高三年級數(shù)學(xué)一模試題文(含解析)

...wd......wd......wd...2015年浙江省麗水市高考數(shù)學(xué)一模試卷〔文科〕一、選擇題〔本大題共8小題，每題5分，共40分．在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的〕1．〔5分〕〔2015?麗水一?！骋韵潞瘮?shù)既是奇函數(shù)，又在〔0，+∞〕上單調(diào)遞增的是〔〕A．y=x2B．y=x3C．y=log2xD．y=3﹣【考點】：函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【專題】：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】：根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義進(jìn)展判斷即可．【解析】：解：A．函數(shù)y=x2為偶函數(shù)，不滿足條件．B．函數(shù)y=x3為奇函數(shù)，在〔0，+∞〕上單調(diào)遞增，滿足條件．C．y=log2x的定義域為〔0，+∞〕，為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件．D．函數(shù)y=3﹣x為奇函數(shù)，為減函數(shù)，不滿足條件．應(yīng)選：B【點評】：此題主要考察函數(shù)奇偶數(shù)和單調(diào)性的判斷，要求熟練掌握常見函數(shù)的性質(zhì)．2．〔5分〕〔2015?麗水一模〕等差數(shù)列{an}滿足a2=4，a1+a4+a7=24，則a10=〔〕A．16B．18C．20D．22【考點】：等差數(shù)列的通項公式．【專題】：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】：由等差數(shù)列的性質(zhì)易得a4=8，進(jìn)而可得公差，再由通項公式可得．【解析】：解：∵等差數(shù)列{an}滿足a2=4，a1+a4+a7=24，∴3a4=24，a4=8，∴等差數(shù)列{an}的公差d==2，∴a10=a4+6d=8+12=20應(yīng)選：C【點評】：此題考察等差數(shù)列的通項公式，屬根基題．3．〔5分〕〔2015?麗水一模〕要得到函數(shù)y=sin〔2x+〕的圖象，只需將函數(shù)y=sin2x的圖象〔〕A．向左平移個單位長度B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度D．向右平移個單位長度【考點】：函數(shù)y=Asin〔ωx+φ〕的圖象變換．【專題】：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】：y=sin〔2x+〕=sin2〔x+〕，根據(jù)平移規(guī)律：左加右減可得答案．【解析】：解：y=sin〔2x+〕=sin2〔x+〕，故要得到y(tǒng)=2sin〔2x+〕的圖象，只需將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移個單位，應(yīng)選：C．【點評】：此題考察三角函數(shù)圖象的平移變換，該類題目要注意平移方向及平移對象，屬于基本知識的考察．4．〔5分〕〔2015?麗水一模〕“m=4”是“直線mx+〔1﹣m〕y+1=0和直線3x+my﹣1=0垂直〞的〔〕A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【考點】：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】：直線與圓；簡易邏輯．【分析】：根據(jù)直線垂直的等價條件，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)展判斷即可．【解析】：解：假設(shè)直線mx+〔1﹣m〕y+1=0和直線3x+my﹣1=0垂直，則3m+m〔1﹣m〕=0，即m〔4﹣m〕=0，解得m=0或m=4，則“m=4〞是“直線mx+〔1﹣m〕y+1=0和直線3x+my﹣1=0垂直〞的充分不必要條件，應(yīng)選：A【點評】：此題主要考察充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)直線垂直的等價條件是解決此題的關(guān)鍵．5．〔5分〕〔2015?麗水一模〕假設(shè)實數(shù)x，y滿足則2x+y的最大值是〔〕A．3B．4C．6D．7【考點】：簡單線性規(guī)劃．【專題】：不等式的解法及應(yīng)用．【分析】：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求最大值．【解析】：解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：〔陰影局部〕．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直線y=﹣2x+z，由圖象可知當(dāng)直線y=﹣2x+z經(jīng)過點A時，直線y=﹣2x+z的截距最大，此時z最大．由，解得，即A〔3，1〕，代入目標(biāo)函數(shù)z=2x+y得z=2×3+1=6+1=7．即目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為7．應(yīng)選：D【點評】：此題主要考察線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．6．〔5分〕〔2015?麗水一模〕圓x2+y2=4，過點P〔0，〕的直線l交該圓于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，則△OAB面積的最大值是〔〕A．B．2C．D．4【考點】：直線與圓的位置關(guān)系．【專題】：直線與圓．【分析】：討論l斜率不存在和存在的情況，當(dāng)斜率存在時，設(shè)出方程求出圓心到直線的距離d，利用基本不等式求出S△OAB==，即可得出結(jié)論．【解析】：解：當(dāng)直線l不存在斜率時，S△OAB=0，當(dāng)直線存在斜率時，設(shè)斜率為k，則直線l的方程為y=kx+，即kx﹣y+=0，∴圓心到直線的距離d=，|AB|=2=2，∵S△OAB===，∴△OAB面積的最大值是2．應(yīng)選B．【點評】：此題考察直線與圓的位置關(guān)系，以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．7．〔5分〕〔2015?麗水一模〕在四面體ABCD中，以下條件不能得出AB⊥CD的是〔〕A．AB⊥BC且AB⊥BDB．AD⊥BC且AC⊥BDC．AC=AD且BC=BDD．AC⊥BC且AD⊥BD【考點】：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【專題】：空間位置關(guān)系與距離．【分析】：在幾何體中選取邊長的中點，運用等腰三角形的性質(zhì)，直線平面的垂直，平面與平面的垂直問題判斷即可得出答案．【解析】：解：①∵AB⊥BD，AB⊥BC，BD∩BC=B，∴AB⊥面BCD，∵CD?面BCD，∴AB⊥CD，②設(shè)A在面BCD射影為O，AO⊥面BCD，∵AD⊥BC，AC⊥BD，∴O為△BCD的垂心連接BO，則BO⊥CD，AO⊥CD∴CD⊥面ABO．∵AB?面ABO．∴AB⊥CD，③取CD中點G，連接BG，AG，∵AC=AD且BC=BD，∴CD⊥BG，CD⊥AG，∵BG∩AG=G，∴CD⊥面ABG，∵AB?面ABG∴AB⊥CD，綜上選項A，B，C能夠得出AB⊥CD，應(yīng)選：D【點評】：此題綜合考察了空間幾何體中點直線，平面的垂直問題，關(guān)鍵是利用平面幾何知識，空間直線平面的性質(zhì)定理，判定定理轉(zhuǎn)化直線的位置關(guān)系判斷即可．8．〔5分〕〔2015?麗水一?！畴p曲線﹣=1〔a＞0，b＞0〕的左、右焦點分別為F1、F2，P為雙曲線右支上一點，直線PF1與圓x2+y2=a2相切，且|PF2|=|F1F2|，則該雙曲線的離心率e是〔〕A．B．C．D．【考點】：雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】：計算題；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】：設(shè)直線PF1與圓x2+y2=a2相切于點M，取PF1的中點N，連接NF2，由切線的性質(zhì)和等腰三角形的三線合一，運用中位線定理和勾股定理，可得|PF1|=4b，再由雙曲線的定義和a，b，c的關(guān)系及離心率公式，計算即可得到．【解析】：解：設(shè)直線PF1與圓x2+y2=a2相切于點M，則|OM|=a，OM⊥PF1，取PF1的中點N，連接NF2，由于|PF2|=|F1F2|=2c，則NF2⊥PF1，|NP|=|NF1由|NF2|=2|OM|=2a，則|NP|==2b，即有|PF1|=4b，由雙曲線的定義可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即4b﹣2c=2a，即2b=c+a，4b2=〔c+a〕2，即4〔c2﹣a2〕=〔c+a〕2，4〔c﹣a〕=c+a，即3c=5a，則e==．應(yīng)選A．【點評】：此題考察雙曲線的方程和性質(zhì)，考察離心率的求法，運用中位線定理和雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵．二、填空題〔本大題共7小題，9～12小題每題6分，其它小題每題4分，共36分〕9．〔6分〕〔2015?麗水一?！吃O(shè)全集U=R，集合A={x|x＞2}，B={x|x2﹣4x+3＜0}，則A∩B=〔2，3〕，A∪B=〔1，+∞〕，?UB=〔﹣∞，1]∪[3，+∞〕．【考點】：交集及其運算．【專題】：集合．【分析】：求出B中不等式的解集確定出B，找出A與B的交集，并集，求出B的補集即可．【解析】：解：由B中不等式變形得：〔x﹣1〕〔x﹣3〕＜0，解得：1＜x＜3，即B=〔1，3〕，∵A=〔2，+∞〕，∴A∩B=〔2，3〕，A∪B=〔1，+∞〕，?UB=〔﹣∞，1]∪[3，+∞〕．故答案為：〔2，3〕；〔1，+∞〕；〔﹣∞，1]∪[3，+∞〕【點評】：此題考察了交集及其運算，并集及其運算，以及補集的運算，熟練掌握各自的定義是解此題的關(guān)鍵．10．〔6分〕〔2015?麗水一?！澈瘮?shù)f〔x〕=2sin〔ωx〕〔ω＞0〕的最小正周期為π，則ω=2，f〔〕=，在〔0，π〕內(nèi)滿足f〔x0〕=0的x0=．【考點】：正弦函數(shù)的圖象．【專題】：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】：根據(jù)三角函數(shù)的周期公式求出ω，即可得到結(jié)論．【解析】：解：∵三角函數(shù)的周期是π，則=π，則ω=2，則f〔x〕=2sin2x，則f〔〕=2sin=2×=，由f〔x〕=0得sin2x=0，∵x∈〔0，π〕，∴2x∈〔0，2π〕，則2x=π，故x=，故x0=，故答案為：2，，【點評】：此題主要考察三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)三角函數(shù)的周期公式求出ω是解決此題的關(guān)鍵．11．〔6分〕〔2015?麗水一?！衬晨臻g幾何體的三視圖如以以下圖〔單位：cm〕，則該幾何體的體積V=cm3，外表積S=cm2．【考點】：由三視圖求面積、體積．【專題】：計算題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】：由三視圖可得該幾何體是以俯視圖為底面，有一條側(cè)棱垂直于底面的三棱錐，根據(jù)標(biāo)識的各棱長及高，代入棱錐體積、外表積公式可得答案．【解析】：解：由題意，該幾何體是以俯視圖為底面，有一條側(cè)棱垂直于底面的三棱錐，所以V==cm3，S=+++=．故答案為：；．【點評】：此題考察的知識點是由三視圖求體積、外表積，其中根據(jù)分析出幾何體的形狀及各棱長的值是解答的關(guān)鍵．12．〔6分〕〔2015?麗水一模〕函數(shù)f〔x〕=〔x＞1〕，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時，f〔x〕取到最小值為2．【考點】：基本不等式；函數(shù)的最值及其幾何意義．【專題】：不等式的解法及應(yīng)用．【分析】：變形利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解析】：解：∵x＞1，∴x﹣1＞0．∴函數(shù)f〔x〕==x﹣1+=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時取等號．故答案分別為：2；2．【點評】：此題考察了基本不等式的性質(zhì)，屬于根基題．13．〔4分〕〔2015?麗水一?！矨，B是單位圓C上的兩個定點，對任意實數(shù)λ，|﹣λ|有最小值，則||=．【考點】：平面向量數(shù)量積的運算．【專題】：計算題；平面向量及應(yīng)用．【分析】：由A，B是單位圓C上的兩個定點，則||=||=1，令||=t，運用向量的平方即為模的平方，化簡整理，結(jié)合余弦定理，可得關(guān)于λ的二次函數(shù)λ2t2﹣λt2+1，運用二次函數(shù)的最值，即可得到最小值，解方程進(jìn)而得到t．【解析】：解：由A，B是單位圓C上的兩個定點，則||=||=1，令||=t，y=|﹣λ|2=〔﹣λ〕2=﹣2λ+λ2||2=1﹣2λ||?||cosA+λ2||2=1﹣λ〔t2+1﹣1〕+λ2t2=λ2t2﹣λt2+1，當(dāng)λ=﹣=時，y取得最小值，且為t2﹣t2+1=1﹣t2，由于對任意實數(shù)λ，|﹣λ|有最小值，則1﹣t2=，解得t=．故答案為：．【點評】：此題考察向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，主要考察向量的平方即為模的平方，運用二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題和易錯題．14．〔4分〕〔2015?麗水一?！砯〔x〕=，假設(shè)f〔f〔t〕〕∈[0，1]，則實數(shù)t的取值范圍是[log32，1]．【考點】：分段函數(shù)的應(yīng)用．【專題】：計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】：通過t的范圍，求出f〔t〕的表達(dá)式，判斷f〔t〕的范圍，然后代入函數(shù)，通過函數(shù)的值域求出t的范圍即可．【解析】：解：當(dāng)t∈〔0，1]，所以f〔t〕=3t∈〔1，3]，又函數(shù)f〔x〕=，則f〔f〔t〕=log2〔3t﹣1〕，因為f〔f〔t〕〕∈[0，1]，所以0≤log2〔3t﹣1〕≤1，即1≤3t﹣1≤2，解得：log32≤t≤1，則實數(shù)t的取值范圍[log32，1]；當(dāng)1＜t≤3時，f〔t〕=log2〔t﹣1〕∈〔﹣∞，1]，由于f〔f〔t〕〕∈[0，1]，即有0≤≤1，解得1＜t≤2．此時f〔t〕=log2〔t﹣1〕≤0，f〔f〔t〕〕不存在．綜上可得t的取值范圍為[log32，1]．故答案為：[log32，1]．【點評】：此題考察分段函數(shù)的綜合應(yīng)用，指數(shù)與對數(shù)不等式的解法，函數(shù)的定義域與函數(shù)的值域，考察計算能力，屬于中檔題和易錯題．15．〔4分〕〔2015?麗水一?！痴椀缺葦?shù)列{an}的公比為q，其前n項和為Sn，假設(shè)對一切n∈N*都有an+1≥2Sn，則q的取值范圍是[3，+∞〕．【考點】：等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】：計算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】：由an+1≥2Sn，可得Sn+1≥3Sn，即qn〔q﹣3〕+2≥0，利用q＞0，即可確定q的取值范圍．【解析】：解：∵an+1≥2Sn，∴Sn+1≥3Sn，∴1﹣qn+1≥3〔1﹣qn〕，∴qn〔q﹣3〕+2≥0，∵q＞0，∴q≥3故答案為：[3，+∞〕．【點評】：此題考察q的取值范圍，考察等比數(shù)列的求和公式，考察學(xué)生的計算能力，對比根基．三、解答題〔本大題共5小題，共74分〕16．〔14分〕〔2015?麗水一?！吃凇鰽BC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，acosB﹣bsinB=c，且cosA=﹣．〔Ⅰ〕求sinB；〔Ⅱ〕假設(shè)c=7，求△ABC的面積．【考點】：正弦定理；兩角和與差的正弦函數(shù)．【專題】：解三角形．【分析】：〔Ⅰ〕利用條件結(jié)合正弦定理以及三角形的內(nèi)角和化簡表達(dá)式，然后求sinB的值；〔Ⅱ〕通過sinC=sin〔A+B〕，結(jié)合兩角和的增函數(shù)，求出sinC的值，利用正弦定理求出b，即可求△ABC的面積．【解析】：解：〔Ⅰ〕由題意得∵cosA=﹣．由asinB﹣bsinB=c∴sinAsinB﹣sinBsinB=sin〔A+B〕∴﹣sinBsinB=cosAsinB?sinB=﹣cosA∵∴〔Ⅱ〕∵sinC=sin〔A+B〕=sinAcosB+cosAsinB=又由正弦定理得：?b=3【點評】：此題考察正弦定理的應(yīng)用兩角和與差的三角函數(shù)以及三角形的內(nèi)角和公式的應(yīng)用，考察分析問題解決問題的能力．17．〔15分〕〔2015?麗水一?！车炔顢?shù)列{an}，首項a1和公差d均為整數(shù)，其前n項和為Sn．〔Ⅰ〕假設(shè)a1=1，且a2，a4，a9成等比數(shù)列，求公差d；〔Ⅱ〕假設(shè)n≠5時，恒有Sn＜S5，求a1的最小值．【考點】：等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】：計算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】：〔Ⅰ〕利用等比數(shù)列的性質(zhì)，求公差d；〔Ⅱ〕n≠5時，恒有Sn＜S5，可得S5最大且有d＜0，結(jié)合a1，d∈Z求a1的最小值．【解析】：解：〔Ⅰ〕由題意得將a1=1代入得〔1+3d〕2=〔1+d〕?〔1+8d〕…〔4分〕解得d=0或d=3…〔6分〕〔Ⅱ〕∵n≠5時，恒有Sn＜S5，∴S5最大且有d＜0，又由?，∴…〔10分〕又∵a1，d∈Z，d＜0故當(dāng)d=﹣1時4＜a1＜5此時a1不存在，…〔12分〕當(dāng)d=﹣2時8＜a1＜10則a1=9，當(dāng)d=﹣3時12＜a1＜15，…易知d≤﹣3時a1＞9…〔14分〕綜上：a1=9．…〔15分〕【點評】：此題考察等比數(shù)列的性質(zhì)，考察學(xué)生分析解決問題的能力，對比根基．18．〔15分〕〔2015?麗水一?！橙鐖D，在邊長為2的正方形ABCD中，E為線段AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A′DE，使得平面A′DE⊥平面BCDE，F(xiàn)為線段A′C的中點．〔Ⅰ〕求證：BF∥平面A′DE；〔Ⅱ〕求直線A′B與平面A′DE所成角的正切值．【考點】：直線與平面平行的判定；直線與平面所成的角．【專題】：空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】：〔Ⅰ〕取A'D的中點M，連接FM，EM，由得四邊形BFME為平行四邊形，由此能證明BF∥平面A'DE．〔Ⅱ〕在平面BCDE內(nèi)作BN⊥DE，交DE的延長線于點N，則BN⊥平面A'DE，連接A'N，∠BA'N為A'B與平面A'DE所成的角，由此能求出直線A'B與平面A'DE所成角的正切值．【解析】：〔Ⅰ〕證明：取A'D的中點M，連接FM，EM．∵F為A'C中點，∴FM∥CD且…〔2分〕∴BE∥FM且BE=FM，∴四邊形BFME為平行四邊形．…〔4分〕∴BF∥EM，又EM?平面A'DE，BF?平面A'DE，∴BF∥平面A'DE…〔6分〕〔Ⅱ〕解：在平面BCDE內(nèi)作BN⊥DE，交DE的延長線于點N，∵平面A'DE⊥平面BCDE，平面A'DE∩平面BCDE=DE，∴BN⊥平面A'DE，連接A'N，則∠BA'N為A'B與平面A'DE所成的角，…〔8分〕∵△BNE∽△DAEBE=1，，∴，…〔10分〕在△A'DE中作A'P⊥DE垂足為P，∵A'E=1，A'D=2，∴，∵，∴在直角△A'PN中，，又，∴…〔14分〕∴在直角△A'BN中，，∴直線A'B與平面A'DE所成角的正切值為．…〔15分〕【點評】：此題考察線面平行的證明，考察線面角的正切值的求法，考察方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法和學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力，是中檔題．19．〔15分〕〔2015?麗水一?！橙鐖D，拋物線C：y2=2px〔p＞0〕上有兩個動點A，B，它們的橫坐標(biāo)分別為a，a+2，當(dāng)a=1時，點A到x軸的距離為，M是y軸正半軸上的一點．〔Ⅰ〕求拋物線C的方程；〔Ⅱ〕假設(shè)A，B在x軸上方，且|OA|=|OM|，直線MA交x軸于N，求證：直線BN的斜率為定值，并求出該定值．【考點】：拋物線的簡單性質(zhì)．【專題】：綜合題；圓錐曲線的