2-8-直線與圓的綜合應(yīng)用原卷版-講練課堂2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)培優(yōu)題典人教A版2

?2.8直線與圓的綜合應(yīng)用知識題型類型直線與圓的綜合應(yīng)用定值問題重點、考點定點問題重點、考點斜率和為零問題重點、考點直線與圓的綜合應(yīng)用的一般步驟：步驟具體內(nèi)容第一步設(shè)直線方程，注意討論直線斜率是否存在第二步聯(lián)立直線與圓方程消元化簡第三步根據(jù)韋達定理寫出兩根之和與兩根之積第四步根據(jù)題中所給的條件，帶入韋達定理考點一韋達定理的應(yīng)用考點一韋達定理的應(yīng)用例已知圓心在直線上的圓C與直線l：相切于點．例（1）求和圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若經(jīng)過點的直線m與圓C交于，兩點，且，求證：為定值．變已知圓M過點且與圓為同圓心，圓N與y軸負半軸交于點C.變（1）若直線被圓M截得的弦長為，求m的值；（2）設(shè)直線與圓M交于點A，B，記，，若，求k的值.考點二韋達定理的直接應(yīng)用考點二韋達定理的直接應(yīng)用例1在平面直角坐標(biāo)系中，圓過點、、.例1（1）求圓的方程；（2）是否存在實數(shù)a，使得圓與直線交于、兩點，且，若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由．例2設(shè)圓C的圓心在x軸的正半軸上，與y軸相交于點，且直線被圓C截得的弦長為.例2（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與圓C交于M，N兩點，那么以MN為直徑的圓能否經(jīng)過原點，若能，請求出直線MN的方程；若不能，請說明理由.例3在平面直角坐標(biāo)系中，，，動點P滿足，其中.例3（1）求點P的軌跡方程C，并說明C表示的曲線；（2）當(dāng)時，過點作直線l與曲線C交于A?B兩點.若，求直線l的斜率.例4已知圓與圓關(guān)于直線對稱，且被直線截得的弦長為．例4（1）求圓的方程；（2）若，為圓上兩個不同的點，為坐標(biāo)原點．設(shè)直線，，的斜率分別為，，當(dāng)時，求的取值范圍．變1已知直線與圓相交于，不同兩點.變1（1）若，求的值；（2）設(shè)是圓上一動點，為坐標(biāo)原點，若，求點到直線的最大距離．變2已知圓：，變2（1）若過定點的直線與圓相切，求直線的方程；（2）若過定點且傾斜角為30°的直線與圓相交于，兩點，求線段的中點的坐標(biāo)；（3）問是否存在斜率為1的直線，使被圓截得的弦為，且以為直徑的圓經(jīng)過原點？若存在，請寫出求直線的方程；若不存在，請說明理由.變3在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓C的方程為.變3（1）求實數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)時，經(jīng)過坐標(biāo)原點O的直線l與圓C交于M，N兩點.（i）若時，求直線l的方程；（ii）若點，分別記直線PM?PN的斜率為，，求的值.變4已知過點且斜率為的直線與圓：交于，兩點；變4（1）求的取值范圍；（2）若，其中為坐標(biāo)原點，點的軌跡與的中垂線交于點，求的面積.考點三定值問題考點三定值問題例1已知曲線C的方程是.例1（1）證明曲線C是一個圓；（2）直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點且不與y軸重合，l與圓C相交于?兩點，求證：為定值；（3）斜率為1的直線m與圓C相交于D，E兩點，求直線m的方程，使的面積最大.例2已知、B、C為圓O：（）上三點．例2（1）若直線BC過點，求面積的最大值；（2）若D為曲線上的動點，且，試問直線AB和直線AC的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.變1已知點關(guān)于直線的對稱點為Q，以Q為圓心的圓與直線相交于A，B兩點，且．變1（1）求圓Q的方程；（2）過坐標(biāo)原點O任作一直線交圓Q于C，D兩點，求證：為定值．變2在平面直角坐標(biāo)系中中，已知圓心在x軸上的圓C經(jīng)過點，且被y軸截得的弦長為，經(jīng)過坐標(biāo)原點O的直線l與圓C交于M，N兩點.變2（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求當(dāng)滿足時對應(yīng)的直線l的方程；（3）若點，分別記直線PM?直線PN的斜率為，，求證：為定值.變3已知平面直角坐標(biāo)系上一動點到點的距離是點到點的距離的2倍.變3（1）求點的軌跡方程；（2）設(shè)，線段的中點為，求點的軌跡方程；（3）若斜率為的直線與點的軌跡相交于異于原點的兩點，，直線，的斜率分別為，，且，求直線與軸的交點的坐標(biāo).變4已知過點的動直線l與圓相交于P，Q兩點，M是PQ中點，l與直線相交于N．變4（1）當(dāng)PQ=時，求直線l的方程；（2）是否為定值？如果是，請求定值；若不是請說明理由.考點四定點問題考點四定點問題例1已知圓C的圓心在直線上，且圓C經(jīng)過，兩點.例1（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)直線與圓C交于A，B（異于坐標(biāo)原點O）兩點，若以AB為直徑的圓過原點，試問直線l是否過定點？若是，求出定點坐標(biāo)；若否，請說明理由.例2在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，以原點O為圓心的圓截直線所得線段的長度為.例2（1）求圓O的方程；（2）若直線與圓O相交于M，N兩點，且，求t的值；（3）在直線上是否存在異于A的定點Q，使得對圓O上任意一點P，都有（為正常數(shù)）？若存在，求出點Q的坐標(biāo)及的值；若不存在，請說明理由.變1平面直角坐標(biāo)系中，已知圓M過坐標(biāo)原點O且圓心在曲線上．變1（1）若圓M分別與x軸、y軸交于點A、B（不同于原點O），求證：的面積為定值；（2）設(shè)直線直線：與圓M交于不同的兩點C，D，且，求圓M的方程；（3）設(shè)直線與（2）中所求圓M交于點E、F，P為直線上的動點，直線，與圓M的另一個交點分別為G，H，求證：直線過定點．變2已知圓過點，且圓心在軸．變2（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）圓與x軸的負半軸的交點為，過點作兩條直線分別交圓于，兩點，且，求證：直線恒過定點．變3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A在直線上，B（7，3），以線段AB為直徑的圓C（C為圓心）與直線l相交于另一個點D，AB⊥CD.變3（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點A不在第一象限內(nèi)，圓C與x軸的正半軸的交點為P，過點P作兩條直線分別交圓于M，N兩點，且兩直線的斜率之積為－5，試判斷直線MN是否恒過定點，若是，請求出定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.考點五斜率和為零問題考點五斜率和為零問題例1圓例1（1）若圓C與x軸相切，求圓C的方程；（2）已知，圓C與x軸相交于M，N（點M在點N的左側(cè)），過點M任作一條直線與圓相交于A，B兩點，間：是否存在實數(shù)a，使得？若存在，求出實數(shù)a的值，若不存在，請說明理由．例2圓．例2（1）求證：不論為何值，圓必過兩定點；（2）已知，圓與軸相交于兩點，（點在點的左側(cè)）．過點任作一條與x軸不重合的直線與圓相交于兩點，，問：是否存在實數(shù)a，使得？若存在，求出實數(shù)a的值，若不存在，請說明理由．變1已知直線，半徑為的圓與相切，圓心在軸上且在直線的右上方.變1（1）求圓的方程；（2）過點的直線與圓交于兩點在軸上方），問在軸正半軸上是否存在定點，使得x軸平分？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.變2已知直線：，半徑為2的圓與相切，圓心在軸上且在直線的右上方.變2（1）求圓的方程；（2）直線與圓交于不同的，兩點，且，求直線的斜率；（3）過點的直線與圓交于，兩點(在軸上方)，問在軸正半軸上是否存在定點，使得x軸平分？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.1.已知圓C經(jīng)過點，圓C的圓心在圓的內(nèi)部，且直線被圓C所截得的弦長為.點P為圓C上異于A，B的任意一點，直線PA與x軸交于點M，直線PB與y軸交于點N.（1）求圓C的方程；（2）若直線與圓C交于A1，A2兩點，求.2.已知圓：經(jīng)過點，.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線：與圓交于M，N兩點，是否存在直線，使得.（為坐標(biāo)原點）?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，點，過點的直線與圓交于不同的兩點（不在y軸上).（1）若直線的斜率為3，求；（2）設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值，并求出該定值；（3）設(shè)的中點為，是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.4.已知圓經(jīng)過原點且與直線相切于點.（1）求圓的方程；（2）在圓上是否存在關(guān)于直線對稱的兩點，使得以線段為直徑的圓經(jīng)過原點？若存在，寫出直線的方程；若不存在，請說明理由.5.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)圓的圓心為，．（1）若，是圓的兩條切線，，是切點，為圓心，求四邊形的面積；（2）若過點且斜率為的直線與圓相交于不同的兩點，．設(shè)直線、的斜率分別為，，問是否為定值？若是，求出這個定值，若不是，請說明理由．6.已知斜率為的直線過點，圓與交于兩點，線段中點是.（1）若，求坐標(biāo)（2）若直線與直線交點是P，那么是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，說明理由．7.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓心在x軸上的圓C經(jīng)過點，且被y軸截得的弦長為.經(jīng)過坐標(biāo)原點O的直線l與圓C交于M，N兩點（1）求當(dāng)滿足時對應(yīng)的直線l的方程；（2）若點，直線與圓C的另一個交點為R，直線與圓C的另一個交點為T，分別記直線l、直線的斜率為，求證：為定值.8.已知圓的圓心坐標(biāo)為，且該圓經(jīng)過點．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點也在圓上，且弦長為8，求直線的方程；（3）直線交圓于，兩點，若直線，的斜率之積為2，求證：直線過一個定點，并求出該定點坐標(biāo)．9.已知在中，點，，點在直線下方，且．（1）求的外接圓的方程；（2）過點的直線與圓交于、兩點在軸上方），在軸上是否存在定點，使得軸平分？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．10.已知圓過點，且圓心在軸．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）圓與軸的負半軸的交點為，過點作兩條直線分別交圓于，兩點，且，求證：直線恒過定點．11.已知圓經(jīng)過，，三點．（1）求圓的方程；（2）設(shè)點在圓上運動，點，且點滿足，記點的軌跡為．①求的方程；②試探究：在直線上是否存在定點（異于原點，使得對于上任意一點，都有為一常數(shù)，若存在，求出所有滿足條件的點的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．12.已知直線：，半徑為的圓與相切，圓心在x軸上且在直線的右上方.（1）求圓的方程；（2）過點的直線與圓交于，兩點(在x軸上方)，問在x軸正半軸上是否存在定點，使得x軸平分？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理