專題12直線與圓的位置關(guān)系壓軸題八種模型全攻略(原卷版+解析)

專題12直線與圓的位置關(guān)系壓軸題八種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一判斷直線和圓的位置關(guān)系】 1【考點二已知直線和圓的位置關(guān)系求半徑的取值】 3【考點三已知直線和圓的位置關(guān)系求圓心到直線的距離】 5【考點四判斷或補全使直線為切線的條件】 7【考點五證明某直線是圓的切線】 8【考點六切線的性質(zhì)定理】 13【考點七切線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用】 15【考點八直角三角形周長、面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系】 22【過關(guān)檢測】 26【典型例題】【考點一判斷直線和圓的位置關(guān)系】例題：（2023春·廣東惠州·九年級校考開學(xué)考試）如圖，，為上一點，且，以點為圓心，半徑為3的圓與的位置關(guān)系是（

）

A．相離 B．相交 C．相切 D．以上三種情況均有可能【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東梅州·九年級校考開學(xué)考試）中，，，，以為圓心，以長為半徑作，則與的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定2．（2022秋·九年級單元測試）已知的半徑是，點在上，如果點到直線的距離是，那么與直線的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相離 C．相切或相交 D．相切或相離【考點二已知直線和圓的位置關(guān)系求半徑的取值】例題：（2022秋·江蘇連云港·九年級統(tǒng)考期中）直線l與相離，且的半徑等于3，圓心O到直線l的距離為d，則d的取值范圍是．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）已知直線l與半徑長為R的相離，且點O到直線l的距離為5，那么R的取值范圍是．2．（2023·湖南常德·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知，，，以為圓心，為半徑作，與線段有交點時，則的取值范圍是．【考點三已知直線和圓的位置關(guān)系求圓心到直線的距離】例題：（2022秋·九年級單元測試）設(shè)的半徑為，圓心到直線l的距離為，若、是方程的兩根，則直線l與相切時，的值為．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·九年級課時練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，⊙M的圓心坐標(biāo)為，半徑是2．如果⊙M與y軸相切，那么；如果⊙M與y軸相交，那么m的取值范圍是；如果⊙M與y軸相離，那么m的取值范圍是．2．（2023·陜西·模擬預(yù)測）如圖，在直角梯形中，，E是上一定點，．點P是BC上一個動點，以P為圓心，PC為半徑作⊙P．若⊙P與以E為圓心，1為半徑的⊙E有公共點，且⊙P與線段AD只有一個交點，則PC長度的取值范圍是．【考點四判斷或補全使直線為切線的條件】例題：（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，已知，M為OB邊上任意一點，以M為圓心，2cm為半徑作，當(dāng)cm時，與OA相切.【變式訓(xùn)練】1．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，為的直徑，，當(dāng)時，直線與相切．2．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，A、B是⊙O上的兩點，AC是過A點的一條直線，如果∠AOB=120°，那么當(dāng)∠CAB的度數(shù)等于度時，AC才能成為⊙O的切線．【考點五證明某直線是圓的切線】例題：（2023秋·云南昭通·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知是的直徑，直線與相切于點B，過點A作交于點D，連接．

(1)求證：是的切線．(2)若，直徑，求線段的長．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·云南昭通·九年級統(tǒng)考期末）如圖，的半徑為2，點A是的直徑延長線上的一點，C為上的一點，，．(1)求證：直線是的切線；(2)求的面積．2．（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形內(nèi)接于圓，是圓的直徑，，的延長線交于點，延長交于點，．(1)求證：是圓的切線；(2)點在上，且，連接，，，求的長．【考點六切線的性質(zhì)定理】例題：（2023·浙江衢州·統(tǒng)考二模）如圖，的切線交直徑的延長線于點，為切點，若，的半徑為3，則的長為．

【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·福建福州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，是的直徑，點是外的一點，且是的切線，交于點，若，則．

2．（2023·湖南永州·?？级＃┤鐖D，是的直徑，與相切于點的延長線交于點，則的度數(shù)是．

【考點七切線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用】例題：（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，中，，點在邊上，以點為圓心，為半徑的圓交邊于點，交邊于點，且．

(1)求證：是的切線．(2)若，，求的半徑．【變式訓(xùn)練】1．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，點是以為直徑的外一點，點是上一點，是的切線，，連接并延長交的延長線于點．

(1)求證：點是的中點；(2)若，的半徑為，求的長．2．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）如圖，在中，為上一點，以點為圓心，為半徑作半圓，與相切于點，過點A作交的延長線于點，且．

(1)求證：是半的切線；(2)若，，求半的半徑．3．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，是的直徑，為上的一點，的平分線交于點，過點的直線交的延長線于點，交的延長線于點．且．

(1)求證：為的切線；(2)若，，直接寫出半徑的長．【考點八直角三角形周長、面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系】例題：（2023·甘肅隴南·?？家荒＃┤鐖D，與的的三邊分別相切于點D、E、F，若，則的半徑為（）A．5 B．4 C．3 D．2【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·山東淄博·九年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，圓O是的內(nèi)切圓，D，E，F(xiàn)是切點．若，則．2．（2023秋·陜西延安·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，是的內(nèi)切圓，分別切邊于點D，E，F(xiàn)．(1)求的半徑．(2)若Q是的外心，連接，求的長度．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2022秋·湖南長沙·九年級校聯(lián)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，以點為圓心，3為半徑的圓（

）A．與x軸相交，與y軸相切 B．與x軸相離，與y軸相切C．與x軸相離，與y軸相交 D．與x軸相切，與y軸相離2．（2022秋·福建福州·九年級統(tǒng)考期中）《九章算術(shù)》中“今有勾七步，股二十四步，問勾中容圓徑幾何？”其意思為：今有直角三角形，勾（短直角邊）長為7步，股（長直角邊）長為24步，問該直角三角形（內(nèi)切圓）的直徑是多少？（

）A．3步 B．5步 C．6步 D．8步3．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，過點作的切線交的延長線于點，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．4．（2023·廣東深圳·?？家荒＃┤鐖D，是的直徑，，垂足為，直線與相切于點，交于點，直線交的延長線于點，連接，若，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．5．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，點是邊上一點，以點為圓心，以為半徑作圓，恰好與相切于點，連接．若平分，，則線段的長是（）A． B． C．3 D．6二、填空題6．（2023秋·河北秦皇島·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是的切線，，則．

7．（2023·浙江寧波·校聯(lián)考一模）如圖，的兩邊、分別切于點、，若，則．

8．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的的圓心P的坐標(biāo)為，將沿x軸正方向平移，使與y軸相交，則平移的距離d的取值范圍是．

9．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，分別切于分別交于，已知到的切線長為，那么的周長為．10．（2023秋·河南漯河·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是的內(nèi)切圓，切點分別為，且，，，則的半徑是．

三、解答題11．（2022秋·安徽蕪湖·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，是的直徑，點E在弦的延長線上，過點E作交于點D，若平分．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．12．（2023秋·河北張家口·九年級張家口市第一中學(xué)校考期末）已知，在中，，以為直徑的與相交于點，在上取一點，使得，(1)求證：是的切線．(2)當(dāng)，時，求的半徑．13．（2023秋·遼寧撫順·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，點是邊的中點，點在邊上，經(jīng)過點且與邊相切于點，．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑長．14．（2023春·江西南昌·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知是以為直徑的的外接圓，，交于點D，交于點E，連接，交于點F，延長到點P，連接．

(1)若，求證：是的切線；(2)如果，求的長度．15．（2023秋·河南開封·九年級開封市第十三中學(xué)?？计谀┤鐖D，以線段為直徑作，交射線于點C，平分交于點D，過點D作直線于點E，交的延長線于點F．連接并延長交于點M．(1)求證：直線是的切線；(2)求證：；(3)若，，求的長．16．（2023秋·廣東惠州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，內(nèi)接于，為直徑，，延長至點使，作平分交于點，交于點．連接，．

(1)求證：為的切線；(2)求證：；(3)若，求的長．

專題12直線與圓的位置關(guān)系壓軸題八種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一判斷直線和圓的位置關(guān)系】 1【考點二已知直線和圓的位置關(guān)系求半徑的取值】 3【考點三已知直線和圓的位置關(guān)系求圓心到直線的距離】 5【考點四判斷或補全使直線為切線的條件】 7【考點五證明某直線是圓的切線】 8【考點六切線的性質(zhì)定理】 13【考點七切線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用】 15【考點八直角三角形周長、面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系】 22【過關(guān)檢測】 26【典型例題】【考點一判斷直線和圓的位置關(guān)系】例題：（2023春·廣東惠州·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，，為上一點，且，以點為圓心，半徑為3的圓與的位置關(guān)系是（

）

A．相離 B．相交 C．相切 D．以上三種情況均有可能【答案】C【分析】過點P作于點C，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得，再由直線與圓的位置，即可求解．【詳解】解：如圖，過點P作于點C，

∵，，∴，∵以點為圓心的圓的半徑為3，∴以點為圓心，半徑為3的圓與的位置關(guān)系是相切．故選：C【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東梅州·九年級校考開學(xué)考試）中，，，，以為圓心，以長為半徑作，則與的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【答案】C【分析】此題首先應(yīng)求得圓心到直線的距離，根據(jù)直角三角形的面積公式即可求得；再進(jìn)一步根據(jù)這些和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系進(jìn)行判斷．【詳解】解：根據(jù)勾股定理求得．，，，，上的高為：，即圓心到直線的距離是2.4．，直線和圓相交．故選：C．【點睛】此題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的面積求出斜邊上的高的長度．注意：直角三角形斜邊上的高等于兩條直角邊的乘積除以斜邊．2．（2022秋·九年級單元測試）已知的半徑是，點在上，如果點到直線的距離是，那么與直線的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相離 C．相切或相交 D．相切或相離【答案】D【分析】根據(jù)圓心到直線的距離d與圓的半徑r之間的大小關(guān)系解答．【詳解】如圖，

當(dāng)點與重合時，與直線相切；當(dāng)點與不重合時，與直線相離，∴與直線的位置關(guān)系是相切或相離．故選：D．【點睛】此題考查直線與圓的位置關(guān)系，掌握數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【考點二已知直線和圓的位置關(guān)系求半徑的取值】例題：（2022秋·江蘇連云港·九年級統(tǒng)考期中）直線l與相離，且的半徑等于3，圓心O到直線l的距離為d，則d的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系判斷即可.【詳解】解：∵直線l與相離，且的半徑等于3，圓心O到直線l的距離為d，∴d的取值范圍是；故答案為：.【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，設(shè)的半徑等于r，圓心O到直線l的距離為d，則當(dāng)時，直線與圓相離，當(dāng)時，直線與圓相切，當(dāng)時，直線與圓相交；反之也成立.【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）已知直線l與半徑長為R的相離，且點O到直線l的距離為5，那么R的取值范圍是．【答案】【分析】若直線和圓相離，則應(yīng)滿足即可．【詳解】解：直線和圓相離，且點到直線的距離為5，，故答案為：．【點睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，掌握直線和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的等價關(guān)系．直線和圓相離，則應(yīng)滿足是解題的關(guān)鍵．2．（2023·湖南常德·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知，，，以為圓心，為半徑作，與線段有交點時，則的取值范圍是．【答案】【分析】過M作于H，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，然后根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可得到結(jié)論．【詳解】解：過M作于H，如圖所示：∵，，∴，∵，與線段有交點，∴r的取值范圍是，故答案為：．【點睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，若直線l和相交；直線l和相切；直線l和相離．【考點三已知直線和圓的位置關(guān)系求圓心到直線的距離】例題：（2022秋·九年級單元測試）設(shè)的半徑為，圓心到直線l的距離為，若、是方程的兩根，則直線l與相切時，的值為．【答案】9【分析】先根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得出方程有兩個相等的根，再根據(jù)即可求出m的值．【詳解】解：∵d、R是方程的兩個根，且直線l與相切，∴，∴方程有兩個相等的實根，∴，解得，，故答案為：9．【點睛】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系及一元二次方程根的判別式，熟知以上知識是解答此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·九年級課時練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，⊙M的圓心坐標(biāo)為，半徑是2．如果⊙M與y軸相切，那么；如果⊙M與y軸相交，那么m的取值范圍是；如果⊙M與y軸相離，那么m的取值范圍是．【答案】或【分析】根據(jù)軸與圓的位置關(guān)系，推出圓心到軸的距離和半徑之間的關(guān)系即可得解．【詳解】解：∵⊙M與y軸相切，∴；即；∴如果⊙M與y軸相交，那么m的取值范圍是；如果⊙M與y軸相離，那么m的取值范圍是或．故答案為：；；或．【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，熟練掌握圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系與直線與圓的位置關(guān)系之間的聯(lián)系，是解題的關(guān)鍵．2．（2023·陜西·模擬預(yù)測）如圖，在直角梯形中，，E是上一定點，．點P是BC上一個動點，以P為圓心，PC為半徑作⊙P．若⊙P與以E為圓心，1為半徑的⊙E有公共點，且⊙P與線段AD只有一個交點，則PC長度的取值范圍是．【答案】或【分析】根據(jù)題意可得的最小值為圓P與相切，切點為M；最大值為圓與圓E內(nèi)切，切點為Q，由直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系即可解決問題．【詳解】解：根據(jù)題意可知：的最小值為圓P與相切，切點為M，如圖所示：∴，在直角梯形中，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，最大值為圓與圓E內(nèi)切，切點為Q，∴，當(dāng)時，此時圓P與線段開始有2個交點，不符合題意，設(shè)，則，∴，∴，則長度的取值范圍是或．故答案為：或．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，直角梯形，解決本題的關(guān)鍵是掌握直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系．【考點四判斷或補全使直線為切線的條件】例題：（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，已知，M為OB邊上任意一點，以M為圓心，2cm為半徑作，當(dāng)cm時，與OA相切.【答案】4【分析】過M作MN⊥OA于點N，此時以MN為半徑的圓與OA相切，根據(jù)30°角所對直角邊為斜邊的一半可得OM的長.【詳解】解：如圖，過M作MN⊥OA于點N，∵M(jìn)N=2cm，，∴OM=4cm，則當(dāng)OM=4cm時，與OA相切.故答案為4.【點睛】本題主要考查切線判定，直角三角形中30°角所對直角邊為斜邊的一半，解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識點.【變式訓(xùn)練】1．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，為的直徑，，當(dāng)時，直線與相切．【答案】1【分析】直線與相切時，，根據(jù)勾股定理即可求出．【詳解】解：當(dāng)時，直線與相切，∴（cm），故答案為：1．【點睛】本題考查了切線的判定，掌握切線的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，A、B是⊙O上的兩點，AC是過A點的一條直線，如果∠AOB=120°，那么當(dāng)∠CAB的度數(shù)等于度時，AC才能成為⊙O的切線．【答案】60【分析】由已知可求得∠OAB的度數(shù)，因為OA⊥AC，AC才能成為⊙O的切線，從而可求得∠CAB的度數(shù)．【詳解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，∴，∵當(dāng)OA⊥AC即∠OAC=90°時，AC才能成為⊙O的切線，∴當(dāng)∠CAB的度數(shù)等于60°，即OA⊥AC時，AC才能成為⊙O的切線．故答案為：60．【點睛】本題考查了切線的判定，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，掌握切線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．【考點五證明某直線是圓的切線】例題：（2023秋·云南昭通·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知是的直徑，直線與相切于點B，過點A作交于點D，連接．

(1)求證：是的切線．(2)若，直徑，求線段的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，通過證明，得出，即可求證；（2）易得，根據(jù)，得出，則，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：

∵，∴．∵，∴，∴．∵，∴．∴，∵是圓O的切線且為半徑，∴．∴．∴．又∵是半徑，∴為圓O的切線．（2）解：∵AB是直徑，且，∴據(jù)（1）知，，又，∴，∴在中：，．【點睛】本題考查了圓周角定理、圓的切線的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)，勾股定理等知識點，解題的關(guān)鍵通過正確作輔助線，構(gòu)造全等三角形，熟練掌握相關(guān)知識點并靈活運用．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·云南昭通·九年級統(tǒng)考期末）如圖，的半徑為2，點A是的直徑延長線上的一點，C為上的一點，，．(1)求證：直線是的切線；(2)求的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）首先根據(jù)，得到，進(jìn)而得到，然后求出，即可證明；（2）首先得到是等邊三角形，然后作于點H，利用等腰三角形三線合一性質(zhì)得到，進(jìn)而利用勾股定理求出，得到，最后利用三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接∵，∴∴∵∴∴∵OC是半徑∴直線是的切線；（2）由（1）得是等邊三角形，作于點H，則∴在中，，∴∴∴．【點睛】此題考查了圓和三角形綜合題，圓切線的判定，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．2．（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形內(nèi)接于圓，是圓的直徑，，的延長線交于點，延長交于點，．(1)求證：是圓的切線；(2)點在上，且，連接，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)7【分析】（1）根據(jù)四邊形內(nèi)接于圓和得出，再根據(jù)得出即可證明；（2）連接，，，記與相交于點，根據(jù)用垂徑定理得出，再根據(jù)，運用三角形中位線得出即可解答；【詳解】（1）證明：∵四邊形內(nèi)接于圓∴∵∴∵∴，即又∵是圓的直徑∴是圓的切線（2）如圖，連接，，，記與相交于點

∵，∴∴，又∴∵，∴又∵，∴∴∴．【點睛】該題主要考查了圓切線證明，圓心角定理，垂徑定理，三角形中位線等知識點，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓部分的這些知識點．【考點六切線的性質(zhì)定理】例題：（2023·浙江衢州·統(tǒng)考二模）如圖，的切線交直徑的延長線于點，為切點，若，的半徑為3，則的長為．

【答案】【分析】連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，再根據(jù)所對的直角邊是斜邊的一半計算即可；【詳解】如圖，連接，

∵是的切線，∴，即，又，的半徑為3，∴，∴．故答案是．【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·福建福州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，是的直徑，點是外的一點，且是的切線，交于點，若，則．

【答案】30【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計算，得到答案．【詳解】解：是的切線，，，，故答案為：．【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．2．（2023·湖南永州·?？级＃┤鐖D，是的直徑，與相切于點的延長線交于點，則的度數(shù)是．

【答案】/26度【分析】利用圓周角定理，切線的性質(zhì)定理和三角形的內(nèi)角和定理解答即可．【詳解】解：是的直徑，與相切于點A，，，，，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，圓的切線的性質(zhì)定理，熟練掌握上述定理是解題的關(guān)鍵．【考點七切線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用】例題：（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，中，，點在邊上，以點為圓心，為半徑的圓交邊于點，交邊于點，且．

(1)求證：是的切線．(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)的半徑為10．【分析】（1）連接，連接，通過證明即可進(jìn)行求證；（2）連接，則，根據(jù)勾股定理求出，設(shè)的半徑為，根據(jù)，列出方程求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，連接，

在和中，，∴，∴，∵，∴，∵是半徑，∴是的切線；（2）解：如圖，連接，

∵，，∴，，∴，設(shè)的半徑為，則，，∵，∴，解得：，∴的半徑為10．【點睛】本題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握經(jīng)過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線．【變式訓(xùn)練】1．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，點是以為直徑的外一點，點是上一點，是的切線，，連接并延長交的延長線于點．

(1)求證：點是的中點；(2)若，的半徑為，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，證明是的切線．根據(jù)是的切線，可得，進(jìn)而證明，等量代換可得，即可得證；（2）根據(jù)，可得四邊形是正方形，則是等腰直角三角形．勾股定理，即可求解．【詳解】（1）證明：連接．為的直徑，．，是的切線．是的切線，，．，，，，，點是的中點．

（2）解：若，由()得，四邊形是正方形，是等腰直角三角形．半徑為，，，．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，切線長定理，勾股定理，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．2．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）如圖，在中，為上一點，以點為圓心，為半徑作半圓，與相切于點，過點A作交的延長線于點，且．

(1)求證：是半的切線；(2)若，，求半的半徑．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）過點作于點，由切線的性質(zhì)知，，又，，，推證，由角平分線性質(zhì)定理得，結(jié)論得證；（2）由切線長定理知，由等腰三角形性質(zhì)知，進(jìn)一步推證，由直角三角形性質(zhì)，求解圓半徑為．【詳解】（1）證明：過點作于點．為半切線，，，．

，，．，，，．，，是半的半徑．

，是半的切線．（2）是半的切線，，．，．，，，．在中，，，

的半徑為．【點睛】本題考查圓切線的判定和性質(zhì)，切線長定理，等腰三角形性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用已知的角之間的數(shù)量關(guān)系結(jié)合直角三角形性質(zhì)求解角度是解題的關(guān)鍵．3．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，是的直徑，為上的一點，的平分線交于點，過點的直線交的延長線于點，交的延長線于點．且．

(1)求證：為的切線；(2)若，，直接寫出半徑的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)角平分線求得，由等邊對等角可得，由是直徑和等量代換可得，即可得證；（2）連接，設(shè)，證明，可得，推出，即可求解．【詳解】（1）證明：連接，

平分，，，，，，是直徑，，，，，，是半徑，是的切線；（2）解：連接，如圖，

設(shè)，，，，，，，【點睛】本題考查了切線的判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題．【考點八直角三角形周長、面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系】例題：（2023·甘肅隴南·?？家荒＃┤鐖D，與的的三邊分別相切于點D、E、F，若，則的半徑為（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】連接，首先根據(jù)切線長定理得到，，然后證明出四邊形是正方形，然后設(shè)，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】如圖，連接，∵與相切，∴，，，，，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴矩形是正方形，∴，設(shè)，中，，，，由勾股定理得，，∴，∴（舍去），∴，故選：D．【點睛】此題考查了三角形的內(nèi)切圓，切線長定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·山東淄博·九年級統(tǒng)考期末）如圖，中，，圓O是的內(nèi)切圓，D，E，F(xiàn)是切點．若，則．【答案】1【分析】根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)先證明四邊形是矩形，可得，再由切線長定理可得，設(shè)，可得，，可得到關(guān)于r的方程，即可求解．【詳解】解：∵圓O是的內(nèi)切圓，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵圓O是的內(nèi)切圓，∴，設(shè)，∵，∴，∴，∵，∴，解得：，即．故答案為：1【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)切圓，切線長定理，勾股定理，熟練掌握三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)，切線長定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·陜西延安·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，是的內(nèi)切圓，分別切邊于點D，E，F(xiàn)．(1)求的半徑．(2)若Q是的外心，連接，求的長度．【答案】(1)1(2)【分析】（1）先利用勾股定理求得，利用三角形面積公式，即可求解；（2）證明四邊形為正方形，邊長為1，再利用切線長定理結(jié)合勾股定理即可．【詳解】（1）解：如圖，連接，設(shè)的半徑為r．∵是的內(nèi)切圓，分別切邊于點D，E，F(xiàn)，∴，，．在中，，，，∴．∵，∴，解得，∴的半徑為1；（2）解：∵是的內(nèi)切圓，分別切邊于點D，E，F(xiàn)，∴，，．，，．∴四邊形為正方形，∵，∴四邊形為正方形，

∴，∴．∵Q是的外心，∴，∴．在中，，即，解得（負(fù)值舍去）．【點睛】此題考查了三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)、切線長定理、正方形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2022秋·湖南長沙·九年級校聯(lián)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，以點為圓心，3為半徑的圓（

）A．與x軸相交，與y軸相切 B．與x軸相離，與y軸相切C．與x軸相離，與y軸相交 D．與x軸相切，與y軸相離【答案】B【分析】由已知點可求該點到x軸，y軸的距離，再與半徑比較，確定圓與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系．設(shè)d為直線與圓的距離，r為圓的半徑，則有若，則直線與圓相交；若，則直線于圓相切；若，則直線與圓相離．【詳解】解：點到x軸的距離為4，大于半徑3，點到y(tǒng)軸的距離為3，等于半徑3，故該圓與x軸相離，與y軸相切，故選：B．【點睛】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系以及點到坐標(biāo)軸的距離，解決此類問題可通過比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關(guān)系完成判定．2．（2022秋·福建福州·九年級統(tǒng)考期中）《九章算術(shù)》中“今有勾七步，股二十四步，問勾中容圓徑幾何？”其意思為：今有直角三角形，勾（短直角邊）長為7步，股（長直角邊）長為24步，問該直角三角形（內(nèi)切圓）的直徑是多少？（

）A．3步 B．5步 C．6步 D．8步【答案】C【分析】設(shè)三角形，由勾股定理可求得直角三角形的斜邊，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，由可求得半徑，則可求得直徑．【詳解】解：設(shè)三角形為，，，，，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，，即，解得，內(nèi)切圓的直徑是6步，故選：C．【點睛】本題主要考查三角形的內(nèi)切圓，利用等積法得到關(guān)于內(nèi)切圓半徑的方程是解題的關(guān)鍵．3．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，過點作的切線交的延長線于點，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，由為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到垂直于，利用圓周角定理求出的度數(shù)，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖所示，連接，

∵為圓O的切線，∴，∴，∵，∴，∴．故選：A．【點睛】此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，以及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．4．（2023·廣東深圳·?？家荒＃┤鐖D，是的直徑，，垂足為，直線與相切于點，交于點，直線交的延長線于點，連接，若，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)垂直的定義及平行線的判定可知，再利用等腰三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：連接，∵與相切于，∴半徑，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故選：．

【點睛】本題考查了垂直的定義，平行線的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)及切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，點是邊上一點，以點為圓心，以為半徑作圓，恰好與相切于點，連接．若平分，，則線段的長是（）A． B． C．3 D．6【答案】D【分析】連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，設(shè)，則，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接，是的半徑，是的切線，點是切點，，，，平分，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，．故選：D．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2023秋·河北秦皇島·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是的切線，，則．

【答案】/30度【分析】連接，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，于是得到．【詳解】如圖，連接，

∵，∴，∵是的切線，∴，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線并熟練掌握圓周角定理和切線性質(zhì)．7．（2023·浙江寧波·校聯(lián)考一模）如圖，的兩邊、分別切于點、，若，則．

【答案】15°/度【分析】如圖，連接，，求解，可得，證明，再利用三角形的外角和的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：如圖，連接，，∵的兩邊、分別切于點、，∴，而，∴，∴，∵，∴，

∴；故答案為：．【點睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，切線的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的外角的性質(zhì)，熟記以上基礎(chǔ)知識是解本題的關(guān)鍵．8．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的的圓心P的坐標(biāo)為，將沿x軸正方向平移，使與y軸相交，則平移的距離d的取值范圍是．

【答案】/【分析】分兩種情況討論：位于軸左側(cè)和位于軸右側(cè)，根據(jù)平移的性質(zhì)和圓的切線的性質(zhì)分別求解，即可得到答案．【詳解】解：的圓心P的坐標(biāo)為，，的半徑為2，，，，當(dāng)位于軸左側(cè)且與軸相切時，平移的距離為1，當(dāng)位于軸右側(cè)且與軸相切時，平移的距離為5，平移的距離d的取值范圍是，故答案為：．

【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握當(dāng)圓與直線相切時，點到圓心的距離等于圓的半徑．9．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，分別切于分別交于，已知到的切線長為，那么的周長為．【答案】/16厘米【分析】根據(jù)題意，結(jié)合切線長定理得到相應(yīng)線段長，再由三角形周長定義求解即可得到答案．【詳解】解：∵分別切于，∴由切線長定理可得，到的切線長為，，∴，∴的周長為，故答案為：．【點睛】本題考查求三角形周長，涉及切線長定理、三角形周長等知識，熟練掌握切線長定理是解決問題的關(guān)鍵．10．（2023秋·河南漯河·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是的內(nèi)切圓，切點分別為，且，，，則的半徑是．

【答案】1【分析】先根據(jù)勾股定理求出，由切線長定理得，，，設(shè)，則，，然后根據(jù)，求解即可．【詳解】解：在中，∵，，，∴，∵為的內(nèi)切圓，切點分別為D，E，F(xiàn)，∴，，，如圖，連接，，

∵為的內(nèi)切圓，∴，∴，∴四邊形是正方形，設(shè)，則，，∵，∴，∴，則的半徑為1．故答案為：1．【點睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，勾股定理，正方形的判定與性質(zhì)，切線長定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握切線長定理．三、解答題11．（2022秋·安徽蕪湖·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，是的直徑，點E在弦的延長線上，過點E作交于點D，若平分．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)8【分析】（1）如圖所示，連接，根據(jù)等邊等角和角平分線的定義證明，進(jìn)而證明，由，得到，據(jù)此即可證明結(jié)論；（2）連接交于，根據(jù)圓周角定理可得，根據(jù)垂徑定理可得，根據(jù)勾股定理求出的長，進(jìn)而求出，再求出的長，根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)求出的長，即可求出的長．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，

∵，∴，∵平分，∴∴，∴，∵，∴又∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：連接交于，如圖所示，∵為直徑，∴，又∵，∴，

∴，∴為的中點，即，又∵，∴根據(jù)勾股定理得：，∴，∴，∴，∵，，，∴四邊形為矩形，∴，∴．【點睛】本題考查切線的判定，周角定理，平行線的判定和性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，垂徑定理以及勾股定理，綜合利用相關(guān)的知識解決問題是本題的關(guān)鍵．12．（2023秋·河北張家口·九年級張家口市第一中學(xué)?？计谀┮阎?，在中，，以為直徑的與相交于點，在上取一點，使得，(1)求證：是的切線．(2)當(dāng)，時，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）如圖，連接、，證明，則，可證是的切線；（2）由，可得，由，可得，由，，可得，則，由，可得，由勾股定理得，，進(jìn)而可求的半徑．【詳解】（1）證明：如圖，連接、，在和中，∵，∴，∴，∴是的切線；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，又∵，∴，由勾股定理得，，∴的半徑為3．【點睛】