北師大版八年級(jí)上冊(cè)期末考試考前復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)練習(xí)：《平行線性質(zhì)》（五）

八年級(jí)上冊(cè)期末考試考前復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)專(zhuān)題練習(xí)一遍過(guò):

《平行線性質(zhì)》(五)

1.探究：如圖①，AB//CD//EF,試說(shuō)明/8。尸=/濟(jì)/￡下面給出了這道題的解題過(guò)程,

請(qǐng)?jiān)谙铝薪獯鹬?，填上適當(dāng)?shù)睦碛?

解：???48〃緲，(已知)

AZ^=Z1.()

同理可證，N尸=N2.

VZ^=Z1+Z2,

:.￡BCF=4階￡F.()

應(yīng)用：如圖②，AB〃CD、點(diǎn)、F在AB、緲之間，F(xiàn)E與AB交于息M,FG與CD交于息N.若

Z￡777=115°,NEMB=55°,則NZWG的大小為度.

拓展：如圖③，直線緲在直線四、人之間，且彳8〃緲〃防點(diǎn)G、，分別在直線四、

標(biāo)上，點(diǎn)0是直線切上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且不在直線G//上，連結(jié)。G、0H.若NGO/U70。，

2.綜合與探究

如圖，已知M〃他N4=60°,點(diǎn)P是射線M上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)/不重合).BC,劭分

別平分/彳配和NQ8乂分別交射線彳用于點(diǎn)C,D.

(1)求々ABN、NC8。的度數(shù)；根據(jù)下列求解過(guò)程填空.

贛?.'：AM〃BN、

.../彳班/4=180°

?/ZA=60°,

Z.ABN=,

:?/ABR4PBN=W,

,：BC平分/ABP、8。平分NQ8”,

:.NABP=24CBP、，PBN=,()

：.24CB82，DBP=V21,

/.NCBD=ZCBRZDBP=.

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，N4即與N4m之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請(qǐng)

寫(xiě)出它們之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；若變化，請(qǐng)寫(xiě)出變化規(guī)律.

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使N4第=/彳劭時(shí)，直接寫(xiě)出/癡C的度數(shù).

3.探究：如圖①，AB〃CD"EF、點(diǎn)、G、P、，分別在直線四、CD、EF上,連結(jié)外、PH,當(dāng)

點(diǎn)P在直線G"的左側(cè)時(shí)，試說(shuō)明々AG丹NEHP=NGPH.下面給出了這道題的解題過(guò)程，

請(qǐng)完成下面的解題過(guò)程.并填空（理由或數(shù)學(xué)式）.

/.4AGP=4GPD

,/CD//EF

/DPH=2EHP()

?//GPg4DPH=4GPH、

：.￡AGP^^EHP=Z.GPH()

拓展：將圖①的點(diǎn)夕移動(dòng)到直淺翻的右側(cè)，其他條件不變，如圖②.試探究/，加、N

EHP、NGW之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

應(yīng)用：如圖③，ABIICDIIEF、點(diǎn)、G、〃分別在直線四、爐上，點(diǎn)。是直線3上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，且不在直線G/Z上，連結(jié)。G、0H.若NGQH=70°,則N/1G仆/日加=度.

4.問(wèn)題情境

在綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以“一個(gè)含30°的直角三角尺和兩條平行線”為背景開(kāi)展數(shù)

學(xué)活動(dòng)如圖1,已知兩直線a,5且a〃。和直角三角形48C,NBCA=90。，NBAC=30°,

N/8e=60°.

操作發(fā)現(xiàn)：

(1)在圖1中，Z1=46°,求N2的度數(shù)；

(2)如圖2,創(chuàng)新小組的同學(xué)把直線a向上平移，并把N2的位置改變，發(fā)現(xiàn)N2-N1

=120°,說(shuō)明理由；

實(shí)踐探究

(3)縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，將圖2中的圖形繼續(xù)變化得到圖3,力。平

分N縱肌此時(shí)發(fā)現(xiàn)N1與N2又存在新的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出N1與N2的數(shù)量關(guān)系.

圖1圖2圖3

5.在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“兩條平行線48,緲和一塊含60°角的直角三角

REFG（ZEFG=90°,ZEGF=60°）”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng).

E

（1）如圖（D,若三角尺的60°角的頂點(diǎn)G放在⑺上，若N2=2N1,求N1的度數(shù);

（2）如圖（2）,小穎把三角尺的兩個(gè)銳角的頂點(diǎn)￡、G分別放在膽和必上，請(qǐng)你探索

并說(shuō)明/彳下與N廠GC間的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖（3）,小亮把二角尺的直角頂點(diǎn)廠放在勿上，30°角的頂點(diǎn)￡落在四上.若

^AEG=a,4CFG=§,則N/1EG與NC&?的數(shù)量關(guān)系是什么？用含a,B的式子表示

（不寫(xiě)理由）.

6.問(wèn)題情境

（1）如圖1,已知彳8〃3,NPBA=125°,NW=155°,求/即C的度數(shù).

佩佩同學(xué)的思路：過(guò)點(diǎn)。作夕6〃48,進(jìn)而外〃緲，由平行線的性質(zhì)來(lái)求N8QC,求得/

BPC=.

問(wèn)題遷移

（2）圖2.圖3均是由一塊三角板和一把直尺拼成的圖形，三角板的兩直角邊與直尺的

兩邊重合，4ACB=90°,DF//CG,肪與項(xiàng)相交于點(diǎn)￡有一動(dòng)點(diǎn)。在邊8c上運(yùn)動(dòng)，連

接PE,PA、記/陽(yáng)HNa,￡P(guān)AC=Z.p.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在Q。兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出N4所與Na,NB之間的數(shù)量

關(guān)系；

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在伉。兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，2APE與匕Q,NB之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)

判斷并說(shuō)明理由；

拓展延伸

(3)當(dāng)點(diǎn)P在Q。兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，若NPED,N21c的角平分線日/,4V相交于點(diǎn)乂

請(qǐng)直接寫(xiě)出N/妙與Na,N0之間的數(shù)量關(guān)系.

7.如圖1,已知直線切〃/點(diǎn)A8分別在直線必與爐上."為兩平行線間一點(diǎn).

(1)若/加e=40。,ZFBP=7QQ,則/彳陽(yáng)=.

(2)猜想NZZ4匕乙卜BP、N/I陽(yáng)之間有什么關(guān)系？井說(shuō)明理由.

(3)利用(2)的結(jié)論解答：

①如圖2,AR、8R分別平分/%P、々FBP,請(qǐng)你寫(xiě)出NP與Ng的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理

由.

②如圖3,仍、陰分別平分/"只4EBP,若4陽(yáng)=3,求/仍8(用含B的代數(shù)式

表示).

(1)若NE=60°,則NF=.

(2)請(qǐng)?zhí)剿鱊E與N尸之間滿足何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；

(3)如圖2,已知。平分N8叫FG平■令乙EFD、反向延長(zhǎng)房交配于點(diǎn)戶(hù)，求NP的度

數(shù).

9.【原題】已知直線48〃⑺，點(diǎn)夕為平行線48,緲之間的一點(diǎn).如圖1,若/48/』50°,

ZCDP=6Q°,BE平■吩乙ABP、DE平■侵乙CDP、則N陽(yáng)H.

【探究】如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在直線的上方時(shí)，若NA8P=Q,/CDP=B,2ABP和/CDP

的平分線交于點(diǎn)E,N彳明與的角平分線交于點(diǎn)號(hào)/彳典與NC%的角平分線

交于點(diǎn)片，…以此類(lèi)推，求/￡的度數(shù).

【變式】如圖3,N480的角平分線的反向延長(zhǎng)線和/緲0的補(bǔ)角的角平分線交于點(diǎn)￡,

試猜想NP與NE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

10.問(wèn)題情景：

如圖1,AB//CD,ZPAB=}30°,/0緲=120°,求N4%的度數(shù).

小明的思路是：

過(guò)點(diǎn)P作PE//AB,

???/以*//1用=180°.

,.-ZZM^=130°,二N4P￡=50°

'：AB//CD,PE//AB,：.PE//CD,

：.ZPCD^ZCPE=]8Q°.

■:NPCD=t20°,:./CPE=6Q0

APC=/APP/CPE=W.

問(wèn)題遷移：

如果彳8與⑺平行關(guān)系不變，動(dòng)點(diǎn)p在直線48、⑺所夾區(qū)域內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，NPAB,/PCD

的度數(shù)會(huì)跟著發(fā)生變化.

(1)如圖3,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到直線4C右側(cè)時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出/以8,NW和N4%之間的數(shù)量

關(guān)系？并說(shuō)明理由

(2)如圖4,AQ,G。分別平分/*8,2PCD,那么N40C和角/彳外有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

(3)如圖5,點(diǎn)P在直線4C的左側(cè)時(shí)，他CQ仍)然平俵匕PAB,2PCD,請(qǐng)直接寫(xiě)出N

40C和角N/IQC的數(shù)量關(guān)系.

D

C圖4圖5

參考答案

1.解：探究：?.F8〃加，

???NQN1.（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等）

同理可證，N尸=N2.

N86QN1+N2,

???/BCF=N用N￡（等量代換）

故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，等量代換.

應(yīng)用：由探究可知：4MFN=乙AMR4CNF、

CNF=-55°=60°.

故答案為60.

拓展：如圖③中，當(dāng)?shù)?。在直線G，的右側(cè)時(shí)，/AGa/EHQ=360°-70°=290°

當(dāng)點(diǎn)0'在直線劭的左側(cè)時(shí)，ZAG0MEW=NG7H=70；

故答案為70或290.

圖③

2.解：(1)'：AM//BN,

N彳叫N/4=18O°,

VZA=6Q°,

；.NA8412Q。

:?2ABB■/PBN=V10°,

?..%平分N48RBD平分4PBN,

:./ABP=2/CBP、4PBN=2iPBD、(角平分線的定義)，

：.24CB424DBP=V20°,

../CBD=NCBP^4DBP=6N.

故答案為120°,2乙PBD、角平分線的定義，60°.

（2）N4即與之間數(shù)量關(guān)系是：ZAPB=2ZADB.不隨點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)變化.

理由是：?,?4〃〃8”,

:.iAPB=乙PBN、（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等），

丁劭平分NQ8”（已知），

.??NQ助仁2N08/V（角平分線的定義），

，APB=乙PBN—24DBN=22ADB（等量代筷）,

即NAP3=2NAD8.

（3）結(jié)論：N480=30°.

理由：'：AM//BN.：.AACB=Z.CBN,

當(dāng)N4CB=N480時(shí),則有/制=/彳劭，

/ABO4CBD=4CBN4DBN、

:./ABC=4DBN,

由（1）可知N48/V-120°,N胸=60°,

:?NAB//DBN=6Q0,

：,4AGP=NGPD、

'：CD//EF,

A^DPH=/EHP（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

■:/GP>/DPH=ZGPH

二N47NN￡7/P=NG%（等量代換）.

故答案分別為：已知；兩直線平行，等量代換；

探究：當(dāng)點(diǎn)P在直線劭的右側(cè)時(shí)，其他條件不變，如圖2,4AG84EHR4GPH=360°.

理由如下：

'：AB//CD,

:.NAG丹NGPC='8G0,

'：CD//EF,

CP*/EHP=W,

，/AG8/GP儕，CP卅/EHP=36N,即/AG丹/GP卅/EHP=36M；

應(yīng)用：①當(dāng)點(diǎn)0在直線G/Z的左側(cè)時(shí)，則有N4?鼾N￡W=NG。//.

若NG0Q7O。,貝IJN/1G仆N￡W=70。；

②當(dāng)點(diǎn)。在直線G//的右側(cè)時(shí)，則有N4G仆/白啰/6例三360°.

若NG0Q7O。,則N4G仆N￡W=360°-70°=290°.

綜上所述：若NGW=70°,貝l]N4?仆/日加=70°或290°.

故答案為70或290.

4.解：(1)VZ^=90°,

/.Z3=900-Z1=44°,

'：a//b,

：.Z2=Z3=44°；

(2)理由如下：過(guò)點(diǎn)8作做〃a,

貝I]N他580。-Z2,

'：a//b,BD//a,

，BD〃b,

:.NDBC="

?；NA8C=60°,

.'.180°-Z2+Z1=60°,

/.Z2-Z1=120°；

(3)Z1=Z2,

理由如下：.「4?平分N外M

ZBAM=2ZBAC=6Q°,

過(guò)點(diǎn)C作CEZ/a,

42=4BCE,

■:a"b、CE//a,

：.CE//b,N1=N外460°,

AZECA=ACAM=3Q°,

???N2=N8您=60°,

Z1=Z2.

5.解：(1)'：AB//CD.

：.21=，EGD.

?；N2+NFG&NEGD=180°,Z2=2Z1,

A2Z1+60°+Z1=18O°,解得N1=40°；

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)、F促FP〃AB、

圖⑵

'：CD//AB,

,\FP//AB//CD.

；.4AEF=/EFP、AFGC=^GFP.

:?4AER4FGC=，EFR/GFP=4EFG.

VZEFG=9Q°,

：.ZAER/FGC=9G；

(3)a+13=300°.理由如下：

AB//CD,

ZAER-ZCFE=]80°.

即a—30°+B-90°=180°,

整理得a+|3=180°+120°=300°.

6.解：(1)如圖1,過(guò)點(diǎn)P作PG//AB,則PG〃緲，

由平行線的性質(zhì)可得N用N8*=180°,N華/CPG=180°,

又物=125°,N/W=155°,

Z8PC=360°-1250-155’=80°,

故答案為：80°；

(2)①如圖2,NAPE與NQ,NB之間的數(shù)量關(guān)系為N〃>￡=Na+NB;

②如圖3,NAPE與Na,N0之間的數(shù)量關(guān)系為/彳戶(hù)—N。-Na；理由:

過(guò)P作PQ//DF,

,:DF//CG、

：.PQ//CG,

.?.NB=NQ〃，Za=ZQPE,

/.NAPE=Z.APQ-乙EPQ=ZP-Za；

(3)如圖2,ZANE與4a,/B之間的數(shù)量關(guān)系為/止(na+NB).

乙

B

圖2

7.⑴證明：過(guò)P作掰〃緲，

:.乙AP4乙DAP.（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

??.切〃）（已知），

.??/吻〃①（平行于同一條直線的兩條直線互相平行），

:.NMPB=/FBP.（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

NAP*/MPB=4DAN乙FBP.（等式性質(zhì)）

即NAP3=/加匠"BP=400+70°=110°.

（2）結(jié)論：^APB=Z.DAP^^FBP.

理由：見(jiàn)（1）中證明.

（3）①結(jié)論：ZP=2ZA＞；

理由：由（2）可知：￡P(guān)=4DAR乙FBP、NPi=NADP[+NFBP[,

■:乙DAP=2乙DAP、、匕FBP=2￡FBP、、

：.4P=24P\.

②由①得N4P4N加8NF8P,乙AP2B=ZCAPMEBP?、

,:AP?、肥分別平分N。!。、4EBP、

：、￡CAPF鼻上CAP、N期=1■/酒

/APRB=導(dǎo)CAP^^EBP、

=—(180°-乙DAP)+—(1800-2FBP),

22

=180°*HDA8/FBn,

=180°-上NAPB,

2

8.解：（1）如圖1,分別過(guò)點(diǎn)￡F悔EM"AB、FN"AB、

：,EM//AB//FN,

???N4N8&U30°,2MEF=4EFN、

1,：AB//CD、AB//FN,

CD//FN,

.??NZ^NZ￥W=180°,

又?.?NZ?=120°,

：.ZDFN=6Q0,

NBEF=/MER3Q°,ZEFD=NEFN^bO。,

:./EFD=2MEXbG

：.ZEFD=ZBEP-300=90°；

故答案為：90°；

（2）如圖1,分別過(guò)點(diǎn)EAB、EN"AB、

：,EM//AB//FN.

；./B=/BEM=3G,4MEF=^EFN、

又,：AB〃CD,AB//FN,

：.CD//FN,

/.ZZ>ZP/W=180°,

又?.?NZ?=120°,

/.ZZ?/W=60°,

；./BEF=/MES,4EFD=,

EFD=/MER6G,

：?/EFD=/BEPr3G0；

(3)如圖2,這點(diǎn)、F作FH〃EP、

由(2)知，ZEFD=/BEA3N,

設(shè)￡BEF=2x°,則/日/=(2/30)°,

,：EP平分/BEF、6廠平分N&P,

/.Z.PEF=—Z.BEF=x°,￡EFG=-Z.EFD=(A+15)

22

,:FH〃EP、

，乙PEF=，EFH=x°,4P=4HFG,

Y4HFG=/EFG-4EFH=\50,

AZP=15°.

圖1圖2

9.解：(1)如圖1,過(guò)￡作￡/7/8,而AB〃CD,

：.AB//CD//EF,

；,/ABE=NFEB、4CDE=4FED,

/.ZBED=ZBEXNDEF=NAB曰NCDE,

又,??N48P=50。,4CDP=60，、BE平~6NABP,DE平分乙CDP、

^ABE=^^ABP=25°,ZCDE=^ZCDP=3Q°,

乙乙

.??N瑜=25°+30°=55°,

故答案為：55°；

⑵如圖2,,?,N4M和NC，P的平分線交于點(diǎn)上，

ZABE]=^ZABP=^a,￡CDE\=XcDP=^0、

乙乙乙乙

,:AB〃CD,

:./CDF=￡AFE\=43

:/E\=NAFE、-力明吾§-￡a(P-a),

乙乙乙

v2ABE、與ZCDE、的角平分線交于點(diǎn)號(hào)

==

?，?=~^a,CDE2CDEy

'：AB//CD,

:./CDG=/AGE2=13

.'.2E?=/AGE2-N/匹=1(|3-a),

4

同理可得，"=高(B-a),

o

以此類(lèi)推，NE的度數(shù)為々(B-a).

2n

(3)ZP￡F=90°”NP.理由如下：

乙

如圖3,過(guò)E悴EG"AB、而AB〃CD,

：.AB//CD//EG,

：2MBE=/BEG、/FDE=2GED、

.??4DEB=/BE3■4DEG=2MB42FDE=AABQ^^FDE,

又N48Q的角平分線的反向延長(zhǎng)線和NGZ?"的補(bǔ)角的角平分線交于點(diǎn)E,

Z.FDE=^-^PDF=^-(1800-4CD6,Z.ABQ=^-^ABP,

乙乙