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文檔簡介

第6講相似三角形2

、相似三角形

1.相似三角形的判定和性質。

類別內容

相似三角形

對應角相等,對應邊成比例的三角形叫做相似三角形,對應邊的比叫做相似比

定義

(1)平行與三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長線相交,所構成的三角

形與原三角形相似。

相似三角形(2)兩角對應相等,兩三角形相似;

的判定定理(3)兩邊對應成比例且夾角相等,兩三角形相似;

(4)三邊對應成比例,兩三角形相似;

(9)任意兩邊成比例的兩直角三角形相似

(1)相似三角形對應高、對應中線、對應角平分線的比等于相似比;

相似三角形

(2)相似三角形周長的比等于相似比;

的性質

(3)相似三角形面積的比等于相似比的平方。

2.相似三角形與全等三角形的比較。

性質

名稱圖形

對應角對應邊

A4ZA=ZA

ABBCAC,

__,__,一—__,__,—__,__,-—A>/

相似三角形NB=NBABBCAC

(左為任何正實數)

ZC=ZC

AABCsAABC

AB=AB

AA'ZA=ZA

」二BC=BC

全等三角形ZB=ZB

AC=AC

NC=NCABBCAC1

即nn=1

AABC^AABCABBCAC

ARAC

【例1】如圖5-34,已知E是四邊形ABCD的對角殘BD上一點,且白上,Z1=Z2.

AEAD

求證:ZABC=ZAED

【例2】如圖,RtAABC中,NA=90o,AD_LBC于D,BE_LAB于E.

AB'_BE

求證:

AC2-AE

【例3】已知:如圖5—36,D在AABC的邊AB上,且DE〃BC交AC于E,F在AD上,且

AD1=AFAB,求證:AAEFsaACD.

圖5-36

【例4】點P為4ABC的AB邊上一點(AB>AC),下列條件中不一定能保證△ACP^AABC

的是()

A.NACP=/BB.ZAPC=ZACB

AC_APnPCAC

D.------------

,ABACBCAB

圖5-38

【例5】如圖5-41,aABC被DE、FG分成面積相等的三部分,即圖中,=§2=63,且DE〃FG

//BC,求DE:FG:BC.

【例6】已知:如圖5-43(1),等腰AABC中,AB=AC,BD_LAC.求證:BC2=2CACD.

圖5-43

[例7]如圖5-42,在正三角形ABC的邊AB上取一點D,把小ABC進行折疊,使C點落在D點上,

折痕是EFo求證:ADBD=AEBF.

【例8】已知^ABC的邊AB=25AC=2,BC上的高AD=5

⑴求BC的長.

⑵如果有一個正方形一邊在AB上,另外兩個頂點分別在AC、BC上,求這個正方形的面積。

[例9]如圖,^AABC中,D是BC邊上的中點,且AD=AC,DE±BC,DE與AB相交于點E,

EC與AD相交于點F?

(1)求證:AABC^AFCD

(2)若S.CD=5,BC=10,求DE的長。

二、練習

1.如圖5-47,AABC^AACD,HAD=5,BD=3,貝!JZkACD與4ABC的相似比為

2.如果兩個相似三角形的面積比為4:25,那么它們的相似比為,周長比為

如圖中,則

3.5—50,4ABCDE#BC,SMD£=S0MEC,77;=_=.AADE

ACDH

的周長與AABC的周長之比為.

4.如圖5—51,在AABC中,DE〃BC,DE=2,BC=5,BD=3.6,貝!)

AD:AB=.CE:AE=,AD=,(AD+AE):(AB+AC)=.

5.如圖5—52,在AABC中,DE〃BC,BE與CD交于O,AO交DE、BC于N、M,若DN:MC=1:4

貝(INE:BM=,AE:EC=.

6.如圖5-55,點D在AB上,下列條件中,不能判定4ABC與4ACD相似的是()

A.Z1=ZBB.Z2=ZACBC.AC2=ADABD.DB2=ADAD

7.如圖5-57,將AABC的高AD四等分,過每一個分點作底邊的平行線,這樣把三角形面積分成

1'?2''S4,貝(IS/S2:S3:4)

A.1:2:3:4B.2:3:4:5C.1:3:5:7D.3:5:7:9

圖559

如圖5-59,AD、CE是aABC的兩條高,F是AB上一點,且AF=AD,過F點作FG〃BC交

AC于G.求證:FG=CE.

9.如圖5—68,AB=8,AC=6,點D、E分別在AC、AB±,且AD=2,當AE=時,Z\ADE與原

三角形相似.

圖56

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