工程數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題及答案

工程數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題

一、單項(xiàng)選擇題

1.設(shè)Z]=1-2/,z2=-6+2/,，則Z1+z2的幅角為[D]

recn-八八

A.---B.—C.0D.4

22

2.常數(shù)1的傅氏變換為[C]

A.S(co)B.茄(。)C.2協(xié)(。)D.—+7tS(CO)

is

3.函數(shù)/（2）=〃（乂〉）+加（羽丁）在20點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件是【C】

3〃3y3〃dv

A.u(x,y)#(x,y)在z()點(diǎn)可微B.在z。點(diǎn)二-=二-，二-二

oxoydydx

C.在z0點(diǎn)〃(x,y),y@,y)可微且半=翌,要=一生

D.f（z）在z0點(diǎn)連續(xù)4.z=-l是函數(shù)

dxoyoyox

加）=*方的⑹

A.二級(jí)零點(diǎn)B.三級(jí)零點(diǎn)C.二級(jí)極點(diǎn)D.三級(jí)極點(diǎn)

5.的傅氏變換為［B］

A.b(0-g)B.2TH8(co-(OQ)C.2彘(①)D.24

6.某級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)【D】

（A）可以積分兩次（B）可能發(fā)散(C)可能收斂（D）絕對(duì)收斂

7.1的拉氏變換為【A】

111+血（S）

A.-B.—C.曲（s）D.

jsJS

8.sin3f的拉氏變換為［D]

113

A.----B.-c.D.——

5-3?+9S+9

9.若函數(shù)/（z）在z.不連續(xù)，則[D]

B.Um[/(z)-/(z)]=O

A.lim/(z)=/(z0)o

ZT飛Zf/

D.lim[/(z)-/(zo)]^0

C.lim/(z0+Az)=/(z0)

ZTZo

10.哥級(jí)數(shù)￡（3Z）"的收斂半徑是［B］

n-0

A.1B.C.OD.3

3

11.函數(shù)小在z°=0展開成的泰勒級(jí)數(shù)是【A】

89

B?小F

'A商

2〃-loo2〃

c.y(-i),t——D.y(-ir-^—

占(2〃+l)!S(2〃)!

12.設(shè)z0是f(z)的孤立奇點(diǎn)，z0是f(z)的二級(jí)極點(diǎn)，則Res"(z),z0]=[D]

ZZ2

A.c]B.lim(z-z0)/(z)C.0D.lim—[(-0)/(2)]

2->飛ZTZ0(jz

13.設(shè)z0是f(z)的孤立奇點(diǎn)，z0是/(z)的4級(jí)極點(diǎn)，則Res"(z),z0]=[A]

兒螞*[("N。"⑶]

B.lim(z-z0)/(z)

ZTZQ

D.lim；[(z-Zo)2/(z)]

C.0

ZT2”(JZ

14.設(shè)Z[=6-7i,Z2=-6+2i,,則Z[+Z2的幅角為【A1

n幾八八

A.---B.—C.0D.7T

22

15.8的拉氏變換為【A】

881

A.-B.—C.8^z^(s)D.—

Sjsjs

16若函數(shù)f(z)在Zo不連續(xù)，則【D】

B.liin[/(z)-/(zo)]=O

A.Bin/(z)=/(z0)

ZTZo

C.lim/(z0+Az)=/(z0)D.lim/(z)^/(z0)

Az->0ZTZQ

17若f(z),g(z)在單連域G內(nèi)解析且g(z)0O,C為G內(nèi)任意一條閉曲線，則，[/(z)/g(z?/z=[A]

A.0B.2萬(f(O)/g(O)C.2兀iD.2%

18.函數(shù)/(2)=〃*,丁)+加(了,了)在2€點(diǎn)解析的充要條件是[C]

/、/、*上r訕c“

A.〃(x,y),u(x,y)在z0點(diǎn)可微B.在z0點(diǎn)-二du[=二dv，丁du二一二d-v

oxoydyox

C“上/、/、-rwr,8"8yOUdv

C在z。點(diǎn)〃可微且詼二詼，詼二一瓦D./(z)在Z。點(diǎn)可導(dǎo)

19j(Z)=z3在Z平面上[C]

A.可導(dǎo)不解析B.連續(xù)不可導(dǎo)C.處處解析D.有奇點(diǎn)

20.設(shè)f(z)在單連域G內(nèi)解析，C為G內(nèi)任意一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，是C內(nèi)的一點(diǎn)，則積分

--------$dz=[B]

27Vi/ri

A.----B.0C.27rtD.—

4;2

21若f(z),g(z)在單連域G內(nèi)解析，C為G內(nèi)任意一條閉曲線，則￡.[/(Z>g(Z)Nz=[A]

A.0B.2萬爐(0)g(0)C.IniD.2乃

22.20的拉氏變換為[A]

20

ATB.—C.40屆⑸D.—+5^G0

js

23.sin5,的拉氏變換為[D]

115

A.----B.C.-----D.--------

5-5s2+25$2+25

24.常數(shù)5的傅氏變換為【C】

A.10^(69)B.20萬(⑼C.10彷{co)D.—+5涵(CD)

25.設(shè)/(z)在區(qū)域G內(nèi)解析,C為G內(nèi)任意一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，Z。是C內(nèi)的一點(diǎn)，則積分

z

dz=【B】

(z-Zo)5

2兀iTri

A.——B.0C.27ctD.—

4!2

26./(z)=sinz+zcosz在z平面上【C】

A.可導(dǎo)不解析B.連續(xù)不可導(dǎo)C.處處解析D.有奇點(diǎn)

27品級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)(A)

A.可以積分任意次B.必發(fā)散可能收斂，可能發(fā)散D.非絕對(duì)收斂

28.COS6,的傅氏變換為[B]

A.+6)-8(a)-6)]B.+6)+8{(D-6)]

C.j7r[S(co+6)--6)]D.j7r[S(co+6)+8(co-6)]

29.函數(shù)ln(l+z)在z0=0展開成的泰勒級(jí)數(shù)是【B】

008

■蔡

82/t+l

c.——D.Z(-ir

占(2/i+D!n=0(2M)!

30.設(shè)f（z）在單連域G內(nèi)解析，C為G內(nèi)任意一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，Z。是C內(nèi)的一點(diǎn)，則積分

T^dz=[Al

(z-z。)

A2m(z。)B0

C.2^(f(z0)D.2萬/(4)(o)

4!

31.常數(shù)10的傅氏變換為[B]

C.10芯(⑼D.」-+10茁3)

A.203((0)B.20萬(d>)

j3

32.設(shè)％=2-5i,Z2=-2+2i,,則|5Z]+5Z2〔=[B]

A.-15B.15c.25D.-25

33.sin61的傅氏變換為[C]

A.7^(0)+6)-8(co-6)]B,4團(tuán)6?+6)+3(刃一6)]

C.)疝5(刃+6)-5(刃—6)]D.j7i\3{co+6)+8(co-6)]

34.2=-1是函數(shù)/(2)=的[A]

A.可去奇點(diǎn)B.本性奇點(diǎn)C.二級(jí)極點(diǎn)D.三級(jí)極點(diǎn)

35.若函數(shù)/(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z0=x()+iyG連續(xù)，則[C]

A.〃（%,丁）在（％0，%）不連續(xù)B.w/y)在(％,%)不連續(xù)

C.?(x,y),卜(國(guó)丁)在(人0，打)均連續(xù)D.lim/(z)工/(z0)

ZTZo

36.10的拉氏變換為【A】

A.—B.—C.10TZ^(5)D.---FIOTZ^(S)

Sjsjs

37.函數(shù)COSZ在Z°=0展開成的泰勒級(jí)數(shù)是【D】

8_/18Rl

ASv

32n+loo271

c.—

S(2〃+l)!D，麗I

38,的拉氏變換為[A]

39.塞級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)【A】

A.可以微分任意次B.必發(fā)散C.可能收斂，可能發(fā)散D.非絕對(duì)收斂

40品級(jí)數(shù)之」一Z”的收斂半徑是【A】

A.1B.+ooC.0D.2

41.函數(shù)/(2)=〃(乂、)+江(羽丁)在區(qū)域。內(nèi)解析的條件是[C]

A.〃(x,y),y(x,y)在區(qū)域￡)內(nèi)可微B.在區(qū)域。內(nèi)F=一二

oxoyoyox

aaaa

C.在區(qū)域。內(nèi)〃(x,y),u(x,y)可微且一■=*，￥■=-?D.以上都不對(duì)

oxdydydx

42.函數(shù)/(2)=〃*,了)+加*,刃在20=X0+?)'0連續(xù)的條件是【C】

A.〃*4)在(%,丁0)連續(xù)B.貝尤丁)在(工0，〉0)連續(xù)

C.lim/(z)=/(z)D.lim/(z)工/(z)

ZT飛0ZTZfl0

(_n3

43.z=l是函數(shù)f(z)=z；2；)3的【A】

A.可去奇點(diǎn)B.本性奇點(diǎn)C.二級(jí)極點(diǎn)D.三級(jí)極點(diǎn)

44.設(shè)Z]=2-5Z,z2=一2+2i,,則5Z[+5z2=[A]

A.—15/B.15zC.5+5iD.5—5i、

45品級(jí)數(shù)的收斂半徑是【B】

M；n\

A.1B.+8C.0D.2

46.下列說法正確的是【A】

A.若/(z)在Z0某個(gè)鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則/(Z)在z0處解析

B.若/(Z)在Z。不解析，則f(z)在Z。處不可導(dǎo)

C.若f(z)在Zo處不可導(dǎo)，則f(z)在％處不連續(xù)

D.若/(z)在Zo處連續(xù),則f(z)在Zo可導(dǎo)

47.設(shè)z0是f(z)的孤立奇點(diǎn)，Zo是/(z)的一級(jí)極點(diǎn)，則Res"(z),z0]=[D]

A.B.C.-1D.lim(z-z)/(z)

ZTZo0

48.z=1是函數(shù)f(z)=――^—―的【D】

A.可去奇點(diǎn)B.本性奇點(diǎn)C.二級(jí)極點(diǎn)D.三級(jí)極點(diǎn)

49.常數(shù)5的傅氏變換為【B】

D.^-+5謔⑼

A.1053)B.10諼(⑼C.2萬(⑼

j3

50.設(shè)f(z)在單連域G內(nèi)解析，C為G內(nèi)任意一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，z°是C內(nèi)的一點(diǎn)，則積分，至2&=

[A]

A.24爐(Zo)B.0C.ITIID.2笈爐(0)

51./，的拉氏變換為[A]

3

A.----B.C.——

5-3$219s2I9

52.幕級(jí)數(shù)的收斂半徑是【D】

n=O

1

A.4B.一c.oD.2

2

53./(z)=sinz在z平面上【C】

A.可導(dǎo)不解析B.連續(xù)不可導(dǎo)C.處處解析D.有奇點(diǎn)

54.sin2/的傅氏變換為【C】

A.7i\8(co+coQ)-8{co-coQ)\B.+g)+5(。-g)]

C.)4同G+g)-5(3-g)]D.)乃6(0+g)+5(3-g)]

55.f(z),g(z)在單連域G內(nèi)解析，C為G內(nèi)任意一條閉曲線，則，[/(z)-g(z?/z=[A]

A.0B.2萬丁(0)C.IniD.2〃

56.2=7是函數(shù)/(2)二一」一^的【D】

z(z2+l)3

A.可去奇點(diǎn)B.本性奇點(diǎn)C.二級(jí)極點(diǎn)D.三級(jí)極點(diǎn)

57.設(shè)/(z)在區(qū)域G內(nèi)解析,C為G內(nèi)任意一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，Z。是C內(nèi)的一點(diǎn)，則積分

A.2笈if'(Zo)B.0C.2KiD.2%爐'(0)

58鼎級(jí)數(shù)在收斂圓上[C]

A.必收斂B.必發(fā)散C.可能收斂，可能發(fā)散D.絕對(duì)收斂

59品級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)【D】

(A)收斂于非解析函數(shù)f(z)(B)必發(fā)散(C)可能收斂，可能發(fā)散(D)絕對(duì)收斂

60.函數(shù)/(z)在z0的某個(gè)鄰域內(nèi)展開成泰勒級(jí)數(shù)的條件是【A】

A.f(z)在Z。的某個(gè)鄰域內(nèi)解析B./(Z)在Z。的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)

C./(z)在z0可導(dǎo)D./(z)在Z。連續(xù)且可導(dǎo)

61.函數(shù)sinz在Z。=0展開成的泰勒級(jí)數(shù)是【C】

8〃con+i

A.七y〃—！B.七y—〃+1

8.2w+loo2n

c.y(-i)rt--------D.y(-1)"—

62j(z)=，在z平面上[C]

A.可導(dǎo)不解析B.連續(xù)不可導(dǎo)C.處處解析D.有奇點(diǎn)

63.常數(shù)3的傅氏變換為[C]

A.63(69)B.2忿(⑷C.6芯(⑷D.——+葩3)

汝

64.下列說法正確的是[B]

A.若/(Z)在Z。處可導(dǎo)，則f(z)在z.處解析

B.若f(z)在Z。處解析，則f(z)在Z。處可導(dǎo)

C.若/(z)在Z。處引導(dǎo)，則/(z)在Z。處小連續(xù)

D.若/(z)在Z。處連續(xù),則，(z)在Z?？蓪?dǎo)

65.5的拉氏變換為[A]

A.-B.--C.^>7VS(5)D.---h7lS(5)

Sjsjs

66.設(shè)Z[=3-4i,Z2=-2+3i,,則4Z[+6z2=[A]

A.1iB.2c.2+2/D.2-2z

67.設(shè)是f(z)的孤立奇點(diǎn)，z0是/(z)的本性奇點(diǎn)，則Res"(z),z0]=[D]

A.B.C.-1D.J

68.cosgf的傅氏變換為【B】

A.7l\3((O+690)-^(69-)]B.乃畫G+g)+5(0-g)]

C.j;r[5(G+g)-5(G-%)]D.)萬忸(④+g)+5(0-g)]

69j(z),g(z)在單連域G內(nèi)解析，C為G內(nèi)任意一條閉曲線，則t[/(z)+g(z)kz=[A]

A.0B.2^(/,(0)C.2萬，D.In

70.函數(shù)/(z)=?(x,y)+zv(x,y)在Zo=%+iy0連續(xù)的條件是[C]

人.以匹歷在^^^^連續(xù)B.y(x,y)在(％,打)連續(xù)

C.u(x,y),貝乂丁)均在(％,光)連續(xù)D.〃(x,y),u(x,y)均不在(/，打)連續(xù)

71.COS3E的拉氏變換為[C]

11s3

A.----B.—C.-----D.-----

5-3s52+9s2+9

72./(Z)在單連域G內(nèi)解析，C為G內(nèi)任意一條閉曲線，則積分，/(Z)dz=[A]

A.0B.27礦(0)C.IniD.2萬

73品級(jí)數(shù)Z(2z)”的收斂半徑是[B]

n=0

A.1B.-C.OD.2

2

74.設(shè)z0是f(z)的孤立奇點(diǎn)，z0是/(z)的可去奇點(diǎn)，則Res[/(z),z0]=[C]

A.1B.2C.0D.-1

75./(Z)=COSZ在z平面上[C]

A.可導(dǎo)不解析B,連續(xù)不可導(dǎo)C.處處解析D.有奇點(diǎn)

二：填空題

2—cosz

1.設(shè)/(z)=—p—,則Z=0是/(2)的二^_極點(diǎn)

2.若函數(shù)/(z)在Zo=0處的導(dǎo)數(shù)為1,則.f(z)-z'/'(Zo)在z0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為【1】

3.函數(shù)/(Z)在Z。點(diǎn)可導(dǎo)，/(2)一^'(20)在2。點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為[()]

6.級(jí)數(shù)f(5z)”的收斂半徑為[1/5]

n=0

7.sinAf(%為常數(shù))的傅氏變換為"(b(?+6(。一欠))

8.10的幅角為【0】

9.函數(shù)f(z)在z0點(diǎn)可導(dǎo)，〃z)在z0點(diǎn)必【連續(xù)】

10.連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍然是【連續(xù)函數(shù)】

11若函數(shù)/仁)在20=1處可導(dǎo)，則f(Z)-z2/(Z。)在Z。點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為[-//(I)]

12.['zdz=[1/2]

Jo

13.[2coszdz=[1]

Jo

14.設(shè)/(2)-匕J,則Z=0是f(z)的【4級(jí)】極點(diǎn)

2

15.尸的拉氏變換為(4)

s

16.1的拉氏變換為[l/s]

17.1----dz=2加i

J|=3|=lz—3——

2-e:

18.設(shè)/(z)=——,則z=0是/(z)的【5級(jí)】極點(diǎn)

z

19.3+3i的幅角為【二】

4

20."的傅氏變換為【2遁(0—1)]

21.3(f)的傅氏變換為【1】

ZZ.ReslJyQk[0]

z

23.i的幅角為[-]

2

24.1—--dz=[0]

年|=32-6

25.f2sinzdz=[1]

Jo

26.解析函數(shù)的和、差、積仍然是【解析函數(shù)】

27.哥級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上【解析】

28.1—dz=[0]

M=i2-5

29.Rej[—,0]=[-]

5z5

30.設(shè)f(z)=2-sm，cosz,則z=。是y(z)的【3級(jí)】極點(diǎn)

z

31./的拉氏變換為」一

5-1

32.級(jí)數(shù)f(—2z)”的收斂半徑為11/2]

n?O

33.5(f)的拉氏變換為[1]

88

34.設(shè)a?=an+ibn,n=1,2,…，若Z|aJ收斂，則Z%[收斂]

ft=lJls|

35.l+2i的模為『5

36.Re5[—,0]=[0]

37.〃的拉氏變換為【T】

m+1

J

38.級(jí)數(shù)￡(-3Z)”的收斂半徑為[1/3]

n?O

39.在復(fù)數(shù)域內(nèi)，斷言|cosz|41是一錯(cuò)誤的

40.C(C為常數(shù))的傅氏變換為【2水33)】

41.Re5[—,0]=[-]

2z2

2-z5

42.設(shè)/(z)=——,則2=0是/(z)的15級(jí)】極點(diǎn)

Z

43.級(jí)數(shù)￡z"的收斂半徑為1

n=O

44.6(f)的傅氏變換為【11

45.在復(fù)數(shù)域內(nèi)，斷言kinz|Kl是【錯(cuò)誤的】

46.函數(shù)/(z)在Z。點(diǎn)解析，〃z)在z0點(diǎn)必可導(dǎo)

47.級(jí)數(shù)￡(—z)”的收斂半徑為【I】

71=0

48.Re.01=1

z

49.1+i的幅角為[-]

4

8

50.設(shè)%=〃〃+歷〃,〃=1,2,…，則Xa“收斂的必要條件是所a“=0

三：名詞解釋

1.調(diào)和函數(shù)

如果二元實(shí)函數(shù)”(x,y)在區(qū)域O內(nèi)具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足拉普拉斯方程△〃=(),則稱

”(羽))為區(qū)域。內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。

2.對(duì)數(shù)函數(shù)

把指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù).即稱滿足方程e"=z(z工0)的w為復(fù)數(shù)z的對(duì)數(shù)函數(shù)。

3.柯西積分定理

若函數(shù)/(z)在單連域。內(nèi)解析，則/(z)沿。內(nèi)任意一條閉曲線C'有￡j(z)dz=0。

4.留數(shù)定理

若函數(shù)/(z)在正向簡(jiǎn)單閉曲線。上處處解析，在C的內(nèi)部除有限個(gè)奇點(diǎn)4，Z2，???,Z〃外處處解析，則有

jf(z)dz=2加￡Res[f(z\zk]。

&=i

5.留數(shù)

設(shè)Zo(Z0W8)是函數(shù)f(z)孤立奇點(diǎn)，。為去心鄰域O<|z-Zok5內(nèi)任一條圍繞點(diǎn)z0的正向簡(jiǎn)單閉曲

線，則稱積分」一1f(z)dz為/(z)在點(diǎn)Zo處的留數(shù)。

2/riJc

6折氏變換

設(shè)函數(shù)當(dāng)，之。時(shí)有定義，且積分「f{t}e-s,dt(s為復(fù)參量)在s的某個(gè)域內(nèi)收斂，則由此積分所確

J0

定的函數(shù)戶(s)=pf(t)e-xtdt稱為函數(shù)f\t)的拉氏變換.

J0

7.洛朗級(jí)數(shù)

把含有z-z0的正負(fù)整數(shù)次幕的級(jí)數(shù)叫洛朗級(jí)數(shù)。

8.加級(jí)零點(diǎn)

若/(Z)在Z。點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)/(z)=￡c”(z—Z。)”所含z-z0的最低次幕為(Z-Z。)“，其中c,“H0,則

n-m

稱z0是f(z)的機(jī)級(jí)零點(diǎn)。

9.本性奇點(diǎn)

如果函數(shù)/(z)在點(diǎn)z0的洛朗級(jí)數(shù)中，含有無限多個(gè)Z-Z。的負(fù)密項(xiàng)，則稱孤立奇點(diǎn)Z。是函數(shù)/(Z)的本性

奇點(diǎn)。

10.拉氏變換卷積定義

設(shè)函數(shù)工⑺，人⑺滿足條件，當(dāng)，<0時(shí)工⑺=人(。=0,則稱積分J：/(7)人。一匯川匯為函數(shù)工⑺

與72⑺的卷積。

11.解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式

若函數(shù)/(z)在正向簡(jiǎn)單閉曲線C上及其內(nèi)部解析，則對(duì)于C內(nèi)的任意一點(diǎn)Z。有

(n)

/(z())=—I,⑶dz5=1,2,…)。

J+,

J)2^c(z-z0r

12.解析函數(shù)

如果函數(shù)/(z)在區(qū)域D內(nèi)處處解析，稱/(z)是區(qū)域D上的解析函數(shù)。

13區(qū)域

平面點(diǎn)集。是連通的開集，稱。是區(qū)域。

14.機(jī)級(jí)極點(diǎn)

如果函數(shù)/(Z)在點(diǎn)Z。的洛朗級(jí)數(shù)中，只含有有限多個(gè)Z-Z。的負(fù)察項(xiàng)，且關(guān)于(Z-Z?！旱淖罡呷?/p>

m

(z-z0)-,則稱孤立奇點(diǎn)z0是函數(shù)f(z)的m級(jí)極點(diǎn)。

15.函數(shù)/(z)在Z。點(diǎn)解析

如果函數(shù)/(Z)在點(diǎn)Z。的某個(gè)鄰域汽6?0)內(nèi)處處可導(dǎo)，則f(z)在點(diǎn)Z。解析。

16.付氏變換卷積定義

已知函數(shù)工⑺,力⑺，稱積分匚工3f2。-r)dr為函數(shù)工⑴,f2⑺的卷積

17.孤立奇點(diǎn)

如果函數(shù)/(Z)在點(diǎn)Z。不解析，但在Z。的某個(gè)去心鄰域O<|z-Zo|vb內(nèi)處處解析，則稱Z。為/(Z)的孤

立奇點(diǎn),

18.可去奇點(diǎn)

如果函數(shù)/(Z)在點(diǎn)Z。的洛朗級(jí)數(shù)中，不含有Z-Z。的負(fù)耗項(xiàng)，則稱孤立奇點(diǎn)Z。是函數(shù)/(Z)的可去奇點(diǎn)。

19.付氏變換

若函數(shù)/⑺在(-8,+X))上滿足：(1)在任意有限區(qū)間上滿足狄氏條件；(2)絕對(duì)可積，即匚］/。)打收

斂。稱/(。)=明力叫做/("的傅氏變換.

J-O0

20.指數(shù)函數(shù)

對(duì)任意的復(fù)數(shù)z=x+iy,規(guī)定函數(shù)w=ex(cosy+isiny)為復(fù)數(shù)z的指數(shù)函數(shù)

四：計(jì)算題

1.計(jì)算下列積分

被積函數(shù)/(z)=巖小■在園周目=4內(nèi)有一級(jí)極點(diǎn)Z=0和二級(jí)極點(diǎn)z=1,

4z-2

由留數(shù)的計(jì)算規(guī)則：Res[f(z\O]=lim-----r=-2

z-X)(2-1)-

于是由留數(shù)定理得，產(chǎn)策F1Tdz=2;ri{Re5[/(Z),O]+Res[/(z)』}

rcosz

(2)!2l=3(z-r)10dz

函數(shù)在園周lZl=3內(nèi)有一個(gè)奇點(diǎn)Zo=i，而函數(shù)f(z)=cosz在同=3上及其內(nèi)部解析。

于是由解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式有:

主值為

(2)判別函數(shù)/(z)=2(sinxchy'+ico&vshy)在那些點(diǎn)口J導(dǎo)，在那些點(diǎn)解析。

j

w(x,y)=2sinAchy,v(x,y)=2cosxsh)，ux=2cosxchy,uY=2sinxshy

顯然〃(x,y),y(x,y)在復(fù)平面上處處可微且〃x=匕,，uv=-vt

所以函數(shù)/(z)在復(fù)平面上是處處可導(dǎo)，處處解析。

3.函數(shù)f(z)=(z_2)(z_l)在圓環(huán)域2<以一3<6內(nèi)是處處解析，試把/(z)在該域內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù)。

由于2clz—3|<6,所以

.心一1一______1^(-ir-(-2)w

)"(z-2)(z-l)-z-?2z-l-S(z—3產(chǎn)

4.(1)將復(fù)數(shù)-J3+i化為三角表示式和指數(shù)表示式。

一的三角表示式為：一-2(以”葛+1$出苗

5K.

-V3+/的指數(shù)表示式為—百+i=2er

(2)計(jì)算(一戶+式/+。

(-V3+z)6(V34-/)=26(cos葛+zsin葛)(V3+Z)

=2,(cos5萬+zsin5^)(V3+，

=26(-V3-Z)

5.(1)將復(fù)數(shù)\I：化為二角表示式和指數(shù)表示式。

22

百1，s—名生一十小6J5〃.5乃

-----H一的二角表示式為：-----1—=cos—+1sin—

222266

73i一也i*

-----1的指數(shù)表示式為-----1=66

2222

=(cos5^+/sin5^

V3_￡

V-2

6.(1)求(1-⑻

及其相應(yīng)的主值。

-+<ln2

主值為《3

(2)判別函數(shù)/(z)=2e'[cosy+isin)，)在那些點(diǎn)可導(dǎo)，在那些點(diǎn)解析

xx

w(x,y)=2e"cosy,v(x,y)=2e'siny,ux=2ecosy,〃丫=-2esiny

顯然w(x,y),v(x,y)在復(fù)平面上處處可微且v=一七

所以函數(shù)/(z)在復(fù)平面上是處處可導(dǎo)，處處解析。

7.計(jì)算下列積分

4z-8

(1)dz

L=4(Z—2)2(Z—1)

4z-8

被枳函數(shù)，(z)=在園周忖=4內(nèi)有一級(jí)極點(diǎn)z=2和一級(jí)極點(diǎn)z=l,

(Z-2)2(Z-1)

4

由留數(shù)的計(jì)算規(guī)則：Re5[/(z),2]=lim------=4

ZT2(Z-1)

于是由留數(shù)定理得

z8+ez

78+p'

82

函數(shù)——F在園周目=3內(nèi)有一個(gè)奇點(diǎn)zQ=i,而函數(shù)f(z)=z+e在國(guó)=3上及其內(nèi)部解析。

(z-i)

于是由解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式有:

+ezdz=等"(，)=罟靖

2?ii

=----e

9!

8.計(jì)算下列積分

8z—8

(1)I-------------dz

J|Z|=4(Z-2)(Z-1)2

8z—8

被積函數(shù)/(z)=.2)(z］尸在園周忖=4內(nèi)有一級(jí)極點(diǎn)z=2和一級(jí)極點(diǎn)z=1

Xz—X

由留數(shù)的計(jì)算規(guī)則：Re4/(z),2]=lim-^-^-=8

ZT2(Z—1)2

于是由留數(shù)定理得

小rZ+COSZ.

(2)4-------dz

^|=3(z-Z)10

8

函數(shù)z+c°［；z在園周忖=3內(nèi)有--個(gè)奇?點(diǎn)z0=i,而函數(shù)f(z)=z8+cosz在忖=3上及其內(nèi)部解析。

(z—i)

于是由解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式有:

8

z+COSZIKi9乃

dz-f(9)(i)=---COS----FI

9;12

2TVi..

-----sinz

9!

9.(1)將復(fù)數(shù)-百-i化為三角表示式和指數(shù)表示式。

J5乃..5乃

-—i的三角表示式為：—i=2cos----isin——

66

5M.

-y/3-i的指數(shù)表示式為一6-，=2-7,

⑵計(jì)算(一戶一了十一,

654..5%丫/5.\

(-V3-/y(V3-z)=2cos--zsin—j\^/3-i)

26(cos5^-zsin5^)(V3一i)

=26(-V3+Z)

10.函數(shù)/(z)=在圓環(huán)域2<|z-l|<6內(nèi)是處處解析，試把/(z)在該域內(nèi)展開成洛朗級(jí)

數(shù)。34.由于2v|z-1<6,所以

IX1

于是/(z)=,

(Z—Z)(Z—1)M=0(.2-J)

11.(1)求(1+i0)及其相應(yīng)的主值。

—川+i?l■n2A

主值為e3

(2)判別函數(shù)f(z)=2/+3y2i在那些點(diǎn)可導(dǎo)，在那些點(diǎn)解析。w(x,j)=2x2,v(x,y)=3y2,

wr=4x,uy=0,vr=0,vy=6y

顯然〃(x,y),u(x,y)在復(fù)平面上處處可微且〃=-vx,

士3

由3=匕有x=^yt

3

因此C-R方程僅在直線x=-y上成立

3

所以函數(shù)/(z)僅在直線x=-y上可導(dǎo)，在復(fù)平面上函數(shù)/(z)是處處不解析。

12.(1)將復(fù)數(shù)1一百，化為三角表示式和指數(shù)表示式。

1一百》的三角表示式為：1—5=21cos5—is嗚)

1-V3/的指數(shù)表示式為1—、后二2”’

(2)計(jì)算

(1-V3z)^(V3-z)=26^cosy-Zsin-yj(V3-Z)

=26(cos2^-/sin2^)^3-，

=26(V3-/)

2

13.函數(shù)/(z)=_.)在圓環(huán)域1v|z-2|v2內(nèi)是處處解析，試把f(z)在該域內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù)。

由于lv|z-2|v2,所以

于是/⑶=，_=2升」)〃/+上二

z(l—z)〃=o[2(2—2)

14.(1)求L?(l+iJ5)及其相應(yīng)的主值。

3

(2)判別函數(shù)f(z)=2d+3滔在那些點(diǎn)可導(dǎo)，在那些點(diǎn)解析。u(x9y)=2x9v(x9y)=3y\

22

ux=6x,uy=0,匕=0,vy=9y

顯然u(x,y),v(x,y)在復(fù)平面上處處可微且uy=-vx,

由3=4?有％=±J|y，

因此C-R方程僅在曲線r=一￡>和x=上成立

所以函數(shù)/(Z)只在僅在曲線X=-J|j和X=島上可導(dǎo)，在復(fù)平面上函數(shù)f(z)是處處不解析。

15.函數(shù)f(z)=(Z2；.D在圓環(huán)域2<|z—2|<6內(nèi)是處處解析，試把f(z)在該域內(nèi)展開成洛朗級(jí)

數(shù)。

由于2<|z—2|<6,所以

于是〃z)=:；2

(z—2)(z—1)〃=o(z—2)

16.計(jì)算下列積分

4z-2

(1)|------------rdz

M=4(Z—2)(Z—1)2

4z—2