專題10二次函數(shù)(原卷版+解析)

專題10二次函數(shù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．（2021?杭州）已知y1和y2均是以x為自變量的函數(shù)，當(dāng)x＝m時(shí)，函數(shù)值分別是M1和M2，若存在實(shí)數(shù)m，使得M1+M2＝0，則稱函數(shù)y1和y2具有性質(zhì)P．以下函數(shù)y1和y2具有性質(zhì)P的是（）A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1 B．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1 C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1 D．y1＝﹣和y2＝﹣x+12．（2022?杭州）已知二次函數(shù)y＝x2+ax+b（a，b為常數(shù)）．命題①：該函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，0）；命題②：該函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，0）；命題③：該函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)位于y軸的兩側(cè)；命題④：該函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線x＝1．如果這四個(gè)命題中只有一個(gè)命題是假命題，則這個(gè)假命題是（）A．命題① B．命題② C．命題③ D．命題④3．（2022?衢州）已知二次函數(shù)y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），當(dāng)﹣1≤x≤4時(shí)，y的最小值為﹣4，則a的值為（）A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或44．（2022?紹興）已知拋物線y＝x2+mx的對(duì)稱軸為直線x＝2，則關(guān)于x的方程x2+mx＝5的根是（）A．0，4 B．1，5 C．1，﹣5 D．﹣1，55．（2023?臺(tái)州）拋物線y＝ax2﹣a（a≠0）與直線y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，若x1+x2＜0，則直線y＝ax+k一定經(jīng)過（）A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限6．（2021?杭州）在“探索函數(shù)y＝ax2+bx+c的系數(shù)a，b，c與圖象的關(guān)系”活動(dòng)中，老師給出了直角坐標(biāo)系中的四個(gè)點(diǎn)：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同學(xué)們探索了經(jīng)過這四個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)的二次函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)這些圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式各不相同，其中a的值最大為（）A． B． C． D．7．（2023?杭州）設(shè)二次函數(shù)y＝ax2+bx+1（a≠0，b是實(shí)數(shù)）．已知函數(shù)值y和自變量x的部分對(duì)應(yīng)取值如下表所示：x…﹣10123…y…m1n1p…（1）若m＝4，①求二次函數(shù)的表達(dá)式；②寫出一個(gè)符合條件的x的取值范圍，使得y隨x的增大而減?。?）若在m，n，p這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，求a的取值范圍．8．（2022?寧波）點(diǎn)A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+n的圖象上．若y1＜y2，則m的取值范圍為（）A．m＞2 B．m＞ C．m＜1 D．＜m＜29．（2022?溫州）已知點(diǎn)A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在拋物線y＝（x﹣1）2﹣2上，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，下列選項(xiàng)正確的是（）A．若c＜0，則a＜c＜b B．若c＜0，則a＜b＜c C．若c＞0，則a＜c＜b D．若c＞0，則a＜b＜c10．（2023?麗水）已知點(diǎn)（﹣m，0）和（3m，0）在二次函數(shù)y＝ax2+bx+3（a，b是常數(shù)，a≠0）的圖象上．（1）當(dāng)m＝﹣1時(shí)，求a和b的值；（2）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（n，3）且點(diǎn)A不在坐標(biāo)軸上，當(dāng)﹣2＜m＜﹣1時(shí)，求n的取值范圍；（3）求證：b2+4a＝0．11．（2022?湖州）將拋物線y＝x2向上平移3個(gè)單位，所得拋物線的解析式是（）A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x﹣3）2二次函數(shù)的最值12．（2023?杭州）設(shè)二次函數(shù)y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是實(shí)數(shù)），則（）A．當(dāng)k＝2時(shí)，函數(shù)y的最小值為﹣a B．當(dāng)k＝2時(shí)，函數(shù)y的最小值為﹣2a C．當(dāng)k＝4時(shí)，函數(shù)y的最小值為﹣a D．當(dāng)k＝4時(shí)，函數(shù)y的最小值為﹣2a13．（2022?嘉興）已知點(diǎn)A（a，b），B（4，c）在直線y＝kx+3（k為常數(shù)，k≠0）上，若ab的最大值為9，則c的值為（）A．1 B． C．2 D．14．（2022?舟山）已知點(diǎn)A（a，b），B（4，c）在直線y＝kx+3（k為常數(shù)，k≠0）上，若ab的最大值為9，則c的值為（）A． B．2 C． D．115．（2023?紹興）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一個(gè)圖形上的點(diǎn)都在一邊平行于x軸的矩形內(nèi)部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關(guān)聯(lián)矩形．例如：如圖，函數(shù)y＝（x﹣2）2（0≤x≤3）的圖象（拋物線中的實(shí)線部分），它的關(guān)聯(lián)矩形為矩形OABC．若二次函數(shù)圖象的關(guān)聯(lián)矩形恰好也是矩形OABC，則b＝．16．（2022?紹興）已知函數(shù)y＝﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）當(dāng)﹣4≤x≤0時(shí)，求y的最大值．（3）當(dāng)m≤x≤0時(shí)，若y的最大值與最小值之和為2，求m的值．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式17．（2023?寧波）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）當(dāng)y≤﹣2時(shí)，請根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．18．（2023?紹興）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c．（1）當(dāng)b＝4，c＝3時(shí)，①求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，求y的取值范圍；（2）當(dāng)x≤0時(shí)，y的最大值為2；當(dāng)x＞0時(shí)，y的最大值為3，求二次函數(shù)的表達(dá)式．19．（2021?杭州）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)y＝ax2+bx+1（a，b是常數(shù)，a≠0）．（1）若該函數(shù)的圖象經(jīng)過（1，0）和（2，1）兩點(diǎn)，求函數(shù)的表達(dá)式，并寫出函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）寫出一組a，b的值，使函數(shù)y＝ax2+bx+1的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，并說明理由．（3）已知a＝b＝1，當(dāng)x＝p，q（p，q是實(shí)數(shù)，p≠q）時(shí)，該函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為P，Q．若p+q＝2，求證：P+Q＞6．20．（2021?溫州）已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，0）．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）直線l交拋物線于點(diǎn)A（﹣4，m），B（n，7），n為正數(shù)．若點(diǎn)P在拋物線上且在直線l下方（不與點(diǎn)A，B重合），分別求出點(diǎn)P橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的取值范圍．拋物線與x軸的交點(diǎn)21．（2023?寧波）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0），下列說法正確的是（）A．點(diǎn)（1，2）在該函數(shù)的圖象上 B．當(dāng)a＝1且﹣1≤x≤3時(shí)，0≤y≤8 C．該函數(shù)的圖象與x軸一定有交點(diǎn) D．當(dāng)a＞0時(shí)，該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸一定在直線x＝的左側(cè)22．（2022?杭州）設(shè)二次函數(shù)y1＝2x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)．（1）若A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，0），（2，0），求函數(shù)y1的表達(dá)式及其圖象的對(duì)稱軸．（2）若函數(shù)y1的表達(dá)式可以寫成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常數(shù)）的形式，求b+c的最小值．（3）設(shè)一次函數(shù)y2＝x﹣m（m是常數(shù)），若函數(shù)y1的表達(dá)式還可以寫成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，當(dāng)函數(shù)y＝y(tǒng)1﹣y2的圖象經(jīng)過點(diǎn)（x0，0）時(shí)，求x0﹣m的值．23．（2021?寧波）如圖，二次函數(shù)y＝（x﹣1）（x﹣a）（a為常數(shù)）的圖象的對(duì)稱軸為直線x＝2．（1）求a的值．（2）向下平移該二次函數(shù)的圖象，使其經(jīng)過原點(diǎn)，求平移后圖象所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式．二次函數(shù)的應(yīng)用24．（2023?麗水）一個(gè)球從地面豎直向上彈起時(shí)的速度為10米/秒，經(jīng)過t（秒）時(shí)球距離地面的高度h（米）適用公式h＝10t﹣5t2，那么球彈起后又回到地面所花的時(shí)間t（秒）是（）A．5 B．10 C．1 D．225．（2021?臺(tái)州）以初速度v（單位：m/s）從地面豎直向上拋出小球，從拋出到落地的過程中，小球的高度h（單位：m）與小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系式是h＝vt﹣4.9t2．現(xiàn)將某彈性小球從地面豎直向上拋出，初速度為v1，經(jīng)過時(shí)間t1落回地面，運(yùn)動(dòng)過程中小球的最大高度為h1（如圖1）；小球落地后，豎直向上彈起，初速度為v2，經(jīng)過時(shí)間t2落回地面，運(yùn)動(dòng)過程中小球的最大高度為h2（如圖2）．若h1＝2h2，則t1：t2＝．26．（2023?溫州）一次足球訓(xùn)練中，小明從球門正前方8m的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線．當(dāng)球飛行的水平距離為6m時(shí)，球達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)球離地面3m．已知球門高OB為2.44m，現(xiàn)以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并通過計(jì)算判斷球能否射進(jìn)球門（忽略其他因素）；（2）對(duì)本次訓(xùn)練進(jìn)行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當(dāng)時(shí)他應(yīng)該帶球向正后方移動(dòng)多少米射門，才能讓足球經(jīng)過點(diǎn)O正上方2.25m處？27．（2022?寧波）為了落實(shí)勞動(dòng)教育，某學(xué)校邀請農(nóng)科院專家指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小番茄的種植，經(jīng)過試驗(yàn)，其平均單株產(chǎn)量y千克與每平方米種植的株數(shù)x（2≤x≤8，且x為整數(shù)）構(gòu)成一種函數(shù)關(guān)系．每平方米種植2株時(shí)，平均單株產(chǎn)量為4千克；以同樣的栽培條件，每平方米種植的株數(shù)每增加1株，單株產(chǎn)量減少0.5千克．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．（2）每平方米種植多少株時(shí)，能獲得最大的產(chǎn)量？最大產(chǎn)量為多少千克？28．（2021?金華）某游樂場的圓形噴水池中心O有一雕塑OA，從A點(diǎn)向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同．如圖，以水平方向?yàn)閤軸，點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A在y軸上，x軸上的點(diǎn)C，D為水柱的落水點(diǎn)，水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣（x﹣5）2+6．（1）求雕塑高OA．（2）求落水點(diǎn)C，D之間的距離．（3）若需要在OD上的點(diǎn)E處豎立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．問：頂部F是否會(huì)碰到水柱？請通過計(jì)算說明．29．（2022?金華）“八婺”菜場指導(dǎo)菜農(nóng)生產(chǎn)和銷售某種蔬菜，提供如下信息：①統(tǒng)計(jì)售價(jià)與需求量的數(shù)據(jù)，通過描點(diǎn)（圖1），發(fā)現(xiàn)該蔬菜需求量y需求（噸）關(guān)于售價(jià)x（元/千克）的函數(shù)圖象可以看成拋物線，其表達(dá)式為y需求＝ax2+c，部分對(duì)應(yīng)值如下表：售價(jià)x（元/千克）…2.533.54…需求量y需求（噸）…7.757.26.555.8…②該蔬菜供給量y供給（噸）關(guān)于售價(jià)x（元/千克）的函數(shù)表達(dá)式為y供給＝x﹣1，函數(shù)圖象見圖1．③1～7月份該蔬菜售價(jià)x售價(jià)（元/千克）、成本x成本（元/千克）關(guān)于月份t的函數(shù)表達(dá)式分別為x售價(jià)＝t+2，x成本＝t2﹣t+3，函數(shù)圖象見圖2．請解答下列問題：（1）求a，c的值．（2）根據(jù)圖2，哪個(gè)月出售這種蔬菜每千克獲利最大？并說明理由．（3）求該蔬菜供給量與需求量相等時(shí)的售價(jià)，以及按此價(jià)格出售獲得的總利潤．30．（2021?衢州）如圖1是一座拋物線型拱橋側(cè)面示意圖．水面寬AB與橋長CD均為24m，在距離D點(diǎn)6米的E處，測得橋面到橋拱的距離EF為1.5m，以橋拱頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，橋面為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求橋拱頂部O離水面的距離．（2）如圖2，橋面上方有3根高度均為4m的支柱CG，OH，DI，過相鄰兩根支柱頂端的鋼纜呈形狀相同的拋物線，其最低點(diǎn)到橋面距離為1m．①求出其中一條鋼纜拋物線的函數(shù)表達(dá)式．②為慶祝節(jié)日，在鋼纜和橋拱之間豎直裝飾若干條彩帶，求一條彩帶長度的最小值．31．（2022?衢州）如圖1為北京冬奧會(huì)“雪飛天”滑雪大跳臺(tái)賽道的橫截面示意圖．取水平線OE為x軸，鉛垂線OD為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．運(yùn)動(dòng)員以速度v（m/s）從D點(diǎn)滑出，運(yùn)動(dòng)軌跡近似拋物線y＝﹣ax2+2x+20（a≠0）．某運(yùn)動(dòng)員7次試跳的軌跡如圖2．在著陸坡CE上設(shè)置點(diǎn)K（與DO相距32m）作為標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)，著陸點(diǎn)在K點(diǎn)或超過K點(diǎn)視為成績達(dá)標(biāo)．（1）求線段CE的函數(shù)表達(dá)式（寫出x的取值范圍）．（2）當(dāng)a＝時(shí)，著陸點(diǎn)為P，求P的橫坐標(biāo)并判斷成績是否達(dá)標(biāo)．（3）在試跳中發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)軌跡與滑出速度v的大小有關(guān)，進(jìn)一步探究，測算得7組a與v2的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)如圖3．①猜想a關(guān)于v2的函數(shù)類型，求函數(shù)表達(dá)式，并任選一對(duì)對(duì)應(yīng)值驗(yàn)證．②當(dāng)v為多少m/s時(shí)，運(yùn)動(dòng)員的成績恰能達(dá)標(biāo)（精確到1m/s）？（參考數(shù)據(jù)：≈1.73，≈2.24）32．（2022?溫州）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何設(shè)計(jì)拱橋景觀燈的懸掛方案？素材1圖1中有一座拱橋，圖2是其拋物線形橋拱的示意圖，某時(shí)測得水面寬20m，拱頂離水面5m．據(jù)調(diào)查，該河段水位在此基礎(chǔ)上再漲1.8m達(dá)到最高．素材2為迎佳節(jié)，擬在圖1橋洞前面的橋拱上懸掛40cm長的燈籠，如圖3．為了安全，燈籠底部距離水面不小于1m；為了實(shí)效，相鄰兩盞燈籠懸掛點(diǎn)的水平間距均為1.6m；為了美觀，要求在符合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸對(duì)稱分布．問題解決任務(wù)1確定橋拱形狀在圖2中建立合適的直角坐標(biāo)系，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．任務(wù)2探究懸掛范圍在你所建立的坐標(biāo)系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值和橫坐標(biāo)的取值范圍．任務(wù)3擬定設(shè)計(jì)方案給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量，并根據(jù)你所建立的坐標(biāo)系，求出最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)．33．（2022?臺(tái)州）如圖1，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線l的方向行駛，為綠化帶澆水．噴水口H離地豎直高度為h（單位：m）．如圖2，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG，其水平寬度DE＝3m，豎直高度為EF的長．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2m，高出噴水口0.5m，灌溉車到l的距離OD為d（單位：m）．（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．①求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC；②求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)；③要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，求d的取值范圍．（2）若EF＝1m．要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，請直接寫出h的最小值．二次函數(shù)綜合題34．（2023?金華）如圖，直線y＝與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，拋物線的頂點(diǎn)P在直線AB上，與x軸的交點(diǎn)為C，D，其中點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0），直線BC與直線PD相交于點(diǎn)E．（1）如圖2，若拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O．①求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；②求的值．（2）連結(jié)PC，∠CPE與∠BAO能否相等？若能，求符合條件的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不能，試說明理由．35．（2022?舟山）已知拋物線L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）．（1）求拋物線L1的函數(shù)表達(dá)式．（2）將拋物線L1向上平移m（m＞0）個(gè)單位得到拋物線L2．若拋物線L2的頂點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線L1上，求m的值．（3）把拋物線L1向右平移n（n＞0）個(gè)單位得到拋物線L3．已知點(diǎn)P（8﹣t，s），Q（t﹣4，r）都在拋物線L3上，若當(dāng)t＞6時(shí)，都有s＞r，求n的取值范圍．36．（2022?嘉興）已知拋物線L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）．（1）求拋物線L1的函數(shù)表達(dá)式．（2）將拋物線L1向上平移m（m＞0）個(gè)單位得到拋物線L2．若拋物線L2的頂點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線L1上，求m的值．（3）把拋物線L1向右平移n（n＞0）個(gè)單位得到拋物線L3，若點(diǎn)B（1，y1），C（3，y2）在拋物線L3上，且y1＞y2，求n的取值范圍．37．（2022?湖州）如圖1，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是邊長為3的正方形，其中頂點(diǎn)A，C分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上．拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，與x軸交于另一個(gè)點(diǎn)D．（1）①求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；②求b，c的值．（2）若點(diǎn)P是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，過點(diǎn)P作PM⊥AP，交y軸于點(diǎn)M（如圖2所示）．當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M也隨之運(yùn)動(dòng)．設(shè)BP＝m，CM＝n，試用含m的代數(shù)式表示n，并求出n的最大值．38．（2022?麗水）如圖，已知點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函數(shù)y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的圖象上，且x2﹣x1＝3．（1）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，1）．①求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；②若y1＝y(tǒng)2，求頂點(diǎn)到MN的距離；（2）當(dāng)x1≤x≤x2時(shí)，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為1，點(diǎn)M，N在對(duì)稱軸的異側(cè)，求a的取值范圍．39．（2023?浙江）在二次函數(shù)y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．（1）若它的圖象過點(diǎn)（2，1），則t的值為多少？（2）當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y的最小值為﹣2，求出t的值；（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，且a＜b＜3．求m的取值范圍．

專題10二次函數(shù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．（2021?杭州）已知y1和y2均是以x為自變量的函數(shù)，當(dāng)x＝m時(shí)，函數(shù)值分別是M1和M2，若存在實(shí)數(shù)m，使得M1+M2＝0，則稱函數(shù)y1和y2具有性質(zhì)P．以下函數(shù)y1和y2具有性質(zhì)P的是（）A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1 B．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1 C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1 D．y1＝﹣和y2＝﹣x+1【分析】根據(jù)題干信息可知，直接令y1+y2＝0，若方程有解，則具有性質(zhì)P，若無解，則不具有性質(zhì)P．【解答】解：A．令y1+y2＝0，則x2+2x﹣x﹣1＝0，解得x＝或x＝，即函數(shù)y1和y2具有性質(zhì)P，符合題意；B．令y1+y2＝0，則x2+2x﹣x+1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程無解，即函數(shù)y1和y2不具有性質(zhì)P，不符合題意；C．令y1+y2＝0，則﹣﹣x﹣1＝0，整理得，x2+x+1＝0，方程無解，即函數(shù)y1和y2不具有性質(zhì)P，不符合題意；D．令y1+y2＝0，則﹣﹣x+1＝0，整理得，x2﹣x+1＝0，方程無解，即函數(shù)y1和y2不具有性質(zhì)P，不符合題意；故選：A．2．（2022?杭州）已知二次函數(shù)y＝x2+ax+b（a，b為常數(shù)）．命題①：該函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，0）；命題②：該函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，0）；命題③：該函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)位于y軸的兩側(cè)；命題④：該函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線x＝1．如果這四個(gè)命題中只有一個(gè)命題是假命題，則這個(gè)假命題是（）A．命題① B．命題② C．命題③ D．命題④【分析】命題④②③可以同時(shí)成立，由此即可判斷．【解答】解：假設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，則﹣＝1，解得a＝﹣2，∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，0），∴3a+b+9＝0，解得b＝﹣3，故拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，當(dāng)y＝0時(shí)，得x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝3或x＝﹣1，故拋物線與x軸的交點(diǎn)為（﹣1，0）和（3，0），函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)位于y軸的兩側(cè)；故命題②③④都是正確，①錯(cuò)誤，故選：A．3．（2022?衢州）已知二次函數(shù)y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），當(dāng)﹣1≤x≤4時(shí)，y的最小值為﹣4，則a的值為（）A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4【分析】分兩種情況討論：當(dāng)a＞0時(shí)，﹣a＝﹣4，解得a＝4；當(dāng)a＜0時(shí)，在﹣1≤x≤4，9a﹣a＝﹣4，解得a＝﹣．【解答】解：y＝a（x﹣1）2﹣a的對(duì)稱軸為直線x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣a），當(dāng)a＞0時(shí)，在﹣1≤x≤4，函數(shù)有最小值﹣a，∵y的最小值為﹣4，∴﹣a＝﹣4，∴a＝4；當(dāng)a＜0時(shí)，在﹣1≤x≤4，當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)有最小值，∴9a﹣a＝﹣4，解得a＝﹣；綜上所述：a的值為4或﹣，故選：D．4．（2022?紹興）已知拋物線y＝x2+mx的對(duì)稱軸為直線x＝2，則關(guān)于x的方程x2+mx＝5的根是（）A．0，4 B．1，5 C．1，﹣5 D．﹣1，5【分析】根據(jù)拋物線y＝x2+mx的對(duì)稱軸為直線x＝2，可以得到m的值，然后解方程即可．【解答】解：∵拋物線y＝x2+mx的對(duì)稱軸為直線x＝2，∴﹣＝2，解得m＝﹣4，∴方程x2+mx＝5可以寫成x2﹣4x＝5，∴x2﹣4x﹣5＝0，∴（x﹣5）（x+1）＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，故選：D．5．（2023?臺(tái)州）拋物線y＝ax2﹣a（a≠0）與直線y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，若x1+x2＜0，則直線y＝ax+k一定經(jīng)過（）A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限【分析】根據(jù)已知條件可得出ax2﹣kx﹣a＝0，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，分情況討論即可．【解答】解：∵拋物線y＝ax2﹣a（a≠0）與直線y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，∴kx＝ax2﹣a，∴ax2﹣kx﹣a＝0，∴，∴，當(dāng)a＞0，k＜0時(shí)，直線y＝ax+k經(jīng)過第一、三、四象限，當(dāng)a＜0，k＞0時(shí)，直線y＝ax+k經(jīng)過第一、二、四象限，綜上，直線y＝ax+k一定經(jīng)過一、四象限．故選：D．6．（2021?杭州）在“探索函數(shù)y＝ax2+bx+c的系數(shù)a，b，c與圖象的關(guān)系”活動(dòng)中，老師給出了直角坐標(biāo)系中的四個(gè)點(diǎn)：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同學(xué)們探索了經(jīng)過這四個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)的二次函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)這些圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式各不相同，其中a的值最大為（）A． B． C． D．【分析】比較任意三個(gè)點(diǎn)組成的二次函數(shù)，比較開口方向，開口向下，則a＜0，只需把開口向上的二次函數(shù)解析式求出即可．【解答】解：由圖象知，A、B、D組成的二次函數(shù)圖象開口向上，a＞0；A、B、C組成的二次函數(shù)開口向上，a＞0；B、C、D三點(diǎn)組成的二次函數(shù)開口向下，a＜0；A、D、C三點(diǎn)組成的二次函數(shù)開口向下，a＜0；即只需比較A、B、D組成的二次函數(shù)和A、B、C組成的二次函數(shù)即可．設(shè)A、B、C組成的二次函數(shù)為y1＝a1x2+b1x+c1，把A（0，2），B（1，0），C（3，1）代入上式得，，解得a1＝；設(shè)A、B、D組成的二次函數(shù)為y＝ax2+bx+c，把A（0，2），B（1，0），D（2，3）代入上式得，，解得a＝，即a最大的值為，也可以根據(jù)a的絕對(duì)值越大開口越小直接代入ABD三點(diǎn)計(jì)算，即可求求解．故選：A．7．（2023?杭州）設(shè)二次函數(shù)y＝ax2+bx+1（a≠0，b是實(shí)數(shù)）．已知函數(shù)值y和自變量x的部分對(duì)應(yīng)取值如下表所示：x…﹣10123…y…m1n1p…（1）若m＝4，①求二次函數(shù)的表達(dá)式；②寫出一個(gè)符合條件的x的取值范圍，使得y隨x的增大而減小．（2）若在m，n，p這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，求a的取值范圍．【分析】（1）①利用待定系數(shù)法即可求得；②利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意m＜0，由﹣＝1，得出b＝﹣2a，則二次函數(shù)為y＝ax2﹣2ax+1，得出m＝a+2a+1＜0，解得a＜﹣．【解答】解：（1）①由題意得，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式是y＝x2﹣2x+1；②∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線x＝1，∴當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而減小；（2）∵x＝0和x＝2時(shí)的函數(shù)值都是1，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝1，∴（1，n）是頂點(diǎn)，（﹣1，m）和（3，p）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，若在m，n，p這三個(gè)實(shí)數(shù)中，只有一個(gè)是正數(shù)，則拋物線必須開口向下，且m≤0，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴二次函數(shù)為y＝ax2﹣2ax+1，∴m＝a+2a+1≤0，∴a≤﹣．8．（2022?寧波）點(diǎn)A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+n的圖象上．若y1＜y2，則m的取值范圍為（）A．m＞2 B．m＞ C．m＜1 D．＜m＜2【分析】根據(jù)y1＜y2列出關(guān)于m的不等式即可解得答案．【解答】解：∵點(diǎn)A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+n的圖象上，∴y1＝（m﹣1﹣1）2+n＝（m﹣2）2+n，y2＝（m﹣1）2+n，∵y1＜y2，∴（m﹣2）2+n＜（m﹣1）2+n，∴（m﹣2）2﹣（m﹣1）2＜0，即﹣2m+3＜0，∴m＞，故選：B．9．（2022?溫州）已知點(diǎn)A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在拋物線y＝（x﹣1）2﹣2上，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，下列選項(xiàng)正確的是（）A．若c＜0，則a＜c＜b B．若c＜0，則a＜b＜c C．若c＞0，則a＜c＜b D．若c＞0，則a＜b＜c【分析】根據(jù)題目中的拋物線和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷當(dāng)c＜0時(shí)，a、b、c的大小關(guān)系或當(dāng)c＞0時(shí)，a、b、c的大小關(guān)系．【解答】解：∵拋物線y＝（x﹣1）2﹣2，∴該拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，拋物線開口向上，當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而減小，∵點(diǎn)A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在拋物線y＝（x﹣1）2﹣2上，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，∴若c＜0，則c＜a＜b，故選項(xiàng)A、B均不符合題意；若c＞0，則a＜b＜c，故選項(xiàng)C不符合題意，選項(xiàng)D符合題意；故選：D．10．（2023?麗水）已知點(diǎn)（﹣m，0）和（3m，0）在二次函數(shù)y＝ax2+bx+3（a，b是常數(shù)，a≠0）的圖象上．（1）當(dāng)m＝﹣1時(shí)，求a和b的值；（2）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（n，3）且點(diǎn)A不在坐標(biāo)軸上，當(dāng)﹣2＜m＜﹣1時(shí)，求n的取值范圍；（3）求證：b2+4a＝0．【分析】（1）當(dāng)m＝﹣1時(shí)，二次函數(shù)y＝ax2+bx+3圖象過點(diǎn)（1，0）和（﹣3，0），用待定系數(shù)法可得a的值是﹣1，b的值是﹣2；（2）y＝ax2+bx+3圖象過點(diǎn)（﹣m，0）和（3m，0），可知拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝m，而y＝ax2+bx+3的圖象過點(diǎn)A（n，3），（0，3），且點(diǎn)A不在坐標(biāo)軸上，可得m＝，根據(jù)﹣2＜m＜﹣1，即得﹣4＜n＜﹣2；（3）由拋物線過（﹣m，0），（3m，0），可得﹣＝m，b＝﹣2am，把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3變形可得am2+1＝0，故b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．【解答】（1）解：當(dāng)m＝﹣1時(shí)，二次函數(shù)y＝ax2+bx+3圖象過點(diǎn)（1，0）和（﹣3，0），∴，∴解得，∴a的值是﹣1，b的值是﹣2；（2）解：∵y＝ax2+bx+3圖象過點(diǎn)（﹣m，0）和（3m，0），∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝m，∵y＝ax2+bx+3的圖象過點(diǎn)A（n，3），（0，3），且點(diǎn)A不在坐標(biāo)軸上，∴由圖象的對(duì)稱性得n＝2m，∴m＝，∵﹣2＜m＜﹣1，∴﹣2＜＜﹣1，∴﹣4＜n＜﹣2；（3）證明：∵拋物線過（﹣m，0），（3m，0），∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝＝m，∴﹣＝m，∴b＝﹣2am，把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3得：，①×3+②得：12am2+12＝0，∴am2+1＝0，∴b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．11．（2022?湖州）將拋物線y＝x2向上平移3個(gè)單位，所得拋物線的解析式是（）A．y＝x2+3 B．y＝x2﹣3 C．y＝（x+3）2 D．y＝（x﹣3）2【分析】根據(jù)二次函數(shù)變化規(guī)律：左加右減，上加下減，進(jìn)而得出變化后解析式．【解答】解：∵拋物線y＝x2向上平移3個(gè)單位，∴平移后的解析式為：y＝x2+3．故選：A．二次函數(shù)的最值12．（2023?杭州）設(shè)二次函數(shù)y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是實(shí)數(shù)），則（）A．當(dāng)k＝2時(shí)，函數(shù)y的最小值為﹣a B．當(dāng)k＝2時(shí)，函數(shù)y的最小值為﹣2a C．當(dāng)k＝4時(shí)，函數(shù)y的最小值為﹣a D．當(dāng)k＝4時(shí)，函數(shù)y的最小值為﹣2a【分析】令y＝0，求出二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，繼而求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，再代入二次函數(shù)解析式即可求出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，最后代入k的值進(jìn)行判斷即可．【解答】解：令y＝0，則（x﹣m）（x﹣m﹣k）＝0，∴x1＝m，x2＝m+k，∴二次函數(shù)y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（m，0），（m+k，0），∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸是：，∵a＞0，∴y有最小值，當(dāng)時(shí)y最小，即，當(dāng)k＝2時(shí)，函數(shù)y的最小值為；當(dāng)k＝4時(shí)，函數(shù)y的最小值為，故選：A．13．（2022?嘉興）已知點(diǎn)A（a，b），B（4，c）在直線y＝kx+3（k為常數(shù)，k≠0）上，若ab的最大值為9，則c的值為（）A．1 B． C．2 D．【分析】由點(diǎn)A（a，b），B（4，c）在直線y＝kx+3上，可得，即得ab＝a（ak+3）＝ka2+3a＝k（a+）2﹣，根據(jù)ab的最大值為9，得k＝﹣，即可求出c＝2．【解答】解：∵點(diǎn)A（a，b），B（4，c）在直線y＝kx+3上，∴，由①可得：ab＝a（ak+3）＝ka2+3a＝k（a+）2﹣，∵ab的最大值為9，∴k＜0，﹣＝9，解得k＝﹣，把k＝﹣代入②得：4×（﹣）+3＝c，∴c＝2，故選：C．14．（2022?舟山）已知點(diǎn)A（a，b），B（4，c）在直線y＝kx+3（k為常數(shù)，k≠0）上，若ab的最大值為9，則c的值為（）A． B．2 C． D．1【分析】由點(diǎn)A（a，b），B（4，c）在直線y＝kx+3上，可得，即得ab＝a（ak+3）＝ka2+3a＝k（a+）2﹣，根據(jù)ab的最大值為9，得k＝﹣，即可求出c＝2．【解答】解：∵點(diǎn)A（a，b），B（4，c）在直線y＝kx+3上，∴，由①可得：ab＝a（ak+3）＝ka2+3a＝k（a+）2﹣，∵ab的最大值為9，∴k＜0，﹣＝9，解得k＝﹣，把k＝﹣代入②得：4×（﹣）+3＝c，∴c＝2，故選：B．15．（2023?紹興）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一個(gè)圖形上的點(diǎn)都在一邊平行于x軸的矩形內(nèi)部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關(guān)聯(lián)矩形．例如：如圖，函數(shù)y＝（x﹣2）2（0≤x≤3）的圖象（拋物線中的實(shí)線部分），它的關(guān)聯(lián)矩形為矩形OABC．若二次函數(shù)圖象的關(guān)聯(lián)矩形恰好也是矩形OABC，則b＝或﹣．【分析】根據(jù)題意求得點(diǎn)A（3，0），B（3，4），C（0，4），然后分兩種情況，利用待定系數(shù)法求出解析式即可．【解答】解：由y＝（x﹣2）2（0≤x≤3），當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，∴C（0，4），∵A（3，0），四邊形ABCO是矩形，∴B（3，4），①當(dāng)拋物線經(jīng)過O、B時(shí)，將點(diǎn)O（0，0），B（3，4）代入y＝x2+bx+c（0≤x≤3）得，解得b＝；②當(dāng)拋物線經(jīng)過A、C時(shí)，將點(diǎn)A（3，0），C（0，4）代入y＝x2+bx+c（0≤x≤3）得，解得b＝﹣，綜上所述，b＝或b＝﹣，故答案為：或﹣，16．（2022?紹興）已知函數(shù)y＝﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）當(dāng)﹣4≤x≤0時(shí)，求y的最大值．（3）當(dāng)m≤x≤0時(shí)，若y的最大值與最小值之和為2，求m的值．【分析】（1）將圖象經(jīng)過的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式解答即可；（2）根據(jù)x的取值范圍，二次函數(shù)圖象的開口方向和對(duì)稱軸，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判定y的最大值即可；（3）根據(jù)對(duì)稱軸為x＝﹣3，結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，分類討論得出m的取值范圍即可．【解答】解：（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，得b＝﹣6，c＝﹣3．（2）∵y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6，又∵﹣4≤x≤0，∴當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y有最大值為6．（3）①當(dāng)﹣3＜m≤0時(shí)，當(dāng)x＝0時(shí)，y有最小值為﹣3，當(dāng)x＝m時(shí)，y有最大值為﹣m2﹣6m﹣3，∴﹣m2﹣6m﹣3+（﹣3）＝2，∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）．②當(dāng)m≤﹣3時(shí)，當(dāng)x＝﹣3時(shí)y有最大值為6，∵y的最大值與最小值之和為2，∴y最小值為﹣4，∴﹣（m+3）2+6＝﹣4，∴m＝或m＝（舍去）．綜上所述，m＝﹣2或．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式17．（2023?寧波）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）當(dāng)y≤﹣2時(shí)，請根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．【分析】（1）用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式，配成頂點(diǎn)式即可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求出A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，由圖象直接可得答案．【解答】解：（1）把A（1，﹣2）和B（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2+2x﹣5，∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣6）；（2）如圖：∵點(diǎn)A（1，﹣2）關(guān)于對(duì)稱軸直線x＝﹣1的對(duì)稱點(diǎn)C（﹣3，﹣2），∴當(dāng)y≤﹣2時(shí)，x的范圍是﹣3≤x≤1．18．（2023?紹興）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c．（1）當(dāng)b＝4，c＝3時(shí)，①求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，求y的取值范圍；（2）當(dāng)x≤0時(shí)，y的最大值為2；當(dāng)x＞0時(shí)，y的最大值為3，求二次函數(shù)的表達(dá)式．【分析】（1）先把解析式進(jìn)行配方，再求頂點(diǎn)；（2）根據(jù)函數(shù)的增減性求解；（3）根據(jù)函數(shù)的圖象和系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合圖象求解．【解答】解：（1）①∵b＝4，c＝3時(shí)，∴y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，7）．②∵﹣1≤x≤3中含有頂點(diǎn)（2，7），∴當(dāng)x＝2時(shí)，y有最大值7，∵2﹣（﹣1）＞3﹣2，∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y有最小值為：﹣2，∴當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，﹣2≤y≤7．（2）∵x≤0時(shí)，y的最大值為2；x＞0時(shí)，y的最大值為3，∴拋物線的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，∴b＞0，∵拋物線開口向下，x≤0時(shí)，y的最大值為2，∴c＝2，又∵，∴b＝±2，∵b＞0，∴b＝2．∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+2．19．（2021?杭州）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)y＝ax2+bx+1（a，b是常數(shù)，a≠0）．（1）若該函數(shù)的圖象經(jīng)過（1，0）和（2，1）兩點(diǎn)，求函數(shù)的表達(dá)式，并寫出函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）寫出一組a，b的值，使函數(shù)y＝ax2+bx+1的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，并說明理由．（3）已知a＝b＝1，當(dāng)x＝p，q（p，q是實(shí)數(shù)，p≠q）時(shí)，該函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為P，Q．若p+q＝2，求證：P+Q＞6．【分析】（1）考查使用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，屬于基礎(chǔ)題，將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，解二元一次方程組即可；（2）寫出一組a，b，使得b2﹣4ac＞0即可；（3）已知a＝b＝1，則y＝x2+x+1．容易得到P+Q＝p2+p+1+q2+q+1，利用p+q＝2，即p＝2﹣q代入對(duì)代數(shù)式P+Q進(jìn)行化簡，并配方得出P+Q＝2（q﹣1）2+6≥6．最后注意利用p≠q條件判斷q≠1，得證．【解答】解：（1）由題意，得，解得，所以，該函數(shù)表達(dá)式為y＝x2﹣2x+1．并且該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．（2）例如a＝1，b＝3，此時(shí)y＝x2+3x+1，∵b2﹣4ac＝5＞0，∴函數(shù)y＝x2+3x+1的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．（3）由題意，得P＝p2+p+1，Q＝q2+q+1，所以P+Q＝p2+p+1+q2+q+1＝p2+q2+4＝（2﹣q）2+q2+4＝2（q﹣1）2+6≥6，由條件p≠q，知q≠1．所以P+Q＞6，得證．20．（2021?溫州）已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，0）．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）直線l交拋物線于點(diǎn)A（﹣4，m），B（n，7），n為正數(shù)．若點(diǎn)P在拋物線上且在直線l下方（不與點(diǎn)A，B重合），分別求出點(diǎn)P橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的取值范圍．【分析】（1）將點(diǎn)（﹣2，0）代入求解．（2）分別求出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，根據(jù)圖象開口方向及頂點(diǎn)坐標(biāo)求解．【解答】解：（1）把（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣8得0＝4a+4a﹣8，解得a＝1，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2﹣2x﹣8，∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣9）．（2）把x＝﹣4代入y＝x2﹣2x﹣8得y＝（﹣4）2﹣2×（﹣4）﹣8＝16，∴m＝16，把y＝7代入函數(shù)解析式得7＝x2﹣2x﹣8，解得x＝5或x＝﹣3，∴n＝5或n＝﹣3，∵n為正數(shù)，∴n＝5，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣4，16），點(diǎn)B坐標(biāo)為（5，7）．∵拋物線開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣9），∴拋物線頂點(diǎn)在AB下方，∴﹣4＜xP＜5，﹣9≤yP＜16．拋物線與x軸的交點(diǎn)21．（2023?寧波）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0），下列說法正確的是（）A．點(diǎn)（1，2）在該函數(shù)的圖象上 B．當(dāng)a＝1且﹣1≤x≤3時(shí)，0≤y≤8 C．該函數(shù)的圖象與x軸一定有交點(diǎn) D．當(dāng)a＞0時(shí)，該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸一定在直線x＝的左側(cè)【分析】將點(diǎn)（1，2）代入拋物線的解析式即可對(duì)選項(xiàng)A進(jìn)行判斷；將a＝1代入拋物線的解析式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1），據(jù)此可對(duì)選項(xiàng)B進(jìn)行判斷；令y＝0，則ax2﹣（3a+1）x+3＝0，然后判斷該方程判別式的符號(hào)即可對(duì)選項(xiàng)C進(jìn)行判斷；求出拋物線的解析式為：，然后根據(jù)a＞0得，據(jù)此可對(duì)選項(xiàng)C進(jìn)行判斷．【解答】解：①對(duì)于y＝ax2﹣（3a+1）x+3，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝a×12﹣（3a+1）×1+3＝2﹣2a∵a≠0，∴y＝2﹣2a≠2，∴點(diǎn)A（1，2）不在該函數(shù)的圖象上，故選項(xiàng)A不正確；②當(dāng)x＝1時(shí)，拋物線的解析式為：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1），即當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣1＜0，故得選項(xiàng)B不正確；③令y＝0，則ax2﹣（3a+1）x+3＝0，∵Δ＝[﹣（3a+1）]2﹣4a×3＝（3a﹣1）2≥0，∴該函數(shù)的圖象與x軸一定有交點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確；④∵該拋物線的對(duì)稱軸為：，又∵a＞0，∴，∴該拋物線的對(duì)稱軸一定在直線的右側(cè)，故選項(xiàng)D不正確．故選：C．22．（2022?杭州）設(shè)二次函數(shù)y1＝2x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)．（1）若A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，0），（2，0），求函數(shù)y1的表達(dá)式及其圖象的對(duì)稱軸．（2）若函數(shù)y1的表達(dá)式可以寫成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常數(shù)）的形式，求b+c的最小值．（3）設(shè)一次函數(shù)y2＝x﹣m（m是常數(shù)），若函數(shù)y1的表達(dá)式還可以寫成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，當(dāng)函數(shù)y＝y(tǒng)1﹣y2的圖象經(jīng)過點(diǎn)（x0，0）時(shí)，求x0﹣m的值．【分析】（1）根據(jù)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可設(shè)函數(shù)y1的表達(dá)式為y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1，x2是拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）把函數(shù)y1＝2（x﹣h）2﹣2，化成一般式，求出對(duì)應(yīng)的b、c的值，再根據(jù)b+c式子的特點(diǎn)求出其最小值；（3）把y1，y2代入y＝y(tǒng)1﹣y2求出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)其圖象過點(diǎn)（x0，0），把（x0，0）代入其表達(dá)式，形成關(guān)于x0的一元二次方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y1＝2x2+bx+c過點(diǎn)A（1，0）、B（2，0），∴y1＝2（x﹣1）（x﹣2），即y1＝2x2﹣6x+4．∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝．（2）把y1＝2（x﹣h）2﹣2化成一般式得，y1＝2x2﹣4hx+2h2﹣2．∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2．∴b+c＝2h2﹣4h﹣2＝2（h﹣1）2﹣4．把b+c的值看作是h的二次函數(shù)，則該二次函數(shù)開口向上，有最小值，∴當(dāng)h＝1時(shí)，b+c的最小值是﹣4．（3）由題意得，y＝y(tǒng)1﹣y2＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）﹣（x﹣m）＝（x﹣m）[2（x﹣m）﹣5]．∵函數(shù)y的圖象經(jīng)過點(diǎn)（x0，0），∴（x0﹣m）[2（x0﹣m）﹣5]＝0．∴x0﹣m＝0，或2（x0﹣m）﹣5＝0．即x0﹣m＝0或x0﹣m＝．23．（2021?寧波）如圖，二次函數(shù)y＝（x﹣1）（x﹣a）（a為常數(shù)）的圖象的對(duì)稱軸為直線x＝2．（1）求a的值．（2）向下平移該二次函數(shù)的圖象，使其經(jīng)過原點(diǎn)，求平移后圖象所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式．【分析】（1）根據(jù)拋物線解析式得到拋物線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，結(jié)合拋物線的軸對(duì)稱性質(zhì)求得a的值即可．（2）將a的值代入，結(jié)合拋物線解析式求平移后圖象所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式．【解答】解：（1）由二次函數(shù)y＝（x﹣1）（x﹣a）（a為常數(shù)）知，該拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（1，0）和（a，0）．∵對(duì)稱軸為直線x＝2，∴＝2．解得a＝3；（2）由（1）知，a＝3，則該拋物線解析式是：y＝x2﹣4x+3．∴拋物線向下平移3個(gè)單位后經(jīng)過原點(diǎn)．∴平移后圖象所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式是y＝x2﹣4x．二次函數(shù)的應(yīng)用24．（2023?麗水）一個(gè)球從地面豎直向上彈起時(shí)的速度為10米/秒，經(jīng)過t（秒）時(shí)球距離地面的高度h（米）適用公式h＝10t﹣5t2，那么球彈起后又回到地面所花的時(shí)間t（秒）是（）A．5 B．10 C．1 D．2【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：令h＝0，得：10t﹣5t2＝0，解得：t＝0或t＝2，∴那么球彈起后又回到地面所花的時(shí)間是2秒；故選：D．25．（2021?臺(tái)州）以初速度v（單位：m/s）從地面豎直向上拋出小球，從拋出到落地的過程中，小球的高度h（單位：m）與小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系式是h＝vt﹣4.9t2．現(xiàn)將某彈性小球從地面豎直向上拋出，初速度為v1，經(jīng)過時(shí)間t1落回地面，運(yùn)動(dòng)過程中小球的最大高度為h1（如圖1）；小球落地后，豎直向上彈起，初速度為v2，經(jīng)過時(shí)間t2落回地面，運(yùn)動(dòng)過程中小球的最大高度為h2（如圖2）．若h1＝2h2，則t1：t2＝：1．【分析】利用h＝vt﹣4.9t2，求出t1，t2，再根據(jù)h1＝2h2，求出v1＝v2，可得結(jié)論．【解答】解：由題意，t1＝，t2＝，h1＝＝，h2＝＝，∵h(yuǎn)1＝2h2，∴v1＝v2，∴t1：t2＝v1：v2＝：1，故答案為：：1．26．（2023?溫州）一次足球訓(xùn)練中，小明從球門正前方8m的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線．當(dāng)球飛行的水平距離為6m時(shí)，球達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)球離地面3m．已知球門高OB為2.44m，現(xiàn)以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并通過計(jì)算判斷球能否射進(jìn)球門（忽略其他因素）；（2）對(duì)本次訓(xùn)練進(jìn)行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當(dāng)時(shí)他應(yīng)該帶球向正后方移動(dòng)多少米射門，才能讓足球經(jīng)過點(diǎn)O正上方2.25m處？【分析】（1）求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），設(shè)拋物線為y＝a（x﹣2）2+3，用待定系數(shù)法可得y＝﹣（x﹣2）2+3；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣×4+3＝＞2.44，知球不能射進(jìn)球門．（2）設(shè)小明帶球向正后方移動(dòng)m米，則移動(dòng)后的拋物線為y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，把點(diǎn)（0，2.25）代入得m＝﹣5（舍去）或m＝1，即知當(dāng)時(shí)他應(yīng)該帶球向正后方移動(dòng)1米射門，才能讓足球經(jīng)過點(diǎn)O正上方2.25m處．【解答】解：（1）∵8﹣6＝2，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），設(shè)拋物線為y＝a（x﹣2）2+3，把點(diǎn)A（8，0）代入得：36a+3＝0，解得a＝﹣，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣（x﹣2）2+3；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣×4+3＝＞2.44，∴球不能射進(jìn)球門．（2）設(shè)小明帶球向正后方移動(dòng)m米，則移動(dòng)后的拋物線為y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，把點(diǎn)（0，2.25）代入得：2.25＝﹣（0﹣2﹣m）2+3，解得m＝﹣5（舍去）或m＝1，∴當(dāng)時(shí)他應(yīng)該帶球向正后方移動(dòng)1米射門，才能讓足球經(jīng)過點(diǎn)O正上方2.25m處．27．（2022?寧波）為了落實(shí)勞動(dòng)教育，某學(xué)校邀請農(nóng)科院專家指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小番茄的種植，經(jīng)過試驗(yàn)，其平均單株產(chǎn)量y千克與每平方米種植的株數(shù)x（2≤x≤8，且x為整數(shù)）構(gòu)成一種函數(shù)關(guān)系．每平方米種植2株時(shí)，平均單株產(chǎn)量為4千克；以同樣的栽培條件，每平方米種植的株數(shù)每增加1株，單株產(chǎn)量減少0.5千克．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．（2）每平方米種植多少株時(shí)，能獲得最大的產(chǎn)量？最大產(chǎn)量為多少千克？【分析】（1）由每平方米種植的株數(shù)每增加1株，單株產(chǎn)量減少0.5千克，即可得y＝4﹣0.5（x﹣2）＝﹣0.5x+5，（2）設(shè)每平方米小番茄產(chǎn)量為W千克，由產(chǎn)量＝每平方米種植株數(shù)×單株產(chǎn)量即可列函數(shù)關(guān)系式，由二次函數(shù)性質(zhì)可得答案．【解答】解：（1）∵每平方米種植的株數(shù)每增加1株，單株產(chǎn)量減少0.5千克，∴y＝4﹣0.5（x﹣2）＝﹣0.5x+5，答：y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣0.5x+5，（2≤x≤8，且x為整數(shù)）；（2）設(shè)每平方米小番茄產(chǎn)量為W千克，根據(jù)題意得：W＝x（﹣0.5x+5）＝﹣0.5x2+5x＝﹣0.5（x﹣5）2+12.5，∵﹣0.5＜0，∴當(dāng)x＝5時(shí)，W取最大值，最大值為12.5，答：每平方米種植5株時(shí)，能獲得最大的產(chǎn)量，最大產(chǎn)量為12.5千克．28．（2021?金華）某游樂場的圓形噴水池中心O有一雕塑OA，從A點(diǎn)向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同．如圖，以水平方向?yàn)閤軸，點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A在y軸上，x軸上的點(diǎn)C，D為水柱的落水點(diǎn)，水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣（x﹣5）2+6．（1）求雕塑高OA．（2）求落水點(diǎn)C，D之間的距離．（3）若需要在OD上的點(diǎn)E處豎立雕塑EF，OE＝10m，EF＝1.8m，EF⊥OD．問：頂部F是否會(huì)碰到水柱？請通過計(jì)算說明．【分析】（1）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出雕塑高OA的值；（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出OD的長度，由噴出的水柱為拋物線且形狀相同，可得出OC的長，結(jié)合CD＝OC+OD即可求出落水點(diǎn)C，D之間的距離；（3）代入x＝10求出y值，進(jìn)而可得出點(diǎn)（10，）在拋物線y＝﹣（x﹣5）2+6上，將與1.8比較后即可得出頂部F不會(huì)碰到水柱．【解答】解：（1）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣×（0﹣5）2+6＝，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，），∴雕塑高m．（2）當(dāng)y＝0時(shí)，﹣（x﹣5）2+6＝0，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（11，0），∴OD＝11m．∵從A點(diǎn)向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同，∴OC＝OD＝11m，∴CD＝OC+OD＝22m．（3）當(dāng)x＝10時(shí)，y＝﹣×（10﹣5）2+6＝，∴點(diǎn)（10，）在拋物線y＝﹣（x﹣5）2+6上．又∵≈1.83＞1.8，∴頂部F不會(huì)碰到水柱．29．（2022?金華）“八婺”菜場指導(dǎo)菜農(nóng)生產(chǎn)和銷售某種蔬菜，提供如下信息：①統(tǒng)計(jì)售價(jià)與需求量的數(shù)據(jù)，通過描點(diǎn)（圖1），發(fā)現(xiàn)該蔬菜需求量y需求（噸）關(guān)于售價(jià)x（元/千克）的函數(shù)圖象可以看成拋物線，其表達(dá)式為y需求＝ax2+c，部分對(duì)應(yīng)值如下表：售價(jià)x（元/千克）…2.533.54…需求量y需求（噸）…7.757.26.555.8…②該蔬菜供給量y供給（噸）關(guān)于售價(jià)x（元/千克）的函數(shù)表達(dá)式為y供給＝x﹣1，函數(shù)圖象見圖1．③1～7月份該蔬菜售價(jià)x售價(jià)（元/千克）、成本x成本（元/千克）關(guān)于月份t的函數(shù)表達(dá)式分別為x售價(jià)＝t+2，x成本＝t2﹣t+3，函數(shù)圖象見圖2．請解答下列問題：（1）求a，c的值．（2）根據(jù)圖2，哪個(gè)月出售這種蔬菜每千克獲利最大？并說明理由．（3）求該蔬菜供給量與需求量相等時(shí)的售價(jià)，以及按此價(jià)格出售獲得的總利潤．【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)這種蔬菜每千克獲利w元，根據(jù)w＝x售價(jià)﹣x成本列出函數(shù)關(guān)系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）根據(jù)題意列出方程，求出x的值，再求出總利潤即可．【解答】解：（1）把（3，7.2），（4，5.8）代入y需求＝ax2+c，，②﹣①，得7a＝﹣1.4，解得：a＝﹣，把a(bǔ)＝﹣代入①，得c＝9，∴a的值為﹣，c的值為9；（2）設(shè)這種蔬菜每千克獲利w元，根據(jù)題意，w＝x售價(jià)﹣x成本＝t+2﹣（t2﹣t+3）＝﹣（t﹣4）2+3，∵﹣＜0，且1≤t≤7，∴當(dāng)t＝4時(shí)，w有最大值，答：在4月份出售這種蔬菜每千克獲利最大；（3）當(dāng)y供給＝y(tǒng)需求時(shí)，x﹣1＝﹣x2+9，解得：x1＝5，x2＝﹣10（舍去），∴此時(shí)售價(jià)為5元/千克，則y供給＝x﹣1＝5﹣1＝4（噸）＝4000（千克），令t+2＝5，解得t＝6，∴w＝﹣（t﹣4）2+3＝﹣×（6﹣4）2+3＝2，∴總利潤為w?y＝2×4000＝8000（元），答：該蔬菜供給量與需求量相等時(shí)的售價(jià)為5元/千克，按此價(jià)格出售獲得的總利潤為8000元．30．（2021?衢州）如圖1是一座拋物線型拱橋側(cè)面示意圖．水面寬AB與橋長CD均為24m，在距離D點(diǎn)6米的E處，測得橋面到橋拱的距離EF為1.5m，以橋拱頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，橋面為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求橋拱頂部O離水面的距離．（2）如圖2，橋面上方有3根高度均為4m的支柱CG，OH，DI，過相鄰兩根支柱頂端的鋼纜呈形狀相同的拋物線，其最低點(diǎn)到橋面距離為1m．①求出其中一條鋼纜拋物線的函數(shù)表達(dá)式．②為慶祝節(jié)日，在鋼纜和橋拱之間豎直裝飾若干條彩帶，求一條彩帶長度的最小值．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，然后結(jié)合二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征計(jì)算求解；（2）①由圖象分析右邊鋼纜所在拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（6，1），然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；②根據(jù)題意，列式y(tǒng)2﹣y1利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．【解答】解：（1）根據(jù)題意可知點(diǎn)F的坐標(biāo)為（6，﹣1.5），可設(shè)拱橋側(cè)面所在二次函數(shù)表達(dá)式為：y1＝a1x2．將F（6，﹣1.5）代入y1＝a1x2有：﹣1.5＝36a1，求得a1＝，∴y1＝x2，當(dāng)x＝12時(shí)，y1＝×122＝﹣6，∴橋拱頂部離水面高度為6m．（2）①由題意可知右邊鋼纜所在拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（6，1），可設(shè)其表達(dá)式為y2＝a2（x﹣6）2+1，將H（0，4）代入其表達(dá)式有：4＝a2（0﹣6）2+1，求得a2＝，∴右邊鋼纜所在拋物線表達(dá)式為：y2＝（x﹣6）2+1，同理可得左邊鋼纜所在拋物線表達(dá)式為：y3＝（x+6）2+1②設(shè)彩帶的長度為Lm，則L＝y(tǒng)2﹣y1＝（x﹣6）2+1﹣（x2）＝＝，∴當(dāng)x＝4時(shí)，L最小值＝2，答：彩帶長度的最小值是2m．31．（2022?衢州）如圖1為北京冬奧會(huì)“雪飛天”滑雪大跳臺(tái)賽道的橫截面示意圖．取水平線OE為x軸，鉛垂線OD為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．運(yùn)動(dòng)員以速度v（m/s）從D點(diǎn)滑出，運(yùn)動(dòng)軌跡近似拋物線y＝﹣ax2+2x+20（a≠0）．某運(yùn)動(dòng)員7次試跳的軌跡如圖2．在著陸坡CE上設(shè)置點(diǎn)K（與DO相距32m）作為標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)，著陸點(diǎn)在K點(diǎn)或超過K點(diǎn)視為成績達(dá)標(biāo)．（1）求線段CE的函數(shù)表達(dá)式（寫出x的取值范圍）．（2）當(dāng)a＝時(shí)，著陸點(diǎn)為P，求P的橫坐標(biāo)并判斷成績是否達(dá)標(biāo)．（3）在試跳中發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)軌跡與滑出速度v的大小有關(guān)，進(jìn)一步探究，測算得7組a與v2的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)如圖3．①猜想a關(guān)于v2的函數(shù)類型，求函數(shù)表達(dá)式，并任選一對(duì)對(duì)應(yīng)值驗(yàn)證．②當(dāng)v為多少m/s時(shí)，運(yùn)動(dòng)員的成績恰能達(dá)標(biāo)（精確到1m/s）？（參考數(shù)據(jù)：≈1.73，≈2.24）【分析】（1）由圖2可知：C（8，16），E（40，0），利用待定系數(shù)法可得出結(jié)論；（2）當(dāng)時(shí)，，聯(lián)立，可得出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，比較即可得出結(jié)論；（3）①猜想a與v2成反比例函數(shù)關(guān)系．將（100，0.250）代入表達(dá)式，求出m的值即可．將（150，0.167）代入進(jìn)行驗(yàn)證即可得出結(jié)論；②由K在線段上，得K（32，4），代入得y＝﹣ax2+2x+20，得．由得v2＝320，比較即可．【解答】解：（1）由圖2可知：C（8，16），E（40，0），設(shè)CE：y＝kx+b（k≠0），將C（8，16），E（40，0）代入得：，解得，∴線段CE的函數(shù)表達(dá)式為（8≤x≤40）．（2）當(dāng)時(shí)，，由題意得，解得x1＝0（舍去），x2＝22.5．∴P的橫坐標(biāo)為22.5．∵22.5＜32，∴成績未達(dá)標(biāo)．（3）①猜想a與v2成反比例函數(shù)關(guān)系．∴設(shè)，將（100，0.250）代入得，解得m＝25，∴．將（150，0.167）代入驗(yàn)證：，∴能相當(dāng)精確地反映a與v2的關(guān)系，即為所求的函數(shù)表達(dá)式．②由K在線段上，得K（32，4），代入得y＝﹣ax2+2x+20，得．由得v2＝320，又∵v＞0，∴．∴當(dāng)v≈18m/s時(shí)，運(yùn)動(dòng)員的成績恰能達(dá)標(biāo)．32．（2022?溫州）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何設(shè)計(jì)拱橋景觀燈的懸掛方案？素材1圖1中有一座拱橋，圖2是其拋物線形橋拱的示意圖，某時(shí)測得水面寬20m，拱頂離水面5m．據(jù)調(diào)查，該河段水位在此基礎(chǔ)上再漲1.8m達(dá)到最高．素材2為迎佳節(jié)，擬在圖1橋洞前面的橋拱上懸掛40cm長的燈籠，如圖3．為了安全，燈籠底部距離水面不小于1m；為了實(shí)效，相鄰兩盞燈籠懸掛點(diǎn)的水平間距均為1.6m；為了美觀，要求在符合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸對(duì)稱分布．問題解決任務(wù)1確定橋拱形狀在圖2中建立合適的直角坐標(biāo)系，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．任務(wù)2探究懸掛范圍在你所建立的坐標(biāo)系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值和橫坐標(biāo)的取值范圍．任務(wù)3擬定設(shè)計(jì)方案給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量，并根據(jù)你所建立的坐標(biāo)系，求出最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【分析】任務(wù)1：利用待定系數(shù)法可得拋物線的函數(shù)表達(dá)式；任務(wù)2：根據(jù)該河段水位再漲1.8m達(dá)到最高，燈籠底部距離水面至少1m，燈籠長0.4m，計(jì)算懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值是﹣1.8m；任務(wù)3：介紹兩種方案：分別掛7盞和8盞．【解答】解：任務(wù)1：以拱頂為原點(diǎn)，建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系，則頂點(diǎn)為（0，0），且過點(diǎn)B（10，﹣5），設(shè)拋物線的解析式為：y＝ax2，把點(diǎn)B（10，﹣5）代入得：100a＝﹣5，∴a＝﹣，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x2；任務(wù)2：∵該河段水位再漲1.8m達(dá)到最高，燈籠底部距離水面不小于1m，燈籠長0.4m，∴當(dāng)懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)y≥﹣5+1.8+1+0.4＝﹣1.8，即懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值是﹣1.8m，當(dāng)y＝﹣1.8時(shí)，﹣x2＝﹣1.8，∴x＝±6，∴懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是：﹣6≤x≤6；任務(wù)3：方案一：如圖2（坐標(biāo)軸的橫軸），從頂點(diǎn)處開始懸掛燈籠，∵﹣6≤x≤6，相鄰兩盞燈籠懸掛點(diǎn)的水平間距均為1.6m，∴若頂點(diǎn)一側(cè)懸掛4盞燈籠時(shí)，1.6×4＞6，若頂點(diǎn)一側(cè)懸掛3盞燈籠時(shí)，1.6×3＜6，∴頂點(diǎn)一側(cè)最多懸掛3盞燈籠，∵燈籠掛滿后成軸對(duì)稱分布，∴共可掛7盞燈籠，∴最左邊一盞燈籠的橫坐標(biāo)為：﹣1.6×3＝﹣4.8；方案二：如圖3，∵若頂點(diǎn)一側(cè)懸掛5盞燈籠時(shí)，0.8+1.6×（5﹣1）＞6，若頂點(diǎn)一側(cè)懸掛4盞燈籠時(shí)，0.8+1.6×（4﹣1）＜6，∴頂點(diǎn)一側(cè)最多懸掛4盞燈籠，∵燈籠掛滿后成軸對(duì)稱分布，∴共可掛8盞燈籠，∴最左邊一盞燈籠的橫坐標(biāo)為：﹣0.8﹣1.6×3＝﹣5.6．33．（2022?臺(tái)州）如圖1，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線l的方向行駛，為綠化帶澆水．噴水口H離地豎直高度為h（單位：m）．如圖2，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG，其水平寬度DE＝3m，豎直高度為EF的長．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2m，高出噴水口0.5m，灌溉車到l的距離OD為d（單位：m）．（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．①求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC；②求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)；③要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，求d的取值范圍．（2）若EF＝1m．要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，請直接寫出h的最小值．【分析】（1）①由頂點(diǎn)A（2，2）得，設(shè)y＝a（x﹣2）2+2，再根據(jù)拋物線過點(diǎn)（0，1.5），可得a的值，從而解決問題；②由對(duì)稱軸知點(diǎn)（0，1.5）的對(duì)稱點(diǎn)為（4，1.5），則下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4cm得到的，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；③根據(jù)EF＝0.5，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用增減性可得d的最大值為最小值，從而得出答案；（2）當(dāng)噴水口高度最低，且恰好能澆灌到整個(gè)綠化帶時(shí)，點(diǎn)D、F恰好分別在兩條拋物線上，故設(shè)點(diǎn)D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F(xiàn)（m+3，﹣（m+3﹣2）2+h+0.5），則有﹣[（m+3﹣2）2+h+0.5]﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1，從而得出答案．【解答】解：（1）①如圖1，由題意得A（2，2）是上邊緣拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)y＝a（x﹣2）2+2，又∵拋物線過點(diǎn)（0，1.5），∴1.5＝4a+2，∴a＝﹣，∴上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為y＝﹣（x﹣2）2+2，當(dāng)y＝0時(shí)，0＝﹣（x﹣2）2+2，解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），∴噴出水的最大射程OC為6m；②∵對(duì)稱軸為直線x＝2，∴點(diǎn)（0，1.5）的對(duì)稱點(diǎn)為（4，1.5），∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4m得到的，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）；③∵EF＝0.5，∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為0.5，∴0.5＝﹣（x﹣2）2+2，解得x＝2±2，∵x＞0，∴x＝2+2，當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)2≤x≤6時(shí)，要使y≥0.5，則x≤2+2，∵當(dāng)0≤x≤2時(shí)，y隨x的增大而增大，且x＝0時(shí)，y＝1.5＞0.5，∴當(dāng)0≤x≤6時(shí)，要使y≥0.5，則0≤x≤2+2，∵DE＝3，灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，∴d的最大值為2+2﹣3＝2﹣1，再看下邊緣拋物線，噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是d≥OB，∴d的最小值為2，綜上所述，d的取值范圍是2≤d≤2﹣1；（2）當(dāng)噴水口高度最低，且恰好能澆灌到整個(gè)綠化帶時(shí)，點(diǎn)D、F恰好分別在兩條拋物線上，設(shè)點(diǎn)D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F(xiàn)（m+3，﹣（m+3﹣2）2+h+0.5），則有﹣（m+3﹣2）2+h+0.5﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1，解得m＝2.5，∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為h﹣，∴h﹣＝0，∴h的最小值為．二次函數(shù)綜合題34．（2023?金華）如圖，直線y＝與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，拋物線的頂點(diǎn)P在直線AB上，與x軸的交點(diǎn)為C，D，其中點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0），直線BC與直線PD相交于點(diǎn)E．（1）如圖2，若拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O．①求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；②求的值．（2）連結(jié)PC，∠CPE與∠BAO能否相等？若能，求符合條件的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不能，試說明理由．【分析】（1）①由拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O（0，0）、C（2，0），可得拋物線的頂點(diǎn)P（1，），利用待定系數(shù)法可得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+3x；②先求出A（﹣2，0），B（0，），運(yùn)用待定系數(shù)法可得直線OP的解析式為y＝x，過點(diǎn)B作BF∥x軸交OP于點(diǎn)F，F(xiàn)（，），可得BF＝，再由BF∥OC，得出△BEF∽△CEO，進(jìn)而可得＝＝＝；（2）過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)P（m，m+），則F（m，0），利用勾股定理可得AP2＝AF2+PF2＝（m+2）2+（m+）2＝m2+9m+9，若∠CPE＝∠BAO，可得△CPD∽△CAP，得出∠CDP＝∠CPA，再結(jié)合∠CDP＝∠ACP，可得∠PCD＝∠CPA，進(jìn)而可得AP＝AC，建立方程求解即可得出答案．【解答】解：（1）①∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O（0，0）、C（2，0），∴對(duì)稱軸為直線x＝1，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝×1+＝，∴拋物線的頂點(diǎn)P（1，），設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+，把C（2，0）代入，得a+＝0，解得：a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣1）2+＝﹣x2+3x，∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+3x；②∵直線y＝與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，∴A（﹣2，0），B（0，），設(shè)直線OP的解析式為y＝kx，把P（1，）代入，得：k＝，∴直線OP的解析式為y＝x，如圖，過點(diǎn)B作BF∥x軸交OP于點(diǎn)F，則點(diǎn)F的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相同，∴＝x，解得：x＝，∴F（，），∴BF＝，∵BF∥OC，∴△BEF∽△CEO，∴＝＝＝，∴的值為．（2）如圖，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)P（m，m+），則F（m，0），∴PF＝m+，AF＝m﹣（﹣2）＝m+2，AC＝2﹣（﹣2）＝4，在Rt△APF中，AP2＝AF2+PF2＝（m+2）2+（m+）2＝m2+9m+9，若∠CPE＝∠BAO，∵∠PCD＝∠ACP，∴△CPD∽△CAP，∴∠CDP＝∠CPA，∵PC＝PD，∴∠CDP＝∠ACP，∴∠PCD＝∠CPA，∴AP＝AC，∴m2+9m+9＝16，解得：m1＝﹣（舍去），m2＝，∴∠CPE與∠BAO能相等，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．35．（2022?舟山）已知拋物線L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）．（1）求拋物線L1的函數(shù)表達(dá)式．（2）將拋物線L1向上平移m（m＞0）個(gè)單位得到拋物線L2．若拋物線L2的頂點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線L1上，求m的值．（3）把拋物線L1向右平移n（n＞0）個(gè)單位得到拋物線L3．已知點(diǎn)P（8﹣t，s），Q（t﹣4，r）都在拋物線L3上，若當(dāng)t＞6時(shí)，都有s＞r，求n的取值范圍．【分析】（1）把A（1，0）代入y＝a（x+1）2﹣4即可解得拋物線L1的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2+2x﹣3；（2）將拋物線L1向上平移m（m＞0）個(gè)單位得到拋物線L2，頂點(diǎn)為（﹣1，﹣4+m），關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為（1，4﹣m），代入y＝x2+2x﹣3可解得m的值為4；（3）把拋物線L1向右平移n（n＞0）個(gè)單位得拋物線L3為y＝（x﹣n+1）2﹣4，根據(jù)點(diǎn)P（8﹣t，s），Q（t﹣4，r）都在拋物線L3上，當(dāng)t＞6時(shí)，s＞r，可得[（9﹣t﹣n）2﹣4]﹣[（t﹣n﹣3）2﹣4]＞0，即可解得n的取值范圍是n＞3．【解答】解：（1）把A（1，0）代入y＝a（x+1）2﹣4得：a（1+1）2﹣4＝0，解得a＝1，∴y＝（x+1）2﹣4＝x2+2x﹣3；答：拋物線L1的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2+2x﹣3；（2）拋物線L1：y＝（x+1）2﹣4的頂點(diǎn)為（﹣1，﹣4），將拋物線L1向上平移m（m＞0）個(gè)單位得到拋物線L2，則拋物線L2的頂點(diǎn)為（﹣1，﹣4+m），而（﹣1，﹣4+m）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為（1，4﹣m），把（1，4﹣m）代入y＝x2+2x﹣3得：12+2×1﹣3＝4﹣m，解得m＝4，答：m的值為4；（3）把拋物線L1向右平移n（n＞0）個(gè)單位得到拋物線L3，拋物線L3解析式為y＝（x﹣n+1）2﹣4，∵點(diǎn)P（8﹣t，s），Q（t﹣4，r）都在拋物線L3上，∴s＝（8﹣t﹣n+1）2﹣4＝（9﹣t﹣n）2﹣4，r＝（t﹣4﹣n+1）2﹣4＝（t﹣n﹣3）2﹣4，∵當(dāng)t＞6時(shí)，s＞r，∴s﹣r＞0，∴[（9﹣t﹣n）2﹣4]﹣[（t﹣n﹣3）2﹣4]＞0，整理變形得：（9﹣t﹣n）2﹣（t﹣n﹣3）2＞0，（9﹣t﹣n+t﹣n﹣3）（9﹣t﹣n﹣t+n+3）＞0，（6﹣2n）（12﹣2t）＞0，∵t＞6，∴12﹣2t＜0，∴6﹣2n＜0，解得n＞3，∴n的取值范圍是n＞3．36．（2022?嘉興）已知拋物線L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）．（1）求拋物線L1的函數(shù)表達(dá)式．（2）將拋物線L1向上平移m（m＞0）個(gè)單位得到拋物線L2．若拋物線L2的頂點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線L1上，求m的值．（3）把拋物線L1向右平移n（n＞0）個(gè)單位得到拋物線L3，若點(diǎn)B（1，y1），C（3，y2）在拋物線L3上，且y1＞y2，求n的取值范圍．【分析】（1）把（1，0）代入拋物線的解析式求出a即