相似三角形習(xí)題

第6講相似三角形2

、相似三角形

1.相似三角形的判定和性質(zhì)。

類(lèi)別內(nèi)容

相似三角形

對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形，對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比

定義

(1)平行與三角形一邊的直線(xiàn)和其他兩邊或兩邊延長(zhǎng)線(xiàn)相交，所構(gòu)成的三角

形與原三角形相似。

相似三角形(2)兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；

的判定定理(3)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似；

(4)三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似；

(9)任意兩邊成比例的兩直角三角形相似

(1)相似三角形對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比等于相似比；

相似三角形

(2)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；

的性質(zhì)

(3)相似三角形面積的比等于相似比的平方。

2.相似三角形與全等三角形的比較。

性質(zhì)

名稱(chēng)圖形

對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)邊

A4ZA=ZA

ABBCAC,

__，__，一—__，__，—__，__，-—A>/

相似三角形NB=NBABBCAC

（左為任何正實(shí)數(shù)）

ZC=ZC

AABCsAABC

AB=AB

AA'ZA=ZA

」二BC=BC

全等三角形ZB=ZB

AC=AC

NC=NCABBCAC1

即nn=1

AABC^AABCABBCAC

ARAC

【例1】如圖5-34,已知E是四邊形ABCD的對(duì)角殘BD上一點(diǎn)，且白上，Z1=Z2.

AEAD

求證：ZABC=ZAED

【例2】如圖，RtAABC中，NA=90o,AD_LBC于D,BE_LAB于E.

AB'_BE

求證:

AC2-AE

【例3】已知：如圖5—36,D在A(yíng)ABC的邊AB上，且DE〃BC交AC于E,F在A(yíng)D上，且

AD1=AFAB,求證：AAEFsaACD.

圖5-36

【例4】點(diǎn)P為4ABC的AB邊上一點(diǎn)（AB>AC），下列條件中不一定能保證△ACP^AABC

的是（）

A.NACP=/BB.ZAPC=ZACB

AC_APnPCAC

D.------------

,ABACBCAB

圖5-38

【例5】如圖5-41,aABC被DE、FG分成面積相等的三部分，即圖中，=§2=63,且DE〃FG

//BC,求DE：FG：BC.

【例6】已知：如圖5-43（1）,等腰AABC中，AB=AC,BD_LAC.求證：BC2=2CACD.

圖5-43

[例7]如圖5-42,在正三角形ABC的邊AB上取一點(diǎn)D,把小ABC進(jìn)行折疊，使C點(diǎn)落在D點(diǎn)上,

折痕是EFo求證：ADBD=AEBF.

【例8】已知^ABC的邊AB=25AC=2,BC上的高AD=5

⑴求BC的長(zhǎng).

⑵如果有一個(gè)正方形一邊在A(yíng)B上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別在A(yíng)C、BC上，求這個(gè)正方形的面積。

[例9]如圖，^AABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，且AD=AC,DE±BC,DE與AB相交于點(diǎn)E,

EC與AD相交于點(diǎn)F?

(1)求證：AABC^AFCD

(2)若S.CD=5，BC=10,求DE的長(zhǎng)。

二、練習(xí)

1.如圖5-47,AABC^AACD,HAD=5,BD=3,貝!JZkACD與4ABC的相似比為

2.如果兩個(gè)相似三角形的面積比為4:25,那么它們的相似比為，周長(zhǎng)比為

如圖中，則

3.5—50,4ABCDE#BC,SMD￡=S0MEC,77;=_=.AADE

ACDH

的周長(zhǎng)與AABC的周長(zhǎng)之比為.

4.如圖5—51,在A(yíng)ABC中，DE〃BC,DE=2,BC=5,BD=3.6,貝！)

AD:AB=.CE:AE=,AD=,(AD+AE):(AB+AC)=.

5.如圖5—52,在A(yíng)ABC中，DE〃BC,BE與CD交于O,AO交DE、BC于N、M,若DN:MC=1:4

貝(INE:BM=,AE:EC=.

6.如圖5-55,點(diǎn)D在A(yíng)B上，下列條件中，不能判定4ABC與4ACD相似的是()

A.Z1=ZBB.Z2=ZACBC.AC2=ADABD.DB2=ADAD

7.如圖5-57,將AABC的高AD四等分,過(guò)每一個(gè)分點(diǎn)作底邊的平行線(xiàn)，這樣把三角形面積分成

1'?2''S4,貝(IS/S2：S3：4)

A.1：2：3：4B.2:3：4：5C.1：3：5：7D.3：5：7：9

圖559

如圖5-59,AD、CE是aABC的兩條高，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，且AF=AD,過(guò)F點(diǎn)作FG〃BC交

AC于G.求證：FG=CE.

9.如圖5—68,AB=8,AC=6,點(diǎn)D、E分別在A(yíng)C、AB±,且AD=2,當(dāng)AE=時(shí)，Z\ADE與原

三角形相似.

圖56