浙江專用2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題六數(shù)列6.3等比數(shù)列試題含解析

PAGEPAGE1§6.3等比數(shù)列基礎(chǔ)篇固本夯基【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn)一等比數(shù)列的有關(guān)概念及運(yùn)算1.Sn是正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a3=18,S3=26,則a1=()A.2B.3C.1D.6答案A2.在數(shù)列{an}中,滿意a1=2,an2=an-1·an+1(n≥2,n∈N*),Sn為{an}的前n項(xiàng)和,若a6=64,則SA.126B.256C.255D.254答案D3.已知{an}是等比數(shù)列,若a1=1,a6=8a3,數(shù)列1an的前n項(xiàng)和為Tn,則TA.3116B.31C.15答案A4.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿意log2an+2-log2an=2,且a3=8,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=.

答案2n+1-25.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.(1)設(shè)bn=an+1-2an,證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解析(1)證明:∵a1=1,Sn+1=4an+2,∴a1+a2=4a1+2,a2=3a1+2,∴b1=a2-2a1=3,當(dāng)n≥2時(shí),Sn=4an-1+2,∴Sn+1-Sn=4an-4an-1,∴an+1=4an-4an-1,∴an+1-2an=2(an-2an-1).又∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1,n≥2,∴{bn}是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列.(2)由(1)知:bn=an+1-2an=3·2n-1,∴an+12n+1∴數(shù)列an2n是首項(xiàng)為1∴an2n=12+(n-1)×34=34n-6.已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且2Sn=3an-2(n∈N*).(1)求an和Sn;(2)若bn=log3(Sn+1),求數(shù)列{b2n}的前n項(xiàng)和Tn.解析(1)∵2Sn=3an-2,∴當(dāng)n=1時(shí),2S1=3a1-2,解得a1=2;當(dāng)n≥2時(shí),2Sn-1=3an-1-2,∴2Sn-2Sn-1=3an-3an-1,∴2an=3an-3an-1,∴an=3an-1,∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公比為3的等比數(shù)列,∴an=2·3n-1,Sn=2(2)由(1)知Sn=3n-1,∴bn=log3(Sn+1)=log33n=n,∴b2n=2n,∴Tn=2+4+6+…+2n=n(2+2n7.已知數(shù)列{an}滿意a1=1,an+1=2an+λ(λ為常數(shù)).(1)摸索究數(shù)列{an+λ}是不是等比數(shù)列,并求an;(2)當(dāng)λ=1時(shí),求數(shù)列{n(an+λ)}的前n項(xiàng)和Tn.解析(1)因?yàn)閍n+1=2an+λ,所以an+1+λ=2(an+λ).又a1=1,所以當(dāng)λ=-1時(shí),a1+λ=0,數(shù)列{an+λ}不是等比數(shù)列,此時(shí)an+λ=an-1=0,即an=1;當(dāng)λ≠-1時(shí),a1+λ≠0,所以an+λ≠0,所以數(shù)列{an+λ}是以1+λ為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,此時(shí)an+λ=(1+λ)2n-1,即an=(1+λ)2n-1-λ.(2)當(dāng)λ=1時(shí),由(1)知an=2n-1,所以n(an+1)=n×2n,Tn=2+2×22+3×23+…+n×2n①,2Tn=22+2×23+3×24+…+n×2n+1②,①-②得:-Tn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=2(1-2n)1-2-n×2n+1=2n+1考點(diǎn)二等比數(shù)列的性質(zhì)8.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且a1a13+2a72=4π,則tan(a2aA.3B.-3C.±3D.-3答案A9.在等比數(shù)列{an}中,a2,a16是方程x2+6x+2=0的根,則a2A.2B.-2C.2D.-2或2答案D10.已知遞增的等比數(shù)列{an}的公比為q,其前n項(xiàng)和Sn<0,則()A.a1<0,0<q<1B.a1<0,q>1C.a1>0,0<q<1D.a1>0,q>1答案A綜合篇知能轉(zhuǎn)換【綜合集訓(xùn)】考法一等比數(shù)列基本量運(yùn)算的解題技巧1.(2024湖北荊州一模,9)已知數(shù)列{an}是公差d不為0的等差數(shù)列,且a1,a3,a7為等比數(shù)列{bn}的連續(xù)三項(xiàng),則b3A.12B.4C.2D.答案A2.(2024湖北荊州3月聯(lián)考,4)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且2a1,2,2aA.15B.212答案C3.(2024河南開(kāi)封一模,5)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且9S3=S6,a2=1,則a1=()A.12B.22C.答案A4.(2024陜西延安黃陵中學(xué)(重點(diǎn)班)第一次大檢測(cè),10)已知公比不為1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿意a2,2a5,3a8成等差數(shù)列,則3SA.134B.1312C.9答案C考法二等比數(shù)列的判定與證明5.(2024山東試驗(yàn)中學(xué)診斷測(cè)試,7)中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題:今有牛、馬、羊食人苗,苗主責(zé)之粟五斗,羊主曰:“我羊食半馬.”馬主曰:“我馬食半牛.”今欲衰償之,問(wèn)各出幾何?此問(wèn)題的譯文是:今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗,禾苗主子要求賠償5斗粟.羊主子說(shuō):“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主子說(shuō):“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半.”準(zhǔn)備按此比例償還,他們各應(yīng)償還多少?已知牛、馬、羊的主子應(yīng)償還a升,b升,c升,1斗為10升,則下列推斷正確的是()A.a,b,c依次成公比為2的等比數(shù)列,且a=50B.a,b,c依次成公比為2的等比數(shù)列,且c=50C.a,b,c依次成公比為12的等比數(shù)列,且a=D.a,b,c依次成公比為12的等比數(shù)列,且c=答案D6.(2024河南濮陽(yáng)重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考,17)設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列.(1)推導(dǎo){an}的前n項(xiàng)和公式;(2)設(shè)q≠1,證明數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列.解析(1)易知q≠0.當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1.當(dāng)q≠1時(shí),Sn=a1+a2+…+an,qSn=a1q+a2q+…+anq=a2+a3+…+an+anq,∴(1-q)Sn=a1-anq,∴Sn=a1-a綜上,Sn=n(2)證明:假設(shè)q≠1時(shí),數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列.則(a2+1)2=(a1+1)(a3+1),即(a1q+1)2=(a1+1)(a1q2+1),化為a1(q-1)2=0,易知a1≠0,解得q=1,與q≠1沖突,因此假設(shè)不成立,故原結(jié)論成立,即q≠1時(shí),數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列.【五年高考】考點(diǎn)一等比數(shù)列的有關(guān)概念及運(yùn)算1.(2024課標(biāo)Ⅲ,5,5分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為15,且a5=3a3+4a1,則a3=()A.16B.8C.4D.2答案C2.(2024課標(biāo)Ⅱ,3,5分)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈()A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞答案B3.(2024北京,4,5分)“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例,為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份,依次得到十三個(gè)單音,從其次個(gè)單音起,每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于122A.32fB.322fC.12答案D4.(2024課標(biāo)Ⅰ,14,5分)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1=13,a42=a6,則S5答案1215.(2024北京,10,5分)若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿意a1=b1=-1,a4=b4=8,則a2b2答案16.(2024江蘇,9,5分)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn.已知S3=74,S6=634,則a8=答案327.(2024湖南,14,5分)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,則an=.

答案3n-18.(2024課標(biāo)Ⅲ,17,12分)等比數(shù)列{an}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)記Sn為{an}的前n項(xiàng)和.若Sm=63,求m.解析本題考查等比數(shù)列的概念及其運(yùn)算.(1)設(shè){an}的公比為q,由題設(shè)得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,則Sn=1-(-由Sm=63得(-2)m=-188.此方程沒(méi)有正整數(shù)解.若an=2n-1,則Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.綜上,m=6.解后反思等比數(shù)列基本量運(yùn)算問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)求通項(xiàng)公式.求出等比數(shù)列的兩個(gè)基本量a1和q后,通項(xiàng)公式便可求出.(2)求特定項(xiàng).利用通項(xiàng)公式或者等比數(shù)列的性質(zhì)求解.(3)求公比.利用等比數(shù)列的定義和性質(zhì)建立方程(組)求解.(4)求前n項(xiàng)和.干脆將基本量代入等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解或利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解.9.(2024課標(biāo)Ⅲ,17,12分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=1+λan,其中λ≠0.(1)證明{an}是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式;(2)若S5=3132解析(1)由題意得a1=S1=1+λa1,故λ≠1,a1=11-λ由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,即an+1(λ-1)=λan.由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以an+1a因此{(lán)an}是首項(xiàng)為11-λ于是an=11(2)由(1)得Sn=1-λλ由S5=3132得1-λλ-15=31解得λ=-1.(12分)方法指導(dǎo)(1)利用an+1=Sn+1-Sn可得到an+1與an的關(guān)系式,要證數(shù)列{an}是等比數(shù)列,關(guān)鍵是得出an+1與an之比為常數(shù),其中說(shuō)明an≠0是特別重要的.(2)利用第(1)問(wèn)的結(jié)論列方程即可求出λ.考點(diǎn)二等比數(shù)列的性質(zhì)10.(2024課標(biāo)Ⅰ,15,5分)設(shè)等比數(shù)列{an}滿意a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為.

答案6411.(2024安徽,14,5分)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,a1+a4=9,a2a3=8,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和等于.

答案2n-1老師專用題組考點(diǎn)一等比數(shù)列的有關(guān)概念及運(yùn)算1.(2013課標(biāo)Ⅱ,3,5分)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,則a1=()A.13B.-13C.1答案C2.(2012課標(biāo),5,5分)已知{an}為等比數(shù)列,a4+a7=2,a5a6=-8,則a1+a10=()A.7B.5C.-5D.-7答案D3.(2024安徽,12,5分)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若a1+1,a3+3,a5+5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,則q=.

答案14.(2024四川,19,12分)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N*.(1)若2a2,a3,a2+2成等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)雙曲線x2-y2an2=1的離心率為en,且e2=53,證明:e1+e2解析(1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,兩式相減得到an+2=qan+1,n≥1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故an+1=qan對(duì)全部n≥1都成立.所以,數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公比為q的等比數(shù)列.從而an=qn-1.由2a2,a3,a2+2成等差數(shù)列,可得2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,則(2q+1)(q-2)=0,由已知,q>0,故q=2.所以an=2n-1(n∈N*).(2)證明:由(1)可知,an=qn-1.所以雙曲線x2-y2an2=1的離心率en=由e2=1+q2=53因?yàn)?+q2(k-1)>q2(k-1),所以1+q2(k-1)>qk-1(k∈N*).于是e1+e2+…+en>1+q+…+qn-1=qn-5.(2024山東,18,12分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知2Sn=3n+3.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列{bn}滿意anbn=log3an,求{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解析(1)因?yàn)?Sn=3n+3,所以2a1=3+3,故a1=3,當(dāng)n>1時(shí),2Sn-1=3n-1+3,此時(shí)2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1,即an=3n-1,所以an=3(2)因?yàn)閍nbn=log3an,所以b1=13當(dāng)n>1時(shí),bn=31-nlog33n-1=(n-1)·31-n.所以T1=b1=13當(dāng)n>1時(shí),Tn=b1+b2+b3+…+bn=13+[1×3-1+2×3-2+…+(n-1)×31-n所以3Tn=1+[1×30+2×3-1+…+(n-1)×32-n],兩式相減,得2Tn=23+(30+3-1+3-2+…+32-n)-(n-1)×3=23+1-31-n1所以Tn=1312-6綜上可得Tn=1312-6n+36.(2024課標(biāo)Ⅱ,17,12分)已知數(shù)列{an}滿意a1=1,an+1=3an+1.(1)證明an+1(2)證明1a1+1a2+…+解析(1)由an+1=3an+1得an+1+12=3a又a1+12=32,所以anan+12=3n2,因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an(2)證明:由(1)知1an=23n-1.因?yàn)楫?dāng)n≥1時(shí),3n-1≥2×3于是1a1+1a2+…+1an≤1+13所以1a1+1a2+…+考點(diǎn)二等比數(shù)列的性質(zhì)7.(2024浙江,10,4分)已知a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,則()A.a1<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4D.a1>a3,a2>a4答案B8.(2024大綱全國(guó),10,5分)等比數(shù)列{an}中,a4=2,a5=5,則數(shù)列{lgan}的前8項(xiàng)和等于()A.6B.5C.4D.3答案C【三年模擬】一、單項(xiàng)選擇題(每題5分,共45分)1.(2024北京朝陽(yáng)二模,5)已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差d≠0,則“a1,a3,a9成等比數(shù)列”是“a1=d”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案C2.(2025屆天津楊村一中第一次月考,2)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1+a2+a3=3,a4+a5+a6=6,則S12=()A.15B.30C.45D.60答案C3.(2025屆山東濟(jì)寧二中10月月考,11)《九章算術(shù)》第三章“衰分”介紹比例安排問(wèn)題:“衰分”是按比例遞減安排的意思,通常稱遞減的比例(百分比)為“衰分比”.如:甲、乙、丙、丁衰分得100,60,36,21.6個(gè)單位,遞減的比例為40%.今共有糧m(m>0)石,按甲、乙、丙、丁的依次進(jìn)行“衰分”,已知丙衰分得80石,乙、丁衰分所得的和為164石,則“衰分比”與m的值分別為()A.20%;369B.80%;369C.40%;360D.60%;365答案A4.(2024河南新鄉(xiāng)二模,6)在公比為q的正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,a4=4,則當(dāng)2a2+a6取得最小值時(shí),log2q=()A.14B.-14C.1答案A5.(2024湖南衡陽(yáng)一模,8)在等比數(shù)列{an}中,a1a3=a4=4,則a6的全部可能值構(gòu)成的集合是()A.{6}B.{-8,8}C.{-8}D.{8}答案D6.(20245·3原創(chuàng)沖刺卷三,5)已知數(shù)列{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列,a2=2,a3=2a1,則a1a2+a2a3+…+anan+1=()A.(2+2)[1-(2)n]B.(2+2)[(2)n-1]C.2(2答案C7.(2024福建廈門模擬,8)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn=2n+1+λ,則λ=()A.-2B.-1C.1D.2答案A8.(20245·3原創(chuàng)沖刺卷八,5)已知等比數(shù)列{an}滿意a1+a2=12,a1-a3=6,則當(dāng)a1·a2·…·an取到最大值時(shí),n的值為()A.3B.4C.3或4D.5答案C9.(2025屆安徽黃山11月“八校聯(lián)考”,7)設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S4=5S2,則a5A.±12B.±2C.±2或-1D.±1答案D二、多項(xiàng)選擇題(每題5分,共10分)10.(改編題)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an},a1>1,0<q<1,其前n項(xiàng)和為Sn,則下列說(shuō)法正確的是()A.數(shù)列{lnan}為等差數(shù)列B.若Sn=Aqn+B,則A+B=0C.Sn·S3n=SD.記Tn=a1·a2·…·an,則數(shù)列{Tn}有最大值答案ABD11.(改編題)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,那么下列數(shù)列肯定是等比數(shù)列的是()A.1anB.{log2(an)C.{an+an+1}D.{an+an+1+an+2}答案AD三、填空題(每題5分,共10分)12.(2025屆天津靜海大邱莊中學(xué)第一次質(zhì)量檢測(cè),13)若Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且Sn=2an-1(n∈N*),則S6等于.

答案6313.(2025屆河北邯鄲大名一中第六周周測(cè),15)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),記Sn為{an}的前n項(xiàng)和,若an+1=2an2an+1-an答案11四、解答題(共50分)14.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an+1=2Sn+1,在下列兩個(gè)條件:①a1=-1,②a2=3中選擇一個(gè),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式并求其前n項(xiàng)和.解析若選擇條件①a1=-1,由于an+1=2Sn+1,∴當(dāng)n≥2時(shí),an=2Sn-1+1,兩式相減得an+1-an=2an,即an+1=3an,又a2=2S1+1=-1,∴數(shù)列a2,a3,…,an是首項(xiàng)為-1,公比為3的等比數(shù)列,則an=a2·3n-2=-3n-2,n≥2,∴an=-又當(dāng)n=1時(shí),S1=a1=-1,∴當(dāng)n≥2時(shí),Sn=a1+a2+a3+…+an=(-1)+(-1)+(-1)×3+…+(-1)×3n-2=(-1)+(-1)(1-3n-1)1-3=-1+因此Sn=-12-3n-12,n∈N*.若選擇條件②a2=3,∵a2=3,∴a2=2S1∵an+1=2Sn+1,∴n≥2時(shí),an=2Sn-1+1,∴an+1-an=2an,即an+1=3an,又∵a2a1=31=3,∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1=1,公比為3的等比數(shù)列,∴an=a13∴Sn=1-3n1-3=12(3n15.(2025屆山東濟(jì)寧二中10月月考,20)已知{an}是遞增的等差數(shù)列,且a2,a4是方程x2-5x+6=0的根,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2bn-2(n∈N*).(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;(2)若cn=an·bn(n∈N*),求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.解析(1)易得方程x2-5x+6=0的兩根為2,3,則由題意,得a2=2,a4=3.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則a4-a2=2d,∴d=12.從而a2=a1+d=2,∴a1=3∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=32+(n-1)×12=∵Sn=2bn-2,①∴當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=2bn-1-2,②①-②得,bn=Sn-Sn-1=(2bn-2)-(2bn-1-2)=2bn-2bn-1,∴bn=2bn-1(n≥2).又b1=S1=2b1-2,∴b1=2.∴{bn}是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,∴bn=2×2n-1=2n.(2)由題意及(1)得cn=n2+1×2