2023-2024學(xué)年廣東省廣州市華南師大附中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年廣東省廣州市華南師大附中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知A={x|0≤x≤3}，B={x|1≤x≤4}，則A∩B=(

)A.{x|1≤x≤3} B.{x|0≤x≤4} C.{x|0≤x≤1} D.{x|3≤x≤4}2.復(fù)數(shù)z=3?i1?i(i是虛數(shù)單位)的虛部是A.2 B.?2 C.1 D.?13.下列命題中錯誤的是(

)A.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形

B.以圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將圓面旋轉(zhuǎn)180度形成的旋轉(zhuǎn)體叫球

C.棱臺的各條側(cè)棱所在直線一定相交于一點

D.用一個面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫棱臺4.已知平面向量a與b不共線，向量m=xa+b,n=aA.1 B.?13 C.1或?13 5.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c=2bcosA，asinA?bsinB=c(sinC?sinB)，則角B=(

)A.2π3 B.π6 C.π36.鼎湖峰，矗立于浙江省縉云縣仙都風(fēng)景名勝區(qū)，狀如春筍拔地而起，其峰頂鑲嵌著一汪小湖.某校開展數(shù)學(xué)建?；顒樱薪Ｕn題組的學(xué)生選擇測量鼎湖峰的高度，為此，他們設(shè)計了測量方案.如圖，在山腳A測得山頂P得仰角為45°，沿傾斜角為15°的斜坡向上走了90米到達(dá)B點(A,B,P,Q在同一個平面內(nèi))，在B處測得山頂P得仰角為60°，則鼎湖峰的山高PQ為(????)米．A.45(6?2) B.45(7.函數(shù)y=sin(ωx+φ)(其中常數(shù)ω>0，|φ|≤π3)的最小正周期是π，若其圖像向右平移A.關(guān)于點(π12,0)中心對稱 B.關(guān)于點(5π12,0)中心對稱

C.關(guān)于直線x=8.已知向量a、b、c滿足：b為單位向量，且a+2b和a?2b相互垂直，又對任意λ∈R不等式|A.1 B.635 C.5二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列對△ABC的個數(shù)的判斷正確的是(

)A.當(dāng)a=22，A=30°，C=45°時，有兩解

B.當(dāng)a=5，b=7，C=60°時，有一解

C.當(dāng)a=2，b=1，A=30°時，有一解

D.當(dāng)a=6，10.已知非零復(fù)數(shù)z1，z2，其共軛復(fù)數(shù)分別為z1?，zA.z1+z1?∈R B.z11.設(shè)非零向量a，b的夾角為θ，定義運(yùn)算a?b=|aA.若a?b=0，則a//b

B.若|a|?|b|=1，則(a?b)min=?1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知tanα=22，則sin2α=13.若a>0，b>0且滿足2a+b=2，則4a+a14.記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a2?b2=2c2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，在平面四邊形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=120°，AB=33，CD=2，AD=1．

(1)求點C到AD所在的直線的距離；

(2)以AD所在的直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個幾何體，求該幾何體的體積．16.(本小題15分)

如圖，在矩形ABCD中，點E在邊AB上，且AE=2EB,M是線段CE上一動點．

(1)ME=mMA+nMB,m,n∈R，求m?17.(本小題15分)

在△ABC中，D是線段BC上的一點(不含端點)，∠ADC=π3．

(1)若AC?sinC=32，求AD的長；

(2)若∠CAD=2∠BAD18.(本小題17分)

對于三個實數(shù)a，b，k，若(1+a2)(1+b2)≥k|a?b||1?ab|成立，則稱a，b具有“性質(zhì)k”．

(1)?x∈R，判斷x，0是否具有“性質(zhì)2”？

(2)?y∈(π6,π4)，判斷tany，0是否具有“性質(zhì)4”？

(3)若存在x0∈[3π19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=logax?1x(a>1)．

(1)若f(x)在[2,4]上的最小值為12，求a的值；

(2)證明：f(x)參考答案1.A

2.C

3.D

4.C

5.C

6.B

7.D

8.D

9.BC

10.AB

11.AC

12.213.4+214.(2,815.解：(1)如圖所示，延長AD，過點C作CE⊥AD，垂足為E，點C到AD所在的直線的距離為CE，

在Rt△CDE中，sin(180°?∠ADC)=sin60°=CECD，

所以CE=CD?sin60°=2×32=3，即點C到AD所在的直線的距離為3．

(2)以AD所在的直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個幾何體，

該幾何體可以看成以AE所在的直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周形成圓臺AE，挖去圓錐DE的組合體，

所以它的體積為圓臺16.解：(1)因為ME=MA+AE=MA+2EB=MA+2(MB?ME)，

化簡得ME=13MA+23MB，

因為ME=mMA+nMB,m,n∈R，

所以m=13，n=23，mn=29；

(2)因為CA=?AB?AD，CE=CB+BE=?AD17.解：(1)在△ACD中，D是線段BC上的一點(不含端點)，∠ADC=π3，AC?sinC=32，

由正弦定理得：ADsinC=ACsin∠ADC，所以AD=AC?sinCsin∠ADC=3232=1．

(2)設(shè)∠CAD=2∠BAD=2α，則B=π3?α，C=2π3?2α，

在三角形ABD中，由正弦定理得：BDsinα=ADsin(π3?α)，

18.解：(1)對?x∈R，1+x2=1+|x|2≥2|x|，當(dāng)且僅當(dāng)|x|=1時取等號，

所以x，0具有“性質(zhì)2”．

(2)令t=tany∈(33,1)，而1+t2?4|t|=t2?4t+1=(t?2)2?3，

函數(shù)f(t)=(t?2)2?3在(33,1)上單調(diào)遞減，f(t)<f(33)=43(1?3)<0，

即?t∈(33,1)，1+t2?4|t|<0，因此?y∈(π6,π4)，1+tan2y≥4|tany|不成立，

所以tany，0不具有“性質(zhì)4”．

(3)由sinx0，1具有“性質(zhì)2”，得(1+sin2x0)?2≥2|sinx0?1||1?sinx0|，

則1+sin2x0≥(1?sinx0)219.解：(1)因為a>1，

所以函數(shù)y=logax在(0,+∞)上為增函數(shù)，

又函數(shù)y=?1x在(0,+∞)上為增函數(shù)，

所以函數(shù)f(x)=logax?1x在[2,4]上為增函數(shù)，

所以當(dāng)x=2時，f(x)取最小值，最小值為loga2?12，

所以log