模型38梅涅勞斯定理、塞瓦定理(原卷版+解析)

梅涅勞斯定理：任何一條直線截三角形的各邊，都使得三條不相鄰線段之積等于另外三條線段之積．當(dāng)直線交三角形ABC三邊所在直線BC、AB、AC于D、E、F點(diǎn)時(shí)，則有AE×BD×CF＝EB×CD×AF塞瓦定理：塞瓦定理是指在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，延長AO、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F，則BD×CE×AF＝DC×EA×FB．例題精講例題精講考點(diǎn)一：梅涅勞斯定理【例1】．如圖，等邊△ABC的邊長為2，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，延長BC至D，使CD＝BC，連接FD交AC于E，則四邊形BCEF的面積為．變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，D、E、F內(nèi)分正△ABC的三邊AB、BC、AC均為1：2兩部分，AD、BE、CF相交成的△PQR的面積是△ABC的面積的（）A． B． C． D．【變式1-2】．梅涅勞斯定理梅涅勞斯（Menelaus）是古希臘數(shù)學(xué)家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內(nèi)容是：如圖（1），如果一條直線與△ABC的三邊AB，BC，CA或它們的延長線交于F、D、E三點(diǎn)，那么一定有??＝1．下面是利用相似三角形的有關(guān)知識(shí)證明該定理的部分過程：證明：如圖（2），過點(diǎn)A作AG∥BC，交DF的延長線于點(diǎn)G，則有＝．任務(wù)：（1）請(qǐng)你將上述材料中的剩余的證明過程補(bǔ)充完整；（2）如圖（3），在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AB上，且BF＝2AF，CF與AD交于點(diǎn)E，則AE＝．考點(diǎn)二：塞瓦定理【例2】．如圖：P，Q，R分別是△ABC的BC，CA，AB邊上的點(diǎn)．若AP，BQ，CR相交于一點(diǎn)M，求證：．變式訓(xùn)練【變式2-1】．請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)如圖，塞瓦定理是指在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，延長AO，BO，CO分別交對(duì)邊D，E，F(xiàn)于，則××＝1．任務(wù)：（1）當(dāng)點(diǎn)D，E分別為邊BC，AC的中點(diǎn)時(shí)，求證：點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)；（2）若△ABC為等邊三角形，AB＝12，AE＝4，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，求BF的長．【變式2-2】．請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)塞瓦定理定理內(nèi)容：如圖1，塞瓦定理是指在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，延長AO，BO，CO分別交對(duì)邊于D，E，F(xiàn)，則．?dāng)?shù)學(xué)意義：使用塞瓦定理可以進(jìn)行直線形中線段長度比例的計(jì)算，其逆定理還可以用來進(jìn)行三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)等問題的判定方法，是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué)中的一項(xiàng)基本定理，具有重要的作用．任務(wù)解決：（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D，E分別為邊BC，AC的中點(diǎn)時(shí)，求證：點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)；（2）若△ABC為等邊三角形（如圖3），AB＝12，AE＝4，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，求BF的長，并直接寫出△BOF的面積．1．如圖，在△ABC中，M是AC的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，AE＝AB，連接EM并延長，交BC的延長線于D，則＝（）A． B．2 C． D．2．如圖，在△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)G，若AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3，則AE：EC的值是（）A． B． C． D．3．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上一點(diǎn)．射線CF交AB于點(diǎn)E，且，則等于．4．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB邊上的一點(diǎn)，且AD＝3BD，連接CD并取CD的中點(diǎn)E，連接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，則AB的長為．5．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，AD是邊BC的中線，過點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，連接BE并延長交AC于點(diǎn)F，則AD的長是，EF的長是．6．如圖，△ABC中，D、E是BC邊上的點(diǎn)，BD：DE：EC＝3：2：1，M在AC邊上，CM：MA＝1：2，BM交AD、AE于H、G，則BH：HG：GM等于．7．如圖，?ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，在AB的延長線上任取一點(diǎn)E，連接OE交BC于點(diǎn)F．若AB＝a，AD＝c，BE＝b，則BF＝．8．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AM為BC邊上的中線，CD⊥AM于點(diǎn)D，CD的延長線交于點(diǎn)，求的值．9．如圖，在△ABC中，M是AC的中點(diǎn)，E、F是BC上的兩點(diǎn)，且BE＝EF＝FC，求BN：NQ：QM的值．10．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，E為BC上一點(diǎn)，AE交CD于點(diǎn)F，EH⊥AB于點(diǎn)H，若CF＝2FD，EH＝，求CE?BE的值．11．如圖，△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，E是AB上一點(diǎn)，連接DE，2∠C+∠BDE＝180°．（1）求證：∠BDE＝2∠CAD；（2）若AC＝BD，∠AED＝∠ACB，求證BE＝2CD；（3）若AE＝kBE，BD＝mCD，則的值為．（用含m，k的式子表示）．12．如圖1，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中線，BE⊥AD，垂足為E，點(diǎn)F在AD上，∠ACF＝∠DBE．（1）求證：∠ABD＝∠CFD；（2）探究線段AF，DE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖2，延長BE交CF于點(diǎn)P，AB＝AF，求的值．13．如圖1，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在BA的延長線上，點(diǎn)E在BC上，DE＝DC，點(diǎn)F是DE與AC的交點(diǎn)，且DF＝FE．（1）圖1中是否存在與∠BDE相等的角？若存在，請(qǐng)找出，并加以證明，若不存在，說明理由；（2）求證：BE＝EC；（3）若將“點(diǎn)D在BA的延長線上，點(diǎn)E在BC上”和“點(diǎn)F是DE與AC的交點(diǎn)，且DF＝FE”分別改為“點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在CB的延長線上”和“點(diǎn)F是ED的延長線與AC的交點(diǎn)，且DF＝kFE”，其他條件不變（如圖2）．當(dāng)AB＝1，∠ABC＝a時(shí)，求BE的長（用含k、a的式子表示）．14．閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．塞瓦（GiovanniCeva，1648～1734）意大利水利工程師，數(shù)學(xué)家，塞瓦定理載于1678年發(fā)表的《直線論》一書，塞瓦定理是指如圖1，在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，延長AO，BO，CO分別交對(duì)邊于D，F(xiàn)，E，則．下面是該定理的部分證明過程：如圖2，過點(diǎn)A作BC的平行線分別交BE，CF的延長線于點(diǎn)M，N．則∠N＝∠FCB，∠NAF＝∠FBC．∴△NAF∽△CBF．∴①．同理可得△NOA∽△COD．∴②．任務(wù)一：（1）請(qǐng)分別寫出與△MOA，△MEA相似的三角形；（2）寫出由（1）得到的比例線段；任務(wù)二：結(jié)合①②和（2），完成該定理的證明；任務(wù)三：如圖3，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB，垂足為D，點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，連接AE并延長，交BC于點(diǎn)F，連接BE并延長，交AC于點(diǎn)G．小明同學(xué)自學(xué)了上面定理之后解決了如圖3所示的問題，并且他用所學(xué)知識(shí)已經(jīng)求出了BF與FC的比是25：16，請(qǐng)你直接寫出△ECG與△EAG面積的比．15．問題提出如圖（1），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中點(diǎn)，延長BC至點(diǎn)E，使DE＝DB，延長ED交AB于點(diǎn)F，探究的值．問題探究（1）先將問題特殊化．如圖（2），當(dāng)∠BAC＝60°時(shí)，直接寫出的值；（2）再探究一般情形．如圖（1），證明（1）中的結(jié)論仍然成立．問題拓展如圖（3），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中點(diǎn)，G是邊BC上一點(diǎn)，＝（n＜2），延長BC至點(diǎn)E，使DE＝DG，延長ED交AB于點(diǎn)F．直接寫出的值（用含n的式子表示）．16．閱讀下面材料，完成（1）﹣（3）題數(shù)學(xué)課上，老師出示了這樣一道題：如圖1，△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D、E在BC上，AD＝AB，AB＝kBD（其中＜k＜1）∠ABC＝∠ACB+∠BAE，∠EAC的平分線與BC相交于點(diǎn)F，BG⊥AF，垂足為G，探究線段BG與AC的數(shù)量關(guān)系，并證明．同學(xué)們經(jīng)過思考后，交流了自己的想法：小明：“通過觀察和度量，發(fā)現(xiàn)∠BAE與∠DAC相等．”小偉：“通過構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過進(jìn)一步推理，可以得到線段BG與AC的數(shù)量關(guān)系．”……老師：“保留原題條件，延長圖1中的BG，與AC相交于點(diǎn)H（如圖2），可以求出的值．”（1）求證：∠BAE＝∠DAC；（2）探究線段BG與AC的數(shù)量關(guān)系（用含k的代數(shù)式表示），并證明；（3）直接寫出的值（用含k的代數(shù)式表示）．梅涅勞斯定理：任何一條直線截三角形的各邊，都使得三條不相鄰線段之積等于另外三條線段之積．當(dāng)直線交三角形ABC三邊所在直線BC、AB、AC于D、E、F點(diǎn)時(shí)，則有AE×BD×CF＝EB×CD×AF塞瓦定理：塞瓦定理是指在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，延長AO、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F，則BD×CE×AF＝DC×EA×FB．例題精講例題精講考點(diǎn)一：梅涅勞斯定理【例1】．如圖，等邊△ABC的邊長為2，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，延長BC至D，使CD＝BC，連接FD交AC于E，則四邊形BCEF的面積為．解：∵DEF是△ABC的梅氏線，∴由梅涅勞斯定理得，??＝1，即??＝1，則＝，連FC，S△BCF＝S△ABC，S△CEF＝S△ABC，于是SBCEF＝S△BCF+S△CEF＝S△ABC＝××2×2sin60°＝×＝．故答案為．變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，D、E、F內(nèi)分正△ABC的三邊AB、BC、AC均為1：2兩部分，AD、BE、CF相交成的△PQR的面積是△ABC的面積的（）A． B． C． D．解：對(duì)△ADC用梅涅勞斯定理可以得：??＝1，則＝．設(shè)S△BCF＝，S△BCQ＝S△BCE＝，SBPRF＝S△ABD＝，∴S△PQR＝S△BCF﹣S△BCQ﹣SBPRF＝S△ABC．故選：D．【變式1-2】．梅涅勞斯定理梅涅勞斯（Menelaus）是古希臘數(shù)學(xué)家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內(nèi)容是：如圖（1），如果一條直線與△ABC的三邊AB，BC，CA或它們的延長線交于F、D、E三點(diǎn)，那么一定有??＝1．下面是利用相似三角形的有關(guān)知識(shí)證明該定理的部分過程：證明：如圖（2），過點(diǎn)A作AG∥BC，交DF的延長線于點(diǎn)G，則有＝．任務(wù)：（1）請(qǐng)你將上述材料中的剩余的證明過程補(bǔ)充完整；（2）如圖（3），在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AB上，且BF＝2AF，CF與AD交于點(diǎn)E，則AE＝6．解：（1）補(bǔ)充的證明過程如下：∵AG∥BD，∴△AGE∽△CDE．∴，∴；（2）根據(jù)梅涅勞斯定理得：．又∵，，∴DE＝AE．在Rt△ABD中，AB＝13，BD＝5，∠ADB＝90°，則由勾股定理知：AD＝＝＝12．∴AE＝6．故答案是：6．考點(diǎn)二：塞瓦定理【例2】．如圖：P，Q，R分別是△ABC的BC，CA，AB邊上的點(diǎn)．若AP，BQ，CR相交于一點(diǎn)M，求證：．證明：如圖，由三角形面積的性質(zhì)，有，，．以上三式相乘，得．變式訓(xùn)練【變式2-1】．請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)如圖，塞瓦定理是指在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，延長AO，BO，CO分別交對(duì)邊D，E，F(xiàn)于，則××＝1．任務(wù)：（1）當(dāng)點(diǎn)D，E分別為邊BC，AC的中點(diǎn)時(shí)，求證：點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)；（2）若△ABC為等邊三角形，AB＝12，AE＝4，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，求BF的長．解：（1）證明：∵D，E分別為邊BC，AC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，EA＝CE，∴，由塞瓦定理，得，∴，∴AF＝BF，∴點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)；（2）解：∵△ABC為等邊三角形，AB＝12，∴AB＝AC＝BC＝12，∵AE＝4，∴EC＝12﹣4＝8，∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD＝6，∵AB＝12，∴AF＝AB﹣BF＝12﹣BF，由賽瓦定理，得，∴，∴BF＝8．【變式2-2】．請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)塞瓦定理定理內(nèi)容：如圖1，塞瓦定理是指在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，延長AO，BO，CO分別交對(duì)邊于D，E，F(xiàn)，則．?dāng)?shù)學(xué)意義：使用塞瓦定理可以進(jìn)行直線形中線段長度比例的計(jì)算，其逆定理還可以用來進(jìn)行三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)等問題的判定方法，是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué)中的一項(xiàng)基本定理，具有重要的作用．任務(wù)解決：（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D，E分別為邊BC，AC的中點(diǎn)時(shí)，求證：點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)；（2）若△ABC為等邊三角形（如圖3），AB＝12，AE＝4，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，求BF的長，并直接寫出△BOF的面積．（1）證明：∵點(diǎn)D，E分別為邊BC，AC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，CE＝AE，由賽瓦定理可得：，∴，∴AF＝BF，即點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)；（2）∵△ABC為等邊三角形，AB＝12，∴BC＝AC＝12，∵點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴BD＝DC＝6，∵AE＝4，∴CE＝8，由賽瓦定理可得：BF＝8；△BOF的面積為．1．如圖，在△ABC中，M是AC的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，AE＝AB，連接EM并延長，交BC的延長線于D，則＝（）A． B．2 C． D．解：如圖，過C點(diǎn)作CP∥AB，交DE于P，∵PC∥AE，∴△AEM∽△CPM，∴＝，∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，∴AM＝CM，∴PC＝AE，∵AE＝AB，∴CP＝AB，∴CP＝BE，∵CP∥BE，∴△DCP∽△DBE，∴＝＝，∴BD＝3CD，∴BC＝2CD，即＝2．故選：B．2．如圖，在△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)G，若AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3，則AE：EC的值是（）A． B． C． D．解：過D作DH∥AC交BE于H，∴△DHG∽△AEG，△BDH∽△CBE，∴，，∴AE＝4DH，CE＝DH，∴，故選：B．3．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上一點(diǎn)．射線CF交AB于點(diǎn)E，且，則等于．解：如圖：過點(diǎn)D作DG∥EC交AB于G，∵AD是BC邊上的中線，∴GD是△BEC的中位線，∴BD＝CD，BG＝GE．∵＝，∴＝∵DG∥EC，∴＝＝．故答案是：．4．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB邊上的一點(diǎn)，且AD＝3BD，連接CD并取CD的中點(diǎn)E，連接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，則AB的長為4．解：如圖，取AD中點(diǎn)F，連接EF，過點(diǎn)D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，設(shè)BD＝a，∴AD＝3BD＝3a，AB＝4a，∵點(diǎn)E為CD中點(diǎn)，點(diǎn)F為AD中點(diǎn)，CD＝6，∴DF＝a，EF∥AC，DE＝3，∴∠FED＝∠ACD＝45°，∵∠BED＝45°，∴∠FED＝∠BED，∠FEB＝90°，∵DG⊥EF，DH⊥BE，∴四邊形EHDG是矩形，DG＝DH，∴四邊形DGEH是正方形，∴DE＝DG＝3，DH∥EF，∴DG＝DH＝3，∵DH∥EF，∴∠BDH＝∠DFG，∴△BDH∽△DFG，∴，∴＝，∴BH＝2，∴BD＝＝＝，∴AB＝4，故答案為：4．5．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，AD是邊BC的中線，過點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，連接BE并延長交AC于點(diǎn)F，則AD的長是16，EF的長是．解：過點(diǎn)G作DG∥AC，交BF于點(diǎn)G，∵D為BC的中點(diǎn)，BC＝16，∴CD＝BD＝8，∵∠ACB＝90°，AC＝8，∴AD＝＝16，∴sin∠CAD＝，∴CE＝＝，∴AE＝，∴DE＝AD﹣AE＝4，∵DG∥AC，∴，設(shè)DG＝x，則CF＝2x，AF＝，∵DG∥AC，∴∠DGE＝∠AFE，∠EDG＝∠EAF，∴△DEG∽△AEF，∴，即，解得：x＝，∴CF＝2x＝∴BF＝，∵，∴，∵，∴EF＝＝．故答案為：16，．6．如圖，△ABC中，D、E是BC邊上的點(diǎn)，BD：DE：EC＝3：2：1，M在AC邊上，CM：MA＝1：2，BM交AD、AE于H、G，則BH：HG：GM等于51：24：10．解：過M作MQ∥BC交AE于N，交AD于F，交AB于Q，∵BD：DE：EC＝3：2：1，∴設(shè)EC＝a，DE＝2a，BD＝3a，∵M(jìn)Q∥BC，∴△AMN∞△ACE，∵CM：MA＝1：2，∴＝＝，∴MN＝a，同理MF＝2a，MQ＝4a，∵M(jìn)Q∥BC，∴△MNG∽△BEG，∴＝，∴＝＝，∴＝＝同理＝＝＝，＝＝，∴＝，＝＝∴BH：HG：GM＝51：24：10，故答案為：51：24：10．7．如圖，?ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，在AB的延長線上任取一點(diǎn)E，連接OE交BC于點(diǎn)F．若AB＝a，AD＝c，BE＝b，則BF＝．解：取AB的中點(diǎn)M，連接OM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，OB＝OD，∴OM∥AD∥BC，OM＝AD＝c，∴△EFB∽△EOM，∴，∵AB＝a，AD＝c，BE＝b，∴ME＝MB+BE＝AB+BE＝a+b，∴，∴BF＝．故答案為：．8．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AM為BC邊上的中線，CD⊥AM于點(diǎn)D，CD的延長線交于點(diǎn)，求的值．解：過點(diǎn)B作BF⊥BC，交EC的延長線于點(diǎn)F，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠BCF+∠ACD＝90°，又∵BF⊥BC，CD⊥AM，∴∠BCF+∠F＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠F，∠BCF＝∠CAD，∴△ACM≌△CBF（AAS），∴BF＝CM，又∵AM為BC邊上的中線，∴BF＝CM＝BC，∵∠AEC＝∠BEF，∴△ACE∽△BFE，∴＝2．9．如圖，在△ABC中，M是AC的中點(diǎn)，E、F是BC上的兩點(diǎn)，且BE＝EF＝FC，求BN：NQ：QM的值．解：連接MF，如圖，∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，EF＝FC，∴MF為△CEA的中位線，∴AE＝2MF，AE∥MF，∵NE∥MF，∴＝＝1，＝＝，∴BN＝NM，MF＝2NF，設(shè)BN＝a，NE＝b，則NM＝a，MF＝2b，AE＝4b，∴AN＝3b，∵AN∥MF，∴＝＝＝，∴NQ＝a，QM＝a，∴BN：NQ：QM＝a：a：a＝5：3：2．10．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，E為BC上一點(diǎn)，AE交CD于點(diǎn)F，EH⊥AB于點(diǎn)H，若CF＝2FD，EH＝，求CE?BE的值．解：對(duì)于△CBD和截線AFE，由梅涅勞斯定理可知：，∵CF＝2FD，∴，∴，易知△ADC∽△EHB，∴，∴，由射影定理可知AC2＝AD?AB，∴BE?CE＝＝＝，∵EH＝，∴BE?CE＝4．11．如圖，△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，E是AB上一點(diǎn)，連接DE，2∠C+∠BDE＝180°．（1）求證：∠BDE＝2∠CAD；（2）若AC＝BD，∠AED＝∠ACB，求證BE＝2CD；（3）若AE＝kBE，BD＝mCD，則的值為．（用含m，k的式子表示）．（1）證明：∵2∠C+∠BDE＝180°，∴∠C+∠BDE＝90°，∵AD⊥BC，∴∠C+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠BDE，∴∠BDE＝2∠CAD；（2）證明：如圖，延長DE至F，使DF＝BD，連接BF，在DB上截取DG＝CD，連接AG，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADG＝90°，在△ADC和△ADG中，，∴△ADC≌△ADG（SAS），∴AG＝AC，∠GAD＝∠CAD，∠AGC＝∠ACB，∴∠CAG＝2∠CAD，∵∠BDF＝2∠CAD，∴∠BDF＝∠CAG，∵AC＝BD，∴AC＝BD＝AG＝DF，∴△BDF≌△CAG（SAS），∴BF＝CG，∠DFB＝∠AGC＝∠ACB，∵∠AED＝∠ACB，∠AED＝∠BEF，∴∠DFB＝∠BEF，∴BF＝BE，∴BE＝CG，∵CG＝2CD，∴BE＝2CD；（3）解：如圖，記AG與DE的交點(diǎn)為H，設(shè)CD＝y(tǒng)，則BD＝my，延長DE至F，使DF＝BD＝my，連接BF，在DB上截取DG＝CD＝y(tǒng)，連接AG，則CG＝CD＝2y，由（2）知，△ADC≌△ADG，∴AC＝AG，∠CAD＝∠GAD，∴∠CAG＝2∠CAD，由（1）知，∠BDE＝2∠CAD，∴∠BDE＝∠CAG，∵DF＝BD，AC＝AG，∴，∵△DBF∽△ACG，∴∠DBF＝∠AGC，∴AG∥BF，∴△DHG∽△DFB，∴，∴DH＝DG＝y(tǒng)，∵AG∥BF，∴△BEF∽△AEH，∴，∵AE＝kBE，∴＝＝，∴EH＝kEF，∵DF＝DH+EH+EF＝y(tǒng)+kEF+EF＝my，∴EF＝，∴EH＝，∴DE＝EH+DH＝+y＝，∴＝＝，故答案為：．12．如圖1，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中線，BE⊥AD，垂足為E，點(diǎn)F在AD上，∠ACF＝∠DBE．（1）求證：∠ABD＝∠CFD；（2）探究線段AF，DE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖2，延長BE交CF于點(diǎn)P，AB＝AF，求的值．（1）證明：設(shè)∠DBE＝∠CFD＝α，∵BE⊥AD，∴∠BED＝90°，∴∠ADB+α＝90°，又∵∠BAC＝90°，AD是中線，∴AD＝BD＝CD，∴∠BAD＝∠ABD，∴∠ADB+2∠BAD＝180°，∴2∠BAD＝90°+α，又∵∠CFD＝∠DAC+∠ACF＝∠DAC+α＝90°﹣∠BAD+α＝2∠BAD﹣∠BAD＝∠BAD，∵∠ABD＝∠BAD，∴∠ABD＝∠CFD；（2）解：AF＝2DE．理由：過點(diǎn)C作CM⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)M，∵AD是中線，∴BD＝CD，∵∠CMD＝∠BED＝90°，∠CDM＝∠BDE，∴△CDM≌△BDE（AAS），∴DM＝DE，CM＝BE，又∵∠BAD＝∠CFM，∠AEB＝∠CMF，∴△CMF≌△BEA（AAS），∴AE＝MF，∴AE﹣EF＝MF﹣EF，∴AF＝EM，又∵EM＝2DE，∴AF＝2DE；（3）解：過點(diǎn)C作CM⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)M，由（2）可知，AF＝2DE，AD＝CD，設(shè)DE＝x，則AF＝2x，∵AB＝AF，∴AB＝2x，∴AB＝2x，設(shè)EF＝y(tǒng)，∴AE＝y(tǒng)+2x，AD＝CD＝y(tǒng)+3x，由（2）可知，BE＝CM，∴AB2﹣AE2＝CD2﹣DM2，∴＝（y+3x）2﹣x2，解得y＝3x，y＝﹣8x（舍去），∴AE＝5x，∵∠BDE＝∠CFE，∠AEB＝∠PEF，∴△BEA∽△PEF，∴．13．如圖1，△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在BA的延長線上，點(diǎn)E在BC上，DE＝DC，點(diǎn)F是DE與AC的交點(diǎn)，且DF＝FE．（1）圖1中是否存在與∠BDE相等的角？若存在，請(qǐng)找出，并加以證明，若不存在，說明理由；（2）求證：BE＝EC；（3）若將“點(diǎn)D在BA的延長線上，點(diǎn)E在BC上”和“點(diǎn)F是DE與AC的交點(diǎn)，且DF＝FE”分別改為“點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在CB的延長線上”和“點(diǎn)F是ED的延長線與AC的交點(diǎn)，且DF＝kFE”，其他條件不變（如圖2）．當(dāng)AB＝1，∠ABC＝a時(shí)，求BE的長（用含k、a的式子表示）．解：（1）∠DCA＝∠BDE．證明：∵AB＝AC，DC＝DE，∴∠ABC＝∠ACB，∠DEC＝∠DCE．∴∠BDE＝∠DEC﹣∠DBC＝∠DCE﹣∠ACB＝∠DCA．（2）過點(diǎn)E作EG∥AC，交AB于點(diǎn)G，如圖1，則有∠DAC＝∠DGE．在△DCA和△EDG中，∴△DCA≌△EDG（AAS）．∴DA＝EG，CA＝DG．∴DG＝AB．∴DA＝BG．∵AF∥EG，DF＝EF，∴DA＝AG．∴AG＝BG．∵EG∥AC，∴BE＝EC．（3）過點(diǎn)E作EG∥AC，交AB的延長線于點(diǎn)G，如圖2，∵AB＝AC，DC＝DE，∴∠ABC＝∠ACB，∠DEC＝∠DCE．∴∠BDE＝∠DBC﹣∠DEC＝∠ACB﹣∠DCE＝∠DCA．∵AC∥EG，∴∠DAC＝∠DGE．在△DCA和△EDG中，∴△DCA≌△EDG（AAS）．∴DA＝EG，CA＝DG∴DG＝AB＝1．∵AF∥EG，∴△ADF∽△GDE．∴．∵DF＝kFE，∴DE＝EF﹣DF＝（1﹣k）EF．∴．∴AD＝．∴GE＝AD＝．過點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H，如圖2，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH．∴BC＝2BH．∵AB＝1，∠ABC＝α，∴BH＝AB?cos∠ABH＝cosα．∴BC＝2cosα．∵AC∥EG，∴△ABC∽△GBE．∴．∴．∴BE＝．∴BE的長為．14．閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．塞瓦（GiovanniCeva，1648～1734）意大利水利工程師，數(shù)學(xué)家，塞瓦定理載于1678年發(fā)表的《直線論》一書，塞瓦定理是指如圖1，在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，延長AO，BO，CO分別交對(duì)邊于D，F(xiàn)，E，則．下面是該定理的部分證明過程：如圖2，過點(diǎn)A作BC的平行線分別交BE，CF的延長線于點(diǎn)M，N．則∠N＝∠FCB，∠NAF＝∠FBC．∴△NAF∽△CBF．∴①．同理可得△NOA∽△COD．∴②．任務(wù)一：（1）請(qǐng)分別寫出與△MOA，△MEA相似的三角形；（2）寫出由（1）得到的比例線段；任務(wù)二：結(jié)合①②和（2），完成該定理的證明；任務(wù)三：如圖3，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB，垂足為D，點(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，連接AE并延長，交BC于點(diǎn)F，連接BE并延長，交AC于點(diǎn)G．小明同學(xué)自學(xué)了上面定理之后解決了如圖3所示的問題，并且他用所學(xué)知識(shí)已經(jīng)求出了BF與FC的比是25：16，請(qǐng)你直接寫出△ECG與△EAG面積的比．解：任務(wù)一：（1）△MOA∽△BOD；△MEA∽△BEC；（2）；；任務(wù)二：證明：如圖所示：由任務(wù)一可得：；；同理可得△OAN∽△ODC；△AFN∽△BFC；∴；；∴；∴．任務(wù)三：由任務(wù)一和任務(wù)二可得：在△ABC中，＝1；∵Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∴AB＝；∴cos∠BAC＝；∴；∴AD＝；∴BD＝AB﹣AD＝；∵＝1；∴＝1；解得＝；過點(diǎn)E作EH⊥AC于H；∴＝＝＝．15．問題提出如圖（1），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中點(diǎn)，延長BC至點(diǎn)E，使DE＝DB，延長ED交AB于點(diǎn)F，探究的值．問題探究（1）先將問題特殊化．如圖（2），當(dāng)∠BAC＝60°時(shí)，直接寫出的值；（2）再探究一般情形．如圖（1），證明（1）中的結(jié)論仍然成立．問題拓展如圖（3），在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中點(diǎn)，G是邊BC上一點(diǎn)，＝（n＜2），延長BC至點(diǎn)E，使DE＝DG，延長ED交AB于點(diǎn)F．直接寫出的值（用含n的式子表示）．解：（1）如圖，取AB的中點(diǎn)G，連接DG，∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴DG是△ABC的中