福建省泉州市南安第一中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考試題理含解析

PAGE24-福建省泉州市南安第一中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期其次次月考試題理（含解析）一、選擇題（本題有12小題，每小題5分，共60分）1.設(shè)集合，，是實(shí)數(shù)集，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合，再求解并集和補(bǔ)集.【詳解】因?yàn)?，所以，即，，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的補(bǔ)集并集運(yùn)算，化簡(jiǎn)集合為最簡(jiǎn)是求解關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).2.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊上一點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出，再求出得解.【詳解】由題得，所以.故答案為：D【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的坐標(biāo)定義和二倍角的公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平.3.已知表示兩條不同直線，表示兩個(gè)不同平面，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】由線線，線面，面面的位置關(guān)系對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)進(jìn)行推斷即可得到答案.【詳解】若m⊥n，n?α，則m⊥α不肯定成立，A錯(cuò)；m∥α，m∥β，則α∥β或α，β相交，B錯(cuò)；α∥β，m∥β，則m∥α或m?α，C錯(cuò)；m∥α，由線面平行的性質(zhì)定理可得過(guò)m的平面與α的交線l平行，n⊥α，可得n⊥l，則m⊥n，D對(duì)．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查空間線線、線面和面面的位置關(guān)系，主要是平行和垂直的推斷和性質(zhì)，考查空間想象實(shí)力和推理實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．4.朱載堉(1536～1611)，是中國(guó)明代一位杰出的音樂(lè)家、數(shù)學(xué)家和天文歷算家，他的著作《律學(xué)新說(shuō)》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一組音(八度)分成十二個(gè)半音音程的律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等，亦稱“十二等程律”．即一個(gè)八度13個(gè)音，相鄰兩個(gè)音之間的頻率之比相等，且最終一個(gè)音是最初那個(gè)音的頻率的2倍．設(shè)第三個(gè)音的頻率為，第七個(gè)音的頻率為，則＝A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】：先設(shè)第一個(gè)音的頻率為，設(shè)相鄰兩個(gè)音之間的頻率之比為，得出通項(xiàng)公式，依據(jù)最終一個(gè)音是最初那個(gè)音的頻率的2倍，得出公比，最終計(jì)算第三個(gè)音的頻率與第七個(gè)音的頻率的比值．【詳解】：設(shè)第一個(gè)音的頻率為，設(shè)相鄰兩個(gè)音之間的頻率之比為，那么，依據(jù)最終一個(gè)音是最初那個(gè)音的頻率的2倍，，所以，故選D【點(diǎn)睛】：本題考查了等比數(shù)列的基本應(yīng)用，從題目中后一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比為一個(gè)常數(shù)，抽象出等比數(shù)列．5.在平行四邊形中，，，點(diǎn)在上，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以向量為基底，依據(jù)向量加減法的運(yùn)算可將表示出來(lái)，利用數(shù)量積法則運(yùn)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，設(shè)，則，因?yàn)椋?故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的加減法運(yùn)算，數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題.6.數(shù)列滿意，，則（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出數(shù)列的周期，再依據(jù)數(shù)列的周期求出的值得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列的周期為4，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的周期的計(jì)算和應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平.7.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若，則的最小值為（）A.5 B.10 C.15 D.20【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意，設(shè)該等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，結(jié)合題意可得，變形可得，進(jìn)而可得，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)分析可得答案．【詳解】依據(jù)題意，設(shè)該等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，若，，又由數(shù)列為正項(xiàng)的等比數(shù)列，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；即的最小值為20；故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列和基本不等式，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平.8.某地2004年第一季度應(yīng)聘和聘請(qǐng)人數(shù)排行榜前5個(gè)行業(yè)的狀況列表如下：行業(yè)名稱

計(jì)算機(jī)

機(jī)械

營(yíng)銷

物流

貿(mào)易

應(yīng)聘人數(shù)

215830

200250

154676

74570

65280

行業(yè)名稱

計(jì)算機(jī)

營(yíng)銷

機(jī)械

建筑

化工

聘請(qǐng)人數(shù)

124620

102935

89115

76516

70436

若用同一行業(yè)中應(yīng)聘人數(shù)和聘請(qǐng)人數(shù)的比值的大小來(lái)衡量該行業(yè)的就業(yè)狀況，則依據(jù)表中數(shù)據(jù)，就業(yè)形勢(shì)肯定是（）A.計(jì)算機(jī)行業(yè)好于化工行業(yè) B.建筑行業(yè)好于物流行業(yè)C.機(jī)械行業(yè)最驚慌 D.營(yíng)銷行業(yè)比貿(mào)易行業(yè)驚慌【答案】B【解析】試題分析：就業(yè)形勢(shì)的好壞，主要看聘請(qǐng)人數(shù)與應(yīng)聘人數(shù)的比值，比值越大，就業(yè)形勢(shì)越好，故選B．考點(diǎn)：本題主要考查不等式的概念、不等式的性質(zhì)．點(diǎn)評(píng)：解答此類題目，首先要審清題意，明確就業(yè)形勢(shì)的好壞，主要看聘請(qǐng)人數(shù)與應(yīng)聘人數(shù)的比值．9.下圖是某幾何體的三視圖，其中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該幾何體的體積為（）A. B. C.4 D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)三視圖得出原圖，由此計(jì)算出幾何體的體積.【詳解】畫(huà)出三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體如下圖所示三棱錐，依據(jù)三棱錐體積計(jì)算公式得所求體積為，故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三視圖還原為原圖，考查錐體的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.10.已知數(shù)列滿意…，數(shù)列滿意：,數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，再利用裂項(xiàng)相消法求出，即得的取值范圍.【詳解】由題得…，（1），…，（2）所以（1）-（2）得，適合.所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)的求法，考查裂項(xiàng)相消法求和和數(shù)列的恒成立問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平.11.已知球是正三棱錐的外接球，底邊，側(cè)棱，點(diǎn)在線段上，且，過(guò)點(diǎn)作球的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)的中心為，球的半徑為，連接，可得，可得的值，過(guò)點(diǎn)作圓的截面，當(dāng)截面與垂直時(shí)，截面的面積最小，當(dāng)截面過(guò)球心時(shí)，截面面積最大，即可求解．【詳解】解：如圖，設(shè)的中心為，球的半徑為，連接，

則，

在中，，解得，

，

在中，，

過(guò)點(diǎn)作圓的截面，當(dāng)截面與垂直時(shí)，截面的面積最小，

此時(shí)截面圓的半徑為，最小面積為．

當(dāng)截面過(guò)球心時(shí)，截面面積最大，最大面積為．

故選B【點(diǎn)睛】本題考查了球與三棱錐組合體，考查了空間想象實(shí)力，轉(zhuǎn)化思想，解題關(guān)鍵是要確定何時(shí)取最值，屬于中檔題．12.如圖，已知四面體為正四面體，，，分別是，中點(diǎn)．若用一個(gè)與直線垂直，且與四面體的每一個(gè)面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個(gè)多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】將正四面體補(bǔ)成正方體易得截面為平行四邊形，可求得；依據(jù)平行關(guān)系及可得，則，利用基本不等式可求得最大值.【詳解】將正四面體補(bǔ)成正方體，如下圖所示：截面為平行四邊形，可得又，，且可得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查截面面積最值的求解，難點(diǎn)是能夠?qū)⒄拿骟w補(bǔ)全為正方體，從而可精確推斷出截面圖形的形態(tài)；求解最值的關(guān)鍵是能夠得到符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最值.二、填空題（本題有4小題，每小題5分，共20分）13.已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為，，且，則___.【答案】4；【解析】【分析】化簡(jiǎn)，即得解.【詳解】由題得.故答案為：4【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平.14.若向量、滿意，且，，則向量在上的投影為_(kāi)______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算及向量在向量上的投影的定義即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，又，，所以，即，所以向量在上的投影為，故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)量積的運(yùn)算，向量在向量上的投影，屬于中檔題.15.如圖所示，在棱長(zhǎng)為的正方體中，是棱的中點(diǎn)，是棱的中點(diǎn)，為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且∥面，則在側(cè)面上的軌跡的長(zhǎng)度是________.【答案】；【解析】【分析】如圖所示，先求出點(diǎn)Q的軌跡是線段GH,再求GH的長(zhǎng)度得解.【詳解】如圖，點(diǎn)G,M,N分別是,CD,的中點(diǎn)，H是的中點(diǎn)，由題得,不在平面內(nèi)，平面，所以平面.因?yàn)?不在平面內(nèi),平面，所以平面,因?yàn)槠矫妫?所以平面平面,因?yàn)閨|平面,||平面.所以在側(cè)面上的軌跡為線段GH,因?yàn)?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查空間線面關(guān)系的證明和軌跡問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平.16.已知函數(shù)，函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，，，且，則的取值范圍是_____________.【答案】【解析】分析】作出的圖象，依據(jù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為有三個(gè)根，求出，，，關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討取值范圍即可．【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖：則當(dāng)時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為，若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，，不妨設(shè)，即，有三個(gè)不同的根，則＜1，當(dāng)時(shí)，，即，則，當(dāng)時(shí)，由，得，即，則，設(shè)（m），＜1，則導(dǎo)數(shù)（m），所以函數(shù)h(m)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，因?yàn)?，所?所以的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，依據(jù)條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題（共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.）17.如圖所示，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，其中，垂直于底面，，為棱的中點(diǎn)．（1）求三棱錐的體積；（2）求異面直線與所成角的余弦值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）連結(jié)，利用求三棱錐的體積；（2）取中點(diǎn)，連結(jié)、，先證明為異面直線與所成的角，再求它的大小即得解.【詳解】（1）連結(jié)，平面，平面，∴，為邊長(zhǎng)為1的菱形，且，∴，，∴.∵；∵；∴.（2）取中點(diǎn)，連結(jié)、，∴且，∴為異面直線與所成的角；又∵在中，，∴，同時(shí)，，∴為等邊三角形，∴，即異面直線與所成角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何體的體積的計(jì)算，考查異面直線所成的角的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平.18.設(shè)．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在銳角中，的對(duì)邊分別為，若，求面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角和兩角和與差以及協(xié)助角公式基本公式將函數(shù)化為的形式，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）依據(jù)，求出，可得，利用余弦定理，利用基本不等式的性質(zhì)求出的最大值，可得面積的最大值．【詳解】解：（1）．化簡(jiǎn)可得：，由．可得：，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是：（2）由，即，可得，．由余弦定理：，可得．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．，．面積的最大值．故得三角形面積最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)實(shí)力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．同時(shí)考查了余弦定理和不等式的性質(zhì)的運(yùn)用，屬于中檔題．19.給定數(shù)列，若滿意且，且對(duì)于隨意的，都有，則稱數(shù)列為“指數(shù)型數(shù)列”．1已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，證明：為“指數(shù)型數(shù)列”；2若數(shù)列滿意：，；①推斷數(shù)列是否為“指數(shù)型數(shù)列”，若是給出證明，若不是說(shuō)明理由；②若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)①數(shù)列“指數(shù)型數(shù)列”，證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析【解析】【分析】1利用“指數(shù)型數(shù)列”的定義即可證明是指數(shù)型數(shù)列；（2）①數(shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”，證明即得證；②先由題得，再利用等比數(shù)列的求和公式即得解證.【詳解】(1)解：對(duì)于數(shù)列，隨意，，所以是指數(shù)型數(shù)列.(2)①數(shù)列是“指數(shù)型數(shù)列”，證明如下：，，所以數(shù)列是等比數(shù)列，，，故數(shù)列“指數(shù)型數(shù)列”．②由①可得，；故.【點(diǎn)睛】本題主要考查新定義的理解駕馭和應(yīng)用，考查等比數(shù)列的求和放縮法證明不等式，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平.20.在五面體中，∥∥,,，，平面平面（1）證明:平面；（2）棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的大小為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)存在，【解析】【分析】（1）先證明平面，再證明平面；（2）以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用二面角的大小求出a的值即得解.【詳解】（1）∵,∴∴四邊形為菱形,∴∵面面，面面∵∴平面∴,又∵∴直線平面；（2）∵,∴為正三角形，取的中點(diǎn),連接,則∴,∵平面平面,平面，平面平面,∴平面；∵∴兩兩垂直，以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系；∵,,∴由（1）知是平面的法向量∵,設(shè)，則．設(shè)平面的法向量為∵,∴，令，則∴∵二面角為,∴，解得，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間位置關(guān)系的證明，考查空間向量的應(yīng)用和立體幾何的探究性問(wèn)題，考查二面角的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平.21.已知函數(shù).(1)探討的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，，證明:.【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)分子的判別式分狀況探討，即可，留意參數(shù)時(shí)，函數(shù)圖像開(kāi)口也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的改變．（2）利用對(duì)數(shù)平均不等式，證明即可．【詳解】解：（1），，對(duì)于一元二次方程，，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，無(wú)解或一個(gè)解，有時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有兩個(gè)解，其解為，當(dāng)時(shí)，，故在剛好，；且時(shí)，，即在及上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，一個(gè)實(shí)根小于0，一個(gè)實(shí)根大于0，所以在時(shí)，，在，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上所述：即時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，即在及上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）當(dāng)時(shí)，，，又因?yàn)榈膬蓚€(gè)極值點(diǎn)為，，則，是方程的兩實(shí)數(shù)根，設(shè)．又因?yàn)?，故要證，只需證，只需證，只需證，下面證明不等式，不妨設(shè)，要證，即證，即證，令，設(shè)，則，所以，函數(shù)在上遞減，而，因此當(dāng)時(shí)，恒成立，即成立，即成立，所以，得證．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)探討、求解帶參函數(shù)的單調(diào)性，以及證明不等式，屬于難題．選考題：請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．假如多做，則按所做