2024北京朝陽區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試題及答案

試題PAGE1試題2024北京朝陽高三二模數(shù)學(xué)2024.5（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）本試卷分為選擇題40分和非選擇題110分第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合，則（A） （B） （C） （D）（2）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在其定義域上是增函數(shù)的是（A） （B）（C） （D）（3）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（A）60 （B）80 （C）90 （D）100（4）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為上一點(diǎn)．若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（A）5 （B）6 （C）7 （D）8（5）已知函數(shù)存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（A） （B） （C） （D）（6）已知是兩個(gè)互相垂直的平面，是兩條直線，，則“”是“”的（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件（7）在平面直角坐標(biāo)系中，銳角以為頂點(diǎn)，為始邊．將的終邊繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與單位圓交于點(diǎn)，若，則（A） （B） （C） （D）（8）假設(shè)某飛行器在空中高速飛行時(shí)所受的阻力滿足公式，其中是空氣密度，是該飛行器的迎風(fēng)面積，是該飛行器相對(duì)于空氣的速度，是空氣阻力系數(shù)（其大小取決于多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物理量為功率．當(dāng)不變，比原來提高時(shí)，下列說法正確的是（A）若不變，則比原來提高不超過（B）若不變，則比原來提高超過（C）為使不變，則比原來降低不超過（D）為使不變，則比原來降低超過（9）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，是雙曲線的半焦距，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，線段與雙曲線的右支交于點(diǎn)．若，則雙曲線的離心率為（A） （B） （C） （D）（10）北宋科學(xué)家沈括在《夢(mèng)溪筆談》中記載了“隙積術(shù)”，提出長(zhǎng)方臺(tái)形垛積的一般求和公式．如圖，由大小相同的小球堆成的一個(gè)長(zhǎng)方臺(tái)形垛積的第一層有個(gè)小球，第二層有個(gè)小球，第三層有個(gè)小球……依此類推，最底層有個(gè)小球，共有層，由“隙積術(shù)”可得這些小球的總個(gè)數(shù)為．若由小球堆成的某個(gè)長(zhǎng)方臺(tái)形垛積共8層，小球總個(gè)數(shù)為240，則該垛積的第一層的小球個(gè)數(shù)為（A）1（B）2（C）3（D）4第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為________．（12）已知向量，，且，則實(shí)數(shù)________．（13）在的展開式中，若各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于，則________，此時(shí)的系數(shù)是________．（用數(shù)字作答）（14）若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的一個(gè)取值為________．（15）設(shè)為正整數(shù)，已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，記，其中．給出下列四個(gè)結(jié)論：①，；②，；③若，則；④若，則．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題13分）在中，為銳角，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，求．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．（17）（本小題13分）科技發(fā)展日新月異，電動(dòng)汽車受到越來越多消費(fèi)者的青睞．據(jù)統(tǒng)計(jì)，2023年1月至12月A，B兩地區(qū)電動(dòng)汽車市場(chǎng)各月的銷售量數(shù)據(jù)如下：1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月A地區(qū)（單位：萬輛）29.439.754.349.456.265.461.168.270.271.977.189.2B地區(qū)（單位：萬輛）7.88.88.18.39.2109.79.910.49.48.910.1月銷量比3.84.56.76.06.16.56.36.96.87.68.78.8月銷量比是指：該月A地區(qū)電動(dòng)汽車市場(chǎng)的銷售量與B地區(qū)的銷售量的比值（保留一位小數(shù)）．（Ⅰ）在2023年2月至12月中隨機(jī)抽取1個(gè)月，求A地區(qū)電動(dòng)汽車市場(chǎng)該月的銷售量高于上月的銷售量的概率；（Ⅱ）從2023年1月至12月中隨機(jī)抽取3個(gè)月，求在這3個(gè)月中恰有1個(gè)月的月銷量比超過8且至少有1個(gè)月的月銷量比低于5的概率；（Ⅲ=3\*ROMAN）記2023年1月至12月A，B兩地區(qū)電動(dòng)汽車市場(chǎng)各月的銷售量數(shù)據(jù)的方差分別為，試判斷與的大?。ńY(jié)論不要求證明）

（18）（本小題14分）如圖，六面體是直四棱柱被過點(diǎn)的平面所截得到的幾何體，底面，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求平面與平面的夾角的余弦值；（Ⅲ=3\*ROMAN）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．（19）（本小題15分）已知橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，焦點(diǎn)在軸上，且橢圓過點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)為原點(diǎn)，不經(jīng)過橢圓的頂點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．（ⅰ）求點(diǎn)的坐標(biāo)（用表示）；（ⅱ）若三點(diǎn)共線，求證：直線經(jīng)過定點(diǎn)．（20）（本小題15分）已知函數(shù).（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）若恒成立，求的值；（Ⅲ）若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且，求的取值范圍．（21）（本小題15分）設(shè)為正整數(shù)，集合．對(duì)于，設(shè)集合．（Ⅰ）若，寫出集合；（Ⅱ）若，且滿足，令，求證：；（Ⅲ=3\*ROMAN）若，且，求證：．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）B （2）D （3）D （4）C （5）A（6）B （7）D （8）C （9）A （10）B二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11） （12） （13）（14）（答案不唯一） （15）①③三、解答題（共6小題，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）因?yàn)?，所以．因?yàn)闉殇J角，，所以．又因?yàn)椋裕?6分（Ⅱ）選條件①②：因?yàn)?，又，所以．由，得．由，得，即，又，所以?13分選條件①③：因?yàn)?，又，所以．由，得．下同選條件①②． 13分選條件②③：由，得，即，解得．經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意． 13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）設(shè)事件為“A地區(qū)電動(dòng)汽車市場(chǎng)該月的銷售量高于上月的銷售量”，在2023年2月至12月中，A地區(qū)電動(dòng)汽車市場(chǎng)該月的銷售量高于上月的銷售量的月份為2月、3月、5月、6月、8月、9月、10月、11月、12月，共9個(gè)月，所以． 4分（Ⅱ）設(shè)事件為“這3個(gè)月中恰有1個(gè)月的月銷量比超過8且至少有1個(gè)月的月銷量比低于5”，在2023年1月至12月中，月銷量比超過8的只有11月和12月，月銷量比低于5的只有1月和2月，則． 10分（Ⅲ）． 13分（18）（共14分）解：（Ⅰ）連接．因?yàn)橹彼睦庵?，，所以點(diǎn)在平面內(nèi)．因?yàn)榈酌?，且平面，所以．又因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以．又因?yàn)椋云矫妫裕?5分（Ⅱ）因?yàn)榈酌?，所以．又因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則．因此．設(shè)平面的法向量為，則即令，則．于是．因?yàn)榈酌?，所以是平面的一個(gè)法向量．設(shè)平面與平面的夾角為，則．所以平面與平面的夾角的余弦值為． 11分（Ⅲ=3\*ROMAN）存在一點(diǎn)使得平面，此時(shí)，理由如下：設(shè)，則．線段上存在一點(diǎn)使得平面等價(jià)于，即，解得．所以． 14分（19）（共15分）解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為．由題意得解得所以橢圓的方程為． 5分（Ⅱ）（?。┯深}可知且．直線的方程為，直線的方程為．由得所以的坐標(biāo)為． 8分（ⅱ）由題可知，直線的斜率存在．設(shè)直線的方程為，由得．由于直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，所以．則．由題可知．因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，化簡(jiǎn)得，即．所以．所以．化簡(jiǎn)得，即，解得或．當(dāng)時(shí)，直線的方程為，經(jīng)過，不符合題意．當(dāng)時(shí)，直線的方程為，經(jīng)過，其中．綜上，直線經(jīng)過定點(diǎn)． 15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）因?yàn)?，所以．因?yàn)椋郧€在點(diǎn)處的切線方程為． 4分（Ⅱ）函數(shù)的定義域?yàn)椋佼?dāng)時(shí)，，不符合題意．②當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值．若恒成立，則．設(shè)，則．當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以．所以的解為．所以． 10分（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，不妨設(shè)，若，則，不符合題意；