2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：與圓有關(guān)的計(jì)算（練習(xí)）（解析版）

第28講與圓有關(guān)的計(jì)算

目錄

題型過關(guān)練N

題型01求正多邊形中心角

題型02求正多邊的邊數(shù)題型12求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長度

題型03正多邊形與圓中求角度題型13求扇形面積

題型04正多邊形與圓中求面積題型14求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積

題型05正多邊形與圓中求周長題型15求圓錐側(cè)面積

題型06正多邊形與圓中求邊心距、邊長題型16求圓錐底面半徑

題型07正多邊形與圓中求線段長題型17求圓錐的高

題型08正多邊形與圓的規(guī)律問題題型18求圓錐側(cè)面積展開圖的圓心角

題型09求弧長題型19圓錐的實(shí)際問題

題型10利用弧長及扇形面積公式求半徑題型20圓錐側(cè)面上的最短路徑問題

題型11利用弧長及扇形面積公式求圓心題型21計(jì)算不規(guī)則面積

角

真即實(shí)戰(zhàn)練、

題型過關(guān)練N

題型01求正多邊形中心角

1.（2022?河北石家莊?統(tǒng)考二模）如圖，邊A8是。。內(nèi)接正六邊形的一邊，點(diǎn)C在上，且8C是。。內(nèi)

接正八邊形的一邊，若AC是。。內(nèi)接正鞏邊形的一邊，則w的值是（）

A.6B.12C.24D.48

【答案】C

【分析】根據(jù)中心角的度數(shù)=360。一邊數(shù)，列式計(jì)算分別求出NA02,N20C的度數(shù)，可得NAOC=15。，然

后根據(jù)邊數(shù)〃=360。+中心角即可求得答案.

【詳解】解：連接OC,

TAB是。。內(nèi)接正六邊形的一邊，

ZAOB=360°4-6=60°,

?；2C是。。內(nèi)接正八邊形的一邊，

.?.N3OC=360°+8=45°,

ZAOC=ZAOB-ZBOC=60°-45°=15°

."=360°T5°=24.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、正八邊形、正二十四邊形的性質(zhì)；根據(jù)題意求出中

心角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?吉林長春??？寄M預(yù)測）如圖，正五邊形A8CZJE內(nèi)接于。。，點(diǎn)尸在阿上，則

度.

【分析】連接。C,OD.求出NC。。的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理即可解決問題.

【詳解】如圖，連接OC,OD.

五邊形ABCDE是正五邊形，

/.ZCOD=^=72°,

ZCFD=-ZCOD=36°,

2

故答案為：36.

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí).

3.（2022?江蘇揚(yáng)州?揚(yáng)州教育學(xué)院附中?？级＃┤鐖D，在正十邊形力142444&46力7484940中，連接

【答案】54

【分析】設(shè)正十邊形的圓心O,連接A?。、A4O,再求出/404,最后運(yùn)用圓周角定理解答即可.

【詳解】解：如圖：設(shè)正十邊形的圓心0,連接A70、A4O,

?.?正十邊形的各邊都相等

/A7OA4磊x360°=108°

.?.乙4"出=108°x|=54°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形和圓以及圓周角定理，根據(jù)題意正確作出輔助線、構(gòu)造出圓周角是解答

本題的關(guān)鍵.

題型02求正多邊的邊數(shù)

4.（2022?上海松江?統(tǒng)考二模）如果一個(gè)正多邊形的中心角為72。，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是.

【答案】5

【詳解】解：???中心角的度數(shù)="，

n

-72°=—n,

n=5,

故答案為：5.

5.（2022?上海浦東新?統(tǒng)考二模）一個(gè)正〃邊形的一個(gè)內(nèi)角等于它的中心角的2倍，則

【答案】6

【分析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式求出一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)中心角的求法求出中心角的度數(shù)列方程求

解即可.

【詳解】?.,正”邊形的一個(gè)內(nèi)角和=Cn-2）-180°,

.??正〃邊形的一個(gè)內(nèi)角J"。”nEV，.

?.?正”邊形的中心角=隨，

n

180°x(n-2)36O°X2

nn

解得：n=6.

故答案為6.

【點(diǎn)睛】本題比較簡單，解答此題的關(guān)鍵是熟知正多邊形的內(nèi)角和公式及中心角的求法.

6.（2022?廣東深圳.統(tǒng)考二模）一個(gè)正多邊形內(nèi)接于半徑為4的。。，AB是它的一條邊，扇形048的面積

為2兀，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是.

【答案】8

【分析】設(shè)/4。8=〃。，利用扇形面積公式列方程與4=2兀，求出NAOB的度數(shù)，然后用360。-45。計(jì)算即

360

可.

【詳解】解：設(shè)NAOB="。，

,扇形OAB的面積為2兀，半徑為4,

."=45°,

；.360°+45°=8,

...這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是8,

故答案為8.

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，扇形面積，圓心角，掌握正多邊形與圓的性質(zhì)，扇形面積公式，圓心角

是解題關(guān)鍵.

題型03正多邊形與圓中求角度

7.（2022?山東青島?統(tǒng)考二模）如圖，五邊形ABCDE是。。的內(nèi)接正五邊形，貝吐EBC的度數(shù)為（）

A.54°B.60°C.71°D.72°

【答案】D

【分析】先根據(jù)正五邊形的內(nèi)角和求出每個(gè)內(nèi)角，再根據(jù)等邊對等角得出然后利用三角形

內(nèi)角和求出NABE=[180?！?）=36。即可.

【詳解】解：；五邊形4BCDE是。。的內(nèi)接正五邊形，

ZA=ZABC=J（5-2）X180°=108°,AB=AE,

NABE=/AEB,

：.ZABE=^（180°-4力）=36°,

:.乙EBC=UBC-乙ABE=108°-36°=72°.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接正五邊形的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和公式，角的和差計(jì)算，掌握圓

內(nèi)接正五邊形的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和公式，角的和差計(jì)算是解題關(guān)鍵.

8.（2022?河北?模擬預(yù)測）如圖，正六邊形A8COEF內(nèi)接于。。連接8D則的度數(shù)是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【分析】根據(jù)正六邊形的內(nèi)角和求得NBCD,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】：在正六邊形ABCDEP中，NgCD=?-2）x180。=]2o。,BC=CD,

6

1

：.ZCBD^~（180°-120°）=30°,

2

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形和圓、等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，熟記多邊形的內(nèi)角和是解題

的關(guān)鍵.

9.（2022?河北保定.統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)。是正六邊形A8CDEF的中心，NGOK的兩邊OG,OK,分別與

AB,CB,相交于點(diǎn)M,N,當(dāng)NGOK+乙4BC=180。時(shí)，下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.Z.GOK=60°B.MB+NB=DC

C-S四邊形OMBN=^S正六邊形4BCDEFD.NOMA與NONB相等

【答案】c

【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行證明即可.

【詳解】解：如下圖所示，連接。4OB,OC.

???點(diǎn)。是正六邊形4BCDEF的中心,

OA=OB=OC,Z.FAB=/.ABC=I—v)=120°,^AOB=/.BOC=—=60°,AB=DC,S^0AB=

66

Z,正六邊形488叱

180°-Zi4OB/A。180°-4BOC

Z.OAM=------------二60,乙OBN=60°.

22

???Z-OAM=乙OBN.

???乙GOK+4ABC=180°,

4OMB+乙ONB=360°-(乙GOK+^ABC)=180°,乙GOK=180°―/.ABC=60°.

故A選項(xiàng)不符合題意.

???WMA+Z.OMB=180°,

???4。MZ=Z.ONB.

??.△OAM=△OBN(AAS).

?*-Z-OMA=Z.ONB,MA=NB,SA0AM=S^0BN.

故D選項(xiàng)不符合題意.

???MB+NB=MB+MA=AB=DC.

故B選項(xiàng)不符合題意.

^OMB+S&OBN=^AOMB+^AOAM=^AOAB-

?'?S四邊形。MBN=SA04B=1S正六邊形4BCDEF.

故c選項(xiàng)符合題意.

故選：C

【點(diǎn)睛】此題考查正六邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)

鍵.

10.（2022.廣西梧州.統(tǒng)考一模）如圖，在正五邊形ABCDE中，AC與BE相交于點(diǎn)F,則回AFE的度數(shù)

為-.

【答案】72。

【分析】首先根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到AB=BC=AE,ZABC=ZBAE=108°,然后利用三角形內(nèi)角和定理

MZBAC=ZBCA=ZABE=ZAEB=（180°-108°）+2=36。，最后利用三角形的外角的性質(zhì)得到

ZAFE=ZBAC+ZABE=72°.

【詳解】???五邊形ABCDE為正五邊形，

；.AB=BC=AE,ZABC=ZBAE=108°,

...NBAC=NBCA=NABE=NAEB=（180°-108°）+2=36°,

ZAFE=ZBAC+ZABE=72°,

故答案為72°.

【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形和圓，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵.

題型04正多邊形與圓中求面積

11.（2022?河北廊坊?統(tǒng)考二模）如圖，兩張完全相同的正六邊形紙片（邊長為2a）重合在一起，下面一張

保持不動(dòng)，將上面一張紙片六邊形沿水平方向向左平移a個(gè)單位長度，則上面正六邊形紙片面

積與折線4--C，掃過的面積（陰影部分面積）之比是（）

A.3:1B.4:1C.5:2D.2:1

【答案】A

【分析】求出正六邊形和陰影部分的面積即可解決問題.

【詳解】解：如下圖，正六邊形由六個(gè)等邊三角形組成，過點(diǎn)。作于點(diǎn)H,06_14產(chǎn)于點(diǎn)6,

根據(jù)題意，正六邊形紙片邊長為2a,即CD=2a,

/.OC=OD=CD=2a,

*：0H1CD,

：.CH=DH=-CD=a,

2

：.在Rt△0cH中，OH=VOC2-CH2=7（2a）2-a2=Wa,

同理，0G=y/3a,

2

SA℃D=三CD-OH=1x2axWa—V3a,

正六邊形的面積=6x，X（2a）2=6V5a2,

?..將上面一張紙片六邊形4B（切上午，沿水平方向向左平移a個(gè)單位長度,

又；GH=0G+0H=2島，

陰影部分的面積=ax2V3a=2用a2,

二空白部分與陰影部分面積之比是=6V3a2:2V3a2=3:1.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、平移變換等知識(shí)，解題關(guān)鍵是理

解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

12.（2022.浙江寧波.統(tǒng)考二模）如圖，正六邊形A8CDEF中，點(diǎn)P是邊4尸上的點(diǎn)，記圖中各三角形的面積

依次為Si，S2，S3，S4，Ss，則下列判斷正確的是（）

A.Si+S2=2s3B.Si+S4=S3C.S2+S4=2s3D.S】+S5=S3

【答案】B

【分析】正六邊形4BCDEF中，點(diǎn)尸是邊4F上的點(diǎn)，記圖中各三角形的面積依次為SiSSSW，則有

$3=lSS.7si）l^ABCDEF,51+54=52+55=9s正六邊形謝曲'由此即可判斷?

【詳解】解：正六邊形力BCDEF中，點(diǎn)尸是邊力F上的點(diǎn)，記圖中各三角形的面積依次為Si，S2，S3，S4，Ss，

則有S3=35lEAaB^BCDffF,S1+S4=S2+S5=5s正六邊形ABCDEF，

S3=Si+S4=S2+S5,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決

問題.

13.（2022?浙江杭州?杭州育才中學(xué)?？寄M預(yù)測）邊長為。的正方形的對稱軸有條，這個(gè)正方

形的外接圓的面積是.

【答案】41一

【分析】正方形的對稱軸有4條，然后根據(jù)正方形的對角線長就是外接圓的直徑求得外接圓的半徑，從而

計(jì)算面積即可.

【詳解】任何正方形的對稱軸都有4條；

?正方形的邊長為

.??正方形的對角線長為：V2a,

???正方形的對角線是正方形的外接圓的半徑，

正方形的外接圓的半徑為日a，

2

二?正方形的外接圓的面積為：TCr2=71(9a)=■|兀。2.

故答案為：4,^na2.

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是弄清正多邊形的有關(guān)元素與圓的關(guān)系，如本題中

的外接圓的半徑就是正方形對角線長的一半.

14.(2022嚀夏銀川??？既?如圖，已知。。的內(nèi)接正六邊形2BCDEF的邊心距。M是遍，則陰影部分

的面積是.

【答案】4it-6V3/-6V3+4兀

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)可求出NDOE=60°,進(jìn)而得出△DOE是正三角形，由圓內(nèi)接正六邊形

的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系可求出半徑。D,邊長DE,再根據(jù)面積公式求出正六邊形力BCDEF的面

積，最后由陰影部分的面積等于圓的面積減去正六邊形4BCDEF,進(jìn)行計(jì)算即可

【詳解】解：如圖，連接。D,0E,

?..六邊形力BCDEF是0。的內(nèi)接正六邊形，

/.Z.DOE=—=60°

6

*：0D=OE

:?△OOE是正三角形，

;。。的內(nèi)接正六邊形4BCDEF的邊心距。M是B，

：.0D=-^=2,即DE=0E=2,

sm60

,,SABCDEF=6xSADOE=6x-x2xV3=6V5

2

?,S陰影部分=S圓一SABCDEF=nx2-6A/3=4K-6V3

故答案為4TT-6V3

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形面積與圓面積的計(jì)算，掌握圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)以及圓的面積的計(jì)算方法是

解決問題的關(guān)鍵

15.（2022?四川成都??？寄M預(yù)測）求半徑為20的圓內(nèi)接正三角形的邊長和面積.

【答案】它的內(nèi)接正三角形的邊長為20b，面積為300次

【分析】作正三角形關(guān)于。。的內(nèi)接三角形，過點(diǎn)。作BC的垂線AD,垂足為。，連接。8,根據(jù)正三角

形的性質(zhì)，得出NOBD=30。，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，得出BD的長，再根據(jù)垂徑定理，得出BC=

2BD,從而求正三角形的邊長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，求出4。的長，進(jìn)而得出其面積.

【詳解】解：如圖，作正三角形ABC關(guān)于O。的內(nèi)接三角形，過點(diǎn)。作BC的垂線4D,垂足為D,連接。8,

???半徑為20的圓的內(nèi)接正三角形,

0B=20,

AD1BC,

4D是NB4C的角平分線，

ABAD=30°,

又?:BO=OA,

???Z.ABO=30°,

???乙OBD=30°,

在RtA中，

BD=cos30°xOB=yx20=10圾

???BD=CD,

：.BC=2BD=20V3,

AD=AB-sin60°=20V3x—=30,

.-"SAABC=gBC-AD=|x20V3x30=300V3,

.??它的內(nèi)接正三角形的邊長為20g,面積為3006.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形和圓，解直角三角形，根據(jù)正三角形的性質(zhì)得出NOBD=30。是解題關(guān)

鍵.

題型05正多邊形與圓中求周長

16.（2022?河北唐山?統(tǒng)考二模）如圖，有公共頂點(diǎn)。的兩個(gè)邊長為5的正五邊形（不重疊），以點(diǎn)。為圓

心，5為半徑作弧，構(gòu)成一個(gè)“蘑菇”形圖案（陰影部分），則這個(gè)“蘑菇”形圖案的周長為（）

C.10兀D.IOTT+20

【答案】B

【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和求出正五邊形的內(nèi)角和，可求得每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，則可求得陰影部分的度

數(shù)，再利用圓弧的周長計(jì)算公式即可求得答案.

【詳解】解：正五邊形的內(nèi)角和為：（n-2）-180°=（5-2）x180°=540°,

???每個(gè)角為540。+5=108°,

則圖中陰影部分的度數(shù)為：360。一2x108。=144。，

則圓弧的長：—x2nr=—x2x5-Jr=4兀，

360360

蘑菇'’形圖案的周長為：47T+4X5=4兀+20,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，圓弧的周長計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓弧的周長計(jì)算公式.

17.（2022?江西吉安?統(tǒng)考一模）某校開展“展青春風(fēng)采，樹強(qiáng)國信念”科普大閱讀活動(dòng).小明看到黃金分割

比是一種數(shù)學(xué)上的比例關(guān)系，它具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值，應(yīng)用時(shí)一

般取0.618.特別奇妙的是在正五邊形中，如圖所示，連接A8,AC,乙4cB的角平分線交邊AB于點(diǎn)。，

則點(diǎn)D就是線段A8的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，且已知2C=10cm,那么該正五邊形的周長為()

25cmC.30.9cmD.40cm

【答案】c

【分析】證明BC=CD=AO=6.18(cm),可得結(jié)論.

【詳解】解：由題意，點(diǎn)。是線段的黃金分割點(diǎn),

.啕=。.618.

"."AB=AC=10cm,

.".AZ)=6.18(cm),

VZABC^ZACB=12°,CD平分/AC2,

ZACD=ZBCD=ZCAD=36°,ZCDB=ZCBD=12°,

：.BC=CD=AD=6AS(cm),

??.五邊形的周長為6.18x5=30.90(cm),

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)，黃金分割等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

18.(2022.云南昆明?統(tǒng)考二模)我國魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又

割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”，即通過圓內(nèi)接正多邊形割圓，從正六邊形開始，每次邊

數(shù)成倍增加，依次可得圓內(nèi)接正十二邊形，內(nèi)接正二十四邊形，….邊數(shù)越多割得越細(xì)，正多邊形的周長

就越接近圓的周長.再根據(jù)“圓周率等于圓周長與該圓直徑的比”來計(jì)算圓周率.設(shè)圓的半徑為R,圖1中

圓內(nèi)接正六邊形的周長L=6R,則兀。*=3.再利用圖2圓的內(nèi)接正十二邊形計(jì)算圓周率，首先要計(jì)算

它的周長，下列結(jié)果正確的是()

A.l12=24/?sinl5°B.l12=24Rcosl5°

C.C=24Rsin30°D.l12=24Rcos30°

【答案】A

【分析】求出正多邊形的中心角，利用三角形周長公式求解即可.

【詳解】解：：十二邊形是正十二邊形，

.?.乙46。47=30°,

：OM1442于〃，又。人6=。&，

：.Z-A6OM=15°,

正ri邊形的周長=n-2Rsin^J

n

；?圓內(nèi)接正十二邊形的周長匕2=24Rsinl5。,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形和圓、等腰三角形的性質(zhì)，求出正十二邊形的周長是解題的關(guān)鍵.

19.(2022?浙江?統(tǒng)考二模)如圖1是學(xué)生常用的一種圓規(guī)，其手柄AB=8如”，兩腳8C=B￡>=56切72,如圖2

所示.當(dāng)乙CBD=74。時(shí):

圖2圖3

(1)求A離紙面C。的距離.

(2)用該圓規(guī)作如圖3所示正六邊形，求該正六邊形的周長.(參考數(shù)據(jù)：sin37y0.60,COS37P0.80,

sin74°~0.96,cos74°~0.28,結(jié)果精確到0.1)

【答案】（l）52.8mm

（2）403.2mm

【分析】（1）連接CD,過點(diǎn)B點(diǎn)作BE1CD,垂足為E,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得NCBE=37。，解直角

三角形CBE,分別求得CE,BE,根據(jù)即可求解.

（2）根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，正六邊形的邊長等于半徑，等于CD的長，即可求得正六邊形的周長.

【詳解】（1）如圖，連接CD,過點(diǎn)B點(diǎn)作BELCD,垂足為E,

AEJ

???BC=BD,

??.CE=DE/CBE=UBE=三乙CBD=37°,

BE-BC-cos37°?56x0.80=44.8mm,

AE=AB+BE=8+44.8=52.8mm,

即A離紙面CD的距離為52.8mm.

（2）vCE=BC-sin370-56x0.60=33.6,

CD-2CE—67.2mm.

???正六邊形的邊長等于外接圓的半徑，則正六邊形周長=6CD=6x67.2=403.2mm.

【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)

鍵.

題型06正多邊形與圓中求邊心距、邊長

20.（2022?廣東湛江?嶺師附中校聯(lián)考三模）半徑為2的圓內(nèi)接正六角形的邊長是（）

A.1B.2C.V3D.2V3

【答案】B

【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可知NCOD=60。，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可知。C=OD=CD進(jìn)而

即可解答.

【詳解】解：如圖，連接。C、OD,

?..正六邊形ABCDEF內(nèi)接于圓。，

:.乙COD=陋=60。，

6

VOC=OD,

△OCD是等邊三角形，

：.OC=OD=CD,

VOC=OD=2,

：.CD=2,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

21.（2022?河南信陽?統(tǒng)考三模）如圖1,動(dòng)點(diǎn)尸從正六邊形的A點(diǎn)出發(fā)，沿A—FTE-。―C以1cm/s的

速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,圖2是點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)時(shí)，AACP的面積y（cn?）隨著時(shí)間》Q）的變化的關(guān)系圖象，則

正六邊形的邊長為（）

圖I圖2

A.2cmB.V3cmC.1cmD.3cm

【答案】A

【分析】如圖，連接BE,AE,CE,BE交AC于點(diǎn)G,證明△ACE為等邊三角形，根據(jù)y的最大值求得

△ACE的邊長，再在直角三角形ABG中用三角函數(shù)求得的長即可.

【詳解】】解：如圖，連接BE,AE,CE,BE交AC于點(diǎn)G

由正六邊形的對稱性可得BE±AC,△ABC^/\CDE^△AFE

」.△ACE為等邊三角形，GE為AC邊上的高線

:動(dòng)點(diǎn)P從正六邊形的A點(diǎn)出發(fā)，沿A—FH—C以lcm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E時(shí)4ACP的面積y取最大值3V3

設(shè)AG=CG=a(cm),貝!JAC=AE=CE=2a(cm),GE=y/3a(cm)

/.2axV3a-r2=3V3(cm)

a2-3

?=V3(cm)或a=-W(舍)

?.?正六邊形的每個(gè)內(nèi)角均為120°

ZABG=-xl20°=60°

2

，在放AABG中,禁豆〃60°

.V3_V3

**AB~2

?\AB=2(cm)

???正六邊形的邊長為2cm

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，以圖中y值的最大值為突破口，求得等邊三角形AACE的邊

長，是解題的關(guān)鍵.

22.(2022?四川達(dá)州?四川省渠縣中學(xué)?？级?如圖，。。的內(nèi)接正六邊形的邊長是6,則弦心距

是.

【答案】3V3

【分析】連接02、0C,過點(diǎn)。作0ML2C,交BC于點(diǎn)、M,證明△02C為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形

的性質(zhì)，得出BM=]BC=3,根據(jù)勾股定理得出0M=3舊即可.

【詳解】解：連接02、0C,過點(diǎn)。作交BC于點(diǎn)如圖所示:

六邊形ABCDEF為圓內(nèi)接正六邊形，

.?.4800=2x360°=60°,

6

OB=OC,

??.A0BC為等邊三角形，

：?0B=0C=BC=6,

???0M1BC,

：.BM=-BC=3,

2

.--0M=y/OB2-BM2=V62-32=35

即弦心距是3百.

故答案為：3b.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，作出輔助線，熟練掌握

等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

23.（2022.陜西西安?校考模擬預(yù)測）某正多邊形的邊心距遮，半徑為2,則該正多邊形的面積為.

【答案】6V3

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，得出。E_LAB,0E=痘,。4=2,0A=0B,求出乙40B=2乙40E=

60。，得出正多邊形是正六邊形，然后求出結(jié)果即可.

【詳解】解：如圖所示：由題意可得，0E14B,OE=V3,OA=2,OA=OB,

貝IJCOSNAOE=y,

故NAOE=30°,

1

：.AE=-0A=1,

2

：.Z-AOB=2^AOE=60°,AB=2AE=2,

..360°「

?~-o,

60°

正多邊形是正六邊形，

則該正多邊形的面積為：6x|x2x^^6V3,

故答案為：6V3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，正多邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明正多

邊形是正六邊形.

24.（2022?遼寧沈陽?統(tǒng)考二模）半徑為6的圓內(nèi)接正三角形的邊心距為.

【答案】3

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，連接。8、OC,作ODLBC于。，由含30。的直角三角形的性質(zhì)得出。。即

可.

【詳解】如圖所示，連接。3、OC,作。。_LBC于O,

貝I|/ODC=90。,

"?ZBOC=-x360°=120°,OB=OC,

3

：.ZOBC=ZOCB=30°,

：.OD=-OB=-x6=3,

22

即邊心距為3,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓，等邊三角形的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正

確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形來解答.

題型07正多邊形與圓中求線段長

25.（2022?江蘇徐州?徐州市第十三中學(xué)?？既＃┤鐖D所示的正八邊形的邊長為2,則對角線的長為

A.2a+2B.4C.2+V2D.6

【答案】A

【分析】標(biāo)出點(diǎn)C,D,E,F,連接C。，連接AC,80交于點(diǎn)。過點(diǎn)E作EGLA8于G,過點(diǎn)尸作

H/LAB于根據(jù)正多邊形和圓的性質(zhì)，矩形的判定定理和性質(zhì)確定NZMB=NABC=90。，根據(jù)多邊形的

內(nèi)角和定理確定/。4后=/4后尸=/咫。=135。，根據(jù)角的和差關(guān)系，平行線的判定定理確定EF||AB,根據(jù)

平行線的性質(zhì)，矩形的判定定理和性質(zhì)求出GH的長度，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，等角對等邊，勾股定理

求出G4和HB的長度，最后根據(jù)線段的和差關(guān)系即可求出AB的長度.

【詳解】解：如下圖所示，標(biāo)出點(diǎn)C,D,E,F,連接CZ）,連接AC,BD交于點(diǎn)O,過點(diǎn)E作EGLAB

于G,過點(diǎn)B作/田，于凡

E

根據(jù)圖形可知直線AC和直線80是正八邊形的對稱軸.

...AC和8。是該正八邊形外接圓的直徑.

.?.AC=BD,點(diǎn)。為該正八邊形外接圓的圓心.

OA=OB=OC=OD.

...四邊形ABCD是平行四邊形.

.,?四邊形ABC。是矩形.

ZBAD=ZABC=90°.

?.?正八邊形的邊長為2,

：.AE=EF=FB=2,/.DAE=/.AEF=乙FBC=小也二）=135°.

8

ZGAE=ZDAE-ZDAB=45°,ZHBF=ZFBC-ZABC=45°.

ZAEF+ZGAE=180°.

：.EF||AB.

：.NEGH+NGEF=18。。.

?：EG2AB,FH±AB.

：.ZEGH=ZFHG=ZEGA=ZFHB=90°.

AZGEF=180°-ZEGH=90°,ZGEA=180°-ZEGA-ZGAE=45°,ZHFB=180°-ZFHB-ZHBF=45°,AE2=

GA2+GE2,FB2=HF2+HB2.

???四邊形EGH尸是矩形，ZGAE=ZGEAfZHFB=ZHBF.

：.GH=EF=2,GA=GE,HB=HF.

：.22=GA2+GA2,22=HB2+HB2.

：.GA=V2,HB=V2.

：.AB=GA+GH+HB=+2.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓的性質(zhì)，多邊形的內(nèi)角和定理，矩形的判定定理和性質(zhì)，平行線的判定定

理和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等角對等邊，勾股定理，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

26.（2022?吉林長春.模擬預(yù)測）如圖，正五邊形A8CDE內(nèi)接于。0,過點(diǎn)4作。。的切線交對角線。8的延

A.AEWBFB.AFWCDC.DF=AFD.AB=BF

【答案】C

【分析】連接。4OB.4D,根據(jù)正五邊形的性質(zhì)求出各個(gè)角的度數(shù)，結(jié)合平行線的判定方法，再逐個(gè)判

斷即可.

【詳解】???五邊形4BCDE是正五邊形，

.-.Z.BAE=/.ABC=NC=4EDC=NE=仁）尸。=108o,BC=CD,

-1

???乙CBD=4CDB=：x（180°-zC）=36°,

???^ABD=108°-36°=72°,

???^EAB+乙ABD=180°,

???AEWBF,故A不符合題意;

???Z.F=Z.CDB=36°,

???AF\\CD,故B不符合題意；

連接過點(diǎn)A作1DF于點(diǎn)H,貝乙4HF=^AHD=90°,

???Z.EDC=108°,乙CDB=Z.EDA=36°,

??.Z.ADF=108°-36°-36°=36°=乙F,

AAD=AF,故C符合題意;

連接。/、OB,

,??五邊形4BCDE是正五邊形，

???乙AOB=警=72°,

0A=0B,

1

.-.乙OAB=Z.OBA=-（180°-72°）=54°,

???凡4相切于。0,

.-./.OAF=90°,

.-.Z.FAB=90°-54°=36°,

???/LABD=72°,

ZF=72°-36°=/.FAB,

：.AB=BF,故D不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)、圓周角定理、正多邊形與圓、等腰三角形的性質(zhì)和判定、平行線的判定等

知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵.

27.（2022.貴州貴陽?統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)P是正六邊形48CCEF內(nèi)一點(diǎn),AB=4,當(dāng)N&P8=90。時(shí)，連

接PD,則線段PD的最小值是（）

【答案】B

【分析】取A2中點(diǎn)G,連接過點(diǎn)C作于X,則2G=2,先求出80=4百，然后根據(jù)

ZAPB=90°,得到點(diǎn)P在以G為圓心，AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)。、尸、G三點(diǎn)共線時(shí)，0P有最小

值，由此求解即可.

【詳解】解：取A3中點(diǎn)G,連接2。，過點(diǎn)C作于X,則BG=2,

六邊形ABCDEF是正六邊形，

:.乙BCD="-2)X180。=120。，CD=BC=AB=4,

6

：.BH=DH,^DCH=A.BCH=-^BCD=60°,

2

：.DH=CD-sinz￡)C//=2V3,

：.BD=4V3,

ZAPB=90°,

.?.點(diǎn)尸在以G為圓心，AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

...當(dāng)。、P、G三點(diǎn)共線時(shí)，DP有最小值，

在RmBDG中，DG=y/BG2+BD2=2V13,

：.PD=DG—PG=2同一2,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形與圓，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值

問題，確定當(dāng)。、尸、G三點(diǎn)共線時(shí)，。尸有最小值是解題的關(guān)鍵.

28.(2022?陜西西安.陜西師大附中校考模擬預(yù)測)在正六邊形A3C。所中，對角線AC,相交于點(diǎn)M,

【答案】2

【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式即可得出/ABC,NBCZ）的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明=

CM,^.ABM=90。,設(shè)=a,貝!=a,則AM=2a,從而可得答案.

【詳解】解：?六邊形ABCDEF是正六邊形，

AZBCD=ZABC=-（6-2）x180°=120°,AB=BC=CD,

6

:.NBAC=NACB=NCBD=NCDB1（180°-120°）=30°,

2

??.CM=BMfZABM=90°f

設(shè)=af貝ljCM=a,

???AM=2BM=2a,

AM2a仁

???—=——=2.

CMa

故答案為2.

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、多邊形的內(nèi)角與外角以及等腰三角形的性質(zhì)，含30。的直角三角形的

性質(zhì)等知識(shí)，熟記多邊形的內(nèi)角和公式是解答本題的關(guān)鍵.

題型08正多邊形與圓的規(guī)律問題

29.（2022?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測）如圖，把正六邊形各邊按一定方向延長，使延長的線段與原正六邊形的邊

長相等，順次連接這六條線段外端點(diǎn)，可以得到一個(gè)新的正六邊形，..???，重復(fù)上述過程，經(jīng)過2018次

后，所得的正六邊形的邊長是原正六邊形邊長的（）

A.（a）2°】6倍B.（遮）2°17倍C.（遮）2°18倍D.（V2）2019{§

【答案】c

【分析】先根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得出/I的度數(shù)，再根據(jù)AO=CD=BC判斷出AABC的形狀及N2的度數(shù),

求出A2的長，進(jìn)而可得出，經(jīng)過2018次后，即可得出所得到的正六邊形的邊長.

【詳解】???此六邊形是正六邊形，

\'AD=CD=BC,

...△BCD為等邊三角形，

：

.BD=2-AC,

：./XABC是直角三角形

XVBC=|AC,

Z2=30°,

：.AB=y/3BC=>j3CD,

同理可得，經(jīng)過2次后，所得到的正六邊形是原正六邊形邊長（舊）2倍，

.??經(jīng)過2018次后，所得到的正六邊形是原正六邊形邊長的（百）2。18,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形和圓，解答此題的關(guān)鍵是熟知正多邊形內(nèi)角的性質(zhì)及直角三角形的判定定

理，此題有一定的難度.

30.（2022?廣東湛江.?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正六邊形4BCDEF的中心與原點(diǎn)

。重合，AB||x軸，交y軸于點(diǎn)P.將△04P繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90。，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)

【答案】（-百,1）

【分析】首先確定點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)4次一個(gè)循環(huán)，推出經(jīng)過第2023次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的坐標(biāo)即可.

【詳解】解：：正六邊形4BCDEF邊長為2,中心與原點(diǎn)O重合，軸，

：.AP1,4。=2,^.OPA=90°,

OP=>JAO2-AP2=V3,

.?.第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8,-l）,

第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1,-8），

第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-百,1）,

第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,舊），

二4次一個(gè)循環(huán)，

V20234-4=505……3,

.?.第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（-百,1）.

故答案為：（一百,1）.

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)，規(guī)律型問題，坐標(biāo)與圖形變化一旋轉(zhuǎn)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探

究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型.

31.（2022?廣東?模擬預(yù)測）如圖，邊長為1的正六邊形A2CDE尸放置于平面直角坐標(biāo)系中，邊AB在無軸

正半軸上，頂點(diǎn)F在y軸正半軸上，將正六邊形ABC。跖繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60。，那么

經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

A.-V3）B.（-,--）C.（-V3,V3）D.

22222

【答案】A

【分析】如圖，連接AD,BD.首先確定點(diǎn)D的坐標(biāo)，再根據(jù)6次一個(gè)循環(huán)，由2025+6=337…3,推出

經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)與第三次旋轉(zhuǎn)得到的。3的坐標(biāo)相同，由此即可解決問題.

【詳解】解：如圖，連接AD,BD.

在正六邊形2BCDEF中，AB=1,AD=2,AABD=90°,

BD=y/AD2-AB2=V22-I2=V3,

在RtzlAOF中，AF=1,/.OAF=60°,

???^OFA=30°,

i1

???OA=-AF=

22

OB=OA+AB=

2

.?.D（|，圾，

???將正六邊形4BCDEF繞坐標(biāo)原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60。,

???6次一個(gè)循環(huán)，

???2025+6=337…3,

???經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后,頂點(diǎn)。的坐標(biāo)與第三次旋轉(zhuǎn)得到的。3的坐標(biāo)相同，

???。與/關(guān)于原點(diǎn)對稱，

?■-03（—I,-V3）,

???經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)。的坐標(biāo)（-|,-V3）,

故選:A.

可

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，規(guī)律型問題，坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律

的方法，屬于中考常考題型.

題型09求弧長

32.（2022?山東棗莊?統(tǒng)考三模）一根鋼管放在U形架內(nèi)，其橫截面如圖所示，鋼管的半徑是24cm,若

乙4cB=60。，則劣弧的長是（）

0

A

A.871cmB.16ircmC.32ncmD.192Trcm

【答案】B

【分析】先利用v形架與圓的關(guān)系求出NC+NAO3=180。，由NC=60。，可求乙405=120。，由O8=24cm,

利用弧長公式求即可.

【詳解】解：???AC與5c是圓的切線,

AOA±AC,OBLCB,

：.ZOAC=ZOBC=90°9

：.ZC+ZAOB=3600-ZOAC-ZOBC=360°-90°-90°=180°,

VZC=60°,

???ZAOB=180°-60°=120°,

O3=24cm,

,120X7TX24?/

人=-------=167rcm.

nES180

故選擇B.

【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，四邊形內(nèi)角和，弧長公式，掌握直線與圓的位置關(guān)系，四邊形內(nèi)

角和，弧長公式是解題關(guān)鍵.

33.（2023?甘肅天水?統(tǒng)考一模）如圖，一條公路（公路的寬度忽略不計(jì)）的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧（至），點(diǎn)

。是這段弧所在圓的圓心，半徑。/=90m,圓心角乙4。8=80。，則這段彎路（仙）的長度為（）

A.207rmB.307rmC.407rmD.507rm

【答案】C

【分析】根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)和弧長公式，可以計(jì)算出這段彎路（神）的長度.

【詳解】解：：半徑。4=90m,圓心角/AOB=80。，

???這段彎路（河）的長度為：筆善=40兀（m）,

180

故選C

【點(diǎn)睛】本題考查了弧長的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是明確弧長計(jì)算公式/=黑.

180

34.（2022?廣東中山?統(tǒng)考一模）某款“不倒翁”（圖1）的主視圖是圖2,PA,PB分別與所在圓相切于

點(diǎn)A,B.若該圓半徑是9cm,ZP=40°,貝必血8的長是（）

P

正面

圖1圖2

117

A.llTrcmB.—TTcmC.7TCcmD.-7rcm

22

【答案】A

【分析】如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)可得NP40="B。=90。，根據(jù)四邊形內(nèi)角和可得的角度，進(jìn)而可

得4MB所對的圓心角，根據(jù)弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可求解.

圖2

???PA,P8分別與力財(cái)8所在圓相切于點(diǎn)A,B.

???Z.PAO=乙PBO=90°,

???/尸=40°,

AAOB=360°-90°-90°—40°=140°,

,?,該圓半徑是9cm,

AMB=360-140x9=llTTcm,

180n

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，求弧長，牢記弧長公式是解題的關(guān)鍵.

35.（2023?湖北武漢??？家荒＃┠撤鹿艍ι显幸粋€(gè)矩形的門洞，現(xiàn)要將它改為一個(gè)圓弧形的門洞，圓弧

所在的圓外接于矩形，如圖.已知矩形的寬為2m,高為2bm,則改建后門洞的圓弧長是（）

A.ymB.yinC.竽mD.管+2）m

【答案】C

【分析】利用勾股定理先求得圓弧形的門洞的直徑BC,再利用矩形的性質(zhì)證得ACOD是等邊三角形，得到

ACOD=60%進(jìn)而求得門洞的圓弧所對的圓心角為360。-60。=300。，利用弧長公式即可求解.

?."DC=90。，

；.BC是直徑，

：.BC=VCD2+BD2=J22+（2V3）2=4,

???四邊形ZBDC是矩形，

??.。。=。。=泗=2,

VCD=2,

：.OC=OD=CD,

???△C。。是等邊三角形,

AZ.COD=60°,

，門洞的圓弧所對的圓心角為360。-60°=300°,

.上一「上心l,t/Q300°7TX^BC3OO°7TX況4in

.?.改建后門洞的圓弧長是一2=—=—兀（m）,

lowloUJ

故選：c

【點(diǎn)睛】本題考查了弧長公式，矩形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，從實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型是解題的關(guān)

鍵.

36.（2023?安徽合肥?統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)A,B,C,。在半徑為5的。。上，連接力B,BC,CD,AD.若

ZXBC=108°,則劣弧4C的長為.

【答案】47T

【分析】先利用圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)求出AD的度數(shù)，再利用圓周角定理求出入40C的度數(shù)，最后利用

弧長公式求解即可.

【詳解】解：?四邊形力BCD是圓內(nèi)接四邊形，AABC=108%

乙D=180°-/.ABC=72°,

：.^AOC=240=144°,

...劣弧力C的長為性竺絲=4兀.

180

故答案為：4兀.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，弧長公式，熟練運(yùn)用這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

37.（2023?河北石家莊?校聯(lián)考二模）如圖是放于水平桌面上的魚缸，其主體部分的軸截面是圓心為。的弓

形4MB,與桌面CD相切于點(diǎn)M,開口部分2B與桌面CD平行，測得開口部分48=40cm,MB=

20V5cm.（參考數(shù)據(jù)：tan26.5°左點(diǎn)sin30°=|）

CMD

(1)求弓形4MB的半徑；

(2)求優(yōu)弧4MB的長.

【答案】(1)25

(2)—

v718

【分析】(1)連接M。并延長M。交48