數(shù)學(xué)2課堂探究：變化率與導(dǎo)數(shù)（第2課時）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一求曲線上一點處的切線方程求曲線y＝f(x)在點P處的切線方程的步驟:(1）求出P點的坐標(biāo)（x0,f(x0））;（2）求出函數(shù)在x0處的變化率f′(x0）,從而得到曲線在點P(x0,f(x0))處切線的斜率；(3)利用點斜式寫出切線方程．【典型例題1】已知曲線y＝eq\f(1，3）x3上一點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f（8,3))），（1）求點P處切線的斜率；（2)寫出點P處的切線方程．思路分析：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義．根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，函數(shù)f(x）在點x＝x0處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點處切線的斜率，再由直線方程的點斜式便可求出切線的方程．解：(1)∵y＝eq\f(1，3)x3，∴y′＝eq\o（lim，\s\do4(Δx→0））eq\f（Δy，Δx)＝eq\o（lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1，3)（x＋Δx)3－\f(1,3）x3,Δx）＝eq\o（lim,\s\do4(Δx→0））eq\f(x2Δx＋x(Δx)2＋\f(1,3）（Δx)3，Δx)＝eq\o(lim,\s\do4（Δx→0）)eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（x2＋xΔx＋\f（1,3)(Δx)2）)＝x2，∴y′｜x＝2＝22＝4?！帱cP處切線的斜率為4.（2)∵由(1)知點P處切線的斜率為4，且點P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（2，\f(8,3））），∴在點P處的切線方程是y－eq\f（8,3）＝4（x－2)，即12x－3y－16＝0.探究二求切點的坐標(biāo)1．求切點坐標(biāo)的一般思路(1）先設(shè)切點坐標(biāo)(x0,y0)．(2）求導(dǎo)函數(shù)f′（x）．(3）求切線的斜率f′（x0）．(4)由斜率間的關(guān)系列出關(guān)于x0的方程，解方程求x0.(5)由于點(x0，y0）在曲線y＝f（x）上，將x0代入求y0，得切點坐標(biāo)．2．切點問題的處理方法（1)由條件得到直線的傾斜角或斜率，由這些信息得知函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù),進(jìn)而求出點的橫坐標(biāo)．（2)解決這些問題要注意和解析幾何的知識聯(lián)系起來,如直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，兩直線平行或垂直與斜率的關(guān)系等．【典型例題2】(1）曲線f（x)＝－eq\f（1,x2）在點P處的切線方程為2x＋y＋3＝0，則點P的坐標(biāo)為__________．（2）曲線f(x）＝2x2－x在點P處的切線與直線x＋y－1＝0垂直，則點P的坐標(biāo)為__________．思路分析：設(shè)出切點的坐標(biāo)，求出切線斜率，由斜率間的關(guān)系及曲線方程求得切點坐標(biāo)．解析:(1)設(shè)切點P為（x0，y0)，則k＝f′（x0)＝eq\o（lim，\s\do4（Δx→0））eq\f（f（x0＋Δx）－f（x0），Δx）＝eq\o(lim,\s\do4（Δx→0)）eq\f（－\f（1，(x0＋Δx)2)＋\f(1,x02)，Δx)＝eq\o(lim,\s\do4（Δx→0))eq\f(\f(－x02＋(x0＋Δx)2,x02（x0＋Δx)2），Δx)＝eq\o（lim,\s\do4（Δx→0）)eq\f(2x0＋Δx，x02(x0＋Δx）2）＝eq\f(2，x03)。∵切線方程為2x＋y＋3＝0，∴切線斜率為－2.∴eq\f(2，x03)＝－2.∴x0＝－1.∴f（x0)＝f（－1）＝－1?！嗲悬cP為（－1，－1)．（2）設(shè)切點P為（x0，y0)，則k＝f′（x0）＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0）)eq\f（2（x0＋Δx)2－(x0＋Δx）－（2x02－x0），Δx）＝eq\o（lim，\s\do4（Δx→0））eq\f（4x0Δx＋2Δx2－Δx,Δx）＝eq\o(lim，\s\do4(Δx→0））(4x0＋2Δx－1）＝4x0－1?！咴邳cP處的切線與x＋y－1＝0垂直,∴4x0－1＝1。∴x0＝eq\f(1，2).∴f（x0）＝feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2))）＝2×eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，2）））2－eq\f(1，2）＝0?！嗲悬cP為eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,2），0）).答案：(1)（－1，－1)(2）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，2)，0)）探究三導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用，主要是根據(jù)函數(shù)y＝f（x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)即曲線f(x）在點x0處的切線的斜率去求切點坐標(biāo)及切線方程，再利用題中所提供的諸如斜率的線性關(guān)系、斜率的最值、斜率的范圍以及直線間的位置關(guān)系求解相關(guān)問題．【典型例題3】求曲線f(x)＝x2＋1和g（x）＝x3＋x在其交點處的兩條切線與x軸所圍成的三角形的面積．解：由f（x）＝g(x），得x3－x2＋x－1＝0，即（x－1）（x2＋1）＝0，∴x＝1。∴交點為（1,2）．∵f′（1)＝eq\o(lim，\s\do4（Δx→0）)eq\f(f(1＋Δx)－f（1),Δx）＝eq\o(lim，\s\do4(Δx→0））eq\f（（1＋Δx）2＋1－（12＋1),Δx)＝eq\o（lim,\s\do4（Δx→0）)（2＋Δx)＝2，∴曲線f（x)在（1，2）點處的切線l1的方程為y－2＝2（x－1)，即y＝2x.令y＝0，得x＝0，即切線與x軸交于（0,0）．又∵g′(1)＝eq\o(lim,\s\do4（Δx→0)）eq\f(g（1＋Δx）－g(1）,Δx)＝eq\o（lim，\s\do4（Δx→0)）eq\f（(1＋Δx）3＋(1＋Δx）－(13＋1)，Δx）＝eq\o（lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(4Δx＋3（Δx)2＋（Δx)3,Δx)＝eq\o（lim,\s\do4(Δx→0））(4＋3Δx＋（Δx)2）＝4，∴曲線g（x）在（1,2）點處的切線l2的方程為y－2＝4(x－1），即y＝4x－2。令y＝0，得x＝eq\f(1，2)，即切線與x軸交于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2），0）)，∴兩條切線與x軸圍成的三角形面積為S＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2）×2＝eq\f（1,2）。探究四易錯辨析易錯點:對導(dǎo)數(shù)的幾何意義理解不夠而導(dǎo)致出錯【典型例題4】求過曲線y＝f(x)＝x3上的點(1,1）的切線方程．錯解：∵Δy＝f（1＋Δx)－f(1）＝(1＋Δx)3－1＝(Δx）3＋3(Δx）2＋3Δx,∴eq\f(Δy，Δx）＝eq\f（（Δx）3＋3(Δx）2＋3Δx,Δx)＝（Δx）2＋3Δx＋3?！鄀q\o(lim,\s\do4(Δx→0）)eq\f(Δy,Δx）＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0））［(Δx）2＋3Δx＋3］＝3，即f′(1）＝3.所以所求切線的方程為y－1＝3(x－1),即3x－y－2＝0。錯因分析:求切線方程時，一定要注意是求過某一點的切線方程還是求在某點處的切線方程．前者可能會有多個結(jié)果，而后者通常只有一個結(jié)果．例如，如圖所示的圖象，l1，l2,l3都是過點P的切線，其中l(wèi)3是在點P處的切線．過曲線上一點的切線和在某一點處的切線是兩個不同的概念．正解：設(shè)切線與曲線y＝f（x）切于點（x0，x03)，則eq\f（Δy，Δx)＝eq\f（f(x0＋Δx)－f（x0)，Δx)＝eq\f（（Δx)3＋3(Δx）2·x0＋3Δx·x02,Δx）＝(Δx)2＋3x0Δx＋3x02.∴eq\o（lim，\s\do4(Δx→0）)eq\f(Δy，Δx）＝3x02,即f′(x0）＝3x02。故切線方程為y－x03＝3x02(x－x0）．而該切線經(jīng)過點（1,1），所以1－x03＝3x02（1－x0)，解得x0＝1或x0＝－eq\f（1，2)。所以切線方程為y－1＝3（x－1)或y＋eq\f(1，8)＝eq\f（3,4）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\c