北京市人民大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期8月練習(xí)試題含解析

PAGEPAGE21北京市人民高校附屬中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期8月練習(xí)試題（含解析）本試卷共4頁(yè)，150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合A={x|x-1≥0}，B={0，1，2}，則A∩B=（）A.{0} B.{1} C.{1，2} D.{0，1，2}【答案】C【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合A，再利用交集的運(yùn)算求解.【詳解】由題意得A={x|x≥1}，B={0，1，2}，∴A∩B={1，2}．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.已知i為虛數(shù)單位，若iz=?1+i，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出以及對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)，即可得出答案.【詳解】，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為即復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了依據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求復(fù)數(shù)所在象限，屬于基礎(chǔ)題.3.《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”．某“塹堵”的三視圖如圖所示，其體積為（）A.1 B.C.2 D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)三視圖知該幾何體是底面為等腰直角三角形的直三棱柱，由棱柱的體積公式進(jìn)行計(jì)算可得答案.【詳解】依據(jù)三視圖知該幾何體是底面為等腰直角三角形的直三棱柱如圖，等腰直角三角形斜邊上的高為1，斜邊長(zhǎng)為2，棱柱的高為2，則棱柱的體積,故選：C【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)三視圖求幾何體的體積問題，考查空間想象實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.4.綻開式中項(xiàng)的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)求解即可.【詳解】的綻開式通項(xiàng)為，當(dāng)出現(xiàn)項(xiàng)時(shí)，，得，故含項(xiàng)的系數(shù)為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，較簡(jiǎn)單，解答時(shí)要敏捷運(yùn)用綻開項(xiàng)的通項(xiàng)公式.5.我國(guó)天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣的晷長(zhǎng)損益相同（晷是依據(jù)日影測(cè)定時(shí)刻的儀器，晷長(zhǎng)即為所測(cè)量影子的長(zhǎng)度）．二十四節(jié)氣及晷長(zhǎng)改變?nèi)鐖D所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)削減或增加的量相同，周而復(fù)始．則下列說法不正確的是（）注：“相差”是指差的確定值A(chǔ).立春和立冬的晷長(zhǎng)相同B.立夏和立秋的晷長(zhǎng)相同C.與夏至的晷長(zhǎng)相差最大的是冬至的晷長(zhǎng)D.與春分的晷長(zhǎng)相差最大的是秋分的晷長(zhǎng)【答案】D【解析】【分析】依據(jù)對(duì)稱性推斷出說法不正確的選項(xiàng).【詳解】依據(jù)對(duì)稱性可知：立春和立冬的晷長(zhǎng)相同、立夏和立秋的晷長(zhǎng)相同、春分和秋分的晷長(zhǎng)相同；與夏至的晷長(zhǎng)相差最大的是冬至的晷長(zhǎng)（冬至晷長(zhǎng)最大，夏至晷長(zhǎng)最?。?所以說法錯(cuò)誤的是D.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化，屬于基礎(chǔ)題.6.點(diǎn)P在曲線上，過P分別作直線及的垂線，垂足分別為G，H，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)拋物線的性質(zhì)，的最小值等價(jià)于的最小值，即焦點(diǎn)到直線的距離.【詳解】由題可知是拋物線的準(zhǔn)線，交點(diǎn)，由拋物線的性質(zhì)可知,，如圖，當(dāng)在一條直線上時(shí)，取得最小值為，利用點(diǎn)到直線距離公式可以求出，所以的最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查求拋物線上的點(diǎn)到兩直線的距離之和最小問題，利用拋物線的性質(zhì)是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.7.“”是“”的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性求出兩個(gè)條件的不等式解集，利用集合間的基本關(guān)系推斷充分性和必要性.【詳解】令，，在上單調(diào)遞增，且，等價(jià)于，即，令，，在上單調(diào)遞增，且，等價(jià)于，即，“”是“”的充分必要條件，“”是“”的充分必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的推斷，將條件轉(zhuǎn)化為利用集合間關(guān)系推斷是解決此類問題的常用方法.8.以為始邊作鈍角，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，將角的終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到角．角的終邊與單位圓相交于點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)三角函數(shù)的定義得，，進(jìn)而得，再結(jié)合三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)得.【詳解】解：依據(jù)三角函數(shù)的定義得,由于角的終邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到角，故,所以，所以因?yàn)?，所以，所以，?故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換，三角函數(shù)的定義，是中檔題.9.若圓P的半徑為1，且圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，過圓心P作圓的切線，切點(diǎn)為Q，則的最小值為（）A. B. C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意，分析圓的圓心以及半徑，由勾股定理分析可得，當(dāng)最小時(shí)，最小，由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系分析的最小值，計(jì)算可得答案．【詳解】由題意可知，點(diǎn)在圓上，圓的圓心，半徑過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則當(dāng)最小時(shí)，最小又由點(diǎn)在圓上，則的最小值為則的最小值為；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓位置關(guān)系，涉及直線與圓相切的性質(zhì)，屬于中檔題．10.氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)記為連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22℃．現(xiàn)有甲乙丙三地連續(xù)5天的日平均溫度（都是正整數(shù)，單位：℃）的記錄數(shù)據(jù)如下：①甲地5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為26，眾數(shù)為22；②乙地5個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為26，方差為5.2；③丙地5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為26，平均數(shù)為26.4，極差為8.則從氣象意義上確定進(jìn)入夏季的地區(qū)是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【答案】D【解析】【分析】①依據(jù)眾數(shù)的定義至少出現(xiàn)2次，假設(shè)有一天低于22，再由中位數(shù)推斷；②設(shè)溫度由低到高為：，依據(jù)方差的定義得到，假設(shè)有一天低于22，再由平均數(shù)推斷；③設(shè)溫度由低到高為：，由平均數(shù)的定義得到，假設(shè)假設(shè)有一天低于22，再由中位數(shù)推斷；【詳解】①因?yàn)楸姅?shù)為22，所以至少出現(xiàn)2次，若有一天低于22，則中位數(shù)不行能是26，所以甲地確定進(jìn)入夏季；②設(shè)溫度由低到高為：，依據(jù)方差的定義，所以，若有一天低于22，不妨設(shè)，則只有21，25，26，26，26，而不滿意平均數(shù)26，故沒有低于22的，所以乙地進(jìn)入夏季；③設(shè)溫度由低到高為：，由題意得：，由平均數(shù)定義得：，即，若，取，則，不滿意中位數(shù)26，故沒有低于22的，所以丙地確定進(jìn)入夏季；故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、方差的數(shù)據(jù)特征，還考查了邏輯推理運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.雙曲線的焦距是__________．【答案】10【解析】【分析】依據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求解即可.【詳解】解：依據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程得，所以，即，所以雙曲線的焦距為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求焦距，是基礎(chǔ)題.12.已知是等差數(shù)列，是公比為c的等比數(shù)列，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為__________，數(shù)列的前10項(xiàng)和為__________（用c表示）．【答案】(1).100(2).【解析】【分析】先依據(jù)求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，計(jì)算前10項(xiàng)和即可，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及是公比為c的等比數(shù)列求出，即可求前10項(xiàng)和.【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，，所以，解得，所以，所以因?yàn)槭枪葹閏的等比數(shù)列，且，所以，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上,故答案為：100；【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，考查了分組求和，屬于中檔題.13.已知為等腰直角三角形，，OC為斜邊的高．（1）若P為線段OC的中點(diǎn)，則__________．（2）若P為線段OC上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為__________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】(1)由條件可知,,又，代入中，利用向量的數(shù)量積的定義可求解答案.(2)當(dāng)P為線段OC上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，設(shè),,利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和定義可求解.【詳解】為等腰直角三角形，為斜邊的高,則為邊的中線，所以,.(1)當(dāng)為線段OC的中點(diǎn)時(shí)，在中,為邊上的中線,則

所以(2)當(dāng)P為線段OC上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，設(shè),.

所以的取值范圍為故答案為：(1).(2).【點(diǎn)睛】本題考查向量的加法運(yùn)算，數(shù)量積的運(yùn)算，本題還可以建立坐標(biāo)系利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決本題,屬于中檔題.14.不等式對(duì)全部的都成立，則t的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】看作關(guān)于的一次函數(shù)，依據(jù)一次函數(shù)恒成立問題列出不等式組，求得的范圍.【詳解】設(shè)，，由∴，即解得或或，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查一次不等式恒成立問題，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng)，屬基礎(chǔ)題.15.在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“*”，具有以下三條性質(zhì)：（1）對(duì)隨意；（2）對(duì)隨意；（3）對(duì)隨意．給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③對(duì)隨意；④存在．其中，全部正確結(jié)論的序號(hào)是__________．【答案】②③④【解析】分析】依據(jù)給定的新運(yùn)算得到的計(jì)算方法，再逐項(xiàng)計(jì)算并推斷相應(yīng)的結(jié)論是否成立，從而得到正確的序號(hào).【詳解】由題設(shè)有，對(duì)于①，，故①錯(cuò)誤.對(duì)于②，，由①中結(jié)果可知，故②正確.對(duì)于③，對(duì)隨意，而，故，故③正確.對(duì)于④，取，則，而，故，故④正確.故答案為：②③④.【點(diǎn)睛】本題考查新定義背景下命題真假的推斷，此題的關(guān)鍵是依據(jù)給出的運(yùn)算規(guī)則得到的運(yùn)算方法，本題屬于較難題.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.如圖，三棱柱中，平面，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，已知．（Ⅰ）求證：平面ABC；（Ⅱ）求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）首先證明四邊形矩形，可得，結(jié)合，可證平面ABC（Ⅱ）分別以，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求二面角的余弦值.【詳解】（Ⅰ）依題意，在中，，所以，所以．又因?yàn)槿忮F中，四邊形為平行四邊形，所以四邊形為矩形，所以．因?yàn)槠矫?，平面，所以．又因?yàn)槠矫鍭BC，，所以平面ABC．（Ⅱ）因?yàn)槠矫妫矫?，所以．如圖建立空間直角坐標(biāo)系B?xyz，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，于是，設(shè)平面的法向量為，則即令，則，．于是，所以由題知二面角為銳角，所以其余弦值為【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面位置關(guān)系線面垂直的證明以及二面角余弦值的求解，屬于中檔題.17.在△ABC中，，，再?gòu)臈l件①，條件②，條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△ABC存在，求c的值及△ABC的面積．條件①：；條件②：；條件③：csinA=3．注：假如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】答案見解析.【解析】【分析】選擇條件②，由正弦定理可得，又，由余弦定理可得，結(jié)合條件②即可求得，，從而得到三角形的面積.【詳解】選擇條件②，因?yàn)樵凇鰽BC中，所以．又因?yàn)樗杂捎嘞叶ɡ淼糜忠驗(yàn)椋曰?1(舍)．所以．則△ABC的面積為【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.18.工作人員需進(jìn)入核電站完成某項(xiàng)具有高輻射危急的任務(wù)，每次只派一個(gè)人執(zhí)行任務(wù)，且每個(gè)人只派一次．每人工作時(shí)間均不超過10分鐘，假如10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤出，再派下一個(gè)人；假如10分鐘內(nèi)已完成任務(wù)則不再派人．現(xiàn)在一共只有甲乙丙三個(gè)人可派，他們各自能完成任務(wù)的概率分別為，，．假定各人能否完成任務(wù)相互獨(dú)立．（Ⅰ）安排依次派甲乙丙執(zhí)行任務(wù)，①求能完成任務(wù)的概率；②求派出人員數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)．（Ⅱ）欲使完成任務(wù)的概率盡可能大，且所取需派出人員數(shù)X的數(shù)學(xué)期望盡可能小，你認(rèn)為應(yīng)當(dāng)按什么次序派出甲乙丙？（干脆寫出答案即可）【答案】（Ⅰ）①；②分布列見解析，；（Ⅱ）依次派出丙甲乙．【解析】【分析】（1）①依據(jù)相互獨(dú)立事務(wù)概率的求法求得完成任務(wù)的概率；②寫出X的可能值，求出各自的概率，列表寫出分布列，依據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求得結(jié)果；（2）依據(jù)所求概率結(jié)合X的數(shù)學(xué)期望干脆寫出結(jié)論.【詳解】解：（Ⅰ）設(shè)“安排依次派出甲乙丙，能完成任務(wù)”為事務(wù)A．因?yàn)榧滓冶髯阅芡瓿扇蝿?wù)的概率分別為各人能否完成任務(wù)相互獨(dú)立．所以或依題意，X的全部可能取值為1，2，3．所以X的分布列為X123P故X的期望（Ⅱ）依次派出丙甲乙．【點(diǎn)睛】本題主要考查相互獨(dú)立事務(wù)的概率及離散型隨機(jī)變量分布列，意在考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理的實(shí)力及數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng)，屬中檔題.19.已知函數(shù).（1）若，求過曲線上一點(diǎn)的切線方程；（2）若，在區(qū)間的最大值為，最小值為，求的最小值．【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）首先求導(dǎo)，切點(diǎn)為，得到切線方程，再將代入得到或，即可得到切線方程.（2）首先對(duì)求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再分類探討，得到最大值為，最小值為，即可得到的最小值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以．設(shè)切點(diǎn)為，所以切線方程為.因?yàn)榍芯€過時(shí)，所以，所以，所以或.所求切線方程為或.（2）因?yàn)椋?所以．令，得或．所以，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù).①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減．所以依題意，．，所以.②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，所以，.當(dāng)時(shí)，所以，.設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減.又因?yàn)椋?，所以所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值.【點(diǎn)睛】本題第一問考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，其次問考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的最值，同時(shí)考查了分類探討的思想，屬于難題.20.已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，離心率為，點(diǎn)為橢圓上異于的兩點(diǎn)，直線相交于點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若點(diǎn)在直線上，求證：直線過定點(diǎn)．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.【解析】【分析】（1）先依據(jù)題意得，進(jìn)而得，求解即可得出結(jié)論；（2）設(shè)，先探討直線垂直于軸時(shí)不滿意題意，再探討不垂直于軸時(shí)，設(shè)其方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，，再依據(jù)為直線的交點(diǎn)得，化簡(jiǎn)得即可求出結(jié)論.【詳解】解：（Ⅰ）依題意，解得所以橢圓C方程為（Ⅱ）設(shè)，則①當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，由對(duì)稱性，直線交于軸，不合題意，舍去．②當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)其方程為．聯(lián)立得．依題意，所以．因?yàn)?，所以直線方程為，直線方程為依題意，設(shè)，因?yàn)闉橹本€的交點(diǎn)，所以所以所以．所以．所以．所以因?yàn)?，所以．所以，，直線MN方程為．所以直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)求橢圓的方程，橢圓中的定點(diǎn)問題，考查運(yùn)算實(shí)力，是中檔題.21.已知m，n，k為正整數(shù)，，，A是由個(gè)不超過k的正整數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，其第i行第j列為，，，滿意：①對(duì)隨意，，均有，，互不相等；②對(duì)隨意，不存在，使得且；③當(dāng)時(shí)，對(duì)隨意，存在，使得．記為全部這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合．（Ⅰ）寫出中的一個(gè)元素；（Ⅱ）若，則當(dāng)n最大時(shí)，求m的最大值；（Ⅲ）從問題（一）問題（二）中選擇一個(gè)作答．問題（一）：求集合的元素個(gè)數(shù)．問題（二）：求集合的元素個(gè)數(shù)．【答案】（Ⅰ）答案不唯一，見解析；（Ⅱ）m的最大值為24；（Ⅲ）答案見解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由題意，依據(jù)題意，列出數(shù)表，寫出滿意要求的一個(gè)元素即可；（Ⅱ）依題意，設(shè)B某行為，探討當(dāng)B=(abcdba)時(shí)和當(dāng)n≥6時(shí)，是否滿意題意，即可解出n最大值，由③即可解出m的最大值；（Ⅲ）若選擇問題（一），則分別求解當(dāng)n=4時(shí)，n=5時(shí)，n=6時(shí)和n≥7時(shí)，X的個(gè)數(shù)，綜合即可得結(jié)果；若選擇問題（二），分別探討當(dāng)k=3時(shí)、當(dāng)n≥2k-1時(shí)，是否滿意題意，綜合分析，即可得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）由題意得：，則中(abc)，(def)為(123)的不同排列即可，例如.（答案不唯一，滿意題意即可）.（Ⅱ）依題意，設(shè)表，設(shè)(abcd)為(1234)的某個(gè)排列，設(shè)B某行為．一．當(dāng)B=(abcdba)時(shí)，，所以n=6符合題意；二．當(dāng)n≥6時(shí)，由①設(shè)或d．1．當(dāng)時(shí)，由①，故由②，與①?zèng)_突．2．當(dāng)時(shí)，由①或b．（1）當(dāng)時(shí)，由②，與①?zèng)_突．（2）當(dāng)時(shí)，由①，故由②．假如n≥7，則由②，與①?zèng)_突．綜上，n的最大值為6，且當(dāng)n=6時(shí)，X=(abcdba)，這樣的X共個(gè)．由③，當(dāng)n最大時(shí)，m的最大值為24．（Ⅲ）若選擇問題（一）．若表，設(shè)(abcd)為(1234)的某個(gè)排列，一．當(dāng)n=4時(shí)，由（Ⅱ）X=(