，根據(jù)正弦的計算方法即可求解．【詳解】解：（1）在中，，，，∴，∵，∴是等腰三角形，∴，∵是的外角，∴，即，∴，故答案為：；（2）選方案①：作平分交于，過點作垂足為，∵平分，，，∴，，設(shè)，，∵，，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴；選方案②：過點作，垂足為，設(shè)，∵，，∴，，

∴，∵，∴，∵，∴∵，∴，∴；（3）如圖所示，設(shè)，作平分交于點，∵，∴，∵，，

∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，同理：，∴，設(shè)，∴，解之得，（舍去負值），∴，過點作垂足為，∴，∴，∵，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查正切、正弦的計算方法，掌握構(gòu)造直角三角形，勾股定理求出各邊長，正切、正弦的計算方法是解題的關(guān)鍵．12．（2023·江蘇無錫·?？家荒＃┤鐖D，在矩形中，，，點是射線上的一個動點，連接，過作于點．(1)如圖，當(dāng)點為邊中點時，連接并延長交于點．①求證：；②AE的長為．（直接寫出答案）(2)如圖，點在邊上，且，當(dāng)時，求的長．【答案】(1)①見詳解②(2)或【分析】（1）①延長、交于點，利用“”證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，，易得點為中點，再結(jié)合“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的性質(zhì)可得，可推導(dǎo)，進而推導(dǎo)，即可證明；②設(shè)，則，，，在中，由勾股定理可解得，即可獲得答案；（2）分兩種情況討論：①當(dāng)點在線段上時，如下圖，過點作，交于點，交于點，易知四邊形為矩形，設(shè)，，則，，證明，由相似三角形的性質(zhì)可求得；再證明，由三角函數(shù)可得，進而可知，由，同理可得，故，即有，進而可知，即可求得，，，結(jié)合可求得；②當(dāng)點在延長線上時，同理可得，即可獲得答案．【詳解】（1）①證明：延長、交于點，如下圖，∵點為邊中點，∴，∵四邊形為矩形，∴，，∴，又∵，∴∴，，∴點為中點，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴；②解：設(shè)，由①可知，，，∴，，，∴在中，可有，∴，解得，∴故答案為：；（2）解：分兩種情況討論：①當(dāng)點在線段上時，如下圖，過點作，交于點，交于點，∴，又∵，∴四邊形為矩形，∴，∴，設(shè)，，則，，∵，∴，，∴，∴，即，∴，∵，∴，∴，即，∴，由，同理可得，∴，即，∴，∴，即，解得，∴，，∵，∴，解得（舍去）或，∴；②當(dāng)點在延長線上時，如下圖，同理可得．綜上所述，的長為或．【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)、動點問題、三角函數(shù)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線，并運用分類討論的思想分析問題．13．（2023·江蘇揚州·?？级＃┰诤椭?，，，，且．(1)如圖1，當(dāng)點在線段上時，連接，若，，求線段的長；(2)如圖2，將圖1中繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)，使點在的內(nèi)部，連接，．線段，相交于點，當(dāng)時，求證：；(3)如圖3，點是點關(guān)于的對稱點，連接，，在（2）的基礎(chǔ)上繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)，過作的平行線，交直線于點，連接，，，若，請直接寫出線段的最小值，以及當(dāng)線段長度最小時的面積．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)，【分析】（1）如圖1中，過點C作交的延長線于H．則，先證明是等腰直角三角形，求出，則，由勾股定理可得由勾股定理得；（2）如圖，過點B作交于P．由等腰直角三角形的性質(zhì)得到，證明．進一步證明，得到．進而推出，再證明，即可證明．（3）先求出，則由平行線的性質(zhì)得到，進一步推出，得到A、B、C、G四點共圓且圓心為的中點，直徑為；如圖所示，取的中點O，連接交于H，過點于M，過點H作于N，則點G在以點O為圓心，為直徑的圓上運動，故當(dāng)三點共線時，即點G與點H重合時最小，求出，由點是點關(guān)于的對稱點，得到，，由勾股定理得，則；求出，證明，求出，則，即當(dāng)最小時，．【詳解】（1）解：如圖1中，過點C作交的延長線于H．則．∵，，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，在中，由勾股定理得；（2）證明：如圖，過點B作交于P．∵，，，∴和是等腰直角三角形，∴，∵，，，∴．∵，∴，∴，．∵，∴，∴．∵，∴，又∵，∴，∴．（3）解：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴A、B、C、G四點共圓且圓心為的中點，直徑為，如圖所示，取的中點O，連接交于H，過點于M，過點H作于N，∴點G在以點O為圓心，為直徑的圓上運動，∴當(dāng)三點共線時，即點G與點H重合時最小，∵，∴，∵點是點關(guān)于的對稱點，∴，，∴，∴在中，由勾股定理得，∴；∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴當(dāng)最小時，【點睛】本題主要考查了圓外一點到圓上一點距離的最值問題，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，垂徑定理，四點共圓等等，正確推出點G的運動軌跡是解題的關(guān)鍵．14．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）【基礎(chǔ)模型】：如圖，在中，為上一點，，求證：．【嘗試應(yīng)用】：如圖，在平行四邊形中，為上一點，為延長線上一點，，若，，求的長．【更上層樓】：如圖，在菱形中，是直線上一點，是菱形內(nèi)一點，，，，，，請直接寫出菱形的邊長．【答案】［基礎(chǔ)模型］證明見解析；［嘗試應(yīng)用］；［更上層樓］菱形的邊長【分析】［基礎(chǔ)模型］根據(jù)兩個三角形相似的判定定理，得到，從而由性質(zhì)可得，即可得到答案；［嘗試應(yīng)用］利用平行四邊形性質(zhì)得到，，判定，從而，代值求解即可得到答案；［更上層樓］分別延長，相交于點，如圖所示，由題意判定四邊形為平行四邊形，進而根據(jù)相似三角形判定得到，則，，由，即可得到答案．【詳解】［基礎(chǔ)模型］證明：∵，，，，；［嘗試應(yīng)用］解：四邊形是平行四邊形，，，又，，又，，，，，，；［更上層樓］解：分別延長，相交于點，如圖所示：四邊形是菱形，∴，，，四邊形為平行四邊形，，，，，，，又，，，，又，，，又，，，菱形的邊長．【點睛】本題是三角形相似綜合問題，涉及三角形相似的判定與性質(zhì)、平行四邊形判定與性質(zhì)、菱形性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記常見相似三角形模型是解決問題的關(guān)鍵．15．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）問題提出：（1）“弦圖”是中國古代數(shù)學(xué)成就的一個重要標(biāo)志．小明用邊長為的正方形制作了一個“弦圖”：如圖①，在正方形內(nèi)取一點，使得，作，，垂足分別為、，延長交于點．若，求的長；變式應(yīng)用：（2）如圖②，分別以正方形的邊長和為斜邊向內(nèi)作和，連接，若已知，，的面積為，，則正方形的面積為．拓展應(yīng)用：（3）如圖③，公園中有一塊四邊形空地，米，米，米，，空地中有一段半徑為米的弧形道路（即），現(xiàn)準(zhǔn)備在上找一點將弧形道路改造為三條直路（即、、），并要求，三條直路將空地分割為、和四邊形三個區(qū)域，用來種植不同的花草．①則的度數(shù)為；②求四邊形的面積．【答案】（1）；（2）；（3）①；②平方米【分析】（1）根據(jù)矩形的判定定理得到四邊形是矩形，求得，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（2）如圖②，延長交于，延長交于，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，求得，根據(jù)余角的性質(zhì)得到，同理，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，求得正方形的面積，于是得到結(jié)論；（3）①如圖③，連接，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)勾股定理的逆定理得到，推出是所在圓的直徑，是等腰直角三角形，得到點，，，四點共圓，，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到的度數(shù)；②根據(jù)三角形的面積公式得到；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的想得到，，，延長交于，推出是等腰直角三角形，得到，根據(jù)勾股定理和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，，，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，解得：或（負值不合題意，舍去），∴的長為；（2）解：如圖②，延長交于，延長交于，∵四邊形是正方形，∴，∵，，在和中，，∴，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，同理，，在和中，，∴，∴，，在和中，，∴，∴，，∴，，∴，∴四邊形是正方形，∵的面積為，，∴正方形的面積為：，∴正方形的面積為：，故答案為：；（3）如圖③，連接，∵，，∴，∵，，∴，∴，

∴是所在圓的直徑，是等腰直角三角形，∴點，，，四點共圓，，∴，∴，故答案為：；②∵是等腰直角三角形，∴，把繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，∴，，，∴∠，，∴，∴，

延長交于，∴，，∴是等腰直角三角形，，∴，，∴，∵，∴四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，

∴，∴，∴（平方米）．【點睛】本題是圓的綜合題，考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，勾股定理的逆定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．16．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）在邊長為8的等邊三角形中，為的中點，分別為上任意一點，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接交于點，連接．(1)如圖1，點與點重合，且的延長線過點，證明：四邊形是菱形；(2)如圖2，的延長線交于點，當(dāng)時，求的度數(shù)；(3)如圖3，為的中點，連接為直線上一動點，連接，將沿翻折至所在平面內(nèi)，得到，連接，直接寫出線段長度的最小值．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）邊三角形與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明是等邊三角形，得到，再證明，得，，從而得是等邊三角形，得到，則有，即可得出結(jié)論；（2）過點E作，交于H，連接，證是等邊三角形，得到，不規(guī)則證明，得到，然后利用等邊對等角和三角形內(nèi)角和與外角性質(zhì)求解即可；（3）先求出，由折疊知，，則點是在以點E為圓心，為半徑的上，再由旋轉(zhuǎn)可知，，所以點G在以的中點為端點，與互相垂直平分的線段上，所以的最小值為，要使最小，則最大，又點F為上的點，所以點F在點D或點A時，最大，即最大，最大值為，即可求解．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴，，即，由旋轉(zhuǎn)可得，，，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴∵為的中點，是等邊三角形，，∴，，∴，∴∴是等邊三角形，∴，∴∴四邊形是菱形；（2）解：過點E作，交于H，連接，如圖，∵是等邊三角形，∴∵∴，，∴是等邊三角形，∴，由（1）可知，，∵為的中點，等邊三角形，∴，∵，∴垂直平分，∴，∴，

設(shè)，則，，∴∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：解：∵點E是的中點，∴，∴，由折疊知，，∴點是在以點E為圓心，為半徑的上，由旋轉(zhuǎn)可知，，∵點F為上的點，∴點G在以的中點為端點，與互相垂直平分的線段上，∴的最小值為，要使最小，則最大，∵點F為上的點，∴點F在點D或點A時，最大，即最大，如圖，最大值為，∴線段長度的最小值為．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和與外角性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，最短路徑問題，本題屬三角形綜合題目，有一定難度，屬中考試壓軸題目，需要熟練掌握三角形相關(guān)知識，分析出最小值時，點F與點的位置是解題的關(guān)鍵．17．（2023·江蘇泰州·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，點是邊上的一個動點（點與點不重合），連接，過點作，垂足為點，交或的延長線于點．(1)若，．①當(dāng)時，______；②已知點是邊的中點，當(dāng)點在邊上運動時，能不能經(jīng)過點？若能，求出的長度；若不能，說明理由；③若點在邊上，且，當(dāng)點從點開始運動到點停止時，點運動的路徑為______；(2)若，．當(dāng)點在邊上運動時，求使得下列兩個條件都成立的的取值范圍：點始終在邊上；點在某一位置時，點恰好與點重合．【答案】(1)①；②不能經(jīng)過點，見解析；③(2)【分析】（1）①當(dāng)時，為等腰直角三角形，從而得到也為等腰直角三角形，可以得到，即可求解．②假設(shè)經(jīng)過點，可證明∽，有，然后設(shè)，，根據(jù)比例式建立二元一次方程，判斷方程是否有符合條件的解，如無解，則說明不經(jīng)過點，反之亦然．③先設(shè)為,然后用②中的比例關(guān)系表示出路徑，求得取最大值時相應(yīng)點所在的位置，再求出從該位置運動到點時點所運動的路徑，然后把兩個路徑加起來就點共運動的路徑；（2）設(shè)，根據(jù)（1）中的比例關(guān)系，求出關(guān)于的函數(shù)解析式，且的最大值小于等于，據(jù)此求出的取值范圍；又根據(jù)和重合，得到、、均為直角三角形，然后根據(jù)勾股定理，建立關(guān)于的一元二次方程，相應(yīng)，然后又可求出的取值范圍，然后結(jié)合兩個取值范圍，最后可以求出的最終取值范圍．【詳解】（1）解：①∵∴∴又∵∴故的長為2．②假設(shè)過點，則有∵，∴，又∵，∴∽，∴，設(shè)，，則有整理得，該方程無解，不存在這樣的，∴不能經(jīng)過點．③根據(jù)②中，，設(shè)，，則有當(dāng)時，有最大值，此時點為中點時，的運動路徑為，如下圖：當(dāng)從中點運動到點時，如下圖，，則的運動路徑為∴運動的總路徑為：故答案是．（2）解：由（1）可知，設(shè)，則當(dāng)時，有最大值當(dāng)點始終在線段上時，，則有∴，又，∴當(dāng)在某位置時，點恰好與點重合，則、、均為直角三角形，在中，有，又∴整理得：∴又∴故的取值為時，題中兩個條件才成立．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值等知識點，利用相似建立函數(shù)關(guān)系是求解這道題的關(guān)鍵．18．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考一模）如圖1，在矩形中，，，E是邊上的一點，連接，將矩形沿折疊，頂點D恰好落在邊上的點F處，延長交的延長線于點G．(1)求線段的長；(2)求證四邊形為菱形；(3)如圖2，M，N分別是線段，上的動點（與端點不重合），且，設(shè)，是否存在這樣的點N，使是直角三角形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)3(2)見解析(3)存在；或2【分析】（1）根據(jù)矩形和折疊的性質(zhì)，求出，由勾股定理求出的長，即可得的長，設(shè)，則，在中，，根據(jù)矩形的折疊與勾股定理即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論分別求得，根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形即可得證；（3）分和兩種情況分別討論即可求解．【詳解】（1）解：如下圖四邊形是矩形，，∴，，，將矩形沿折疊，頂點D恰好落在邊上的點F處，，在中，，，設(shè)，則，在中，，∴，解得：，；（2）證明：∵，，四邊形是矩形，∴，，，，，在中，，，，四邊形為菱形；（3）解：∵，，是直角三角形，設(shè)，則由（2）可得，，①當(dāng)時，如下圖，∴，，，，，，，，，，解得：，②當(dāng)時，如下圖，，，，，綜上所述，或．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，菱形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)的知識．19．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖①，在四邊形中，，，，，．點在上，連接、、．(1)求的長；(2)探索：是否存在這樣的點，使得平分、平分同時成立?若存在，求出的長；若不存在，說明理由；(3)如圖②，與相交于點，過點作，與相交于點．設(shè)、的面積分別為、．若，求的長．【答案】(1)4(2)不存在，理由見解析(3)【分析】（1）如圖1，過作于，則四邊形是矩形，可得，在中，由勾股定理得求的值，進而可得的值；（2）如圖2，過作交于，交于，則，，，，令平分，可證，在中，，由勾股定理得，則，進而可證，設(shè)，則，，證明，則，即，求得，則，證明，則，即，可得，則，若平分，則，即，判斷，與矛盾，進而可得結(jié)論；（3）令中邊上的高為，中邊上的高為，證明，設(shè)，則，，，表示，，根據(jù)，解，求得滿足要求的，則，如圖3，過作交于，證明，則，即，解得，，證明，則，即，求出的值，進而可得的值，然后根據(jù)計算求解即可．【詳解】（1）解：如圖1，過作于，則四邊形是矩形，∴，，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴的長為4；（2）解：不存在，理由如下：如圖2，過作交于，交于，∴，∴，，，∵平分，∴，∴，∴，在中，，由勾股定理得，∴，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，，∵，，∴，∴，即，解得，∴，∵，∴，∴，即，解得，∴，若平分，則，即，∵，與矛盾，∴不存在這樣的點，使得平分、平分同時成立；（3）解：令中邊上的高為，中邊上的高為，∵，∴，，∴，設(shè)，則，∴，，∴，，∵，即，整理得，則，解得，（舍去），∴，如圖3，過作交于，∴，∴，∴，即，∴，，∵，∴，∴，即，解得，∴，∴，∴的長為．【點睛】本題考查了矩形的判定，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線，等角對等邊，正切等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．20．（2023·江蘇揚州·模擬預(yù)測）已知和為等腰直角三角形，，，，將兩三角形如圖1所示放置，其中、、在同一直線上，．現(xiàn)將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為．(1)如圖2，當(dāng)線段過點時，若，，則的度數(shù)為______；(2)若點在邊的延長線上，連接，請在圖3中補全圖形，探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)若點為的中點，旋轉(zhuǎn)至如圖4所示位置，連接、交于點，交于點，且，請直接寫出的值．【答案】(1)15°(2)作圖見解析；，證明見解析(3)【分析】（1）過點D作于點H，則，證明是等腰直角三角形，則，得，由得到，則，可得，即可得到的度數(shù)；（2）過F作于H，過E作于G，結(jié)合K字型全等，等腰直角三角形，四點共圓即可得到答案；（3）過點C作的平行線，點F作的平行線交于點G；過點G作于點H，過點K作，證明，設(shè)，則，，結(jié)合勾股定理、相似三角形及解直角三角形的知識進行計算即可得到答案．【詳解】（1）解：過點D作于點H，則，∵，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即的度數(shù)為，故答案為：（2）解：線段、、之間的數(shù)量關(guān)系：，證明如下：過F作于H，過E作于G，如圖3：∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴點F、D、A、E四點共圓，∴，∵，∴和為等腰直角三角形，∴，，∴；（3）過點C作的平行線，點F作的平行線交于點G；過點G作于點H，過點K作于點I，如圖4：∵是等腰直角三角形，點為的中點，∵，∴，即，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，由，設(shè)，則，；∴，∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，，∴為等腰直角三角形，∴，∴為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，∴，，，，∴，∴，∴，∴；在中，，∴，設(shè)，∴，在中，，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)變換，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識，中間穿插了不同的模型，對模型的運用與轉(zhuǎn)化能力要求很高，難度較大，屬于壓軸題，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形．21．（2023·江蘇揚州·一模）如圖1，在中，，于點D，．(1)求；(2)當(dāng)時，E為邊上一點，連接，F(xiàn)為上一點，且．若，求的長；(3)如圖，延長到點G，使，連接，則．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）如圖1，利用直角三角形兩內(nèi)角互余，可以證得，又，所以，，設(shè)，則，代入到所求式子中，化簡即可求得；（2）如圖2，由（1）可得，當(dāng)時，，由，可以證得，過F作于N，可以證得，由于直角中，，，利用勾股定理或三角函數(shù)，可以解直角，直角，直角，利用，可以證得，且相似比為，從而可以用x表示出和長，利用，列出比例式，即可求解；（3）由于，且題目要求的是，故可以構(gòu)造一個“中線倍長”模型，即過G點作的垂線于H，先證明，再利用（1）中結(jié)論，設(shè)，接著分別表示出和長度，即可求解．【詳解】（1）解：如圖1，∵，∴，∵，∴，∴，又，∴，同理，，∵，∴，∴，設(shè)，則，，∴；（2）解：如圖2，分別過E，F(xiàn)作的垂線，垂足分別為N，Q，過C作于D，∵，，∴，過C作于D，∴，∵，∴，，∴，，∴，設(shè)D，則，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，在直角中，，，∴，∴，∴，，∴，∴，∵，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得，∵，∴，∴；（3）解：如圖3，過G作交其延長線于H，∴，在與中，，∴，∴，，由（1）可得，，∴設(shè)，則，∴，，∴，故答案為．【點睛】本題是一道三角形綜合題目，注意利用已知條件去構(gòu)造相似三角形，或者全等三角形是解決本題的關(guān)鍵，比如（2）中的線段比為1：2，可以利用此條件去構(gòu)造相似，（3）中的中點條件，構(gòu)造“中線”倍長模型，此題對學(xué)生的運算能力也有一定要求．22．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形中，，垂足為，平分，交線段于點．(1)如圖1，延長到點，使得，連接．①若，則______°（用含有α的代數(shù)式表示）；②若，求證：．(2)如圖2，延長到點，使得，連接．若，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)果（不需證明）．【答案】(1)①；②證明見解析(2)【分析】（1）①根據(jù)題意，由平行四邊形性質(zhì)得到，在中，，由直角三角形兩銳角互余即可得到；②根據(jù)題意，證明，由全等三角形的性質(zhì)可得出，，證出，則可得出結(jié)論；（2）如圖所示，證明，得出，證出，由等腰三角形的判定可得出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①四邊形是平行四邊形，，，，垂足為，在中，，，則，故答案為：；②證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，，設(shè)，則，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：．證明：四邊形是平行四邊形，，，，，，，又，，，，，平分，，，，，，．【點睛】本題是幾何證明綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）【背景】如圖1，矩形中，，，、分別是、的中點，折疊矩形使點落在上的點處，折痕為．【操作】（1）用直尺和圓規(guī)在圖1中的邊上作出點（不寫作法，保留作圖痕跡）；【應(yīng)用】（2）求的度數(shù)和的長；（3）如圖2，若點是直線上的一個動點．連接，在左側(cè)作等邊三角形，連接，則的最小值是__________；【拓展】（4）如圖3，若點是射線上的一個動點．將沿翻折，得，延長至，使，連接．當(dāng)是直角三角形時，的長為多少？請直接寫出答案：__________．【答案】（1）見解析；（2）；（3）；（4）4或6或8或12【分析】（1）連接，分別以，為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于，兩點，連接即為所求．（2）由折疊可知，再證明垂直平分，得到，則為等邊三角形，得到，則；（3）如圖所示，取中點，連接，，由直角三角形斜邊上的直線的性質(zhì)得到，則為等邊三角形．證明，得到，則當(dāng)時，有最小值，即有最小值，據(jù)此求解即可；（4）分如圖4-1，4-2，4-3，4-4四種情況，分別求出對應(yīng)的的長即可．【詳解】解：（1）如圖所示，即為所求；（2）由折疊可知，∵點，分別是，的中點，∴，，∴垂直平分，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，在中，；（3）如圖所示，取中點，連接，，∵，為中點，∴．∵，∴，∴為等邊三角形．∵為等邊三角形，∴，．∴，即，∴，∴，∴當(dāng)時，有最小值，即有最小值，∵，∴．∴的最小值為，故答案為：；（4）如圖4-1所示，當(dāng)時，在射線上時，此時點與點重合，∴；如圖4-2所示，當(dāng)時，此時點T與點A重合，由折疊的性質(zhì)可得，∴，∴；如圖4-2所示，當(dāng)時，由折疊的性質(zhì)可得，∴，∴，∴，∴；如圖4-4所示，當(dāng)時，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，由折疊的性質(zhì)可得，∴，∴四點共圓，∴，∴，∴，∴；綜上所述，當(dāng)是直角三角形時，的長為4或6或8或12，故答案為：4或6或8或12．【點睛】本題主要考查了矩形與折疊問題，勾股定理，圓周角定理，平行四邊形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．24．（2023·江蘇無錫·模擬預(yù)測）問題提出：已知矩形，點為上的一點，，交于點．將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，則與有怎樣的數(shù)量關(guān)系．【問題探究】探究一：如圖，已知正方形，點為上的一點，，交于點．（1）如圖1，直接寫出的值；（2）將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置，連接、，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；探究二：如圖，已知矩形，點為上的一點，，交于點．如圖3，若四邊形為矩形，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到、的對應(yīng)點分別為、點，連接、，則的值是否隨著的變化而變化．若變化，請說明變化情況；若不變，請求出的值．【一般規(guī)律】如圖3，若四邊形為矩形，，其它條件都不變，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．【答案】[問題探究]探究一：(1)；(2)，證明見解析；探究二：．[一般規(guī)律]【分析】探究一（1）由正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)即可得解；（2）由（1）的結(jié)論即旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明，則，即可得到答案；探究二：證明，得到，由繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到，則，再證明，則，即可得到答案；一般規(guī)律：同探究二，在中，，證明，得到，即可得到結(jié)論；【詳解】[問題探究]探究一（1）是正方形的對角線，，，，，，，故答案為：；（2），理由：由（1）知，，，，由旋轉(zhuǎn)知，，，，；探究二：四邊形為矩形，，，，，，繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到即；一般規(guī)律如圖，四邊形為矩形，，，，，，，繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，即．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形和正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的綜合運用，解決問題的關(guān)鍵是利用相似比表示線段之間的關(guān)系．25．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．(1)操作判斷：操作一：如圖1，對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平；操作二：如圖1，在上選一點P，沿折疊，使點A落在矩形內(nèi)部點M處，把紙片展平，連接，．根據(jù)以上操作，當(dāng)點M在上時，寫出圖1中一個的角：______（寫一個即可）．(2)遷移探究：小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：將正方形紙片按照（1）中的方式操作，并延長交于點，連接．①如圖2，當(dāng)點M在上時，______，______；②如圖3，改變點P在上的位置（點P不與點A，D重合），判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)拓展應(yīng)用：在（2）的探究中，已知正方形紙片的邊長為10cm，當(dāng)cm時，直接寫出的長．【答案】(1)(2)①②，理由見解析(3)或【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，結(jié)合矩形的性質(zhì)得，進而可得；（2）①根據(jù)折疊的性質(zhì)，可證，即可求解，②根據(jù)折疊的性質(zhì)，可證，即可求解；（3）由（2）可得，分兩種情況：當(dāng)點Q在點F的下方時，當(dāng)點Q在點F的上方時，設(shè)分別表示出，由勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：，，，，，，，；（2）∵四邊形是正方形∴，，由折疊性質(zhì)得：，，∴；①，∴，，，；故答案為：；②，理由如下：∴；（3）當(dāng)點Q在點F的下方時，如圖，，，，由（2）可知，，設(shè)，即，解得：，∴；當(dāng)點Q在點F的上方時，如圖，，cm，cm，由（2）可知，，設(shè)，即，解得：，∴．綜上：或．【點睛】本題主要考查矩形與折疊，正方形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的全等，掌握相關(guān)知識并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．26．（2023·江蘇蘇州·一模）【教材再現(xiàn)】在初中數(shù)學(xué)教材中有這樣一個基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例．如圖1，直線，直線m和直線n分別與直線和直線相交于點A，點B，點F，點D，直線m和直線n相交于點E，則；【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2，在中，，，點D在邊上（不與點B，點C重合），連接，點E在邊上，．(1)求證：；(2)當(dāng)時，直接寫出的長；(3)點H在射線AC上，連接EH交線段于點G，當(dāng)，且時，直接寫出的值．【答案】(1)見解析(2)(3)或【分析】（1）過點作交的延長線于點，先證明，再由可推得；（2）作于點，先證明，得到，再證明四邊形是矩形，得，可求出的長，再由勾股定理求出的長；（3）分兩種情況，即點在線段上和點在線段