必修二課件第一章立體幾何初步章末復(fù)習(xí)課

章末復(fù)習(xí)課第1章

立體幾何初步學(xué)習(xí)目標(biāo)1.整合知識結(jié)構(gòu)，梳理知識網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)一步鞏固、深化所學(xué)知識.2.能熟練畫出幾何體的直觀圖，能熟練地計算空間幾何體的表面積和體積，體會通過展開圖、截面化空間為平面的方法.題型探究知識梳理內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練知識梳理1.四個公理公理1：如果一條直線上的

在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi).公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，這些公共點的集合是

.公理3：經(jīng)過

的三點，有且只有一個平面.公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相

.兩點經(jīng)過這個公共點的一條直線不在同一條直線上平行2.直線與直線的位置關(guān)系平行相交任何3.平行的判定與性質(zhì)(1)線面平行的判定與性質(zhì)

判定性質(zhì)定義定理圖形條件___________________________________________________結(jié)論a∥αb∥αa∩α＝?a∥ba∩α＝?a?α，b?α，a∥ba∥αa∥α，a?β，α∩β＝b(2)面面平行的判定與性質(zhì)

判定性質(zhì)定義定理圖形條件_____________________________________

，________________α∥β，a?β結(jié)論α∥βα∥βa∥ba∥αα∩β＝?a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥ββ∩γ＝bα∩γ＝a，(3)空間中的平行關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系4.垂直的判定與性質(zhì)(1)線面垂直的判定與性質(zhì)

圖形條件結(jié)論判定a⊥b，b?α(b為α內(nèi)的

直線)a⊥αa⊥m，a⊥n，m、n?α，___________a⊥αa∥b，_____b⊥α任意m∩n＝Oa⊥α性質(zhì)a⊥α，_____a⊥ba⊥α，b⊥α_____b?αa∥b(2)面面垂直的判定與性質(zhì)

文字語言圖形語言符號語言判定定理

如果一個平面經(jīng)過另一

個平面的一條

，那

么這兩個平面互相垂直?α⊥β性質(zhì)定理

如果兩個平面互相

，

那么在一個平面內(nèi)垂直

于它們

的直線垂直

于另一個平面?l⊥α垂線垂直交線(3)空間中的垂直關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系5.空間角(1)異面直線所成的角①定義：設(shè)a與b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，作直線a′∥a，b′∥b，我們把a(bǔ)′與b′所成的

叫做異面直線a，b所成的角.②范圍：設(shè)兩異面直線所成的角為θ，則0°<θ≤90°.(2)直線和平面所成的角①平面的一條斜線與它在這個

所成的銳角，叫做這條直線與這個平面所成的角.②一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是直角；一條直線與平面平行或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是0°的角.銳角(或直角)平面內(nèi)的射影(3)二面角的有關(guān)概念①二面角：一般地，一條直線和由這條直線出發(fā)的

所組成的圖形叫做二面角.②二面角的平面角：一般地，以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作

的射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.兩個半平面垂直于棱6.幾何體的側(cè)面積和體積的有關(guān)計算柱體、錐體、臺體和球體的側(cè)面積和體積公式

面積體積圓柱S側(cè)＝2πrhV＝Sh＝πr2h圓錐S側(cè)＝πrl圓臺S側(cè)＝π(r1＋r2)l直棱柱S側(cè)＝chV＝Sh正棱錐V＝

Sh正棱臺S側(cè)＝

(c＋c′)h′球S球面＝4πR2V＝

πR3題型探究例1

如圖，E、F、G、H分別是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中點，求證：(1)GE∥平面BB1D1D；類型一空間中的平行關(guān)系證明證明如圖，取B1D1的中點O，連結(jié)GO，OB，∴OG綊BE，∴四邊形BEGO為平行四邊形，∴OB∥GE.又∵OB?平面BDD1B1，GE?平面BDD1B1，∴GE∥平面BDD1B1.(2)平面BDF∥平面B1D1H.證明證明由正方體性質(zhì)得B1D1∥BD，∵B1D1?平面BDF，BD?平面BDF，∴B1D1∥平面BDF.連結(jié)HB，D1F，易證HBFD1是平行四邊形，∴HD1∥BF.又∵HD1?平面BDF，BF?平面BDF，∴HD1∥平面BDF.∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.(1)判斷線面平行的兩種常用方法①利用線面平行的判定定理.②利用面面平行的性質(zhì)，即當(dāng)兩平面平行時，其中一平面內(nèi)的任一直線平行于另一平面.(2)判斷面面平行的常用方法①利用面面平行的判定定理.②面面平行的傳遞性(α∥β，β∥γ?α∥γ).③利用線面垂直的性質(zhì)(l⊥α，l⊥β?α∥β).反思與感悟跟蹤訓(xùn)練1

如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在線段PB上是否存在一點F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，請確定點F的位置；若不存在，請說明理由.解答解當(dāng)點F是PB的中點時，平面AFC∥平面PMD.證明如下：如圖，連結(jié)BD，和AC交于點O，連結(jié)FO.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是BD的中點.∴OF∥PD.又OF?平面PMD，PD?平面PMD，∴PF綊MA.∴四邊形AFPM是平行四邊形，∴AF∥PM.又AF?平面PMD，PM?平面PMD，∴AF∥平面PMD.又AF∩OF＝F，AF?平面AFC，OF?平面AFC，∴平面AFC∥平面PMD.例2

如圖，斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，點B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中點，且BC＝AA1.求證：(1)平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；類型二空間中的垂直關(guān)系證明證明設(shè)BC的中點為M，連結(jié)B1M.∵點B1在底面ABC上的射影恰好是點M，∴B1M⊥平面ABC.∵AC?平面ABC，∴B1M⊥AC.又∵BC⊥AC，B1M∩BC＝M，∴AC⊥平面B1C1CB.又∵AC?平面ACC1A1，∴平面ACC1A1⊥平面B1C1CB.(2)BC1⊥AB1.證明連結(jié)B1C.∵AC⊥平面B1C1CB，∴AC⊥BC1.在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∵BC＝AA1＝CC1.∴四邊形B1C1CB是菱形，∴B1C⊥BC1.又∵B1C∩AC＝C，∴BC1⊥平面ACB1，∴BC1⊥AB1.證明空間垂直關(guān)系的判定方法(1)判定線線垂直的方法①計算所成的角為90°(包括平面角和異面直線所成的角).②線面垂直的性質(zhì)(若a⊥α，b?α，則a⊥b).(2)判定線面垂直的方法①線面垂直定義(一般不易驗證任意性).②線面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，b∩c＝M?a⊥α).③平行線垂直平面的傳遞性質(zhì)(a∥b，b⊥α?a⊥α).④面面垂直的性質(zhì)(α⊥β，α∩β＝l，a?β，a⊥l?a⊥α).反思與感悟⑤面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β).⑥面面垂直的性質(zhì)(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ?l⊥γ).(3)面面垂直的判定方法①根據(jù)定義(作兩平面構(gòu)成二面角的平面角，計算其為90°).②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β).跟蹤訓(xùn)練2

如圖，A，B，C，D為空間四點.在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝

，等邊△ADB以AB為軸運動.(1)當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時，求CD；解答解

如圖，取AB的中點E，連結(jié)DE，CE，因為△ADB是等邊三角形，所以DE⊥AB.當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時，因為平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.(2)當(dāng)△ADB轉(zhuǎn)動時，是否總有AB⊥CD？證明你的結(jié)論.解當(dāng)△ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動時，總有AB⊥CD.證明如下：①當(dāng)D在平面ABC內(nèi)時，因為AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在線段AB的垂直平分線上，即AB⊥CD.②當(dāng)D不在平面ABC內(nèi)時，由(1)知AB⊥DE.又因為AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE，由CD?平面CDE，得AB⊥CD.綜上所述，總有AB⊥CD.解答例3

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.類型三平行與垂直的綜合應(yīng)用證明(1)求證：DC⊥平面PAC；證明

∵PC⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，∴PC⊥DC.又AC⊥DC，PC∩AC＝C，PC?平面PAC，AC?平面PAC，∴DC⊥平面PAC.(2)求證：平面PAB⊥平面PAC；證明證明∵AB∥CD，CD⊥平面PAC，∴AB⊥平面PAC，AB?平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAC.(3)設(shè)點E為AB的中點，在棱PB上是否存在點F，使得PA∥平面CEF？說明理由.解答解棱PB上存在點F，使得PA∥平面CEF.證明如下：取PB的中點F，連結(jié)EF，CE，CF，∵E為AB的中點，∴EF為△PAB的中位線，∴EF∥PA.又PA?平面CEF，EF?平面CEF，∴PA∥平面CEF.平行、垂直也可以相互轉(zhuǎn)化，如圖.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練3

在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點，EF∥DB.證明(1)已知AB＝BC，AE＝EC.求證：AC⊥FB；證明因為EF∥DB，所以EF與DB確定平面BDEF，如圖，連結(jié)DE.因為AE＝EC，D為AC的中點，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.因為FB?平面BDEF，所以AC⊥FB.(2)已知G，H分別是EC和FB的中點.求證：GH∥平面ABC.證明證明設(shè)FC的中點為I，連結(jié)GI，HI.在△CEF中，因為G是CE的中點，所以GI∥EF.又EF∥DB，所以GI∥DB.在△CFB中，因為H是FB的中點，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC，因為GH?平面GHI，所以GH∥平面ABC.類型四空間幾何體的表面積與體積例4

如圖，從底面半徑為2a，高為

a的圓柱中，挖去一個底面半徑為a且與圓柱等高的圓錐，求圓柱的表面積S1與挖去圓錐后的幾何體的表面積S2之比.解答空間幾何體的體積與表面積的計算方法(1)等積變換法：三棱錐也稱為四面體，它的每一個面都可作底面來處理，恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行換底等積變換便于問題的求解.(2)割補(bǔ)法：像求平面圖形的面積一樣，割補(bǔ)法是求幾何體體積的一個重要方法，“割”就是將幾何體分割成幾個熟悉的柱、錐、臺體或它們的組合體；“補(bǔ)”就是通過補(bǔ)形，使它轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何體.總之，割補(bǔ)法的核心思想是將不熟悉的幾何體轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何體來解決.反思與感悟(3)展開法：把簡單幾何體沿一條側(cè)棱或母線展開成平面圖形，這樣便把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，可以有效地解決簡單空間幾何體的表面積問題或側(cè)面上(球除外)兩點間的距離問題.(4)構(gòu)造法：當(dāng)探究某些幾何體性質(zhì)較困難時，我們可以將它放置在我們熟悉的幾何體中，如正方體等這些對稱性比較好的幾何體，以此來研究所求幾何體的性質(zhì).跟蹤訓(xùn)練4

如圖所示的正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，求三棱錐A1－AB1D1的高.解答解設(shè)三棱錐A1－AB1D1的高為h，當(dāng)堂訓(xùn)練1.如圖，AE⊥平面α，垂足為點E，BF⊥平面α，垂足為點F，l?α，C，D∈α，AC⊥l，則當(dāng)BD與l______時，平面ACE∥平面BFD.答案23451垂直解析當(dāng)BD⊥l時，由BF⊥l知，l⊥平面BDF.又同理可得l⊥平面ACE，所以平面ACE∥平面BFD.解析2.已知平面α∥β∥γ，兩條直線l，m分別與平面α，β，γ相交于點A，B，C和D，E，F(xiàn)，已知AB＝6，

，則AC＝_____.答案2345115解析而AB＝6，∴BC＝9，∴AC＝AB＋BC＝15.3.設(shè)m，n，l是三條不同的直線，α是一個平面，l⊥m，則下列說法正確的是_____.(填序號)①若m?α，l⊥α，則m∥α；

②若l⊥n，則m⊥n；③若l⊥n，則m∥n；

④若m∥n，n?α，則l⊥α.23451①答案解析解析若l⊥m，l⊥n，則m與n可能平行，也可能相交或異面，即②③都不正確；由l⊥m，m∥n，可得l⊥n，不一定有l(wèi)⊥α，即④不正確；23451對①，可在l上取一點P，過P作m′∥m，則m′⊥l，m′與l確定一個平面β，β∩α＝a，由l⊥α，得l⊥a.又m′，a，l同在平面β內(nèi)，則由l⊥m′，l⊥a，得m′∥a，于是m∥a，又m?α，所以m∥α.故填①.4.已知圓錐的母線長為10cm，側(cè)面積為60πcm2，則此圓錐的體積為_____cm3.答案2345196π解析圓錐的側(cè)面積為πrl＝10πr＝60π，得r＝6.解析5.如圖所示，PA⊥平面ABC，點C在以AB為直徑的圓O上，點E為線段PB的中點，點M在

上，且OM∥AC.求證：(1)平面MOE∥平面PAC；證明23451證明因為點E為線段PB的中點，點O為線段AB的中點，所以O(shè)E∥P