第04講二次函數(shù)的性質(zhì)綜合(4種題型)(原卷版+解析)

第04講二次函數(shù)的性質(zhì)綜合（4種題型）【知識梳理】一．二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（﹣，），對稱軸直線x＝﹣，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：①當(dāng)a＞0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時，y隨x的增大而減?。粁＞﹣時，y隨x的增大而增大；x＝﹣時，y取得最小值，即頂點是拋物線的最低點．②當(dāng)a＜0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時，y隨x的增大而增大；x＞﹣時，y隨x的增大而減??；x＝﹣時，y取得最大值，即頂點是拋物線的最高點．③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．二．二次函數(shù)圖象上點的坐標特征二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點坐標是（﹣，）．①拋物線是關(guān)于對稱軸x＝﹣成軸對稱，所以拋物線上的點關(guān)于對稱軸對稱，且都滿足函數(shù)函數(shù)關(guān)系式．頂點是拋物線的最高點或最低點．②拋物線與y軸交點的縱坐標是函數(shù)解析中的c值．③拋物線與x軸的兩個交點關(guān)于對稱軸對稱，設(shè)兩個交點分別是（x1，0），（x2，0），則其對稱軸為x＝．三．二次函數(shù)的最值（1）當(dāng)a＞0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因為圖象有最低點，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x＝時，y＝．（2）當(dāng)a＜0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因為圖象有最高點，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x＝時，y＝．（3）確定一個二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實數(shù)時，其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標；當(dāng)自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．四．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（1）二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；②頂點式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點坐標；③交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；（2）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．五．二次函數(shù)的三種形式二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式知道拋物線與y軸的交點坐標是（0，c）；②頂點式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點坐標，該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式得到拋物線的頂點坐標為（h，k）；③交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式得到拋物線與x軸的兩個交點坐標（x1，0），（x2，0）．【考點剖析】一．二次函數(shù)的性質(zhì)（共17小題）1．（2022秋?金東區(qū)期末）拋物線y＝2x2﹣4x+1的對稱軸是直線（）A．x＝﹣3 B．x＝1 C．x＝﹣ D．x＝﹣12．（2023?龍港市二模）二次函數(shù)y＝ax2+bx+1（a，b是常數(shù)，a≠0）的圖象過點（5，6），下列選項正確的是（）A．若對稱軸為直線x＝1，則a＜0 B．若對稱軸為直線x＝2，則a＜0 C．若對稱軸為直線x＝3，則a＜0 D．若對稱軸為直線x＝4，則a＞03．（2022秋?西湖區(qū)期末）設(shè)函數(shù)y1＝﹣（x﹣a1）2，y2＝﹣（x﹣a2）2．直線x＝1的圖象與函數(shù)y1，y2的圖象分別交于點A（1，c1），B（1，c2），得（）A．若1＜a1＜a2，則c1＜c2 B．若a1＜1＜a2，則c1＜c2 C．若a1＜a2＜1，則c1＜c2 D．若a1＜a2＜1，則c2＜c14．（2023?長興縣一模）拋物線y＝2（x+9）2﹣3的頂點坐標是（）A．（9，3） B．（9，﹣3） C．（﹣9，3） D．（﹣9，﹣3）5．（2022秋?溫州期末）拋物線y＝x2﹣4x+3與y軸的交點坐標為（）A．（3，0） B．（0，3） C．（1，0） D．（0，1）6．（2023?婺城區(qū)模擬）關(guān)于拋物線y＝﹣x2+2x﹣3的判斷，下列說法正確的是（）A．拋物線的開口方向向上 B．拋物線的對稱軸是直線x＝﹣1 C．拋物線對稱軸左側(cè)部分是下降的 D．拋物線頂點到x軸的距離是27．（2023?南湖區(qū)一模）在同一直角坐標系中，已知函數(shù)，y2＝kx+2（k為不等于零的常數(shù)）．若函數(shù)y2的圖象經(jīng)過y1的圖象的頂點，則k，c之間的數(shù)量關(guān)系為．8．（2023?鄞州區(qū)一模）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象經(jīng)過點A（﹣1，﹣2），對稱軸為直線x＝1，則9a+3b+c的值是．9．（2022秋?南潯區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝x2+2x﹣5，當(dāng)x＝3時，y＝．10．（2022秋?嵊州市期末）二次函數(shù)y＝（x﹣2）2+h（b≤x≤b+1）的圖象上任意二點連線不與x軸平行，則b的取值范圍為．11．（2022秋?余姚市期末）如圖，拋物線y＝ax2﹣2ax+3（a＞0）與y軸交于點A，過點A作x軸的平行線交拋物線于點M，P為拋物線的頂點，若直線OP交直線AM于點B，且M為線段AB的中點，則線段PB的長為．12．（2023?鎮(zhèn)海區(qū)校級模擬）直線l1：y＝kx+3與y軸交于點P，直線l1繞點P順時針旋轉(zhuǎn)45°得到直線l2，若直線l2與拋物線y＝﹣x2+2x+3有唯一的公共點，則k＝．13．（2022秋?杭州期末）已知0＜m＜3，若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0的自變量x與函數(shù)y的部分對應(yīng)值如表，x…﹣5﹣235…y…m3m0…則c＝，方程ax2+bx+c＝0的兩根為．14．（2023?龍灣區(qū)一模）如圖，已知點C為二次函數(shù)y＝x2﹣4x+1的頂點，點P（0，n）為y軸正半軸上一點，過點P作y軸的垂線交函數(shù)圖象于點A，B（點A在點B的左側(cè)）．點M在射線PB上，且滿足PM＝1+n．過點M作MN⊥AB交拋物線于點N，記點N的縱坐標為yN．（1）求頂點C的坐標．（2）①若n＝3，求MB的值．②當(dāng)0＜n≤4時，求yN的取值范圍．15．（2023?海曙區(qū)一模）對于拋物線y＝ax2﹣4x+3（a＞0）．（1）若拋物線過點（4，3）．①求頂點坐標；②當(dāng)0≤x≤6時，直接寫出y的取值范圍為；（2）已知當(dāng)0≤x≤m時，1≤y≤9，求a和m的值．16．（2023春?上城區(qū)校級月考）設(shè)二次函數(shù)y＝ax2+4ax+4a+1，a為常數(shù)，且a＜0．（1）寫出該函數(shù)的對稱軸和頂點坐標．（2）若該函數(shù)圖象經(jīng)過點P（n，y1），Q（n+1，y2），當(dāng)n≥1時，試比較y1和y2的大小關(guān)系．（3）若該函數(shù)圖象經(jīng)過點P（x1，y1），Q（x2，y2），設(shè)n≤x1≤n+1，當(dāng)x2≥3時均有y1≥y2，請求出實數(shù)n的取值范圍．17．（2022秋?嘉興期末）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣4．（1）求該函數(shù)圖象的頂點坐標和對稱軸．（2）自變量在什么范圍內(nèi)時，y隨x的增大而增大．二．二次函數(shù)的最值（共4小題）18．（2023?江北區(qū)一模）已知拋物線y＝（x﹣b）2+c經(jīng)過A（1﹣n，y1），B（n，y2），C（n+3，y3）三點，y1＝y(tǒng)3．當(dāng)1﹣n≤x≤n時，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為16，則n的值為（）A．﹣5 B．3 C． D．419．（2022秋?金華期末）二次函數(shù)y＝2x2﹣4x的最小值為．20．（2022秋?海曙區(qū)期末）已知點P（m，n）在二次函數(shù)y＝x2+4的圖象上，則m﹣n的最大值等于．21．（2022秋?諸暨市期末）已知函數(shù)y＝x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點（0，3），（6，3）．（1）求b，c的值；（2）當(dāng)0≤x≤4時，求y的最大值與最小值之差；（3）當(dāng)k﹣4≤x≤k時，若y的最大值與最小值之差為8，求k的值．三．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（共8小題）22．（2022秋?溫州期末）若拋物線y＝x2﹣6x+c的頂點在x軸，則c＝．23．（2022秋?濱江區(qū)期末）已知一個二次函數(shù)圖象的形狀與拋物線y＝2x2相同，它的頂點坐標為（1，﹣3），則該二次函數(shù)的表達式為．24．（2023春?蕭山區(qū)期中）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c．當(dāng)﹣1≤x≤1時，y的取值范圍是﹣1≤y≤1，該二次函數(shù)的對稱軸為x＝m，則m的取值范圍是．25．（2023?鹿城區(qū)校級二模）如圖，拋物線經(jīng)過點（﹣2，0）和（0，4）．?（1）求拋物線的函數(shù)表達式和對稱軸．（2）拋物線交y軸于點A，點P在線段OA上，過點P作x軸的平行線交拋物線于B，C兩點（B在C的左側(cè)），若時，CP＝nPB，求n的值．26．（2023?龍港市二模）二次函數(shù)y＝ax2+bx+3（a≠0）的圖象經(jīng)過點A（1，0），B（3，0）．（1）求該二次函數(shù)的表達式和對稱軸．（2）設(shè)P（m，y1），Q（m+1，y2）（m＞2）是該二次函數(shù)圖象上的兩點．當(dāng)m≤x≤m+1時，函數(shù)的最大值與最小值的差為5，求m的值．27．（2023?溫州二模）已知點A（x1，y1），B（x2，y2），C（4，1）在二次函數(shù)y＝a（x﹣2）2+3的圖象上，且x2﹣x1＝6．（1）求該二次函數(shù)的表達式．（2）已知點A，B在對稱軸的異側(cè)，當(dāng)x1≤x≤x2時，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為5，設(shè)x1，x2的最小值分別為m，n，求m+n的值．28．（2023?定海區(qū)模擬）二次函數(shù)y＝x2+bx過點（2，8）．（1）求二次函數(shù)y＝x2+bx的解析式；（2）若點A（m，y1）和點B（3﹣m，y2）都在二次函數(shù)圖象上，求y1+y2最小值；（3）一次函數(shù)y＝x+2和二次函數(shù)y＝x2+bx在同一平面直角坐標系中．其中點A（m，y1）是二次函數(shù)y＝x2+bx圖象上一點，點B（﹣2﹣m，y2）是y＝x+2圖象上一點．若|y1﹣y2|＞2，求m的取值范圍．29．（2023?西湖區(qū)模擬）設(shè)二次函數(shù)y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常數(shù)，a≠0）．（1）若a＝2，求該函數(shù)圖象頂點坐標；（2）若該二次函數(shù)圖象經(jīng)過（﹣1，1），（﹣2，3），（1，﹣2）三個點中的一個點，求該二次函數(shù)的表達式；（3）若二次函數(shù)圖象經(jīng)過（x1，y1），（x2，y2）兩點，當(dāng)x1+x2＝2，x1＜x2時．y1＞y2，求a的取值范圍．四．二次函數(shù)的三種形式（共3小題）30．（2022秋?義烏市校級月考）已知二次函數(shù)y＝2x2+4x﹣6，（1）將二次函數(shù)的解析式化為y＝a（x﹣h）2+k的形式．（2）寫出二次函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標．31．（2022秋?余杭區(qū)校級月考）將二次函數(shù)y＝x2+2x﹣1轉(zhuǎn)化為y＝a（x﹣h）2+k的形式，結(jié)果為（）A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x+1）2 C．y＝（x+1）2﹣1 D．y＝（x+1）2﹣232．（2022秋?定海區(qū)校級月考）把函數(shù)y＝2x2﹣4x﹣1寫成y＝a（x﹣h）2+k的形式，則h+k＝．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023春·浙江·九年級階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象交于點，則下列說法正確的是（

）A．若，則的對稱軸在y軸左側(cè)，且 B．若，則的對稱軸在y軸右側(cè)，且C．若，則的對稱軸在y軸右側(cè)，且 D．若，則的對稱軸在y軸左側(cè)，且2．（2023·浙江·模擬預(yù)測）設(shè)二次函數(shù)（a，c是常數(shù)，），已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，，設(shè)方程的正實數(shù)根為m，（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則3．（2023秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）二次函數(shù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系如下表，設(shè)一元二次方程的根為，，且，則下列說法正確的是（

）00.511.522.50.130.380.530.580.530.380.13A． B．C． D．4．（2023·浙江溫州·?？既＃┮阎魏瘮?shù)的圖象過兩點，下列選項正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則5．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）坐標平面上有一水平線與二次函數(shù)的圖形，其中為一正數(shù)，且與二次函數(shù)圖象相交于、兩點，其位置如圖所示．若：：，則的長度為()A．17 B．19 C．21 D．246．（2023春·浙江·九年級階段練習(xí)）如圖，二次函數(shù)的對稱軸為直線，下列判斷正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．（2023春·浙江寧波·九年級浙江省余姚市實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知a為實數(shù)，下列命題：①若，則；②若，則；③若，則或．其中真命題的個數(shù)有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個8．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，且經(jīng)過點，則下列說法①；②；③若是拋物線上的兩點，則；④正確的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④9．（2023秋·浙江溫州·九年級期末）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax﹣1，當(dāng)x≤1時，y隨x的增大而增大，且﹣1≤x≤6時，y的最小值為﹣4，則a的值為（

）A．1 B． C．﹣ D．﹣10．（2023·統(tǒng)考二模）二次函數(shù)(，是常數(shù)，)的圖象過點，下列選項正確的是(

)A．若對稱軸為直線，則 B．若對稱軸為直線，則C．若對稱軸為直線，則 D．若對稱軸為直線，則二、填空題11．（2023春·浙江·九年級開學(xué)考試）若關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，且．當(dāng)時，試比較，2，3的大小，并用“<”連接：___________．12．（2023秋·浙江湖州·九年級統(tǒng)考期末）已知拋物線經(jīng)過點兩點，則關(guān)于x的一元二次方程的解是________．13．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象與x軸恰有一個交點，且過點和點，則______．14．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）在同一直角坐標系中，已知函數(shù)，（k為不等于零的常數(shù)）．若函數(shù)的圖象經(jīng)過的圖象的頂點，則k，c之間的數(shù)量關(guān)系為__________．15．（2023·浙江溫州·?？既＃佄锞€的頂點落在一次函數(shù)的圖象上，則b的最小值為__________．16．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）已知是關(guān)于的函數(shù)，若該函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則稱點為函數(shù)圖象上的“平衡點”，例如：直線上存在“平衡點”，若函數(shù)的圖象上存在唯一“平衡點”，則___________．17．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，，且，則下列結(jié)論：①；②；③；④中，一定成立的有____________．（填序號）18．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）已知二次函數(shù)．當(dāng)時，的取值范圍是，該二次函數(shù)的對稱軸為，則的值是____．三、解答題19．（2023秋·浙江杭州·九年級期中）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．（1）求這個二次函數(shù)的表達式．（2）畫出這個函數(shù)的圖象，并利用圖象解決下列問題：①直接寫出方程的解．②當(dāng)滿足什么條件時，．20．（2023秋·浙江金華·九年級統(tǒng)考期末）已知拋物線經(jīng)過點和點，(1)求這個拋物線的解析式及頂點坐標．(2)求拋物線與x軸兩個交點之間的距離．21．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)和一次函數(shù)．(1)二次函數(shù)的圖象過點，求二次函數(shù)的表達式；(2)若一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象交于x軸上同一點，且這個點不是原點．①求證：；②若兩個函數(shù)圖象的另一個交點為二次函數(shù)的頂點，求m的值．22．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）對于拋物線．(1)若拋物線過點，①求頂點坐標；②當(dāng)時，直接寫出的取值范圍為_______；(2)已知當(dāng)時，，求和的值．23．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）二次函數(shù)的圖象與y軸的交點為．(1)求a的值．(2)求二次函數(shù)在x軸上截得的線段長的值．(3)對于任意實數(shù)k，規(guī)定：當(dāng)時，關(guān)于x的函數(shù)的最小值記作：，求的解析式．24．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考二模）已知拋物線的對稱軸為直線，且經(jīng)過點．(1)求該二次函數(shù)圖象與軸的另一交點的坐標及其函數(shù)表達式．(2)記圖象與軸交于點，過點作軸，交圖象于另一點．將拋物線向上平移個單位長度后，與軸交于點點為右側(cè)的交點）．若，求的值．25．（2023·浙江杭州·杭州市公益中學(xué)?？级＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，當(dāng)和時，二次函數(shù)（，是常數(shù)，）的函數(shù)值相等．(1)若該函數(shù)的最大值為，求函數(shù)的表達式，并寫出函數(shù)圖象的頂點坐標；(2)若該函數(shù)的圖象與軸有且只有一個交點，求，的值．(3)記（2）中的拋物線為，將拋物線向上平移個單位得到拋物線，當(dāng)時，拋物線的最大值與最小值之差為，求的值．26．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)（b，c是常數(shù)）．(1)當(dāng)，時，求該函數(shù)圖象的頂點坐標．(2)設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點坐標是，當(dāng)該函數(shù)圖象經(jīng)過點時，求n關(guān)于m的函數(shù)解析式．(3)已知，當(dāng)時，該函數(shù)有最大值8，求c的值．第04講二次函數(shù)的性質(zhì)綜合（4種題型）【知識梳理】一．二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（﹣，），對稱軸直線x＝﹣，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：①當(dāng)a＞0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時，y隨x的增大而減??；x＞﹣時，y隨x的增大而增大；x＝﹣時，y取得最小值，即頂點是拋物線的最低點．②當(dāng)a＜0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時，y隨x的增大而增大；x＞﹣時，y隨x的增大而減?。粁＝﹣時，y取得最大值，即頂點是拋物線的最高點．③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．二．二次函數(shù)圖象上點的坐標特征二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點坐標是（﹣，）．①拋物線是關(guān)于對稱軸x＝﹣成軸對稱，所以拋物線上的點關(guān)于對稱軸對稱，且都滿足函數(shù)函數(shù)關(guān)系式．頂點是拋物線的最高點或最低點．②拋物線與y軸交點的縱坐標是函數(shù)解析中的c值．③拋物線與x軸的兩個交點關(guān)于對稱軸對稱，設(shè)兩個交點分別是（x1，0），（x2，0），則其對稱軸為x＝．三．二次函數(shù)的最值（1）當(dāng)a＞0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因為圖象有最低點，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x＝時，y＝．（2）當(dāng)a＜0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因為圖象有最高點，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x＝時，y＝．（3）確定一個二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實數(shù)時，其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標；當(dāng)自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．四．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（1）二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；②頂點式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點坐標；③交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；（2）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．五．二次函數(shù)的三種形式二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式知道拋物線與y軸的交點坐標是（0，c）；②頂點式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點坐標，該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式得到拋物線的頂點坐標為（h，k）；③交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），該形式的優(yōu)勢是能直接根據(jù)解析式得到拋物線與x軸的兩個交點坐標（x1，0），（x2，0）．【考點剖析】一．二次函數(shù)的性質(zhì)（共17小題）1．（2022秋?金東區(qū)期末）拋物線y＝2x2﹣4x+1的對稱軸是直線（）A．x＝﹣3 B．x＝1 C．x＝﹣ D．x＝﹣1【分析】把二次函數(shù)解析式配方成頂點式的形式，然后即可寫出對稱軸．【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+1＝2（x2﹣2x+1﹣1）+1＝2（x﹣1）2﹣1，∴對稱軸是直線x＝1．故選：B．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，配方成頂點式是解題的關(guān)鍵，也可以利用對稱軸公式直接求解．2．（2023?龍港市二模）二次函數(shù)y＝ax2+bx+1（a，b是常數(shù)，a≠0）的圖象過點（5，6），下列選項正確的是（）A．若對稱軸為直線x＝1，則a＜0 B．若對稱軸為直線x＝2，則a＜0 C．若對稱軸為直線x＝3，則a＜0 D．若對稱軸為直線x＝4，則a＞0【分析】應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)分別判斷即可．【解答】解：二次函數(shù)y＝ax2+bx+1（a，b是常數(shù)，a≠0）的圖象過點（5，6），則有25a+5b+1＝6，即5a+b＝1．A、若對稱軸為直線x＝1，則，又5a+b＝1，得a＝＞0；不符合題意．B、若對稱軸為直線x＝2，則，又5a+b＝1，得a＝1＞0；不符合題意．C、若對稱軸為直線x＝3，則，又5a+b＝1，得a＝﹣1＜0；符合題意．D、若對稱軸為直線x＝4，則，又5a+b＝1，得a＝＜0；不符合題意．故選：C．【點評】本題考查了二次函數(shù)的對稱性，及圖象上的點坐標與函數(shù)解析式的關(guān)系．3．（2022秋?西湖區(qū)期末）設(shè)函數(shù)y1＝﹣（x﹣a1）2，y2＝﹣（x﹣a2）2．直線x＝1的圖象與函數(shù)y1，y2的圖象分別交于點A（1，c1），B（1，c2），得（）A．若1＜a1＜a2，則c1＜c2 B．若a1＜1＜a2，則c1＜c2 C．若a1＜a2＜1，則c1＜c2 D．若a1＜a2＜1，則c2＜c1【分析】根據(jù)題意分別畫出y1，y2的圖象，繼而根據(jù)圖象即可求解．【解答】解：∵直線x＝1的圖象與函數(shù)y1，y2的圖象分別交于點A（1，c1），B（1，c2），A．若1＜a1＜a2，如圖所示，則c1＞c2B．若a1＜1＜a2，如圖所示，則c1＞c2則c1＜c2，故B選項不合題意，C．若a1＜a2＜1，如圖所示，∴c1＜c2，故C選項正確，D選項不正確；故選：C．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．4．（2023?長興縣一模）拋物線y＝2（x+9）2﹣3的頂點坐標是（）A．（9，3） B．（9，﹣3） C．（﹣9，3） D．（﹣9，﹣3）【分析】由拋物線解析式可得拋物線頂點坐標．【解答】解：∵y＝2（x+9）2﹣3，∴拋物線頂點坐標為（﹣9，﹣3），故選：D．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的頂點式．5．（2022秋?溫州期末）拋物線y＝x2﹣4x+3與y軸的交點坐標為（）A．（3，0） B．（0，3） C．（1，0） D．（0，1）【分析】令x＝0，求出相應(yīng)的y的值，即可得到拋物線y＝x2﹣4x+3與y軸的交點坐標．【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣4x+3，∴當(dāng)x＝0時，y＝3，即拋物線y＝x2﹣4x+3與y軸的交點坐標是（0，3），故選：B．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關(guān)鍵是明確拋物線與y軸交點，就是求出當(dāng)x＝0時y的值．6．（2023?婺城區(qū)模擬）關(guān)于拋物線y＝﹣x2+2x﹣3的判斷，下列說法正確的是（）A．拋物線的開口方向向上 B．拋物線的對稱軸是直線x＝﹣1 C．拋物線對稱軸左側(cè)部分是下降的 D．拋物線頂點到x軸的距離是2【分析】由拋物線的解析式可求得其開口方向、對稱軸、增減性以及頂點坐標，進一步可得出答案．【解答】解：∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴拋物線開口向下，對稱軸為x＝1，頂點坐標為（1，﹣2），在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大，∴A、B、C不正確；∵拋物線頂點到x軸的距離是|﹣2|＝2，∴D正確，故選：D．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點式是解題的關(guān)鍵，即在y＝a（x﹣h）2+k中，對稱軸為x＝h，頂點坐標為（h，k）．7．（2023?南湖區(qū)一模）在同一直角坐標系中，已知函數(shù)，y2＝kx+2（k為不等于零的常數(shù)）．若函數(shù)y2的圖象經(jīng)過y1的圖象的頂點，則k，c之間的數(shù)量關(guān)系為c+k＝3．【分析】將函數(shù)化為頂點式，求出頂點坐標，再代入y2＝kx+2，即可作答．【解答】解：，即其頂點坐標為：（﹣1，c﹣1），將（﹣1，c﹣1）代入y2＝kx+2中，有：c﹣1＝﹣k+2，整理，得：c+k＝3，故答案為：c+k＝3．【點評】本題主要考查了求解二次函數(shù)的頂點坐標的知識，正確將函數(shù)化為頂點式，是解答本題的關(guān)鍵．8．（2023?鄞州區(qū)一模）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象經(jīng)過點A（﹣1，﹣2），對稱軸為直線x＝1，則9a+3b+c的值是﹣2．【分析】根據(jù)拋物線的軸對稱性質(zhì)得到：當(dāng)x＝3與當(dāng)x＝﹣1時，所對應(yīng)的y值相等，據(jù)此解答．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象經(jīng)過點A（﹣1，﹣2），對稱軸為直線x＝1，∴點A（﹣1，﹣2）關(guān)于直線x＝1對稱的點的坐標為（3，﹣2）．∴當(dāng)x＝3時，y＝﹣2，即9a+3b+c＝﹣2．故答案為：﹣2．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，拋物線是關(guān)于對稱軸x＝﹣成軸對稱，所以拋物線上的點關(guān)于對稱軸對稱，且都滿足函數(shù)函數(shù)關(guān)系式．9．（2022秋?南潯區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝x2+2x﹣5，當(dāng)x＝3時，y＝10．【分析】把x＝3代入y＝x2+2x﹣5計算即可．【解答】解：把x＝3代入y＝x2+2x﹣5，得y＝32+2×3﹣5＝10．故答案為：10．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，準確計算是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋?嵊州市期末）二次函數(shù)y＝（x﹣2）2+h（b≤x≤b+1）的圖象上任意二點連線不與x軸平行，則b的取值范圍為b≤1或b≥2．【分析】先根據(jù)函數(shù)表達式得出函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)題意可得該二次函數(shù)的圖象取對稱軸的左邊或?qū)ΨQ軸的右邊，即可進行解答．【解答】解：∵二次函數(shù)表達式為y＝（x﹣2）2+h（b≤x≤b+1），∴該函數(shù)的對稱軸為直線x＝2，∵圖象上任意二點連線不與x軸平行，∴x≤2或x≥2，∵b≤x≤b+1，∴b+1≤2或≥2，解得：b≤1或b≥2．故答案為：b≤1或b≥2．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象，會根據(jù)二次函數(shù)的表達式求出函數(shù)的對稱軸．11．（2022秋?余姚市期末）如圖，拋物線y＝ax2﹣2ax+3（a＞0）與y軸交于點A，過點A作x軸的平行線交拋物線于點M，P為拋物線的頂點，若直線OP交直線AM于點B，且M為線段AB的中點，則線段PB的長為．【分析】先根據(jù)拋物線解析式求出點A坐標和其對稱軸，再根據(jù)對稱性求出點M坐標，利用點M為線段AB中點，得出點B的坐標；再將點B的坐標代入直線OP的解析式，用含a的式子表示出點P坐標，即可求解出a的值，據(jù)此即可解答．【解答】解：∵拋物線y＝ax2﹣2ax+3（a＞0）與y軸交于點A，∴A（0，3），拋物線的對稱軸為直線x＝1，∴頂點P坐標為（1，3﹣a），點M坐標為（2，3）∵點M為線段AB的中點，∴點B坐標為（4，3），設(shè)直線OP解析式為y＝kx（k為常數(shù)，且k≠0），將點B（4，3）代入得4k＝3，解得，∴直線OP解析式為，將點P（1，3﹣a）代入得，得，解得，∴點，∴故答案為：．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式，兩點間距離公式，坐標與圖形，求得點B的坐標是解決本題的關(guān)鍵．12．（2023?鎮(zhèn)海區(qū)校級模擬）直線l1：y＝kx+3與y軸交于點P，直線l1繞點P順時針旋轉(zhuǎn)45°得到直線l2，若直線l2與拋物線y＝﹣x2+2x+3有唯一的公共點，則k＝﹣1或﹣3．【分析】根據(jù)直線解析式可得l1，l2都經(jīng)過點（0，3），分別討論直線l2與y軸重合或與拋物線相切兩種情況，通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形可求出直線y＝kx+3上的點坐標，進而求解．【解答】解：由y＝kx+3，y＝﹣x2+2x+3可得直線l2與拋物線交于點A（0，3），①直線l2與y軸重合滿足題意，則直線l1與y軸交點為45°，如圖，∵OB＝3，∠ABO＝45°，∴△AOB為等腰直角三角形，∴OA＝OB＝3，∴點B坐標為（3，0），將（3，0）代入y＝kx+3得0＝3k+3，解得k＝﹣1．②設(shè)直線l2解析式為y＝mx+3，令mx+3＝﹣x2+2x+3，Δ＝（m﹣2）2，當(dāng)m＝2時滿足題意．∴y＝2x+3，把y＝0代入y＝2x+3得x＝﹣，∴直線l2與x軸交點D坐標為（﹣，0），即OD＝，作DE⊥AD交直線y＝kx+3于點E，過點E作EF⊥x軸于點F，∵∠EAD＝45°，∴AD＝DE，∵∠ADO+∠EDF＝90°，∠ADO+∠DAO＝90°，∴∠DAO＝∠EDF，又∵∠EFD＝∠AOD＝90°，∴△EFD≌△DOA，∴FD＝AO＝3，EF＝DO＝，∴OF＝FD+DO＝，∴點E坐標為（﹣，）．將（﹣，）代入直線AE解析式y(tǒng)＝k1x+3得＝﹣k1+3，解得k1＝．∵k1?k＝﹣1，∴k＝﹣3．故答案為：﹣1或﹣3．【點評】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)交點問題，解題關(guān)鍵是掌握函數(shù)與方程的關(guān)系，通過添加輔助線分類討論求解．13．（2022秋?杭州期末）已知0＜m＜3，若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0的自變量x與函數(shù)y的部分對應(yīng)值如表，x…﹣5﹣235…y…m3m0…則c＝3，方程ax2+bx+c＝0的兩根為x1＝﹣7，x2＝5．【分析】根據(jù)當(dāng)x＝﹣5或3時，y＝m，可知圖象的對稱軸為直線x＝﹣1，因為當(dāng)x＝﹣2時，y＝3，根據(jù)對稱性可得c＝3，再根據(jù)當(dāng)x＝5時，y＝0，得當(dāng)x＝﹣7時，y＝0，即可得方程ax2+bx+c＝0的兩根．【解答】解：∵當(dāng)x＝﹣5或3時，y＝m，∴圖象的對稱軸為直線x＝＝﹣1，∵當(dāng)x＝﹣2時，y＝3，∴當(dāng)x＝0時，y＝3，∴c＝3，∵當(dāng)x＝5時，y＝0，∴當(dāng)x＝﹣7時，y＝0，∴方程ax2+bx+c＝0的兩根為x1＝﹣7，x2＝5．故答案為：3，x1＝﹣7，x2＝5．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．14．（2023?龍灣區(qū)一模）如圖，已知點C為二次函數(shù)y＝x2﹣4x+1的頂點，點P（0，n）為y軸正半軸上一點，過點P作y軸的垂線交函數(shù)圖象于點A，B（點A在點B的左側(cè)）．點M在射線PB上，且滿足PM＝1+n．過點M作MN⊥AB交拋物線于點N，記點N的縱坐標為yN．（1）求頂點C的坐標．（2）①若n＝3，求MB的值．②當(dāng)0＜n≤4時，求yN的取值范圍．【分析】（1）把二次函數(shù)的解析式化成頂點式，即可求得頂點C的坐標；（2）①解方程x2﹣4x+1＝3，求得B的坐標即可得出；②由xN＝xM＝1+n，代入解析式得，求得當(dāng)n＝1時，yN的最小值為﹣3．n＝4時，yN的最大值為6，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得﹣3≤yN≤6．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，∴頂點C的坐標為（2，﹣3）．（2）①當(dāng)n＝3時，則PM＝1+3＝4，令y＝3，則x2﹣4x+1＝3，解得，，∴B（2+，3），∴．②∵xN＝xM＝1+n，∴．∴當(dāng)n＝1時，yN的最小值為﹣3．當(dāng)n＝4時，yN的最大值為6．∴﹣3≤yN≤6．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2023?海曙區(qū)一模）對于拋物線y＝ax2﹣4x+3（a＞0）．（1）若拋物線過點（4，3）．①求頂點坐標；②當(dāng)0≤x≤6時，直接寫出y的取值范圍為﹣1≤y≤15；（2）已知當(dāng)0≤x≤m時，1≤y≤9，求a和m的值．【分析】（1）①解析式化成頂點式，即可求得拋物線的頂點坐標；②求得x＝6時的函數(shù)值，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝，由當(dāng)0≤x≤m時，1≤y≤9可知拋物線頂點坐標為（，1）且過點（m，9），把頂點坐標代入解析式即可求得a＝2，然后把點（m，9）代入解析式即可求得m的值．【解答】解：（1）若拋物線過點（4，3），則3＝16a﹣16+3，解得a＝1，∴y＝x2﹣4x+3；①∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴頂點坐標為（2，﹣1）；②當(dāng)x＝6時，y＝x2﹣4x+3＝15，∴當(dāng)0≤x≤6時，直y的取值范圍為﹣1≤y≤15，故答案為：﹣1≤y≤15；（2）拋物線y＝ax2﹣4x+3（a＞0）對稱軸為直線x＝﹣＝，∵當(dāng)0≤x≤m時，1≤y≤9，且x＝0時，y＝3，∴x＝時，y＝1為函數(shù)最小值，即拋物線頂點坐標為（，1），∴1＝﹣+3，解得a＝2，∴y＝2x2﹣4x+3，把x＝m，y＝9代入得9＝2m2﹣4m+3，解得m1＝3，m2＝﹣1，∴m＞0，∴m＝3，故a的值為2，m的值為3．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2023春?上城區(qū)校級月考）設(shè)二次函數(shù)y＝ax2+4ax+4a+1，a為常數(shù)，且a＜0．（1）寫出該函數(shù)的對稱軸和頂點坐標．（2）若該函數(shù)圖象經(jīng)過點P（n，y1），Q（n+1，y2），當(dāng)n≥1時，試比較y1和y2的大小關(guān)系．（3）若該函數(shù)圖象經(jīng)過點P（x1，y1），Q（x2，y2），設(shè)n≤x1≤n+1，當(dāng)x2≥3時均有y1≥y2，請求出實數(shù)n的取值范圍．【分析】（1）畫出頂點時，即可求得對稱軸和頂點坐標；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）利用函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)的對稱性即可得出n的取值范圍．【解答】解：（1）∵y＝ax2+4ax+4a+1＝a（x+2）2+1，∴二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x＝﹣2，頂點為（﹣2，1）；（2）∵拋物線開口向下，對稱軸是直線x＝﹣2，∴當(dāng)x＞﹣2時，y隨x的增大而減小，∵該函數(shù)圖象經(jīng)過點P（n，y1），Q（n+1，y2），∴當(dāng)n≥1時，y1＞y2；（3）∵拋物線開口向下，對稱軸是直線x＝﹣2，當(dāng)x2≥3時均有y1≥y2，∴|x1+2|≤|x2+2|，即|x1+2|≤x2+2，∴x1+2≤x2+2，或x1+2≥﹣2﹣x2，∴x1≤x2，或x1≥﹣4﹣x2∵x2≥3，∴﹣4﹣x2≤﹣7，∵該二次函數(shù)圖象上的兩點P（x1，y1），Q（x2，y2），設(shè)n≤x1≤n+1，當(dāng)x2≥3時均有y1≥y2，∴，∴﹣7≤n≤2．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，關(guān)鍵是靈活應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)解題．17．（2022秋?嘉興期末）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣4．（1）求該函數(shù)圖象的頂點坐標和對稱軸．（2）自變量在什么范圍內(nèi)時，y隨x的增大而增大．【分析】（1）利用配方法或公式法即可解決問題．（2）利用圖象以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣4＝（x2﹣2x+1）﹣4﹣1＝（x﹣1）2﹣5，∴頂點坐標為（1，﹣5），對稱軸為x＝1．（2）當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而增大．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、配方法或公式法求頂點坐標，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．二．二次函數(shù)的最值（共4小題）18．（2023?江北區(qū)一模）已知拋物線y＝（x﹣b）2+c經(jīng)過A（1﹣n，y1），B（n，y2），C（n+3，y3）三點，y1＝y(tǒng)3．當(dāng)1﹣n≤x≤n時，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為16，則n的值為（）A．﹣5 B．3 C． D．4【分析】根據(jù)y1＝y(tǒng)3，可得A，C兩點關(guān)于對稱軸對稱，從而得到拋物線解析式為y＝（x﹣2）2+c，再由1﹣n≤x≤n，可得點B在點A的右側(cè)，，然后分兩種情況討論，即可求解．【解答】解：∵y1＝y(tǒng)3，∴A，C兩點關(guān)于對稱軸對稱．∴，即拋物線解析式為y＝（x﹣2）2+c．∵1﹣n≤x≤n，∴點B在點A的右側(cè)，且有1﹣n≤n，∴．情況1：如圖1，當(dāng)點A與點B均在對稱軸的左側(cè)時，此時n＜2；當(dāng)x＝1﹣n時，二次函數(shù)取到最大值為y＝（1﹣n﹣2）2+c＝（n+1）2+c；當(dāng)x＝n時，二次函數(shù)取到最小值為y＝（n﹣2）2+c，∴（n+1）2+c﹣（n﹣2）2﹣c＝16，解得（舍去）．情況2：如圖2，當(dāng)點A與點B在對稱軸的兩側(cè)時，此時n≥2；A到對稱軸的水平距離為2﹣（1﹣n）＝1+n．B到對稱軸的距離為n﹣2，當(dāng)x＝1﹣n時，二次函數(shù)取到最大值為y＝（1﹣n﹣2）2+c＝（n+1）2+c；當(dāng)x＝2時，二次函數(shù)取到最小值為y＝c，∴（n+1）2+c﹣c＝16，解得n＝3或﹣5（舍）．綜上，n＝3．故選：B．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．19．（2022秋?金華期末）二次函數(shù)y＝2x2﹣4x的最小值為﹣2．【分析】把二次函數(shù)的解析式化為頂點式，即可求解．【解答】解：y＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，∵2＞0，∴二次函數(shù)y＝2x2﹣4x有最小值，最小值為﹣2．故答案為：﹣2【點評】此題考查將二次函數(shù)一般式化為頂點式，二次函數(shù)的性質(zhì)．熟練轉(zhuǎn)化二次函數(shù)解析式的形式及掌握確定最值的方法是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋?海曙區(qū)期末）已知點P（m，n）在二次函數(shù)y＝x2+4的圖象上，則m﹣n的最大值等于﹣．【分析】根據(jù)題意，可以得到m和n的關(guān)系，然后將m、n作差，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到m﹣n的最大值，本題得以解決．【解答】解：∵點P（m，n）在拋物線y＝x2+4上，∴n＝m2+4，∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣）2﹣，∴當(dāng)m＝時，m﹣n取得最大值，m﹣n＝﹣．故答案為：﹣．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．21．（2022秋?諸暨市期末）已知函數(shù)y＝x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點（0，3），（6，3）．（1）求b，c的值；（2）當(dāng)0≤x≤4時，求y的最大值與最小值之差；（3）當(dāng)k﹣4≤x≤k時，若y的最大值與最小值之差為8，求k的值．【分析】（1）（0，3）是與y軸的交點，可得c＝3，再將（6，3）代入求值，可求得b的值；（2）根據(jù)二次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6；當(dāng)0≤x≤4時，僅當(dāng)x＝0時，y取得最大值；僅當(dāng)x＝3時，y取得最小值；再計算y的最大值與最小值之差；（3）分類討論：①k﹣4≤x≤k≤3，k≤3；②當(dāng)k﹣4≤3且k≥3時，即3≤k≤7；③當(dāng)3≤k﹣4≤x≤k時，即k≥7；根據(jù)函數(shù)特點，計算求出符合題意k的值．【解答】解：（1）∵函數(shù)y＝x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點（0，3），（6，3），∴c＝3，y＝x2+bx+3，將點（6，3）代入可得：3＝62+6b+3，解得：b＝﹣6，∴b＝﹣6，c＝3；（2）y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6，當(dāng)0≤x≤4時，①僅當(dāng)x＝3時，y取得最小值，此時y＝（3﹣3）2﹣6＝﹣6；②僅當(dāng)x＝0時，y取得最大值，此時y＝（0﹣3）2﹣6＝3；3﹣（﹣6）＝9，∴當(dāng)0≤x≤4時，求y的最大值與最小值之差為9；（3）當(dāng)k﹣4≤x≤k時，y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6，①當(dāng)k﹣4≤x≤k≤3時，即k≤3，僅當(dāng)x＝k，y取得最小值，此時y＝k2﹣6k+3；僅當(dāng)x＝k﹣4，y取得最大值，此時y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3；（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3﹣（k2﹣6k+3）＝8，解得：k＝4，∵k＜3，∴k＝4不符合題意；②當(dāng)k﹣4≤3且k≥3時，即3≤k≤7，此時最小值為y＝﹣6，當(dāng)x＝k﹣4取得最大值時，y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3，（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3﹣（﹣6）＝8，解得：k＝7±3，∵3≤k≤7，7+3＞7，7﹣3＜3，∴k＝7±3不符合題意；當(dāng)x＝k取得最大值時，y＝k2﹣6k+3，k2﹣6k+3﹣（﹣6）＝8，解得：k＝3±2，∵3≤k≤7，3＜3+2＜7，3﹣2＜3，∴k＝3+2符合題意，k＝3﹣2不符合題意，∴k＝3+2；③當(dāng)3≤k﹣4≤x≤k時，即k≥7，僅當(dāng)x＝k﹣4，y取得最小值，此時y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3；僅當(dāng)x＝k，y取得最大值，此時y＝k2﹣6k+3；k2﹣6k+3﹣[（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3]＝8，解得：k＝6，∵k≥7，∴k＝6不符合題意；綜上所述，當(dāng)k﹣4≤x≤k時，若y的最大值與最小值之差為8，k的值為3+2．y取得最小值，此時y＝（3﹣3）2﹣6＝﹣6；【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的特點，并用分類討論思想分析計算求值是解本題的關(guān)鍵，綜合性較強，難度適中．三．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（共8小題）22．（2022秋?溫州期末）若拋物線y＝x2﹣6x+c的頂點在x軸，則c＝9．【分析】頂點在x軸上，根據(jù)頂點的縱坐標是0，列出方程求解．【解答】解：根據(jù)題意，頂點在x軸上，頂點縱坐標為0，即，解得c＝9．【點評】本題考查求頂點縱坐標的公式，比較簡單．23．（2022秋?濱江區(qū)期末）已知一個二次函數(shù)圖象的形狀與拋物線y＝2x2相同，它的頂點坐標為（1，﹣3），則該二次函數(shù)的表達式為y＝2（x﹣1）2﹣3或y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點坐標為（1，﹣3），可得可設(shè)這個二次函數(shù)的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣3，再根據(jù)圖象的形狀和與拋物線y＝2x2相同，可得a＝±2，即可求解．【解答】解：∵二次函數(shù)的頂點坐標為（1，﹣3），∴可設(shè)這個二次函數(shù)的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣3，∵二次函數(shù)圖象的形狀與拋物線y＝2x2相同，，∴|a|＝2，∴a＝±2，∴這個二次函數(shù)的解析式為y＝2（x﹣1）2﹣3或y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．故答案為：y＝2（x﹣1）2﹣3或y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，牢記形狀相同的二次函數(shù)二次項系數(shù)的絕對值相等是解題的關(guān)鍵．24．（2023春?蕭山區(qū)期中）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c．當(dāng)﹣1≤x≤1時，y的取值范圍是﹣1≤y≤1，該二次函數(shù)的對稱軸為x＝m，則m的取值范圍是1﹣≤m≤﹣1．【分析】分別求解當(dāng)y＝x2+bx+c過點（1，1）時，當(dāng)y＝x2+bx+c過點（﹣1，1）時的m的值，即可得到結(jié)論．【解答】解：二次函數(shù)y＝x2+bx+c的對稱軸為直線x＝﹣，當(dāng)﹣1≤x≤1時，y的取值范圍是﹣1≤y≤1，如圖，當(dāng)拋物線y＝x2+bx+c過點（1，1）時，則1+b+c＝1，此時﹣1≤﹣＜0，即0＜b≤2，解得：c＝﹣b，∴拋物線為：y＝x2+bx﹣b＝（x+）2﹣b﹣，此時函數(shù)的最小值必為﹣1，∴﹣b﹣＝﹣1，解得：b1＝﹣2+2，b2＝﹣2﹣2（舍去），此時m＝﹣＝1﹣，同理，當(dāng)拋物線y＝x2+bx+c過點（﹣1，1）時，則1﹣b+c＝1，此時0＜﹣≤1，即﹣2≤b＜0，解得：c＝b，∴拋物線為：y＝x2+bx+b＝（x+）2+b﹣，此時函數(shù)的最小值必為﹣1，∴b﹣＝﹣1，解得：b1＝2﹣2，b2＝2+2（舍去），此時m＝﹣＝﹣1，∴1﹣≤m≤﹣1，故答案為：1﹣≤m≤﹣1．【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，運用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．25．（2023?鹿城區(qū)校級二模）如圖，拋物線經(jīng)過點（﹣2，0）和（0，4）．?（1）求拋物線的函數(shù)表達式和對稱軸．（2）拋物線交y軸于點A，點P在線段OA上，過點P作x軸的平行線交拋物線于B，C兩點（B在C的左側(cè)），若時，CP＝nPB，求n的值．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得；（2）首先求得A的坐標，然后設(shè)BP＝m，則，，根據(jù)拋物線的對稱性求得C（m+2，﹣），即可得出BC＝2m+2，AP＝，由得到關(guān)于m的方程，解方程求得m的值，從而求得CP＝3，BP＝1，即可求得n＝3．【解答】解：（1）∵拋物線經(jīng)過點（﹣2，0）和（0，4），∴，解得，∴拋物線的函數(shù)表達式為：；∴對稱軸直線：x＝﹣＝1；（2）∵拋物線交y軸于點A，∴A（0，4），設(shè)BP＝m，則，，∵拋物線對稱軸直線x＝1，∴C（m+2，﹣），∴BC＝2m+2，AP＝4﹣（﹣）＝，∵，∴，解得：m1＝1，（舍去），∴CP＝3，BP＝1，∴n＝3．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，正確表示出點的坐標，從而根據(jù)題意得到關(guān)于m的方程是解題的關(guān)鍵．26．（2023?龍港市二模）二次函數(shù)y＝ax2+bx+3（a≠0）的圖象經(jīng)過點A（1，0），B（3，0）．（1）求該二次函數(shù)的表達式和對稱軸．（2）設(shè)P（m，y1），Q（m+1，y2）（m＞2）是該二次函數(shù)圖象上的兩點．當(dāng)m≤x≤m+1時，函數(shù)的最大值與最小值的差為5，求m的值．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式，利用拋物線的對稱性即可求得對稱軸；（2）根據(jù)題意函數(shù)的最大值yQ＝（m+1）2﹣4（m+1）+3，函數(shù)最小值yP＝y(tǒng)Q＝m2﹣4m+3，由函數(shù)的最大值與最小值的差為5，得到關(guān)于m的方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+3（a≠0）的圖象經(jīng)過點A（1，0），B（3，0），∴，解得，∴二次函數(shù)的表達式為y＝x2﹣4x+3，對稱軸是直線x＝＝2；（2）∵a＝1＞0，對稱軸為直線x＝2，∴當(dāng)x＞2時，y隨著x的增大而增大，∵m＞2，∴當(dāng)m≤x≤m+1時，y隨著x的增大而增大，∴函數(shù)的最大值yQ＝（m+1）2﹣4（m+1）+3，函數(shù)最小值yP＝y(tǒng)Q＝m2﹣4m+3，∵函數(shù)的最大值與最小值的差為5，（m+1）2﹣4（m+1）+3﹣m2+4m﹣3＝5，∴m＝4．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．27．（2023?溫州二模）已知點A（x1，y1），B（x2，y2），C（4，1）在二次函數(shù)y＝a（x﹣2）2+3的圖象上，且x2﹣x1＝6．（1）求該二次函數(shù)的表達式．（2）已知點A，B在對稱軸的異側(cè)，當(dāng)x1≤x≤x2時，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為5，設(shè)x1，x2的最小值分別為m，n，求m+n的值．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）由題意可知函數(shù)的最大值為3，最小值為﹣2，把y＝﹣2代入解析式即可求得自變量x的值，即可求得m＝，n＝，進一步求得m+n的值．【解答】解：（1）∵C（4，1）在二次函數(shù)y＝a（x﹣2）2+3的圖象上，∴1＝a（4﹣2）2+3，解得，∴該二次函數(shù)的表達式為；（2）∵A，B在對稱軸異側(cè)，且x1≤x≤x2，∴函數(shù)的最大值為3，∵函數(shù)的最大值與最小值的差為5，∴最小值為﹣2，把y＝﹣2代入，得，∵，∴由圖象得x1最小值，∴x2最小值＝，∴m+n＝2﹣+8﹣＝10﹣2．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．28．（2023?定海區(qū)模擬）二次函數(shù)y＝x2+bx過點（2，8）．（1）求二次函數(shù)y＝x2+bx的解析式；（2）若點A（m，y1）和點B（3﹣m，y2）都在二次函數(shù)圖象上，求y1+y2最小值；（3）一次函數(shù)y＝x+2和二次函數(shù)y＝x2+bx在同一平面直角坐標系中．其中點A（m，y1）是二次函數(shù)y＝x2+bx圖象上一點，點B（﹣2﹣m，y2）是y＝x+2圖象上一點．若|y1﹣y2|＞2，求m的取值范圍．【分析】（1）把已知點的坐標代入y＝x2+bx中求出b的值，從而得到二次函數(shù)解析式；（2）根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)圖象上點的坐標特征得到y(tǒng)1＝m2+2m，y2＝m2﹣8m+15，則y1+y2＝2m2﹣6m+15，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；（3）先確定拋物線y＝x2+2x的對稱軸為直線x＝﹣1，再求出點A（m，y1）關(guān)于對稱軸的對稱點A′的坐標為（﹣2﹣m，y1），則|y1﹣y2|＝|（﹣2﹣m）2+2（﹣2﹣m）﹣（﹣2﹣m+2）|＞2，即m2+3m＞2或m2+3m＜﹣2，通過解方程m2+3m＝2和二次函數(shù)的性質(zhì)得到m2+3m＞2的解集為m＜或m＞，通過解方程m2+3m＝﹣2和二次函數(shù)的性質(zhì)得到得m2+3m＜﹣2的解集為﹣2＜m＜﹣1．【解答】解：（1）把（2，8）代入y＝x2+bx得4+2b＝8，解得b＝2，∴二次函數(shù)解析式為y＝x2+2x；（2）∵點A（m，y1）和點B（3﹣m，y2）都在二次函數(shù)圖象上，∴y1＝m2+2m，y2＝（3﹣m）2+2（3﹣m）＝m2﹣8m+15，∵y1+y2＝m2+2m+m2﹣8m+15＝2m2﹣6m+15＝2（m﹣）2+，∴當(dāng)m＝時，y1+y2有最小值，最小值為；（3）∵拋物線y＝x2+2x的對稱軸為直線x＝﹣1，∴點A（m，y1）關(guān)于對稱軸的對稱點A′的坐標為（﹣2﹣m，y1），∵點B的坐標為（﹣2﹣m，y2），∴|y1﹣y2|表示點A′與點B的距離，∴|（﹣2﹣m）2+2（﹣2﹣m）﹣（﹣2﹣m+2）|＞2，整理得|m2+3m|＞2，即m2+3m＞2或m2+3m＜﹣2，解方程m2+3m＝2得m1＝，m2＝，∴m2+3m＞2的解集為m＜或m＞，解方程m2+3m＝﹣2得m1＝﹣2，m2＝﹣1，∴m2+3m＜﹣2的解集為﹣2＜m＜﹣1，綜上所述．m的取值范圍為m＜或m＞或﹣2＜m＜﹣1．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．也考查了一次函數(shù)，、二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．29．（2023?西湖區(qū)模擬）設(shè)二次函數(shù)y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常數(shù)，a≠0）．（1）若a＝2，求該函數(shù)圖象頂點坐標；（2）若該二次函數(shù)圖象經(jīng)過（﹣1，1），（﹣2，3），（1，﹣2）三個點中的一個點，求該二次函數(shù)的表達式；（3）若二次函數(shù)圖象經(jīng)過（x1，y1），（x2，y2）兩點，當(dāng)x1+x2＝2，x1＜x2時．y1＞y2，求a的取值范圍．【分析】（1）當(dāng)a＝2時，二次函數(shù)y＝（x+1）（2x+6）＝2x2+8x+6，即可求出頂點坐標；（2）先判斷拋物線過點（0，﹣2），代入解析式即可求得a＝﹣2，從而求得拋物線的解析式；（3）分a＞0和a＜0兩種情況，根據(jù)二次函數(shù)的增減性和已知條件列出a的不等式便可求得結(jié)果．【解答】解：（1）當(dāng)a＝2時，二次函數(shù)y＝（x+1）（2x+6）＝2x2+8x+6＝2（x+2）2﹣2，∴頂點坐標為（﹣2，﹣2）；（2）當(dāng)x＝﹣1時，y＝0≠1，因此不過（﹣1，1）點，當(dāng)x＝﹣2時，y＝（﹣2+1）（﹣2a+2a+2）＝﹣2≠3，因此不過（﹣2，3）點，故拋物線過點（1，﹣2），代入得，2（3a+2）＝﹣2，解得a＝﹣1，∴拋物線的關(guān)系式為y＝﹣x2﹣x；（3）∵二次函數(shù)y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常數(shù)，a≠0）的圖象與x軸交于點（﹣1，0），﹣2﹣，0），∴函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝﹣，當(dāng)a＞0時，函數(shù)圖象開口向上，∵當(dāng)x1+x2＝2，x1＜x2時，y1＞y2，x2+＜﹣﹣x1，∴2+＜0，解得a＜﹣，舍去；當(dāng)a＜0時，函數(shù)圖象開口向下，∵x1＜x2時，y1＞y2，∴x1≥﹣，∵x1+x2＝2，x1＜x2，∴x1＜1，∴﹣＜1，∴a＜﹣．【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法，關(guān)鍵是根據(jù)題意正確列出a的不等式．四．二次函數(shù)的三種形式（共3小題）30．（2022秋?義烏市校級月考）已知二次函數(shù)y＝2x2+4x﹣6，（1）將二次函數(shù)的解析式化為y＝a（x﹣h）2+k的形式．（2）寫出二次函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標．【分析】（1）用配方法可將拋物線一般式轉(zhuǎn)化為頂點式；（2）根據(jù)（1）中的頂點式確定開口方向、對稱軸、頂點坐標．【解答】解：（1）y＝2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1）﹣8＝2（x+1）2﹣8；（2）由（1）知，該拋物線解析式是：y＝2（x+1）2﹣8；a＝2＞0，則二次函數(shù)圖象的開口方向向上．對稱軸是直線x＝﹣1、頂點坐標是（﹣1，﹣8）．【點評】本題考查了二次函數(shù)的三種形式和二次函數(shù)的性質(zhì)．二次函數(shù)的解析式有三種形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）；（2）頂點式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交點式（與x軸）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．31．（2022秋?余杭區(qū)校級月考）將二次函數(shù)y＝x2+2x﹣1轉(zhuǎn)化為y＝a（x﹣h）2+k的形式，結(jié)果為（）A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x+1）2 C．y＝（x+1）2﹣1 D．y＝（x+1）2﹣2【分析】加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉(zhuǎn)化為頂點式．【解答】解：y＝x2+2x﹣1＝（x2+2x+1）﹣2＝（x+1）2﹣2，即y＝（x+1）2﹣2．故選：D．【點評】本題考查了二次函數(shù)的解析式有三種形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）；（2）頂點式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交點式（與x軸）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．32．（2022秋?定海區(qū)校級月考）把函數(shù)y＝2x2﹣4x﹣1寫成y＝a（x﹣h）2+k的形式，則h+k＝﹣2．【分析】利用配方法把一般式化為頂點式，計算即可．【解答】解：y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x2﹣2x）﹣1＝2（x﹣1）2﹣3∴h+k＝1﹣3＝﹣2，故答案為：﹣2．【點評】本題考查的是二次函數(shù)的最值問題，靈活運用配方法把一般式化為頂點式、掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023春·浙江·九年級階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象交于點，則下列說法正確的是（

）A．若，則的對稱軸在y軸左側(cè)，且 B．若，則的對稱軸在y軸右側(cè)，且C．若，則的對稱軸在y軸右側(cè)，且 D．若，則的對稱軸在y軸左側(cè)，且【答案】A【分析】依題意得出，根據(jù)分別判斷即可求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象交于點，∴，∴，若，則，則，即∵二次函數(shù)的對稱軸為直線∴的對稱軸在y軸左側(cè)，故A選項正確，B選項錯誤若，則，故C選項錯誤，則的對稱軸在y軸右側(cè)，故D選項不正確；故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)，得出是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江·模擬預(yù)測）設(shè)二次函數(shù)（a，c是常數(shù)，），已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，，設(shè)方程的正實數(shù)根為m，（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得點關(guān)于對稱軸的對稱點為，點關(guān)于對稱軸的對稱點為，再由二次函數(shù)圖象與方程的關(guān)系可得二次函數(shù)的圖象與直線的右側(cè)的交點的橫坐標為m，再結(jié)合圖象即可求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)關(guān)于y軸對稱，∴點關(guān)于對稱軸的對稱點為，點關(guān)于對稱軸的對稱點為，∵方程的正實數(shù)根為m，∴二次函數(shù)的圖象與直線的右側(cè)的交點的橫坐標為m，如圖，當(dāng)時，，故A、B選項錯誤，不符合題意；當(dāng)，時，，故C選項錯誤，不符合題意；D選項正確，符合題意；故選：D【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）二次函數(shù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系如下表，設(shè)一元二次方程的根為，，且，則下列說法正確的是（

）00.511.522.50.130.380.530.580.530.380.13A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)表格找出y的值接近0時對應(yīng)的x的值的取值范圍，從而分析求解．【詳解】解：由表格可得：當(dāng)時，；當(dāng)時，，又∵一元二次方程的根為，，且，∴，，故選：A．【點睛】本題考查了圖象法求一元二次方程的近似根，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)找出方程（，a，b，c為常數(shù)）的一個解的近似值是解題的關(guān)鍵．4．（2023·浙江溫州·?？既＃┮阎魏瘮?shù)的圖象過兩點，下列選項正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)根據(jù)二次函數(shù)的解析式得到對稱軸為直線，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)對各項判斷即可解答．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象過兩點，∴二次函數(shù)的頂點式為：，∴當(dāng)時，隨的增大而減小，當(dāng)時，隨的增大而增大；∵，∴，∴，∴，故錯誤；∵二次函數(shù)的頂點式為：，∴拋物線的對稱軸為直線，若，∴解得：，∴當(dāng)時，和關(guān)于對稱，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，故錯誤，正確；當(dāng)時，隨的增大而增大，∵，∴，故錯誤；故選．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的對稱軸，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）坐標平面上有一水平線與二次函數(shù)的圖形，其中為一正數(shù)，且與二次函數(shù)圖象相交于、兩點，其位置如圖所示．若：：，則的長度為()A．17 B．19 C．21 D．24【答案】C【分析】根據(jù)對稱軸，結(jié)合即可求解．【詳解】解：設(shè)對稱軸與交于點．.，．對稱軸，．，：：．：：：：．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)關(guān)于對稱軸對稱，結(jié)合圖形，找到線段的長度是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·浙江·九年級階段練習(xí)）如圖，二次函數(shù)的對稱軸為直線，下列判斷正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】由題意知，當(dāng)時，；將和分別代入，計算求解可得的關(guān)系，然后進行判斷即可．【詳解】解：由題意知，當(dāng)時，；當(dāng)時，，即，，∴，即，∴A錯誤，故不符合要求；B正確，故符合要求；當(dāng)時，，即，，∴，即，，∴C、D錯誤，故不符合要求；故選B．【點睛】本題考查了根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷式子的符號．解題的關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合確定的關(guān)系．7．（2023春·浙江寧波·九年級浙江省余姚市實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知a為實數(shù)，下列命題：①若，則；②若，則；③若，則或．其中真命題的個數(shù)有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【分析】借助函數(shù)圖象，先確定出三函數(shù)圖象的交點坐標為，再根據(jù)二次函數(shù)與不等式組的關(guān)系求解即可．【詳解】解：對于函數(shù)和，當(dāng)時，三個函數(shù)的函數(shù)值都是1，所以，交點坐標為，根據(jù)對稱性，和在第三象限的交點坐標為，畫出三個函數(shù)的圖象如圖，①如果，那么，故①正確；②如果時，那么，故②正確；③如果，那么或，故③正確；綜上所述，真命題是①②③．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)與不等式組的關(guān)系，命題與定理，求出兩交點的坐標并準確識圖是解題的關(guān)鍵．8．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，且經(jīng)過點，則下列說法①；②；③若是拋物線上的兩點，則；④正確的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④【答案】C【分析】根據(jù)拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，，再由對稱軸為直線得到，即可判斷①；根據(jù)當(dāng)時，，即可判斷②；根據(jù)拋物線開口向下，離對稱軸越遠函數(shù)值越小，即可判斷③；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時，函數(shù)有最大值，即可判斷④．【詳解】解：∵拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，∴，∵拋物線對稱軸為直線，∴，∴，∴，故①正確；由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時，，∴，故②正確；∵拋物線開口向下，∴離對稱軸越遠函數(shù)值越小，∵，∴，故③錯誤；∵拋物線開口向下，對稱軸為直線，∴當(dāng)時，函數(shù)有最大值，∴，∴，故④正確；故選C．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷式子符號等等，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用圖中信息解決問題，屬于中考?？碱}型．9．（2023秋·浙江溫州·九年級期末）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax﹣1，當(dāng)x≤1時，y隨x的增大而增大，且﹣1≤x≤6時，y的最小值為﹣4，則a的值為（

）A．1 B． C．﹣ D．﹣【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax﹣1，可以得到該函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)當(dāng)x≤1時，y隨x的增大而增大，可以得到a的正負情況，然后根據(jù)﹣1≤x≤6時，y的最小值為﹣4，即可得到a的值．【詳解】解：∵二次函數(shù)y＝ax2﹣4ax﹣1＝a（x﹣2）2﹣4a﹣1，∴該函數(shù)的對稱軸是直線x＝2，又∵當(dāng)x≤1時，y隨x的增大而增大，∴a＜0，∵當(dāng)﹣1≤x≤6時，y的最小值為﹣4，∴x＝6時，y＝a×62﹣4a×6﹣1＝﹣4，解得a＝﹣，故選：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．（2023·統(tǒng)考二模）二次函數(shù)(，是常數(shù)，)的圖象過點，下列選項正確的是(

)A．若對稱軸為直線，則 B．若對稱軸為直線，則C．若對稱軸為直線，則 D．若對稱軸為直線，則【答案】C【分析】先求得拋物線與軸交于，然后根據(jù)拋物線的對稱軸求得對稱點，根據(jù)拋物線對稱軸的右側(cè)的增減性即可求解．【詳解】解：由，當(dāng)時，，即拋物線與軸交于若對稱軸為直線，則關(guān)于對稱的點為，又二次函數(shù)(，是常數(shù)，)的圖象過點，在對稱軸的右側(cè)，隨的增大而增大，∴拋物線開口向上，即，故A錯誤若對稱軸為直線，則關(guān)于對稱的點為，又二次函數(shù)(，是常數(shù)，)的圖象過點，在對稱軸的右側(cè)，隨的增大而增大，∴拋物線開口向上，即，故B錯誤若對稱軸為直線，則關(guān)于對稱的點為，又二次函數(shù)(，是常數(shù)，)的圖象過點，在對稱軸的右側(cè)，隨的增大而減小，∴拋物線開口向下，即，故C正確若對稱軸為直線，則關(guān)于對稱的點為，又二次函數(shù)(，是常數(shù)，)的圖象過點，在對稱軸的右側(cè)，隨的增大而減小，∴拋物線開口向下，即，故D錯誤故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2023春·浙江·九年級開學(xué)考試）若關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，且．當(dāng)時，試比較，2，3的大小，并用“<”連接：___________．【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)圖象和直線的交點橫坐標為，由圖象即可得到答案．【詳解】解：設(shè)，當(dāng)時，或，即拋物線與x軸交于點，如圖所示，拋物線與直線交點的橫坐標為，由圖象可知，．故答案為：【點睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象和一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋·浙江湖州·九年級統(tǒng)考期末）已知拋物線經(jīng)過點兩點，則關(guān)于x的一元二次方程的解是________．【答案】【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可得拋物線經(jīng)過點兩點，再由拋物線與軸的交點的橫坐標即為一元二次方程的解，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：把拋物線向左平移1個單位得到拋物線，∵拋物線經(jīng)過點兩點，∴拋物線經(jīng)過點、兩點，∴當(dāng)，即時，解得：，∴的解為．故答案為：【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)與一元二次方程的根的關(guān)系，理解拋物線與軸的交點的橫坐標即為一元二次方程的解是解題的關(guān)鍵．13．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象與x軸恰有一個交點，且過點和點，則______．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸恰有一個交點，可得，再由二次函數(shù)的軸對稱性可得，從而得到，，再把代入解析式可得，然后代入結(jié)合完全平方公式計算，即可求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象與x軸恰有一個交點，∴，即，∵二次函數(shù)的圖象過點和點，∴，解得：，∴，∴二次函數(shù)的解析式為，當(dāng)時，，∴．故答案為：【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得到，，靈活利用完全平方公式計算是解題的關(guān)鍵．14．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）在同一直角坐標系中，已知函數(shù)，（k為不等于零的常數(shù)）．若函數(shù)的圖象經(jīng)過的圖象的頂點，則k，c之間的數(shù)量關(guān)系為__________．【答案】【分析】將函數(shù)化為頂點式，求出頂點坐標，再代入，即可作答．【詳解】，即其頂點坐標為：，將代入中，有：，整理，得：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了求解二次函數(shù)的頂點坐標的知識，正確將函數(shù)化為頂點式，是解答本題的關(guān)鍵．15．（2023·浙江溫州·校考三模）拋物線的頂點落在一次函數(shù)的圖象上，則b的最小值為__________．【答案】3【分析】首先求出拋物線的頂點坐標，然后代入一次函數(shù)，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：，∴頂點坐標為，∵拋物線的頂點落在一次函數(shù)的圖象上，∴在一次函數(shù)的圖象上，∴∴∵，∴拋物線開口向上，∴