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文檔簡介
第6講相似三角形2
、相似三角形
1.相似三角形的判定和性質。
類別內容
相似三角形
對應角相等,對應邊成比例的三角形叫做相似三角形,對應邊的比叫做相似比
定義
(1)平行與三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長線相交,所構成的三角
形與原三角形相似。
相似三角形(2)兩角對應相等,兩三角形相似;
的判定定理(3)兩邊對應成比例且夾角相等,兩三角形相似;
(4)三邊對應成比例,兩三角形相似;
(9)任意兩邊成比例的兩直角三角形相似
(1)相似三角形對應高、對應中線、對應角平分線的比等于相似比;
相似三角形
(2)相似三角形周長的比等于相似比;
的性質
(3)相似三角形面積的比等于相似比的平方。
2.相似三角形與全等三角形的比較。
性質
名稱圖形
對應角對應邊
A4ZA=ZA
ABBCAC,
__,__,一—__,__,—__,__,-—A>/
相似三角形NB=NBABBCAC
(左為任何正實數)
ZC=ZC
AABCsAABC
AB=AB
AA'ZA=ZA
」二BC=BC
全等三角形ZB=ZB
AC=AC
NC=NCABBCAC1
即nn=1
AABC^AABCABBCAC
ARAC
【例1】如圖5-34,已知E是四邊形ABCD的對角殘BD上一點,且白上,Z1=Z2.
AEAD
求證:ZABC=ZAED
【例2】如圖,RtAABC中,NA=90o,AD_LBC于D,BE_LAB于E.
AB'_BE
求證:
AC2-AE
【例3】已知:如圖5—36,D在AABC的邊AB上,且DE〃BC交AC于E,F在AD上,且
AD1=AFAB,求證:AAEFsaACD.
圖5-36
【例4】點P為4ABC的AB邊上一點(AB>AC),下列條件中不一定能保證△ACP^AABC
的是()
A.NACP=/BB.ZAPC=ZACB
AC_APnPCAC
D.------------
,ABACBCAB
圖5-38
【例5】如圖5-41,aABC被DE、FG分成面積相等的三部分,即圖中,=§2=63,且DE〃FG
//BC,求DE:FG:BC.
【例6】已知:如圖5-43(1),等腰AABC中,AB=AC,BD_LAC.求證:BC2=2CACD.
圖5-43
[例7]如圖5-42,在正三角形ABC的邊AB上取一點D,把小ABC進行折疊,使C點落在D點上,
折痕是EFo求證:ADBD=AEBF.
【例8】已知^ABC的邊AB=25AC=2,BC上的高AD=5
⑴求BC的長.
⑵如果有一個正方形一邊在AB上,另外兩個頂點分別在AC、BC上,求這個正方形的面積。
[例9]如圖,^AABC中,D是BC邊上的中點,且AD=AC,DE±BC,DE與AB相交于點E,
EC與AD相交于點F?
(1)求證:AABC^AFCD
(2)若S.CD=5,BC=10,求DE的長。
二、練習
1.如圖5-47,AABC^AACD,HAD=5,BD=3,貝!JZkACD與4ABC的相似比為
2.如果兩個相似三角形的面積比為4:25,那么它們的相似比為,周長比為
如圖中,則
3.5—50,4ABCDE#BC,SMD£=S0MEC,77;=_=.AADE
ACDH
的周長與AABC的周長之比為.
4.如圖5—51,在AABC中,DE〃BC,DE=2,BC=5,BD=3.6,貝!)
AD:AB=.CE:AE=,AD=,(AD+AE):(AB+AC)=.
5.如圖5—52,在AABC中,DE〃BC,BE與CD交于O,AO交DE、BC于N、M,若DN:MC=1:4
貝(INE:BM=,AE:EC=.
6.如圖5-55,點D在AB上,下列條件中,不能判定4ABC與4ACD相似的是()
A.Z1=ZBB.Z2=ZACBC.AC2=ADABD.DB2=ADAD
7.如圖5-57,將AABC的高AD四等分,過每一個分點作底邊的平行線,這樣把三角形面積分成
1'?2''S4,貝(IS/S2:S3:4)
A.1:2:3:4B.2:3:4:5C.1:3:5:7D.3:5:7:9
圖559
如圖5-59,AD、CE是aABC的兩條高,F是AB上一點,且AF=AD,過F點作FG〃BC交
AC于G.求證:FG=CE.
9.如圖5—68,AB=8,AC=6,點D、E分別在AC、AB±,且AD=2,當AE=時,Z\ADE與原
三角形相似.
圖56
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