專題4方程與不等式的實際應用(原卷版+解析)

專題4方程與不等式的實際應用目錄一、熱點題型歸納【題型一】和、差、倍、分問題【題型二】行程問題【題型三】工程問題【題型四】利潤問題【題型五】數(shù)字問題【題型六】方案問題【題型七】平均變化率的問題二、最新模考題組練【題型一】和、差、倍、分問題【典例分析】（2022·江蘇常州·統(tǒng)考一模）秉承“綠水青山就是金山銀山”理念，發(fā)展鄉(xiāng)村振興特色旅游，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)購買甲、乙兩種樹苗對旅游道路進行綠化，已知甲種樹苗每棵元，乙種樹苗每棵元，且乙種樹苗棵數(shù)比甲種樹苗棵數(shù)的倍少棵，購買兩種樹苗的總金額為元．(1)求購買甲、乙兩種樹苗各多少棵？(2)為保證綠化效果，鄉(xiāng)鎮(zhèn)決定再購買甲、乙兩種樹苗共棵，總費用不超過元，則甲種樹苗最多可以買多少棵？【提分秘籍】基本規(guī)律基本量及關系：增長量＝原有量×增長率，現(xiàn)有量＝原有量+增長量，現(xiàn)有量＝原有量-降低量。尋找相等關系：抓住關鍵詞列方程，常見的關鍵詞有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增長率等?！咀兪窖菥殹?．某企業(yè)組織員工外出旅游，如果單獨租用45座客車若干輛，則剛好坐滿；如果單獨租用60座客車，也剛好坐滿，且可以少租一輛．請根據(jù)以上信息，提出一個能用方程（組）解決的問題，并寫出這個問題的解答過程．2．到2002年底，沿海某市共有未被開發(fā)的灘涂約510萬畝，在海潮的作用下，如果今后二十年內，灘涂平均每年以2萬畝的速度向東淤長增加．為了達到既保護環(huán)境，又發(fā)展經濟的目的，從2003年初起，每年開發(fā)0.8萬畝．(1)問多少年后，該市未被開發(fā)的灘涂總面積可超過528萬畝？(2)由于環(huán)境得到了保護，預計該市的灘涂旅游業(yè)每年將比上一年增加收入200萬元；開發(fā)的灘涂，從第三年起開始收益，每年每萬畝可獲收入400萬元．問：要經過多少年，僅這兩項收入將使該市全年的收入比2002年多3520萬元？【題型二】行程問題【典例分析】（2022·江蘇南通·校考模擬）小穎家離學校1880米，其中有一段為上坡路，另一段為下坡路．她跑步去學校共用了16分鐘，已知小穎在上坡路上的平均速度是80米/分鐘，在下坡路上的平均速度是200米/分鐘．求小穎上坡、下坡各用了多長時間？【提分秘籍】基本規(guī)律相遇問題（或相向問題）：①基本量及關系：相遇路程=速度和×相遇時間②尋找相等關系：甲走的路程+乙走的路程＝兩地距離．追及問題：①基本量及關系：追及路程=速度差×追及時間②尋找相等關系：同地不同時出發(fā)：前者走的路程＝追者走的路程；同時不同地出發(fā)：前者走的路程+兩者相距距離＝追者走的路程。航行問題：①基本量及關系：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度－水流速度，順水速度－逆水速度＝2×水速；③尋找相等關系：抓住兩地之間距離不變、水流速度不變、船在靜水中的速度不變來考慮。【變式演練】1．一輛汽車以20m/s的速度行駛，司機發(fā)現(xiàn)前方路面有情況，緊急剎車后又滑行25m后停車．（1）從剎車到停車用了多少時間？（2）從剎車到停車平均每秒車速減少多少？（3）剎車后汽車滑行到15m時約用了多少時間（精確到0.1s）？2．從甲站到乙站有150千米，一列快車和一列慢車同時從甲站勻速開出，1小時后快車在慢車前12千米，快車到達乙站比慢車早25分鐘，快車和慢車每小時各行駛多少千米？【題型三】工程問題【典例分析】（2022·江蘇揚州·校聯(lián)考二模）為迎接科技活動節(jié)，甲、乙兩個社團承接制作彩旗的任務．已知甲社團比乙社團每小時少制作12面彩旗，甲社團制作120面彩旗所用的時間與乙社團制作150面彩旗所用的時間相等．(1)甲、乙兩個社團每小時各制作多少面彩旗？(2)現(xiàn)在需要制作一批彩旗，已知甲社團單獨完成比乙社團單獨完成多用1個小時，那么甲、乙兩個社團同時合作，______________小時可完成．（直接寫答案）【提分秘籍】基本規(guī)律如果題目沒有明確指明總工作量，一般把總工作量設為1?；娟P系式：總工作量=工作效率×工作時間；總工作量=各單位工作量之和?！咀兪窖菥殹?．接種疫苗是阻斷新冠病毒傳播的有效途徑，針對疫苗急需問題，某制藥廠緊急批量生產，計劃每天生產疫苗16萬劑，但受某些因素影響，有10名工人不能按時到廠．為了應對疫情，回廠的工人加班生產，由原來每天工作8小時增加到10小時，每人每小時完成的工作量不變，這樣每天只能生產疫苗15萬劑．（1）求該廠當前參加生產的工人有多少人？（2）生產4天后，未到的工人同時到崗加入生產，每天生產時間仍為10小時．若上級分配給該廠共760萬劑的生產任務，問該廠共需要多少天才能完成任務？2．現(xiàn)有120臺大小兩種型號的挖掘機同時工作，大型挖掘機每小時可挖掘土方360立方米，小型挖掘機每小時可挖掘土方200立方米，20小時共挖掘土方704000立方米，求大小型號的挖掘機各多少臺？【題型四】利潤問題【典例分析】（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考一模）某文具店計劃購進、兩種筆記本，已知種筆記本的進價比種筆記本的進價每本便宜3元．現(xiàn)分別購進種筆記本150本，種筆記本300本，共計6300元．(1)求、兩種筆記本的進價；(2)文具店第二次又購進、兩種筆記本共100本，且投入的資金不超過1380元．在銷售過程中，、兩種筆記本的標價分別為20元/本、25元/本．兩種筆記本按標價各賣出本以后，該店進行促銷活動，剩余的種筆記本按標價的七折銷售，剩余的種筆記本按標價的八折銷售．若第二次購進的100本筆記本全部售出后的最大利潤不少于600元，請求出的最小值．【提分秘籍】基本規(guī)律標價＝成本(或進價)×(1＋利潤率)實際售價＝標價×打折率利潤＝售價－成本(或進價)＝成本×利潤率【變式演練】1．2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”寓意敦厚、健康、活潑、可愛，象征著冬奧會運動員強壯的身體、堅韌的意志和鼓舞人心的奧林匹克精神．為滿足市場需求，某超市購進一批吉祥物“冰墩墩”，進價為每個15元，第一天以每個25元的價格售出30個，為了讓更多的消費者擁有“冰墩墩”，從第二天起降價銷售，根據(jù)市場調查，單價每降低1元，可多售出3個．設銷售單價定為x元．(1)超市從第二天起日銷售量增加個，每個“冰墩墩”盈利元（用含x的代數(shù)式表示）；(2)針對這種“冰墩墩”的銷售情況，該商店要保證每天盈利273元，同時又要使顧客得到實惠，那么“冰墩墩”的銷售單價應定為多少元？2．某商場“國慶”期間銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場采取了降價措施，假設在一定范圍內，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件．(1)如果襯衫的單價降了15元，求降價后商場銷售這批襯衫每天盈利多少元；(2)如果降價后商場銷售這批襯衫每天盈利1200元，那么襯衫的單價降了多少元？【題型五】數(shù)字問題【典例分析】一個兩位數(shù)的兩個數(shù)字之和為9，把這個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字互換得到一個新的兩位數(shù)，他與原兩位數(shù)的積為1458，求原兩位數(shù)．【提分秘籍】基本規(guī)律已知各數(shù)位上的數(shù)字，寫出兩位數(shù)，三位數(shù)等這類問題一般設間接未知數(shù)，例如：若一個兩位數(shù)的個位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個兩位數(shù)可以表示為10b+a．【變式演練】1．小亮在勻速行駛的汽車里，注意到公路里程碑上的數(shù)字是一個兩位數(shù)；1h后，看到里程碑上的兩位數(shù)與第一次看到的兩位數(shù)恰好互換了兩個數(shù)字的位置；再過1h，看到里程碑上的數(shù)是第一次看到的兩位數(shù)的兩個數(shù)字之間添加一個0的三位數(shù)．這3塊里程碑上的數(shù)各是多少？2．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級校聯(lián)考階段練習）已知5個連續(xù)整數(shù)的和是m，它們的平方和是n，且，求這5個連續(xù)整數(shù)．【題型六】方案問題【典例分析】為振興鄉(xiāng)村經濟，弘揚“四敢”精神，某村擬建，兩類展位供當?shù)氐霓r產品展覽和銷售．1個類展位的占地面積比1個類展位的占地面積多4平方米，10個類展位和5個類展位的占地面積共280平方米．建類展位每平方米的費用為120元，建類展位每平方米的費用為100元．(1)求每個，類展位占地面積各為多少平方米；(2)該村擬建，兩類展位共40個，且類展位的數(shù)量不大于類展位數(shù)量的2倍，求建造這40個展位的最小費用．【提分秘籍】基本規(guī)律選擇設計方案的一般步驟：運用方程解應用題的方法求解兩種方案值相等的情況。用特殊值試探法選擇方案，取小于（或大于）方程解的值，比較兩種方案的優(yōu)劣性后下結論?！咀兪窖菥殹?．在“三八國際婦女節(jié)”來臨之際，小王同學打算買一束百合和康乃馨組合的鮮花祝福媽媽．已知買1支百合和3支康乃馨共需花費17元，3支康乃馨的價格比2支百合的價格多2元．(1)求買一支康乃馨和一支百合各需多少元？(2)小王同學準備買康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支．設買這束鮮花所需費用為w元，康乃馨有x支，求w與x之間的函數(shù)關系式，并設計一種使費用最少的買花方案，寫出最少費用．2．一家商店進行裝修，若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費用共3520元；若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可以完成，需付費用3480元．(1)甲、乙兩組工作一天，商店應各付多少元；(2)已知甲單獨完成需12天，乙單獨完成需24天，單獨請哪個組，商店所需費用少？(3)若裝修完后，商店每天可盈利200元，現(xiàn)有如下三種方式裝修：①甲單獨做；②乙單獨做；③甲乙合做，你認為如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）問的條件及結論）【題型七】平均變化率的問題【典例分析】2023年3月12日，大豐區(qū)飛達路初級中學開展“為校園增添一點綠色”為主題的植樹活動，組織七年級、八年級、九年級分別在12日、13日、14日進行植樹活動，七年級學生在12日種植了25棵樹苗，學生們在種植的過程中聽老師講解植樹綠化的意義，熱情高漲，每天的植樹增長率相同，九年級學生在14日種植了49棵樹苗．(1)求平均每天植樹的增長率？(2)求此次活動三個年級種植樹苗的總棵數(shù)？【提分秘籍】基本規(guī)律列一元二次方程解決增長(降低)率問題時，要理清原來數(shù)、后來數(shù)、增長率或降低率，以及增長或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應在原數(shù)的基礎上增長或降低兩次。

①增長率問題：平均增長率公式為(a為原來數(shù)，x為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量)。

②降低率問題：平均降低率公式為(a為原來數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量)。

【變式演練】1．（2023·江蘇徐州·校考一模）“民以食為天，食以糧為先”，糧食安全事關國計民生．為了確保糧食安全，優(yōu)選品種，某農業(yè)科技公司對原有小麥進行改良種植研究，在保持種植面積不變的情況下，今年小麥平均畝產量在去年的基礎上增加了，每千克售價也在去年的基礎上上漲了，全部售出后總收入將增加．(1)求a的值；(2)如果明年的種植面積仍然不變，預計明年小麥平均畝產量將在今年的基礎上增加，每千克售價將在今年的基礎上上漲，求全部售出后明年的總收入將在今年的基礎上增加的百分數(shù)．2．物美商場于今年年初以每件25元的進價購進一批商品．當商品售價為40元時，一月份銷售256件．二、三月該商品十分暢銷．銷售量持續(xù)走高．在售價不變的基礎上，三月底的銷售量達到400件．設二、三這兩個月月平均增長率不變．(1)求二、三這兩個月的月平均增長率．(2)從四月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經調查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價1元，銷售量增加5件，當商品降價多少元時，商場獲利4250元？1．（2023·江蘇無錫·江蘇省錫山高級中學實驗學校?？家荒＃┠成痰隂Q定購A，B兩種“冰墩墩”紀念品進行銷售．已知每件A種紀念品比每件B種紀念品的進價高30元．用1000元購進A種紀念品的數(shù)量和用400元購進B種紀念品的數(shù)量相同．(1)求A，B兩種紀念品每件的進價分別是多少元？(2)該商場通過市場調查，整理出A型紀念品的售價與數(shù)量的關系如下表，售價x（元/件）銷售量（件）100①當x為何值時，售出A紀念品所獲利潤最大，最大利潤為多少？②該商場購進A，B型紀念品共200件，其中A型紀念品的件數(shù)小于B型紀念品的件數(shù)，但不小于50件．若B型紀念品的售價為每件元時，商場將A，B型紀念品均全部售出后獲得的最大利潤為2800元，直接寫出m的值．2．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）為創(chuàng)建和諧文明的校園環(huán)境，某初中準備購買、兩種分類垃圾桶，通過市場調研得知：種垃圾桶每組的單價比種垃圾桶每組的單價少元，且用元購買種垃圾桶的組數(shù)量與用元購買種垃圾桶的組數(shù)量相同．(1)求、兩種垃圾桶每組的單價分別是多少元；(2)該學校計劃用不超過元的資金購買、兩種垃圾桶共組，則最多可以購買種垃圾桶多少組？3．（2023·江蘇南京·校聯(lián)考一模）某商店銷售甲、乙兩種商品，甲的成本為5元，乙的成本為7元．甲現(xiàn)在的售價為10元，每天賣出30個；售價每提高1元，每天少賣出2個．乙現(xiàn)在的售價為14元，每天賣出6個；售價每降低1元，每天多賣出4個．假定甲、乙兩種商品每天賣出的數(shù)量和不變（和為36袋），且售價均為整數(shù)．(1)當甲的售價提高x元，乙的售價為元；（用含x的代數(shù)式表示）(2)當甲的售價提高多少元時，銷售這兩種商品當天的總利潤是268元？4．（2023·江蘇鹽城·校聯(lián)考模擬）某商店分別花20000元和30000元先后兩次以相同的進價購進某種商品，且第二次的數(shù)量比第一次多500千克．(1)該商品的進價是多少？(2)已知該商品每天的銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的函數(shù)關系式為：，若想銷售該商品每天獲利2000元，該商店需將商品的售價定為多少？5．（2023·江蘇南通·南通田家炳中學?？寄M）為迎接校園歌手大賽的到來，學校向某商家訂購了甲、乙兩種熒光棒，其中購買甲種熒光棒花費5000元，購買乙種熒光棒花費6000元．已知乙種熒光棒的銷售單價比甲種熒光棒貴10元，乙種熒光棒的購買數(shù)量比甲種熒光棒的購買數(shù)量少20%．(1)求甲、乙兩種熒光棒的銷售單價；(2)由于需求量較大，學校第二次訂購這兩種熒光棒共110個，且本次訂購甲種熒光棒的個數(shù)不少于乙種熒光棒個數(shù)的2倍．為和學校建立長久合作關系，該商家決定：甲種熒光棒售價不變，乙種熒光棒打8折出售．已知兩種熒光棒的進價均為15元，該商家如何進貨能使本次熒光棒銷售利潤最大？利潤最大為多少元？6．（2023·江蘇宿遷·一模）某社區(qū)在防治新型冠狀病毒期間，需要購進一批防護服，現(xiàn)有甲、乙兩種不同型號的防護服，已知每件甲型防護服的價格比每件乙型防護服的價格便宜30元，用4200元購買甲型防護服的件數(shù)與用5250元購買乙型防護服的件數(shù)剛好相等．(1)求甲、乙兩種型號的防護服每件各是多少元？(2)如果該社區(qū)計劃購進的防護服共需80件，且要求投入的經費不超過11400元，則最多可購買多少件乙型防護服？7．（2019·江蘇泰州·校聯(lián)考一模）商場某種商品平均每天可銷售件，每件盈利元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施．經調查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價元，商場平均每天可多售出件．(1)若某天該商品每件降價元，當天可獲利多少元？(2)設每件商品降價元，則商場日銷售量增加______件，每件商品盈利______元（用含的代數(shù)式表示）；(3)要使商場日盈利達到元，則每件商品應降件多少元？8．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）2022年北京冬奧會吉樣物冰墩墩和冬殘奧會吉祥物雪容融深受大家的喜歡．某商店購進冰墩墩、雪容融兩種商品，已知每件冰墩墩的進價比每件雪容融的進價貴10元，用350元購進冰墩墩的件數(shù)恰好與用300元購進雪容融的件數(shù)相同．求冰墩墩、雪容融每件的進價分別是多少元？9．（2022·江蘇鹽城·校考三模）2022年北京冬奧會吉祥物冰墩墩和雪容融在一開售時，就深受大家的喜歡．某供應商今年2月第一周購進一批冰墩墩和雪容融，已知一個冰墩墩的進價比一個雪容融的進價多40元，用480元購買冰墩墩和用320元購買雪容融的數(shù)量相同．(1)今年2月第一周每個冰墩墩和雪容融的進價分別是多少元？(2)今年2月第一周，供應商將雪容融按每個100元的價格售出140個，將冰墩墩按每個150元的價格售出120個．第二周供應商決定調整價格，每個雪容融的售價在第一周的基礎上下降了m元，每個冰墩墩的價格不變，由于冬奧賽事的火熱進行，第二周雪容融的銷量比第一周增加了m個，而冰墩墩的銷量比第一周增加了個，最終商家獲利5160元，求m．10．（2023·江蘇連云港·校考一模）《孫子算經》是我國古代經典教學名著．其中一個問題：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步，問人與車各幾何？這道題的意思是：有若干人乘車，每3人乘一車，最終剩余2輛車；若每2人乘一車，最終剩余9人無車可乘，問有多少人，多少輛車？11．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）某花圃用花盆培育某種花苗，經過實驗發(fā)現(xiàn)每株的盈利與的每盆的株數(shù)構成一定的關系．每盆植入株時，平均單株盈利元；以同樣的栽培條件，若每盆增加株，平均單株盈利就減少元．要使每盆盈利達到元，每盆應該增加多少株？12．（2023·江蘇泰州·一模）某企業(yè)投入60萬元（只計入第一年成本）生產某種產品，按網(wǎng)上訂單生產并銷售（生產量等于銷售量）．經測算，該產品網(wǎng)上每年的銷售量y（萬件）與售價x（元/件）之間滿足函數(shù)關系式y(tǒng)＝24－x，第一年除60萬元外其他成本為8元/件．(1)求該產品第一年的利潤w（萬元）與售價x之間的函數(shù)關系式；(2)該產品第一年利潤為4萬元，第二年將它全部作為技改資金再次投入（只計入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．①求該產品第一年的售價；②若第二年售價不高于第一年，銷售量不超過13萬件，則第二年利潤最少是多少萬元？13．（2023·江蘇徐州·校考一模）學校師生去距學校45千米的吳玉章故居開展研學活動，騎行愛好者張老師騎自行車先行2小時后，其余師生乘汽車出發(fā)，結果同時到達；已知汽車速度是自行車速度的3倍，求張老師騎車的速度．14．（2023·江蘇揚州·?？家荒＃┙衲甑?月12日植樹節(jié)當天，某學校組織了該校九年級學生參加“用勞動創(chuàng)造美，讓校園更綠色”的主題教育活動．本次主題教育活動學校購買了相同數(shù)量的桃樹、梨樹樹苗，已知購買的桃樹和梨樹的樹苗分別花費了210元和180元，且已知購買的桃樹樹苗單價比梨樹的樹苗單價多5元，問桃樹的單價是多少？15．（2023·江蘇揚州·一模）市政府計劃對城區(qū)道路進行改造，現(xiàn)安排甲、乙兩個工程隊共同完成．已知甲隊的工作效率是乙隊工作效率的1.5倍，甲隊改造240米的道路比乙隊改造同樣長的道路少用2天．(1)甲、乙兩個工程隊每天能改造道路的長度分別是多少米？(2)若甲隊工作一天的改造費用為7萬元，乙隊工作一天的改造費用為5萬元，如需改造的道路全長為1800米，求安排甲、乙兩個工程隊同時開工，并一起完成這項城區(qū)道路改造的總費用？16．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活潑、可愛，象征著冬奧會運動員強壯的身體、堅韌的意志和鼓舞人心的奧林匹克精神．隨著北京冬奧會開幕日的臨近，某特許零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆．據(jù)調查“冰墩墩”每盒進價8元，售價12元．(1)商店老板計劃首月銷售330盒，經過首月試銷售，老板發(fā)現(xiàn)單盒“冰墩墩”售價每增長1元，月銷量就將減少20盒．若老板希望“冰墩墩”月銷量不低于270盒，則每盒售價最高為多少元？(2)實際銷售時，售價比（1）中的最高售價減少了2a元，月銷量比（1）中最低銷量270盒增加了60a盒，于是月銷售利潤達到了1650元，求a的值．專題4方程與不等式的實際應用目錄一、熱點題型歸納【題型一】和、差、倍、分問題【題型二】行程問題【題型三】工程問題【題型四】利潤問題【題型五】數(shù)字問題【題型六】方案問題【題型七】平均變化率的問題二、最新?？碱}組練【題型一】和、差、倍、分問題【典例分析】（2022·江蘇常州·統(tǒng)考一模）秉承“綠水青山就是金山銀山”理念，發(fā)展鄉(xiāng)村振興特色旅游，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)購買甲、乙兩種樹苗對旅游道路進行綠化，已知甲種樹苗每棵元，乙種樹苗每棵元，且乙種樹苗棵數(shù)比甲種樹苗棵數(shù)的倍少棵，購買兩種樹苗的總金額為元．(1)求購買甲、乙兩種樹苗各多少棵？(2)為保證綠化效果，鄉(xiāng)鎮(zhèn)決定再購買甲、乙兩種樹苗共棵，總費用不超過元，則甲種樹苗最多可以買多少棵？【答案】(1)購買甲種樹苗棵，乙種樹苗棵(2)甲種樹苗最多可以買棵【分析】（1）設購買甲種樹苗x棵，則購買乙種樹苗(2x?40)棵，利用總價=單價×數(shù)量，結合購買兩種樹苗的總金額為9000元，即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出購買甲種樹苗的棵樹，再將其代入(2x?40)中即可求出購買乙種樹苗的棵樹；（2）設可以購買甲種樹苗m棵，則購買乙種樹苗(100?m)棵，利用總價=單價×數(shù)量，結合總費用不超過2300元，即可得出關于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結論．【詳解】(1)解：設購買甲種樹苗棵，則購買乙種樹苗棵，依題意得：，解得：，．答：購買甲種樹苗棵，乙種樹苗棵．(2)解：設可以購買甲種樹苗棵，則購買乙種樹苗棵，依題意得：，解得：．答：甲種樹苗最多可以買棵．【提分秘籍】基本規(guī)律基本量及關系：增長量＝原有量×增長率，現(xiàn)有量＝原有量+增長量，現(xiàn)有量＝原有量-降低量。尋找相等關系：抓住關鍵詞列方程，常見的關鍵詞有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增長率等?！咀兪窖菥殹?．某企業(yè)組織員工外出旅游，如果單獨租用45座客車若干輛，則剛好坐滿；如果單獨租用60座客車，也剛好坐滿，且可以少租一輛．請根據(jù)以上信息，提出一個能用方程（組）解決的問題，并寫出這個問題的解答過程．【答案】問員工的人數(shù)是多少？員工人數(shù)是180人．（答案不唯一）【分析】可以從員工人數(shù)和租車輛數(shù)等方面考慮．【詳解】解：問題可以為：員工的人數(shù)是多少？解答過程如下：設員工人數(shù)為x人

解這個方程得

x=180

答：員工人數(shù)是180人．2．到2002年底，沿海某市共有未被開發(fā)的灘涂約510萬畝，在海潮的作用下，如果今后二十年內，灘涂平均每年以2萬畝的速度向東淤長增加．為了達到既保護環(huán)境，又發(fā)展經濟的目的，從2003年初起，每年開發(fā)0.8萬畝．(1)問多少年后，該市未被開發(fā)的灘涂總面積可超過528萬畝？(2)由于環(huán)境得到了保護，預計該市的灘涂旅游業(yè)每年將比上一年增加收入200萬元；開發(fā)的灘涂，從第三年起開始收益，每年每萬畝可獲收入400萬元．問：要經過多少年，僅這兩項收入將使該市全年的收入比2002年多3520萬元？【答案】(1)15年；(2)8年【分析】（1）根據(jù)每年增長的灘涂的面積-每年開發(fā)的灘涂的面積+原有的灘涂的面積＞528萬畝，列不等式求解即可；（2）如果設經過的時間是y年，那么這y年旅游業(yè)增加的收入應該是200y萬元，從第三年開始開發(fā)的灘涂一共收益了[0.8×400×（y﹣2）]萬元，因此根據(jù)這幾年旅游業(yè)增加的收入+開發(fā)灘涂的收益額=3520萬元，可列出方程，解得y值即可．【詳解】（1）解：設x年后，未被開發(fā)的灘涂總面積可超過528萬畝，根據(jù)題意得：2x+510﹣0.8x＞528解得：x＞15．故15年后，未被開發(fā)的灘涂總面積可超過528萬畝；（2）解：設經過y年，該市灘涂旅游和已開發(fā)的灘涂全年收入將比2002年多3520萬元，根據(jù)題意得：200y+0.8×400×（y﹣2）=3520，解得：y=8．故經過8年，該市灘涂旅游和已開發(fā)的灘涂全年收入將比2002年多3520萬元．【題型二】行程問題【典例分析】（2022·江蘇南通·校考模擬）小穎家離學校1880米，其中有一段為上坡路，另一段為下坡路．她跑步去學校共用了16分鐘，已知小穎在上坡路上的平均速度是80米/分鐘，在下坡路上的平均速度是200米/分鐘．求小穎上坡、下坡各用了多長時間？【答案】小穎上坡用了11分鐘，下坡用了5分鐘【分析】設小穎上坡用了x分鐘，下坡用了y分鐘，根據(jù)“小穎家離學校1880米，且去學校共用了16分鐘”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論．【詳解】設小穎上坡用了x分鐘，下坡用了y分鐘，依題意得：，解得：．答：小穎上坡用了11分鐘，下坡用了5分鐘．【提分秘籍】基本規(guī)律相遇問題（或相向問題）：①基本量及關系：相遇路程=速度和×相遇時間②尋找相等關系：甲走的路程+乙走的路程＝兩地距離．追及問題：①基本量及關系：追及路程=速度差×追及時間②尋找相等關系：同地不同時出發(fā)：前者走的路程＝追者走的路程；同時不同地出發(fā)：前者走的路程+兩者相距距離＝追者走的路程。航行問題：①基本量及關系：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度－水流速度，順水速度－逆水速度＝2×水速；③尋找相等關系：抓住兩地之間距離不變、水流速度不變、船在靜水中的速度不變來考慮?！咀兪窖菥殹?．一輛汽車以20m/s的速度行駛，司機發(fā)現(xiàn)前方路面有情況，緊急剎車后又滑行25m后停車．（1）從剎車到停車用了多少時間？（2）從剎車到停車平均每秒車速減少多少？（3）剎車后汽車滑行到15m時約用了多少時間（精確到0.1s）？【答案】（1）2.5s；（2）8m/s；（3）0.9【分析】（1）由題意可得s＝25m，根據(jù)題意可求出平均車速，繼而可求得時間；（2）汽車從剎車到停車，車速從20m/s減少到0，由（1）可得車速減少共用了2.5秒，平均每秒車速減少量＝總共減少的車速÷時間，由此可求得；（3）設剎車后汽車滑行到15m時約用了xs，這時車速為（20-8x）m/s，繼而可表示出這段路程內的平均車速，從而可求得x．【詳解】解：（1）從剎車到停車所用的路程是25m；從剎車到停車的平均車速是（m/s），那么從剎車到停車所用的時間是s；（2）從剎車到停車車速的減少值是20-0＝20，從剎車到停車每秒平均車速減少值是m/s；（3）設剎車后汽車滑行到15m時約用了xs，這時車速為（20-8x）m/s，則這段路程內的平均車速為，所以x（20-4x）＝15，整理得：4x2-20x＋15＝0，解得：，∴x≈4.08（不合，舍去），x≈0.9（s），答：剎車后汽車行駛到15m時約用0.9s．2．從甲站到乙站有150千米，一列快車和一列慢車同時從甲站勻速開出，1小時后快車在慢車前12千米，快車到達乙站比慢車早25分鐘，快車和慢車每小時各行駛多少千米？【答案】快車每小時行駛72千米，慢車每小時行駛60千米【分析】首先設慢車每小時走x千米，則快車每小時走（x+12）千米，再根據(jù)題意可得等量關系：慢車行駛150千米的時間-快車行駛150千米的時間=25分鐘，根據(jù)等量關系列出方程即可．【詳解】設慢車每小時行駛x千米，則快車每小時行駛(x＋12)千米，依題意得－＝.解得x1＝－72，x2＝60.經檢驗，x1＝－72，x2＝60都是原方程的解．但x1＝－72不合題意，應舍去．故x＝60.所以x＋12＝72.答：快車每小時行駛72千米，慢車每小時行駛60千米．【題型三】工程問題【典例分析】（2022·江蘇揚州·校聯(lián)考二模）為迎接科技活動節(jié)，甲、乙兩個社團承接制作彩旗的任務．已知甲社團比乙社團每小時少制作12面彩旗，甲社團制作120面彩旗所用的時間與乙社團制作150面彩旗所用的時間相等．(1)甲、乙兩個社團每小時各制作多少面彩旗？(2)現(xiàn)在需要制作一批彩旗，已知甲社團單獨完成比乙社團單獨完成多用1個小時，那么甲、乙兩個社團同時合作，______________小時可完成．（直接寫答案）【答案】(1)48，60；(2)【解析】(1)解：設乙社團每小時做x面彩旗，則甲社團每小時做(x-12)面彩旗，依題意有解得：x=60，經檢驗：x=60是原方程的解，x-12=60-12=48．答：甲社團每小時做48面彩旗，乙社團每小時做60面彩旗．(2)解：設這批彩旗共有y面，則，解得，甲、乙兩個社團同時合作，完成這批彩旗共需要的時間為：（小時），故答案為：．【提分秘籍】基本規(guī)律如果題目沒有明確指明總工作量，一般把總工作量設為1。基本關系式：總工作量=工作效率×工作時間；總工作量=各單位工作量之和?！咀兪窖菥殹?．接種疫苗是阻斷新冠病毒傳播的有效途徑，針對疫苗急需問題，某制藥廠緊急批量生產，計劃每天生產疫苗16萬劑，但受某些因素影響，有10名工人不能按時到廠．為了應對疫情，回廠的工人加班生產，由原來每天工作8小時增加到10小時，每人每小時完成的工作量不變，這樣每天只能生產疫苗15萬劑．（1）求該廠當前參加生產的工人有多少人？（2）生產4天后，未到的工人同時到崗加入生產，每天生產時間仍為10小時．若上級分配給該廠共760萬劑的生產任務，問該廠共需要多少天才能完成任務？【答案】（1）30人；（2）39天【分析】（1）設當前參加生產的工人有人，根據(jù)每人每小時完成的工作量不變列出關于的方程，求解即可；（2）設還需要生產天才能完成任務．根據(jù)前面4天完成的工作量＋后面天完成的工作量＝760列出關于的方程，求解即可．【詳解】解：（1）設當前參加生產的工人有x人，依題意得：，解得：，經檢驗，是原方程的解，且符合題意．答：當前參加生產的工人有30人．（2）每人每小時的數(shù)量為（萬劑）．設還需要生產y天才能完成任務，依題意得：，解得：，（天）答：該廠共需要39天才能完成任務．2．現(xiàn)有120臺大小兩種型號的挖掘機同時工作，大型挖掘機每小時可挖掘土方360立方米，小型挖掘機每小時可挖掘土方200立方米，20小時共挖掘土方704000立方米，求大小型號的挖掘機各多少臺？【答案】大型挖掘機70臺，小型挖掘機50臺【分析】設大型挖掘機x臺，則小型挖掘機(120－x)臺，根據(jù)“20小時共挖掘土方704000立方米”列出方程求解即可．【詳解】設大型挖掘機x臺，則小型挖掘機(120－x)臺．根據(jù)題意得：20［360x＋200(120－x)］＝704000解得x＝70，120－x＝50答：大型挖掘機70臺，小型挖掘機50臺．【題型四】利潤問題【典例分析】（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考一模）某文具店計劃購進、兩種筆記本，已知種筆記本的進價比種筆記本的進價每本便宜3元．現(xiàn)分別購進種筆記本150本，種筆記本300本，共計6300元．(1)求、兩種筆記本的進價；(2)文具店第二次又購進、兩種筆記本共100本，且投入的資金不超過1380元．在銷售過程中，、兩種筆記本的標價分別為20元/本、25元/本．兩種筆記本按標價各賣出本以后，該店進行促銷活動，剩余的種筆記本按標價的七折銷售，剩余的種筆記本按標價的八折銷售．若第二次購進的100本筆記本全部售出后的最大利潤不少于600元，請求出的最小值．【答案】(1)種筆記本每本12元，種筆記本每本15元(2)20【分析】（1）設種筆記本每本元，則種筆記本每本元，由題意得，，計算可得的值，進而可得的值；（2）設第二次購進種筆記本本，則購進種筆記本本，由題意得，，可得，設獲得的利潤為元，由題意得，，由一次函數(shù)的性質可知，當時，的值最大，最大值為，令，求解滿足要求的解即可．【詳解】（1）解：設種筆記本每本元，則種筆記本每本元，由題意得，，解得，，∴，∴種筆記本每本12元，種筆記本每本15元；（2）解：設第二次購進種筆記本本，則購進種筆記本本，由題意得，，解得，，∴，設獲得的利潤為元，由題意得，，，隨的增大而減小，當時，的值最大，最大值為，由題意得，解得，，為正整數(shù)，的最小值為20．【提分秘籍】基本規(guī)律標價＝成本(或進價)×(1＋利潤率)實際售價＝標價×打折率利潤＝售價－成本(或進價)＝成本×利潤率【變式演練】1．2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”寓意敦厚、健康、活潑、可愛，象征著冬奧會運動員強壯的身體、堅韌的意志和鼓舞人心的奧林匹克精神．為滿足市場需求，某超市購進一批吉祥物“冰墩墩”，進價為每個15元，第一天以每個25元的價格售出30個，為了讓更多的消費者擁有“冰墩墩”，從第二天起降價銷售，根據(jù)市場調查，單價每降低1元，可多售出3個．設銷售單價定為x元．(1)超市從第二天起日銷售量增加個，每個“冰墩墩”盈利元（用含x的代數(shù)式表示）；(2)針對這種“冰墩墩”的銷售情況，該商店要保證每天盈利273元，同時又要使顧客得到實惠，那么“冰墩墩”的銷售單價應定為多少元？【答案】(1)；(2)“冰墩墩”的銷售單價應定為22元【分析】（1）根據(jù)題目的條件：單價每降低1元，可多售出3個，填空即可；因為進價為每個15元，所以每件商品盈利元；（2）由利潤等于每件利潤乘以銷售數(shù)量，建立方程求出其解，再結合要使顧客得到實惠，即舍去大的值即可．【詳解】（1）解：當銷售單價定為x元時，日銷售量增加個，每個“冰墩墩”盈利元．故答案為：；（2）解：依題意得：．整理得：，解得：，，又∵該商店要保證每天盈利273元，同時又要使顧客得到實惠，∴，答：“冰墩墩”的銷售單價應定為22元．2．某商場“國慶”期間銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場采取了降價措施，假設在一定范圍內，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件．(1)如果襯衫的單價降了15元，求降價后商場銷售這批襯衫每天盈利多少元；(2)如果降價后商場銷售這批襯衫每天盈利1200元，那么襯衫的單價降了多少元？【答案】(1)1250元(2)20元【分析】（1）根據(jù)題意“每天可售出20件”和“假設在一定的范圍內，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件”，得到答案；（2）設襯衫的單價降了x元．根據(jù)題意等量關系：降價后的銷量×每件的利潤，根據(jù)等量關系列出方程即可．【詳解】（1）當單價降了15元時，盈利為(元)，答：這批襯衫每天盈利1250元．（2）設襯衫的單價降了x元．由題意得：，解得：，，要盡快減少庫存，，答：襯衫的單價降了20元．【題型五】數(shù)字問題【典例分析】一個兩位數(shù)的兩個數(shù)字之和為9，把這個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字互換得到一個新的兩位數(shù)，他與原兩位數(shù)的積為1458，求原兩位數(shù)．【答案】81或18．【詳解】試題分析：設個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為（9-x）．依據(jù)“把這個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字互換得到一個新的兩位數(shù)，他與原兩位數(shù)的積為1458”列出方程．試題解析：設個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字為（9-x）．則[10x+（9-x）][10（9x）+x]="1458"整理，得（x-8）（x-1）=0，解得x=8或x="1"答：這個兩位數(shù)是81或18．【提分秘籍】基本規(guī)律已知各數(shù)位上的數(shù)字，寫出兩位數(shù)，三位數(shù)等這類問題一般設間接未知數(shù)，例如：若一個兩位數(shù)的個位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個兩位數(shù)可以表示為10b+a．【變式演練】1．小亮在勻速行駛的汽車里，注意到公路里程碑上的數(shù)字是一個兩位數(shù)；1h后，看到里程碑上的兩位數(shù)與第一次看到的兩位數(shù)恰好互換了兩個數(shù)字的位置；再過1h，看到里程碑上的數(shù)是第一次看到的兩位數(shù)的兩個數(shù)字之間添加一個0的三位數(shù)．這3塊里程碑上的數(shù)各是多少？【答案】16，61，106．【分析】設小亮第一次看到的兩位數(shù)，十位數(shù)為x，個位數(shù)為y，則1h后，看到里程碑上的兩位數(shù)個位數(shù)為x，十位數(shù)為y，再過lh，看到里程碑上的數(shù)，百位數(shù)為x，十位數(shù)字為0，個位數(shù)為y，從而表示出這個三個里程碑上的數(shù)，再根據(jù)是勻速行駛，由每個小時的行程相等，列出方程，便可解答．【詳解】解：設小亮第一次看到的兩位數(shù)，十位數(shù)為x，個位數(shù)為y，則1h后，看到里程碑上的兩位數(shù)個位數(shù)為x，十位數(shù)為y，再過lh，看到里程碑上的數(shù)，百位數(shù)為x，十位數(shù)字為0，個位數(shù)為y，∴第一個里程碑上的數(shù)為（10x+y），第二個里程碑上的數(shù)為（10y+x），第三個里程碑上的數(shù)為（100x+y），∵小亮是勻速行駛，∴第1h行駛的路程=第2h行駛的路程，∴（10y+x）-（10x+y）=（100x+y）-（10y+x），化簡得，y-x=11x-y，∴y=6x，∵x，y都為整數(shù)，且1≤x≤9，1≤y≤9，∴x=1，y=6，∴這3塊里程碑上的數(shù)各是16，61，106．答：這3塊里程碑上的數(shù)各是16，61，106．2．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級校聯(lián)考階段練習）已知5個連續(xù)整數(shù)的和是m，它們的平方和是n，且，求這5個連續(xù)整數(shù)．【答案】這5個連續(xù)整數(shù)為，，，，；或10，11，12，13，14【分析】由5個連續(xù)整數(shù)的和是m，設五個連續(xù)整數(shù)分別為，，，，根據(jù)題意得出方程求得答案即可．【詳解】解：設五個連續(xù)整數(shù)分別為，，，，，由題意得整理得：，解得，，因此這5個連續(xù)整數(shù)為，，，，；或10，11，12，13，14．【題型六】方案問題【典例分析】為振興鄉(xiāng)村經濟，弘揚“四敢”精神，某村擬建，兩類展位供當?shù)氐霓r產品展覽和銷售．1個類展位的占地面積比1個類展位的占地面積多4平方米，10個類展位和5個類展位的占地面積共280平方米．建類展位每平方米的費用為120元，建類展位每平方米的費用為100元．(1)求每個，類展位占地面積各為多少平方米；(2)該村擬建，兩類展位共40個，且類展位的數(shù)量不大于類展位數(shù)量的2倍，求建造這40個展位的最小費用．【答案】(1)每個A類展位占地面積為20平方米，每個B類展位占地面積為16平方米(2)4280元【分析】（1）：設每個A類展位占地面積為平方米，每個B類展位占地面積為平方米，然后根據(jù)1個類展位的占地面積比1個類展位的占地面積多4平方米，10個類展位和5個類展位的占地面積共280平方米建立方程組求解即可；（2）設建A類展位m個，則建B類展位個，建造費用為W，列出W關于m的一次函數(shù)關系，再求出m的取值范圍，最后利用一次函數(shù)的性質求解即可．【詳解】（1）解：設每個A類展位占地面積為平方米，每個B類展位占地面積為平方米，由題意得，，解得，∴每個A類展位占地面積為20平方米，每個B類展位占地面積為16平方米；（2）解：設建A類展位m個，則建B類展位個，建造費用為W，由題意得：，∵類展位的數(shù)量不大于類展位數(shù)量的2倍，∴，∴，∵，∴W隨m增大而增大，∴當時，W最小，最小為，∴建造這40個展位的最小費用為4280元．【提分秘籍】基本規(guī)律選擇設計方案的一般步驟：運用方程解應用題的方法求解兩種方案值相等的情況。用特殊值試探法選擇方案，取小于（或大于）方程解的值，比較兩種方案的優(yōu)劣性后下結論?！咀兪窖菥殹?．在“三八國際婦女節(jié)”來臨之際，小王同學打算買一束百合和康乃馨組合的鮮花祝福媽媽．已知買1支百合和3支康乃馨共需花費17元，3支康乃馨的價格比2支百合的價格多2元．(1)求買一支康乃馨和一支百合各需多少元？(2)小王同學準備買康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支．設買這束鮮花所需費用為w元，康乃馨有x支，求w與x之間的函數(shù)關系式，并設計一種使費用最少的買花方案，寫出最少費用．【答案】(1)康乃馨4元，百合5元(2)康乃馨9支，百合2支，最少費用46元【分析】（1）設買一支康乃馨元，買一支百合元，根據(jù)題意建立二元一次方程組，解方程即可求解；（2）設買這束鮮花所需費用為w元，康乃馨有x支，則百合支，根據(jù)題意，，進而根據(jù)題意得，根據(jù)一次函數(shù)的性質即可求解．【詳解】（1）解：設買一支康乃馨元，買一支百合元，根據(jù)題意得，解得：答：康乃馨4元，百合5元；（2）解：設買這束鮮花所需費用為w元，康乃馨有x支，則百合支，根據(jù)題意，得，解得：，，∵，，∴當時，取得最小值，最小值為，∴康乃馨9支，百合2支，最少費用46元2．一家商店進行裝修，若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費用共3520元；若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可以完成，需付費用3480元．(1)甲、乙兩組工作一天，商店應各付多少元；(2)已知甲單獨完成需12天，乙單獨完成需24天，單獨請哪個組，商店所需費用少？(3)若裝修完后，商店每天可盈利200元，現(xiàn)有如下三種方式裝修：①甲單獨做；②乙單獨做；③甲乙合做，你認為如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）問的條件及結論）【答案】(1)甲組工作一天，商店應付300元，乙組工作一天，商店應付140元(2)單獨請乙組，商店所需費用少(3)安排甲乙合作施工更有利于商店【分析】（1）根據(jù)題意建立方程組并求解；（2）將單獨請甲乙組的費用計算出來，再進行比較，得出答案；（3）將三種方案損失費用計算出來進行比較，得出答案．【詳解】（1）設甲組工作一天，商店應付x元，乙組工作一天，商店應付y元，依題意得：，解得：．答：甲組工作一天，商店應付300元，乙組工作一天，商店應付140元．（2）300×12＝3600（元），140×24＝3360（元）．∵3600＞3360，∴單獨請乙組，商店所需費用少．（3）選擇①：（300+200）×12＝6000（元）；選擇②：（140+200）×24＝8160（元）；選擇③：（300+140+200）×8＝5120（元）．∵5120＜6000＜8160，∴安排甲乙合作施工更有利于商店．【題型七】平均變化率的問題【典例分析】2023年3月12日，大豐區(qū)飛達路初級中學開展“為校園增添一點綠色”為主題的植樹活動，組織七年級、八年級、九年級分別在12日、13日、14日進行植樹活動，七年級學生在12日種植了25棵樹苗，學生們在種植的過程中聽老師講解植樹綠化的意義，熱情高漲，每天的植樹增長率相同，九年級學生在14日種植了49棵樹苗．(1)求平均每天植樹的增長率？(2)求此次活動三個年級種植樹苗的總棵數(shù)？【答案】(1)(2)棵【分析】（1）設平均每天植樹的增長率為，利用九年級學生在14日植樹的棵數(shù)七年級學生在12日植樹的棵數(shù)平均每天植樹的增長率，可得出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論；（2）將三個年級植樹棵數(shù)相加，即可求出結論．【詳解】（1）解：設平均每天植樹的增長率為x，根據(jù)題意得：，解得：，(不符合題意，舍去)．答：平均每天植樹的增長率為；（2）解：根據(jù)題意得：(棵)．答：此次活動三個年級種植樹苗的總棵數(shù)為棵．【提分秘籍】基本規(guī)律列一元二次方程解決增長(降低)率問題時，要理清原來數(shù)、后來數(shù)、增長率或降低率，以及增長或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應在原數(shù)的基礎上增長或降低兩次。

①增長率問題：平均增長率公式為(a為原來數(shù)，x為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量)。

②降低率問題：平均降低率公式為(a為原來數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量)。

【變式演練】1．（2023·江蘇徐州·校考一模）“民以食為天，食以糧為先”，糧食安全事關國計民生．為了確保糧食安全，優(yōu)選品種，某農業(yè)科技公司對原有小麥進行改良種植研究，在保持種植面積不變的情況下，今年小麥平均畝產量在去年的基礎上增加了，每千克售價也在去年的基礎上上漲了，全部售出后總收入將增加．(1)求a的值；(2)如果明年的種植面積仍然不變，預計明年小麥平均畝產量將在今年的基礎上增加，每千克售價將在今年的基礎上上漲，求全部售出后明年的總收入將在今年的基礎上增加的百分數(shù)．【答案】(1)5；(2)【分析】（1）根據(jù)總收入=畝產量銷售單價，即可得出關于a的一元二次方程，然后解一元二次方程即可得出a的值，再取正值即可；（2）先求出明年的總收入增長的百分數(shù)，再減去1即可求解．【詳解】（1）解：依題意得：，整理得：，解得：，（不合題意，舍去）．答：a的值為5．（2）解：，答：明年的總收入增加的百分數(shù)為．2．物美商場于今年年初以每件25元的進價購進一批商品．當商品售價為40元時，一月份銷售256件．二、三月該商品十分暢銷．銷售量持續(xù)走高．在售價不變的基礎上，三月底的銷售量達到400件．設二、三這兩個月月平均增長率不變．(1)求二、三這兩個月的月平均增長率．(2)從四月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經調查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價1元，銷售量增加5件，當商品降價多少元時，商場獲利4250元？【答案】(1)二、三這兩個月的月平均增長率為(2)當商品降價5元時，商品獲利4250元．【分析】（1）由題意可得，一月份的銷售量為：256件；設二、三這兩個月的月平均增長率為x，則二月份的銷售量為：；三月份的銷售量為：，又知三月份的銷售量為：400件，由此等量關系列出方程求出x的值，即求出了平均增長率；（2）設當商品降價m元時，商品獲利4250元，利用銷量×每件商品的利潤，列出方程，解方程即可．【詳解】（1）解：設二、三這兩個月的月平均增長率為x，根據(jù)題意可得：，解得：，(不合題意舍去)，答：二、三這兩個月的月平均增長率為；（2）解：設當商品降價m元時，商品獲利4250元，根據(jù)題意可得：，解得：，(不合題意舍去)，答：當商品降價5元時，商品獲利4250元．1．（2023·江蘇無錫·江蘇省錫山高級中學實驗學校校考一模）某商店決定購A，B兩種“冰墩墩”紀念品進行銷售．已知每件A種紀念品比每件B種紀念品的進價高30元．用1000元購進A種紀念品的數(shù)量和用400元購進B種紀念品的數(shù)量相同．(1)求A，B兩種紀念品每件的進價分別是多少元？(2)該商場通過市場調查，整理出A型紀念品的售價與數(shù)量的關系如下表，售價x（元/件）銷售量（件）100①當x為何值時，售出A紀念品所獲利潤最大，最大利潤為多少？②該商場購進A，B型紀念品共200件，其中A型紀念品的件數(shù)小于B型紀念品的件數(shù)，但不小于50件．若B型紀念品的售價為每件元時，商場將A，B型紀念品均全部售出后獲得的最大利潤為2800元，直接寫出m的值．【答案】(1)，兩種紀念品每件的進價分別是元和元(2)①當時，售出紀念品所獲利潤最大，最大利潤為元；②32【分析】（1）設紀念品每件的進價是元，則紀念品每件的進價是元，根據(jù)用1000元購進種紀念品的數(shù)量和用400元購進種紀念品的數(shù)量相同，列出分式方程，進行求解即可；（2）①設利潤為，根據(jù)圖表，利用總利潤等于單件利潤乘以銷售數(shù)量，列出函數(shù)關系式，根據(jù)函數(shù)的性質，求出最值即可；②根據(jù)題意可得，此時該商場購進型紀念品為件，再由A型紀念品的件數(shù)不小于50件，可得，設總利潤為，求出函數(shù)關系式，根據(jù)二次函數(shù)函數(shù)的性質，即可求出的值．【詳解】（1）解：設紀念品每件的進價是元，則紀念品每件的進價是元，由題意，得：，解得：，經檢驗：是原方程的解；當時：；∴，兩種紀念品每件的進價分別是元和元；（2）解：①設利潤為，由表格，得：當時，，∵，∴隨著的增大而增大，∴當售價為元時，利潤最大為：元；當，，∵，∴當時，利潤最大為元；綜上：當時，售出紀念品所獲利潤最大，最大利潤為元．②∵商場購進A，B型紀念品共200件，其中A型紀念品的件數(shù)小于B型紀念品的件數(shù)，∴A型紀念品的件數(shù)小于100件，∴，此時該商場購進型紀念品為件，∴購進型紀念品為件，∵A型紀念品的件數(shù)不小于50件，∴，∴，設總利潤為y元，根據(jù)題意得：，∴，∴當時，y隨x的增大而增大，∵，∴，∴當時，y有最大值，∵將A，B型紀念品均全部售出后獲得的最大利潤為2800元，∴，解得：．2．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）為創(chuàng)建和諧文明的校園環(huán)境，某初中準備購買、兩種分類垃圾桶，通過市場調研得知：種垃圾桶每組的單價比種垃圾桶每組的單價少元，且用元購買種垃圾桶的組數(shù)量與用元購買種垃圾桶的組數(shù)量相同．(1)求、兩種垃圾桶每組的單價分別是多少元；(2)該學校計劃用不超過元的資金購買、兩種垃圾桶共組，則最多可以購買種垃圾桶多少組？【答案】(1)種垃圾桶每組的單價為元，種垃圾桶每組的單價為元(2)最多可以購買種垃圾桶組【分析】（1）設種垃圾桶每組的單價為元，則種垃圾桶每組的單價為元，依題意列出分式方程，解方程并檢驗即可求解；（2）設購買種垃圾桶組，則購買種垃圾桶組，依題意列出一元一次不等式，解不等式，根據(jù)題意取最大整數(shù)解即可求解．【詳解】（1）解：設種垃圾桶每組的單價為元，則種垃圾桶每組的單價為元，依題意得：，解得：，經檢驗，是所列方程的解，且符合題意，．答：種垃圾桶每組的單價為元，種垃圾桶每組的單價為元．（2）解：設購買種垃圾桶組，則購買種垃圾桶組，依題意得：，解得：，又為正整數(shù)，的最大值為．答：最多可以購買種垃圾桶組．3．（2023·江蘇南京·校聯(lián)考一模）某商店銷售甲、乙兩種商品，甲的成本為5元，乙的成本為7元．甲現(xiàn)在的售價為10元，每天賣出30個；售價每提高1元，每天少賣出2個．乙現(xiàn)在的售價為14元，每天賣出6個；售價每降低1元，每天多賣出4個．假定甲、乙兩種商品每天賣出的數(shù)量和不變（和為36袋），且售價均為整數(shù)．(1)當甲的售價提高x元，乙的售價為元；（用含x的代數(shù)式表示）(2)當甲的售價提高多少元時，銷售這兩種商品當天的總利潤是268元？【答案】(1)(2)甲零食的售價提高4元時，銷售這兩種零食當天的總利潤是268元【分析】（1）先計算甲的售價提高后乙的銷售數(shù)量，再計算乙的售價；（2）設甲零食的售價提高x元時，將兩種商品的利潤相加，可得方程，解之即可．【詳解】（1）解：當甲的售價提高x元，乙的售價為：；（2）設甲零食的售價提高x元時，銷售這兩種零食當天的總利潤是268元，由題意得，，

解得：，（不符合題意，舍去）．

答：甲零食的售價提高4元時，銷售這兩種零食當天的總利潤是268元．4．（2023·江蘇鹽城·校聯(lián)考模擬）某商店分別花20000元和30000元先后兩次以相同的進價購進某種商品，且第二次的數(shù)量比第一次多500千克．(1)該商品的進價是多少？(2)已知該商品每天的銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的函數(shù)關系式為：，若想銷售該商品每天獲利2000元，該商店需將商品的售價定為多少？【答案】(1)20元(2)30元或40元【分析】（1）設該商品的進價是m元，利用總價=單價×數(shù)量，結合兩次購進數(shù)量之間的關系，即可得出關于m的一元一次方程，解之即可得出結論；（2）利用銷售該商品每天獲得的利潤=每千克的利潤×每天的銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，解之即可得出結論．【詳解】（1）設該商品的進價是m元，依題意得：，解得：．答：該商品的進價是20元；（2）依題意得：，整理得：，解得：．答：該商店需將商品的售價定為30元或40元．5．（2023·江蘇南通·南通田家炳中學?？寄M）為迎接校園歌手大賽的到來，學校向某商家訂購了甲、乙兩種熒光棒，其中購買甲種熒光棒花費5000元，購買乙種熒光棒花費6000元．已知乙種熒光棒的銷售單價比甲種熒光棒貴10元，乙種熒光棒的購買數(shù)量比甲種熒光棒的購買數(shù)量少20%．(1)求甲、乙兩種熒光棒的銷售單價；(2)由于需求量較大，學校第二次訂購這兩種熒光棒共110個，且本次訂購甲種熒光棒的個數(shù)不少于乙種熒光棒個數(shù)的2倍．為和學校建立長久合作關系，該商家決定：甲種熒光棒售價不變，乙種熒光棒打8折出售．已知兩種熒光棒的進價均為15元，該商家如何進貨能使本次熒光棒銷售利潤最大？利潤最大為多少元？【答案】(1)甲銷售單價為20元，乙銷售單價為30元；(2)甲訂購74個，乙訂購36個，最大利潤為694元【分析】（1）設甲種熒光棒的銷售單價為元，乙種熒光棒的單價為元，利用乙比甲的數(shù)量少列方程求解即可；（2）設乙種的購買數(shù)量為，甲種數(shù)量為個。利用甲不少于乙的2倍列不等式求出的取值范圍，再用含有的代數(shù)式表示總利潤關于數(shù)量的解析式，根據(jù)一次函數(shù)的性質判斷最大值．【詳解】（1）解：設甲種熒光棒的銷售單價為元，乙種熒光棒的單價為元，由題意得：解得：經檢驗：是原方程的根，∴乙種單價為：（元）答：甲種熒光棒的單價為20元，乙種熒光棒的單價為30元．（2）解：設乙種熒光棒的購買數(shù)量為，甲種數(shù)量為個，由題意得：解得：，且為正整數(shù)，設總利潤為∵∴隨著的增大而增大，且為正整數(shù)，∴當時，答：當甲種熒光棒訂購74,乙種訂購36個，總利潤最大為694元6．（2023·江蘇宿遷·一模）某社區(qū)在防治新型冠狀病毒期間，需要購進一批防護服，現(xiàn)有甲、乙兩種不同型號的防護服，已知每件甲型防護服的價格比每件乙型防護服的價格便宜30元，用4200元購買甲型防護服的件數(shù)與用5250元購買乙型防護服的件數(shù)剛好相等．(1)求甲、乙兩種型號的防護服每件各是多少元？(2)如果該社區(qū)計劃購進的防護服共需80件，且要求投入的經費不超過11400元，則最多可購買多少件乙型防護服？【答案】(1)每件甲型防護服為120元，每件乙型防護服為150元(2)60件【分析】（1）設每件乙型防護服為x元，則每件型防護服為元，根據(jù)“數(shù)量=總價÷單價”結合用4200元購買甲型防護服的件數(shù)恰好與用5250元購買乙型防護服的件數(shù)相同，即可得出關于x的分式方程求解即可；（2）設購買y件乙型防護服，則購買件甲型防護服，根據(jù)“總價=單價×購買數(shù)量”結合投入的經費不超過12000元列出關于y的一元一次不等式，解之即可得出y的取值范圍，最后取其內的最大正整數(shù)即可．【詳解】（1）解：設每件乙型防護服為x元，則每件甲型防護服為元，根據(jù)題意得：，解得：，經檢驗，x＝150原方程的解，∴．答：每件甲型防護服為120元，每件乙型防護服為150元．（2）解：設購買y件乙型防護服，則購買件甲型防護服，根據(jù)題意得：，解得：．答：最多可購買60件乙種商品．7．（2019·江蘇泰州·校聯(lián)考一模）商場某種商品平均每天可銷售件，每件盈利元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施．經調查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價元，商場平均每天可多售出件．(1)若某天該商品每件降價元，當天可獲利多少元？(2)設每件商品降價元，則商場日銷售量增加______件，每件商品盈利______元（用含的代數(shù)式表示）；(3)要使商場日盈利達到元，則每件商品應降件多少元？【答案】(1)元(2)；(3)元【分析】（1）利用當天銷售該商品獲得的利潤每件的銷售利潤日銷售量，即可求出當天銷售該商品獲得的利潤；（2）利用日銷售量增加的數(shù)量每件商品下降的價格，可用含的代數(shù)式表示出日銷售量增加的數(shù)量；利用每件商品的銷售利潤每件商品下降的價格，可用含的代數(shù)式表示出每件商品的銷售利潤；（3）利用商場銷售該商品的日盈利每件商品的銷售利潤日銷售量，即可得出關于的一元二次方程，解之即可得出的值，再結合為了盡快減少庫存，即可得出每件商品應降價元．【詳解】（1）解：（元）．答：若某天該商品每件降價元，當天可獲利元．（2）依題意得：商場日銷售量增加件，每件商品盈利元．（3）依題意得：，整理得：，解得：，，又為了盡快減少庫存，．答：每件商品應降價元．8．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）2022年北京冬奧會吉樣物冰墩墩和冬殘奧會吉祥物雪容融深受大家的喜歡．某商店購進冰墩墩、雪容融兩種商品，已知每件冰墩墩的進價比每件雪容融的進價貴10元，用350元購進冰墩墩的件數(shù)恰好與用300元購進雪容融的件數(shù)相同．求冰墩墩、雪容融每件的進價分別是多少元？【答案】冰墩墩每件的進價是70元，雪容融每件的進價是60元【分析】設冰墩墩每件的進價是元，則雪容融每件的進價是元，可得：，解方程并檢驗可得冰墩墩每件的進價是70元，則雪容融每件的進價是60元．【詳解】解：設冰墩墩每件的進價是元，則雪容融每件的進價是元，可得：，解得，經檢驗是方程的根，也符合題意，，所以冰墩墩每件的進價是70元，則雪容融每件的進價是60元．9．（2022·江蘇鹽城·?？既＃?022年北京冬奧會吉祥物冰墩墩和雪容融在一開售時，就深受大家的喜歡．某供應商今年2月第一周購進一批冰墩墩和雪容融，已知一個冰墩墩的進價比一個雪容融的進價多40元，用480元購買冰墩墩和用320元購買雪容融的數(shù)量相同．(1)今年2月第一周每個冰墩墩和雪容融的進價分別是多少元？(2)今年2月第一周，供應商將雪容融按每個100元的價格售出140個，將冰墩墩按每個150元的價格售出120個．第二周供應商決定調整價格，每個雪容融的售價在第一周的基礎上下降了m元，每個冰墩墩的價格不變，由于冬奧賽事的火熱進行，第二周雪容融的銷量比第一周增加了m個，而冰墩墩的銷量比第一周增加了個，最終商家獲利5160元，求m．【答案】(1)每個冰墩墩的進價是120元，則每個雪容融的進價是80元(2)10【分析】（1）設每個冰墩墩的進價是x元，則每個雪容融的進價是元，根據(jù)“用480元購買冰墩墩和用320元購買雪容融的數(shù)量相同”，列出方程，即可求解；（2）根據(jù)題意列出，求解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：設每個冰墩墩的進價是x元，則每個雪容融的進價是元，根據(jù)題意得：，解得：，經檢驗：是原方程的解，且符合題意；此時，答：每個冰墩墩的進價是120元，則每個雪容融的進價是80元；（2）解：根據(jù)題意得：，，，解得：或（舍去），答：．10．（2023·江蘇連云港·?？家荒＃秾O子算經》是我國古代經典教學名著．其中一個問題：今有三人共車，