2025年高考數(shù)學(xué)大題復(fù)習(xí)訓(xùn)練：獨(dú)立性檢驗(yàn)（解析）

專(zhuān)題18獨(dú)立性檢驗(yàn)

1.某城市在創(chuàng)建"國(guó)家文明城市"的評(píng)比過(guò)程中，有一項(xiàng)重要指標(biāo)是評(píng)估該城市在過(guò)去幾年的空氣質(zhì)量情況,

考評(píng)組隨機(jī)調(diào)取了該城市某一年中100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（4QD的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表：

AQ1[0,100：(100,200](200,300]>300

空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕度污染中度污染重度污染

天數(shù)17482015

⑴某企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品會(huì)因?yàn)榭諝馕廴境潭葞?lái)一定的經(jīng)濟(jì)損失，其中經(jīng)濟(jì)損失S（單位：元）與空氣質(zhì)量指

'0（0<x<100）

數(shù)（AQD（記為x）有關(guān)系式5=｛鈦-400（100〈久〈300）,在本年度內(nèi)隨機(jī)抽取一天，求這一天的經(jīng)濟(jì)

、2000（%>300）

損失S大于400元且不超過(guò)800元的概率.

（2）若本次抽取得樣本數(shù)據(jù)中有30天是在供暖季節(jié)，其中有8天為重度污染，完成下面2X2列聯(lián)表，并判

斷能否有95%的把握認(rèn)為該市本年度空氣重度污染與供暖有關(guān).

重度污染非重度污染合計(jì)

供暖季的天數(shù)

非供暖季的天數(shù)

合計(jì)100

附.y=____當(dāng)____

*(a+b)(c+d)(a+c)Q+d)

P（K2

0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

之女0）

1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（1）|

⑵表格見(jiàn)解析，有95%的把握認(rèn)為該市本年度空氣重度污染與供暖有關(guān).

【分析】（1）根據(jù)古典概型可求概率；

（2）根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)，填寫(xiě)列聯(lián)表并代入公式計(jì)算.

【詳解】（1）要使400<SW800,可知空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）200<x<300.

根據(jù)題意，空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）200<xW300的天數(shù)為20天，

所調(diào)取的數(shù)據(jù)為100天，

所以概率為P=盍=（.

（2）補(bǔ)充的2X2列聯(lián)表為

重度污染非重度污染合計(jì)

供暖季的天數(shù)82230

非供暖季的天數(shù)76370

合計(jì)1585100

K2,嘴鬻髭鬻、罌“575>3.841.

可見(jiàn)，有95%的把握認(rèn)為該市本年度空氣重度污染與供暖有關(guān).

2.某駕校對(duì)最近一年考駕照通過(guò)的情況進(jìn)行了分析，在隨機(jī)抽取的200名拿到駕照的學(xué)員中，包括女學(xué)員

80名，沒(méi)有補(bǔ)考經(jīng)歷的女學(xué)員有60名，男學(xué)員有補(bǔ)考經(jīng)歷的占也

⑴根據(jù)條件填寫(xiě)下列2X2列聯(lián)表，并分析能否有95%的把握認(rèn)為是否有補(bǔ)考經(jīng)歷與性別有關(guān)?

沒(méi)有補(bǔ)考經(jīng)歷有補(bǔ)考經(jīng)歷合計(jì)

男學(xué)員（單位：人）

女學(xué)員（單位：人）

合計(jì)200

（2）在通過(guò)考試的學(xué)員中，隨機(jī)抽查了20名學(xué)員，其科目三補(bǔ)考次數(shù)如下（最多只能補(bǔ)考4次）:

補(bǔ)考次數(shù)01234

人數(shù)105131

求這20名學(xué)員補(bǔ)考次數(shù)的平均數(shù)與方差.

n(ad-bc)2

參考公式：K2=n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

參考數(shù)據(jù):

P(K20.500.400.250.150.100.05

Nk°)

ko0.4550.7801.3232.0722.7063.841

【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，沒(méi)有

⑵1,1

【分析】（1）先算出男學(xué)員的總?cè)藬?shù)，再分別計(jì)算男學(xué)員補(bǔ)考和不補(bǔ)考的人數(shù)，從而完善列聯(lián)表，代入卡

方公式計(jì)算判斷即可；

（2）利用平均數(shù)和方差計(jì)算公式計(jì)算即可.

【詳解】（1）由題意，拿到駕照的男學(xué)員有200—80=120名，

因?yàn)槟袑W(xué)員有補(bǔ)考經(jīng)歷的占■!，所以男學(xué)員有補(bǔ)考經(jīng)歷的有120X3=20名，

所以沒(méi)有補(bǔ)考經(jīng)歷的男學(xué)員有120-20=10。名，又沒(méi)有補(bǔ)考經(jīng)歷的女學(xué)員有60名，

所以有補(bǔ)考經(jīng)歷的女學(xué)員有20名，完善列聯(lián)表如下：

沒(méi)有補(bǔ)考經(jīng)歷有補(bǔ)考經(jīng)歷合計(jì)

男學(xué)員（單位：人）10020120

女學(xué)員（單位：人）602080

合計(jì)16040200

22

n(ad-bc)200(100x20-60x20)25o

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)-160x40x120x80-12~'

因?yàn)?.083<3.841,所以沒(méi)有95%的把握認(rèn)為是否有補(bǔ)考經(jīng)歷與性別有關(guān).

（2）由題意，這20名學(xué)員補(bǔ)考次數(shù)的平均數(shù)為又=10*0+5X1+；，+3X3+1X4=乙

這20名學(xué)員補(bǔ)考次數(shù)的方差S2=10x（0T）2+5x（一）2+lx『-l"（I）?=81

3.某校隨機(jī)抽出30名女教師和20名男教師參加學(xué)校組織的"紀(jì)念中國(guó)人民抗日戰(zhàn)爭(zhēng)暨世界反法西斯戰(zhàn)爭(zhēng)

勝利75周年"知識(shí)競(jìng)賽（滿分100分），若分?jǐn)?shù)為80分及以上的為優(yōu)秀，50~80分之間的為非優(yōu)秀，統(tǒng)計(jì)并

得到如下列聯(lián)表:

女教師男教師總計(jì)

優(yōu)秀20626

非優(yōu)秀101424

總計(jì)302050

⑴男、女教師中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的頻率分別是多少？

⑵判斷是否有99%的把握認(rèn)為這次競(jìng)賽成績(jī)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)？

附.［《2二九(ad-bc)2

H-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'其中九二a+b+c+d.

P(K2

0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】⑴男教師中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的頻率是蔣，女教師中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的頻率是:

⑵沒(méi)有99%的把握認(rèn)為這次競(jìng)賽成績(jī)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)

【分析】(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)求相應(yīng)的頻率；

(2)根據(jù)題中數(shù)據(jù)和公式計(jì)算如，并與臨界值對(duì)比分析.

【詳解】⑴由題意可得：男教師中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的頻率是￡=春女教師中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的頻率是祟=|.

)2

(2K=50(20X14-6X10)2=30256464<6.635,

30x20x24x26468

故沒(méi)有99%的把握認(rèn)為這次競(jìng)賽成績(jī)是否優(yōu)秀與性別有關(guān).

4.人工智能教育是將人工智能與傳統(tǒng)教育相融合，借助人工智能和大數(shù)據(jù)技術(shù)打造一個(gè)智能化教育生態(tài),

通過(guò)線上和線下結(jié)合的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生享受到個(gè)性化教育.為了解某公司人工智能教育發(fā)展?fàn)顩r，通過(guò)

中國(guó)互聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)平臺(tái)得到該公司2017年—2021年人工智能教育市場(chǎng)規(guī)模統(tǒng)計(jì)表，如表所示，用工表示年份

代碼(2017年用1表示，2018年用2表示，依次類(lèi)推)，用y表示市場(chǎng)規(guī)模(單位：百萬(wàn)元).

Xi2345

y4556646872

⑴已知y與久具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于％的線性回歸方程；

⑵該公司為了了解社會(huì)人員對(duì)人工智能教育的滿意程度，調(diào)研了200名參加過(guò)人工智能教育的人員，得到

數(shù)據(jù)如表:

滿意不滿意總計(jì)

男90110

女30

總計(jì)150

完成2x2列聯(lián)表，并判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為社會(huì)人員的滿意程度與性別有關(guān)?

附L線性回歸方程：北標(biāo)+8,其中1看用=并養(yǎng)’八,際

4=ii1=l

附2：,-（a+b）（c+d）（a+c）g+d），n-a\b\c\d.

pH。）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（l）y=6.6X+41.2

（2）列聯(lián)表見(jiàn)詳解，有97.5%的把握認(rèn)為社會(huì)人員的滿意程度與性別有關(guān)

【分析】（1）利用公式求出b,a,即可得出結(jié)論;

（2）求得可，與觀測(cè)值比較，即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）由題意得，［=1+2+；4+5=3,45+56+64+68+72

y=5

￡*XiY,=1x45+2x56+3x64+4x68+5x72=981,

￡11號(hào)2=I2+22+32+42+52=55,

981-5x3x61,

b=-------9-=0.r0,

55-5X32

a=y—bx=61—6.6x3=41.2,

所以y關(guān)于x的線性回歸方程為y=6.6x+41.2.

（2）由題意得如下2x2列聯(lián)表:

滿意不滿意總計(jì)

男9020110

女603090

總計(jì)15050200

由2_200x(90x30-60x20)2

?—110x90x150x50-?6.061>5,024,

所以有97.5%的把握認(rèn)為社會(huì)人員的滿意程度與性別有關(guān).

5.新修訂的《中華人民共和國(guó)體育法》于2023年1月1日起施行，對(duì)于引領(lǐng)我國(guó)體育事業(yè)高質(zhì)量發(fā)展，

推進(jìn)體育強(qiáng)國(guó)和健康中國(guó)建設(shè)具有十分重要的意義.某高校為調(diào)查學(xué)生性別與是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，

在全校范圍內(nèi)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，分別抽取了男生和女生各100名作為樣本，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到了如圖

所示的等高堆積條形圖：

男生女生

□不在意勿在意

⑴根據(jù)等高堆積條形圖，填寫(xiě)下列2x2列聯(lián)表，并依據(jù)a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，是否可以認(rèn)為該校學(xué)生的

性別與是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)有關(guān)聯(lián);

是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)

性別

是否

男生

女生

(2)將樣本的頻率視為概率，現(xiàn)從全校的學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生，設(shè)其中喜歡排球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生的人數(shù)為X,

求使得P(X=k)取得最大值時(shí)的左值.

隔.2_______?i(ad-bc)2_____

陽(yáng)：1—(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'其中幾=a+b+c+d,%0001=10.828.

【答案】⑴列聯(lián)表見(jiàn)解析，有關(guān)聯(lián)

(2)22

【分析】(1)結(jié)合條形等高圖寫(xiě)出列聯(lián)表，計(jì)算X?值即可判定;

(2)結(jié)合二項(xiàng)分布的概率計(jì)算列不等式組求解即可.

【詳解】(1)由等高堆積條形圖知,2x2列聯(lián)表為:

是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)

性別

是否

男生3070

女生6040

零假設(shè)為Ho：性別與是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),

2200x(40x30—60x70)2.?.Ccrc

X2=----------------------七18.182>10,828=xoi，

人100x100x110x90OUO.UUL

依據(jù)a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷Ho不成立，即性別與是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)有關(guān)聯(lián).

(2)由(1)知，喜歡排球運(yùn)動(dòng)的頻率為券

所以，隨機(jī)變量X?B(50,引，

k5-k

則P(X=k)=^0g)(l-^)°(O<k<50,kGN),

J解00kdk"k隱)kFk解得439<459

'J(然(一7°、力眼廠O*解侍kF

因?yàn)閗CN,所以當(dāng)k=22時(shí),P(X=k)取得最大值.

6.某視頻上傳者為確定下一段時(shí)間的視頻制作方向，在動(dòng)態(tài)中發(fā)布投票，投票主題為"你希望我接下來(lái)更

新哪個(gè)方向的視頻"，共計(jì)8000人參與此投票，投票結(jié)果如下圖所示(每位關(guān)注者僅選一項(xiàng)).

其中，投票游戲、動(dòng)漫、生活的關(guān)注者之比為1:1:3.

(1)求參與投票的關(guān)注者的性別比；

(2)以游戲與生活兩個(gè)方向?yàn)槔?，依?jù)小概率值a=0.001的*2獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷性別與關(guān)注者喜歡視頻上傳

者上傳視頻的類(lèi)型是否有關(guān).

n^ad-bc)2

注：K2=臨界值％o.oi=6.64,Xg.ooi=10.83.

(a+d)(b+d)(a+c)(b+c)

【答案】⑴21:29；

(2)可以認(rèn)為性別與關(guān)注者喜歡視頻上傳者上傳視頻的類(lèi)型有關(guān).

【分析】(1)計(jì)算出男性關(guān)注者和女性關(guān)注者的比例，即可得解；

(2)計(jì)算出選擇游戲、生活的男性和女性關(guān)注著的人數(shù)，可得出2X2列聯(lián)表，計(jì)算出k的觀測(cè)值，結(jié)合

臨界值可得出結(jié)論.

(1)

解：根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，男性關(guān)注者占比為"x90%+gx60%+?x20%=42%,

女性關(guān)注者占比為1-42%=58%,男女性別比為42%:58%=21:29.

⑵

解：根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖計(jì)算可得，選擇游戲的關(guān)注者中，男性關(guān)注者的人數(shù)為8000x3x0.9=1440人，女性關(guān)

注者的人數(shù)為8000xjxO.l=160人；

選擇生活的關(guān)注者中，男性關(guān)注者的人數(shù)為8000x看x0.2=960人,女性關(guān)注者的人數(shù)為8000x|x0.8=

3840人.

零假設(shè)Ho：性別對(duì)關(guān)注者喜歡視頻上傳者上傳視頻的類(lèi)型有關(guān).

由計(jì)算的數(shù)據(jù)可以得到下面的列聯(lián)表：

男性關(guān)注者人數(shù)女性關(guān)注者人數(shù)

游戲1440160

生活9603840

_6400x(1440x3840-960x160)2

k的觀測(cè)值如

―1600x4800x2400x4000=2508.8>10.83=x0001,

因此可以認(rèn)為性別與關(guān)注者喜歡視頻上傳者上傳視頻的類(lèi)型有關(guān).

7.在疫情這一特殊時(shí)期，教育行政部門(mén)部署了"停課不停學(xué)”的行動(dòng)，全力幫助學(xué)生在線學(xué)習(xí).復(fù)課后進(jìn)行了

摸底考試，某校數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高三學(xué)生這次摸底考試的數(shù)學(xué)成績(jī)與在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)長(zhǎng)之間的相關(guān)關(guān)系,

對(duì)在校高三學(xué)生隨機(jī)抽取45名進(jìn)行調(diào)查.知道其中有25人每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長(zhǎng)是不超過(guò)1小時(shí)的，得

到了如下的等高條形圖:

數(shù)學(xué)成績(jī)超過(guò)120分

數(shù)學(xué)成績(jī)不超過(guò)120分

(I)將頻率視為概率，求學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)1小時(shí)但考試成績(jī)超過(guò)120分的概率；

(II)是否有99%的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的這次摸底考試數(shù)學(xué)成績(jī)與其在線學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)有關(guān)

PK

0.0500.0100.001

之女0)

3.8416.63510.828

n(ad—be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【答案】(I)/(II)沒(méi)有99%的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的這次摸底成績(jī)與其在線學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)有關(guān)"

【解析】(I)根據(jù)等高條形圖求出學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)1小時(shí)但考試成績(jī)超過(guò)120分的人數(shù)為|x25=10人,

由古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.

(H)根據(jù)題意列出列聯(lián)表，計(jì)算出觀測(cè)值，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想即可求解.

【詳解】(I)從等高條形圖中看出，學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)1小時(shí)，

但考試成績(jī)超過(guò)120分的人數(shù)至X25=1。人，其概率碟2

9'

(II)依題意，得2x2列聯(lián)表：

'''''''''''''''''''''^數(shù)學(xué)成績(jī)

<120>120

合計(jì)

分分

在線學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)

<1小時(shí)151025

>1小時(shí)51520

合計(jì)202545

需=*5.5125<6.635,

沒(méi)有99%的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的這次摸底成績(jī)與其在線學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)有關(guān)"

【點(diǎn)睛】本題主要考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、古典概型的概率計(jì)算公式、列聯(lián)表，屬于基礎(chǔ)題.

8.某省即將實(shí)行新高考，不再實(shí)行文理分科.某校為了研究數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀是否對(duì)選擇物理有影響，對(duì)該校

2018級(jí)的1000名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，收集到相關(guān)數(shù)據(jù)如下：

(1)根據(jù)以上提供的信息，完成2x2列聯(lián)表，并完善等高條形圖；

選物理不選物理總計(jì)

數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀

數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀260

總計(jì)6001000

口數(shù)學(xué)成泰

優(yōu)秀

■數(shù)學(xué)成績(jī)

不優(yōu)秀

選物理不選物理

（2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為

數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與選物理有關(guān)?

附.K2=Ma'Jbc)2

"(a+b)(c+d)(_a+c)(b+d)

臨界值表:

2

P(K>k00.100.050.0100.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】Q）填表見(jiàn)解析，作圖見(jiàn)解析（2）能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0Q5的前提下認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與選

物理有關(guān)

【分析】（1）由題意計(jì)算出各組人數(shù)后即可完成列聯(lián)表，進(jìn)而可補(bǔ)全等高條形圖；

（2）代入公式計(jì)算出K2,與3.841比較即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）根據(jù)題意填寫(xiě)列聯(lián)表如下，

選物理不選物理總計(jì)

數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀420320740

數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀18080260

總計(jì)6004001000

完善等高條形圖，如圖所示;

選物理不選物理

G14?管R_n(ad-bc)21000x(420x80-180x320)2

1T舁-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

600x400x740x260

?12.474>3.841,

所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與選物理有關(guān).

【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.

9.大學(xué)先修課程，是在高中開(kāi)設(shè)的具有大學(xué)水平的課程，旨在讓學(xué)有余力的高中生早接受大學(xué)思維方式、

學(xué)習(xí)方法的訓(xùn)練，為大學(xué)學(xué)習(xí)乃至未來(lái)的職業(yè)生涯做好準(zhǔn)備.某高中成功開(kāi)設(shè)大學(xué)先修課程已有兩年，共有

250人參與學(xué)習(xí)先修課程.

(I)這兩年學(xué)校共培養(yǎng)出優(yōu)等生150人，根據(jù)下圖等高條形圖，填寫(xiě)相應(yīng)列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表檢驗(yàn)?zāi)?/p>

否在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為學(xué)習(xí)先修課程與優(yōu)等生有關(guān)系？

0

9=非優(yōu)等生

8

7匚二1優(yōu)等生

6

5

4

3

2

1

。學(xué)習(xí)大學(xué)沒(méi)有學(xué)習(xí)大

先修課程學(xué)先修課程

優(yōu)等生非優(yōu)等生總計(jì)

學(xué)習(xí)大學(xué)先修課程250

沒(méi)有學(xué)習(xí)大學(xué)先修課程

總計(jì)150

（H）某班有5名優(yōu)等生，其中有2名參加了大學(xué)生先修課程的學(xué)習(xí)，在這5名優(yōu)等生中任選3人進(jìn)行測(cè)

試，求這3人中至少有1名參加了大學(xué)先修課程學(xué)習(xí)的概率.

參考數(shù)據(jù)：

P(K2

0.150.100.050.0250.0100.005

>fco)

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.879

參考公式:依一二次:皈入計(jì)“其中…+"c+d

【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析有關(guān)系（2）菖

【分析】（1）根據(jù)優(yōu)等生的人數(shù)、學(xué)習(xí)大學(xué)先修課程的人數(shù)，結(jié)合等高條形圖計(jì)算數(shù)值，填寫(xiě)好表格，計(jì)

算出K2的值，比較題目所給參考數(shù)據(jù)，得出"在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為學(xué)習(xí)先修課程與優(yōu)等

生有關(guān)系”這個(gè)結(jié)論.（2）利用列舉法，求得基本事件的眾數(shù)為10種，其中“沒(méi)有學(xué)生參加大學(xué)先修課程學(xué)

習(xí)”的情況有1種，利用對(duì)立事件的概率計(jì)算方法，求得至少有1名參加了大學(xué)先修課程學(xué)習(xí)的概率.

【詳解】（1）列聯(lián)表如下:

優(yōu)等生非優(yōu)等生總計(jì)

學(xué)習(xí)大學(xué)先修課程50200250

沒(méi)有學(xué)習(xí)大學(xué)先修課程1009001000

總/p>

1250x(50x900-200x100)2

由列聯(lián)表可得k=*18,939>6,635,

250x1000x150x1100

因此在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為學(xué)習(xí)先修課程與優(yōu)等生有關(guān)系.

（2）在這5名優(yōu)等生中，記參加了大學(xué)先修課程的學(xué)習(xí)的2名學(xué)生為A。A2,記沒(méi)有參加大學(xué)先修課程學(xué)

習(xí)的3名學(xué)生為％,B2,B3.

則所有的抽樣情況如下：共10種，

{AI，A2,Bi},{A^Az，B2},{A^Az，B3},B2},{ALBLB?},

I

{Ai，B2,B3},{A2,B2},{A2,B，B3},{A2,B2,B3},B2,B3},

其中沒(méi)有學(xué)生參加大學(xué)先修課程學(xué)習(xí)的情況有1種，為{Bi，B2,B3}.

記事件A為至少有1名學(xué)生參加了大學(xué)先修課程的學(xué)習(xí)，則P(A)=1=*

【點(diǎn)睛】本小題主要考查等高條形圖的識(shí)別，考查2x2列聯(lián)表及獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查古典概型等知識(shí)，屬于

中檔題.

10.某工廠甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)相同的電子元件，現(xiàn)分別從這兩套設(shè)備生產(chǎn)的電子元件中隨機(jī)抽取100個(gè)

電子元件進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果如下表:

測(cè)試指標(biāo)[0,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100；

數(shù)量/個(gè)8122011050

已知測(cè)試指標(biāo)大于或等于80為合格品，小于80為不合格品，其中乙設(shè)備生產(chǎn)的這100個(gè)電子元件中，有

10個(gè)是不合格品.

⑴請(qǐng)完成以下2x2列聯(lián)表:

甲設(shè)備乙設(shè)備合計(jì)

合格品

不合格品

合計(jì)

(2)根據(jù)以上2X2列聯(lián)表，判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為該工廠生產(chǎn)的這種電子元件是否合格與甲、乙兩套

設(shè)備的選擇有關(guān).

腔=苴中

參考公式及數(shù)據(jù):n(ad-bcfn=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)Q+d)

P(K2

0.1000.0500.0100.0050.001

之k。)

2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】⑴列聯(lián)表見(jiàn)解析

(2)有99.9%的把握認(rèn)為該工廠生產(chǎn)的這種電子元件是否合格與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān).

【分析】(1)根據(jù)列聯(lián)表結(jié)合已知信息填寫(xiě)對(duì)應(yīng)數(shù)值即可;

（2）利用K2公式進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)表格數(shù)據(jù)比較大小即可得出結(jié)果.

【詳解】（1）如下表所示：

甲設(shè)備乙設(shè)備合計(jì)

合格品7090160

不合格品301040

合計(jì)100100200

因?yàn)?/p>

(2)y=200X(70X10-90X30)212.5>10.828,

、-160x40x100x100

所以有99.9%的把握認(rèn)為該工廠生產(chǎn)的這種電子元件是否合格與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān).

11.北京2022年冬奧會(huì)于2月20日勝利閉幕，廣受參會(huì)運(yùn)動(dòng)員和世界人民好評(píng)，為了解居民對(duì)北京冬奧

會(huì)了解程度，某社區(qū)居委會(huì)隨機(jī)抽取600名社區(qū)居民參與問(wèn)卷調(diào)查，并將問(wèn)卷得分繪制頻率分布表如下:

得分[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

男性人數(shù)15555575654020

女性人數(shù)10303590702515

⑴參與問(wèn)卷調(diào)查的男性、女性居民中，得分不低于80分的頻率分別是多少？

（2）將居民對(duì)北京冬奧會(huì)的了解程度分為"比較了解"（得分不低于60分）和“不太了解"（得分低于60分）兩

類(lèi)，完成2X2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為"北京冬奧會(huì)的了解程度"與"性別"有關(guān)?

不太了解比較了解總計(jì)

男性

女性

總計(jì)

附：腔=（。+叭黑藍(lán)）3+"n=a+b+c+d.

臨界值表:

P(K2

0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001

Nko)

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】⑴L2

（2）列聯(lián)表見(jiàn)解析，有

【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)即可求得答案；

（2）由已知數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表，計(jì)算力的值，與臨界值表比較，即得結(jié)論.

【詳解】（1）由已知表中數(shù)據(jù)可得參與問(wèn)卷調(diào)查的男性、女性居民中，

男性得分不低于80分的頻率分別是黑=~

6UU1U

女性得分不低于80分的頻率分別是駕=

（2）由題意可得列聯(lián)表如下:

不太了解比較了解總計(jì)

男性125200325

女性75200275

總計(jì)200400600

故入嚼**&392>6.639,

故有99%的把握認(rèn)為"北京冬奧會(huì)的了解程度"與"性別〃有關(guān).

12.離高考還有最后一周，我校進(jìn)行了一場(chǎng)關(guān)于高三學(xué)生課余學(xué)習(xí)時(shí)間的調(diào)查問(wèn)卷，現(xiàn)從高三13個(gè)班級(jí)每

個(gè)班隨機(jī)抽10名同學(xué)進(jìn)行問(wèn)卷，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下圖,

課余學(xué)習(xí)時(shí)間超過(guò)兩小時(shí)課余學(xué)習(xí)時(shí)間不超過(guò)兩小時(shí)

200名以前35X

200名以后2545

n(ad—bc')2

附：參考公式：K2=，其中71=a+Z?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.100.050.0100.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

⑴求X；

(2)依據(jù)上表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為，高三學(xué)生課余學(xué)習(xí)時(shí)間超過(guò)兩小時(shí)跟學(xué)生成績(jī)有關(guān).

【答案】⑴x=25

⑵有99%的把握認(rèn)為高三學(xué)生可與學(xué)習(xí)時(shí)間超過(guò)兩小時(shí)跟學(xué)生成績(jī)有關(guān).

【分析】(1)由題意可得抽取的學(xué)生為130名，列等式即可;

n(ad-be)2

(2)利用爐=,求得K2,與臨界表對(duì)照下結(jié)論.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【詳解】(1)由題意可得高三13個(gè)班級(jí)共抽取13x10=130名,

所以35+25+x+45=130,解得x=25

⑵利用列聯(lián)表可得d=方黑x&65>6,635.

所以有99%的把握認(rèn)為高三學(xué)生可與學(xué)習(xí)時(shí)間超過(guò)兩小時(shí)跟學(xué)生成績(jī)有關(guān).

13.長(zhǎng)距離跑簡(jiǎn)稱(chēng)長(zhǎng)跑，英文是long-distancerunning.最初項(xiàng)目為4英里、6英里跑，從19世紀(jì)中葉開(kāi)始，

逐漸被5000m跑和10000m跑替代.長(zhǎng)跑對(duì)于培養(yǎng)人們克服困難，磨煉刻苦耐勞的頑強(qiáng)意志具有良好的作用,

特別是對(duì)那些冬季怕冷愛(ài)睡懶覺(jué)不想鍛煉的人起到促進(jìn)作用，從而使他們嘗到健身長(zhǎng)跑鍛煉的好處，某校

開(kāi)展陽(yáng)光體育"冬季長(zhǎng)跑活動(dòng)"，為了解學(xué)生對(duì)"冬季長(zhǎng)跑活動(dòng)"是否感興趣與性別是否有關(guān)，某調(diào)查小組隨機(jī)

抽取該校100名高中學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，所得數(shù)據(jù)制成下表;

感興趣不感興趣合計(jì)

男生8

女生32

合計(jì)80100

⑴完成上面的2x2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值a=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生對(duì)"冬季長(zhǎng)跑活動(dòng)”是否

感興趣與性別有關(guān)聯(lián)?

(2)若不感興趣的男生中恰有3名是高三學(xué)生，現(xiàn)從不感興趣的男生中隨機(jī)選出3名進(jìn)行二次調(diào)查，記選出

高三學(xué)生的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

______7i(ad-bc)2_______苴中—

參考公式22=(Q+b)(C+d)(Q+C)(b+d)，八十九一a+b+c+d.

附:

a0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.7022.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】⑴不能認(rèn)為學(xué)生對(duì)"冬季長(zhǎng)跑活動(dòng)”是否感興趣與性別有關(guān)聯(lián)

(2)分布列見(jiàn)解析；數(shù)學(xué)期望E(X)=f

O

【分析】(Q根據(jù)已知數(shù)據(jù)即可補(bǔ)全列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算得到*2=2.597<2.706=x(u，根據(jù)獨(dú)立性

檢驗(yàn)的思想可得結(jié)論；

(2)根據(jù)超幾何分布概率公式可計(jì)算得到X每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，由此可得分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望計(jì)算公

式可求得期望值.

【詳解】(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)可補(bǔ)全2X2列聯(lián)表如下:

感興趣不感興趣合計(jì)

男生48856

女生321244

合計(jì)8020100

零假設(shè)Ho：學(xué)生對(duì)"冬季長(zhǎng)跑活動(dòng)"是否感興趣與性別無(wú)關(guān),

X2lotWsmwD，x2,597<2,706=

56x44x80x20X0.l>

二依據(jù)小概率值a=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，Ho成立，即不能認(rèn)為學(xué)生對(duì)"冬季長(zhǎng)跑活動(dòng)"是否感興趣與性別有關(guān)

聯(lián).

(2)由題意知：X所有可能的取值為0,1,2,3,

???P（X=0）=好用MP（X=1）=詈建=親P（X=2）=等=3P（x=3）=好!

X的分布列為:

X0123

515151

P

28285656

數(shù)學(xué)期望E（X）=0x^+lx^+2xif+3xi=1.

ZoZoJOJOo

14.某學(xué)校開(kāi)展消防安全教育活動(dòng)，邀請(qǐng)消防隊(duì)進(jìn)校園給師生進(jìn)行培訓(xùn)，培訓(xùn)結(jié)束后抽取了部分學(xué)生進(jìn)行

消防安全知識(shí)測(cè)試（滿分100分），所得分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)如表①所示，并按照學(xué)生性別進(jìn)行分類(lèi)，所得數(shù)據(jù)如表

②所示.

得分[50,60[60,70[70,80[80,90[90,100

人數(shù)50100200400250

表①

男生女生

得分不低于80分4。b

得分低于80分ab

表②

⑴估計(jì)這次測(cè)試學(xué)生得分的平均值；（每組數(shù)據(jù)以所在區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）

（2）依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否判斷男生和女生對(duì)消防安全知識(shí)的掌握情況有差異？

參考公式-____nCad-bcY_____

Jn八八."（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）.

參考數(shù)據(jù):

a0.010.0050.001

6.6357.87910.828

【答案］⑴82

（2）能判斷男生和女生對(duì)消防安全知識(shí)的掌握情況有差異.

【分析】（1）根據(jù)每一組的頻率，以及每組的中間值，代入公式求平均數(shù)；

（2）根據(jù)數(shù)據(jù)，結(jié)合列聯(lián)表，計(jì)算求得a,b的值，再根據(jù)參考公式求乂2,和參考數(shù)據(jù)對(duì)比后，即可判斷.

【詳解】⑴依題意，估計(jì)平均值為55x蒜+65義器+75x黑+85義器+95義/=82。

（2）依題意，產(chǎn)慧=650,解得｛；=100,

Ia+b=350lb=250

可得2x2列聯(lián)表:

男生女生總計(jì)

得分不低于80分400250650

得分低于80分100250350

總計(jì)5005001000

1000x(400x250—250x100)2

則X?=X98.901>10,828,

500x500x650x350

故依據(jù)a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能判斷男生和女生對(duì)消防安全知識(shí)的掌握情況有差異.

15.某校為了深入學(xué)習(xí)宣傳貫徹黨的二十大精神，引導(dǎo)廣大師生深入學(xué)習(xí)黨的二十大報(bào)告，認(rèn)真領(lǐng)悟黨的

二十大提出的新思想、新論斷，作出的新部署、新要求，把思想統(tǒng)一到黨的二十大精神上來(lái)，把力量凝聚

到落實(shí)黨的二十大作出的各項(xiàng)重大部署上來(lái).經(jīng)研究，學(xué)校決定組織開(kāi)展"學(xué)習(xí)二十大奮進(jìn)新征程”的二十大

知識(shí)競(jìng)答活動(dòng).

本次黨的二十大知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，組織方設(shè)計(jì)了兩套活動(dòng)方案：

方案一；參賽選手先選擇一道多選題作答，之后都選擇單選題作答;

方案二：參賽選手全部選擇單選題作答.

其中每道單選題答對(duì)得2分，答錯(cuò)不得分；

多選題全部選對(duì)得3分，選對(duì)但不全得1分，有錯(cuò)誤選項(xiàng)不得分.

為了提高廣大師生的參與度，受時(shí)間和場(chǎng)地的限制，組織方要求參與競(jìng)答的師生最多答3道題.在答題過(guò)

程中如果參賽選手得到4分或4分以上則立即停止答題，舉辦方給該參賽選手發(fā)放獎(jiǎng)品.據(jù)統(tǒng)計(jì)參與競(jìng)答

活動(dòng)的師生有500人，統(tǒng)計(jì)如表所示:

男生女生總計(jì)

選擇方案一10080

選擇方案二200120

總計(jì)

(1)完善上面列聯(lián)表，據(jù)此資料判斷，是否有90%的把握認(rèn)為方案的選擇與性別有關(guān)?

(2)某同學(xué)回答單選題的正確率為0.8,各題答對(duì)與否相互獨(dú)立，多選題完全選對(duì)的概率為0.3,選對(duì)且不全

的概率為0.3；如果你是這位同學(xué)，為了獲取更好的得分你會(huì)選擇哪個(gè)方案？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.

附：K2=3署靠n^a+b+c+d.

P(K2

0.150.100.050.0250.0100.0050.001

Ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（1）表格見(jiàn)解析，沒(méi)有

⑵方案一，理由見(jiàn)解析

【分析】（1）首先補(bǔ)全列聯(lián)表，再根據(jù)參考公式和數(shù)據(jù)，進(jìn)行比較后，即可作出判斷;

（2）分別計(jì)算兩個(gè)方案下的得分的分布列，再求數(shù)學(xué)期望，比較大小后，即可判斷.

【詳解】（1）由題意完善列聯(lián)表如圖

男生女生總計(jì)

選擇方案一10080180

選擇方案二200120320

總計(jì)300200500

_500x(100x120—200x80)2

故市X2.315<2.706,

-300x200x320x180

故沒(méi)有90%的把握認(rèn)為方案的選擇與性別有關(guān).

(2)設(shè)選擇方案一的得分為X,則X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,

則P(X=0)=0.4X0,2X0.2=0.016,P(X=1)=0.3X0.2X0,2=0.012,

P(X=2)=0.4x2x0.8x0.2=0.128,P(X=3)=0.3x0.2x0.2+0.3x2x0.8x0.2=0.108,

P(X=4)=0.4X0.8X0.8=0.256,

P(X=5)=0.3x0.8+0.3X0.2x0.8+0.3x0,8x0.8=0.480,

故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1x0.012+2x0.128+3x0.108+4x0.256+5x0.480=4.016.

設(shè)選擇方案二的得分為Y,則Y的可能取值為0,2,4,

則P(Y=0)=0.2X0,2X0.2=0.008,P(Y=2)=3X0.8X0.2x0.2=0.096,

P(Y=4)=0.8x0.8+2x0.82x0.2=0.896,

故E(Y)=2x0.096+4x0.896=3,776,

因?yàn)镋(X)>E(Y),故為了獲取更好的得分，我會(huì)選擇方案一

16.2022年9月23日，延期后的杭州亞運(yùn)會(huì)迎來(lái)倒計(jì)時(shí)一周年，杭州亞組委發(fā)布宣傳片《亞運(yùn)+1》和主辦

城市推廣曲《最美的風(fēng)景》.杭州某大學(xué)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了1200名學(xué)生，對(duì)是否收看宣傳片的情況

進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下,

收看未收看

男生600200

女生200200

⑴根據(jù)以上數(shù)據(jù)說(shuō)明，依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生是否收看宣傳片與性別有關(guān)?

⑵現(xiàn)從參與問(wèn)卷調(diào)查且收看了宣傳片的學(xué)生中，按性別采用分層抽樣的方法選取8人，參加杭州2023年第

19屆亞運(yùn)會(huì)志愿者宣傳活動(dòng).若從這8人中隨機(jī)選取2人到校廣播站開(kāi)展亞運(yùn)會(huì)比賽項(xiàng)目宣傳介紹.記X

為人選的2人中女生的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

2_n^ad-bc)2

參考公式和數(shù)據(jù):

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'n=a+b+c+d.

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】⑴認(rèn)為學(xué)生是否收看宣傳片與性別有關(guān)

⑵分布列見(jiàn)解析，I

【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想，計(jì)算X2,判斷即可；

（2）由題知選取的8人中，男生有6人，女生有2人，進(jìn)而根據(jù)超幾何分布求解即可.

【詳解】（1）解：（1）零假設(shè)比：學(xué)生是否收看宣傳片與性別無(wú)關(guān).

1200x(600x200-200x200)2

由題中數(shù)據(jù)可知，X2=75>10,828,

800x400x800x400

依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷Ho不成立,

所以，可以認(rèn)為學(xué)生是否收看宣傳片與性別有關(guān).

（2）解：根據(jù)分層抽樣方法，選取的8人中,男生有98=6人，女生有興8=2人,

根據(jù)題意，X所有可能取值為0,1,2.

P（X=O）W若，P（X=1）=警W=”（X=2）41

28,

所以X的分布列為

X012

1531

P

28728

所以E(X)=Ox||+lx,2然表：4

17.2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國(guó)家境內(nèi)舉行、也是

第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽.卡塔爾世界杯后，某校為了激發(fā)學(xué)生對(duì)足球的興趣，組建了足球社團(tuán).足

球社團(tuán)為了解學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男、女同學(xué)各100名進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)得出的數(shù)據(jù)

如下表：

喜歡足球不喜歡足球合計(jì)

男生50

女生25

合計(jì)

⑴根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，試根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析該校學(xué)生喜歡足球與性別是否有

關(guān).

(2)社團(tuán)指導(dǎo)老師從喜歡足球的學(xué)生中抽取了2名男生和1名女生示范點(diǎn)球，已知男生進(jìn)球的概率為：，女生

進(jìn)球的概率為g,每人踢球一次，假設(shè)各人踢球相互獨(dú)立，求3人進(jìn)球總次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：*2=…；XX+d)，a+b+c+d=n.

a0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

【答案】⑴表格見(jiàn)解析，該校學(xué)生喜歡籃球與性別有關(guān);

(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為

O

【分析】(1)根據(jù)題意中的數(shù)據(jù)分析，補(bǔ)充列聯(lián)表，利用卡方公式計(jì)算，結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想即可下結(jié)

論；

(2)3人進(jìn)球總次數(shù)己的所有可能取值為0,1,2,3.利用獨(dú)立事件的乘法公式求出對(duì)應(yīng)的概率，得出分

布列，結(jié)合求數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算即可求解.

【詳解】（1）因?yàn)殡S機(jī)抽取了男、女同學(xué)各100名進(jìn)行調(diào)查,

男生不喜歡籃球的有50人，女生喜歡籃球的有25人，

所以男生喜歡籃球的有50人，女生不喜歡籃球的有75人.

2x2列聯(lián)表如下:

喜歡籃球不喜歡籃球合計(jì)

男生5050100

女生2575100

合計(jì)75125200

零假設(shè)為Ho：該校學(xué)生喜歡籃球與性別無(wú)關(guān).

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到X?=2。鬻鬻￡篙X133>10.828=Xo.ooi.

根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷Ho不成立，

即認(rèn)為該校學(xué)生喜歡籃球與性別有關(guān).

（2）3人進(jìn)球總次數(shù)己的所有可能取值為0,1,2,3.

13

PG=。）=（丁x*品p（t=1）=呂+",3（）

48

c"C、131,小221

P(《=2)=最------+-X-=-p(m=3)

'2443\4732

?3的分布列如下:

0123

11313

P

2448216

.哥的數(shù)學(xué)期望：E?=0xi+lxi|+2x1+3=

18.為了解學(xué)生中午的用概方式（在食堂就餐或點(diǎn)外賣(mài)）與最近食堂間的距離的關(guān)系，某大學(xué)于某日中午

隨機(jī)調(diào)查了2000名學(xué)生，獲得了如下頻率分布表（不完整）：

學(xué)生與最近食堂間的距離(800,

(0,200(200,400(400,600(600,800合計(jì)

d（m）+oo)

在食堂就餐0.150.100.000.50

點(diǎn)外賣(mài)0.200.000.50

合計(jì)0.200.150.001.00

并且由該頻率分布表，可估計(jì)學(xué)生與最近食堂間的平均距離為370m(同一組數(shù)據(jù)以該組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中

點(diǎn)值作為代表).

⑴補(bǔ)全頻率分布表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生中午的用餐方式與學(xué)生距最近食堂的遠(yuǎn)近有關(guān)(當(dāng)

學(xué)生與最近食堂間的距離不超過(guò)400m時(shí)，認(rèn)為較近，否則認(rèn)為較遠(yuǎn))：

(2)已知該校李明同學(xué)的附近有兩家學(xué)生食堂甲和乙，且他每天中午都選擇食堂甲或乙就餐.

(i)一般情況下，學(xué)生更愿意去飯菜更美味的食堂就餐.某日中午，李明準(zhǔn)備去食堂就餐.此時(shí)，記他選擇去

甲食堂就餐為事件力，他認(rèn)為甲食堂的飯菜比乙食堂的美味為事件D,且。、4均為隨機(jī)事件，證明：P(D|4)>

P(咽：

(ii)為迎接為期7天的校慶，甲食堂推出了如下兩種優(yōu)惠活動(dòng)方案，顧客可任選其一.

①傳統(tǒng)型優(yōu)惠方案：校慶期間，顧客任意一天中午去甲食堂就餐均可獲得a元優(yōu)惠；

②"饑餓型"優(yōu)惠方案：校慶期間，對(duì)于顧客去甲食堂就餐的若干天(不必連續(xù))中午，第一天中午不優(yōu)惠

(即"饑餓”一天)，第二天中午獲得26元優(yōu)惠，以后每天中午均獲得b元優(yōu)惠(其中a,b為已知數(shù)且b>a>0).

校慶期間，已知李明每天中午去甲食堂就餐的概率均為p(0<p<l),且是否去甲食堂就餐相互獨(dú)立.又知

李明是一名"激進(jìn)型"消費(fèi)者，如果兩種方案獲得的優(yōu)惠期望不一樣，他傾向于選擇能獲得優(yōu)惠期望更大的方

案，如果兩種方案獲得的優(yōu)惠期望一樣，他傾向于選擇獲得的優(yōu)惠更分散的方案.請(qǐng)你據(jù)此幫他作出選擇，

并說(shuō)明理由.

附：，2=…常著…，其中九二a+b+c+d.

a0.100.0100.001

%2.7066.63510.828

【答案】⑴頻率分布表見(jiàn)解析，有99.9%的把握

(2)(i)證明見(jiàn)解析；(ii)當(dāng)O<p<po時(shí)，選擇傳統(tǒng)型優(yōu)惠方案；當(dāng)poWp<l時(shí)，選擇"饑餓型”優(yōu)惠方

案，理由見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)題意補(bǔ)全頻率分布表，然后計(jì)算乂2,與臨界值表對(duì)比即可;

(2)(i)證法一：根據(jù)題意得到P(A|D)>P(A|D),P(A|D)>P(A|D),然后結(jié)合條件概率公