高考總復(fù)習(xí)理數(shù)（人教版）第09章平面解析幾何第10節(jié)圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用第2課時(shí)

第二課時(shí)圓錐曲線(xiàn)中的定點(diǎn)與定值問(wèn)題圓錐曲線(xiàn)中的定點(diǎn)問(wèn)題[明技法]圓錐曲線(xiàn)中定點(diǎn)問(wèn)題的兩種解法(1)引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線(xiàn)中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒(méi)有關(guān)系，找到定點(diǎn)．(2)特殊到一般法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線(xiàn)的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān)．[提能力]【典例】(2018·邵陽(yáng)聯(lián)考)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)過(guò)點(diǎn)(0,1)，其長(zhǎng)軸、焦距和短軸的長(zhǎng)的平方依次成等差數(shù)列．直線(xiàn)l與x軸正半軸和y軸分別交于點(diǎn)Q、P，與橢圓分別交于點(diǎn)M、N，各點(diǎn)均不重合且滿(mǎn)足eq\o(PM,\s\up6(→))＝λ1eq\o(MQ,\s\up6(→))，eq\o(PN,\s\up6(→))＝λ2eq\o(NQ,\s\up6(→)).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，試證明：直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)并求此定點(diǎn)．(1)解：設(shè)橢圓的焦距為2c，由題意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c又a2＝b2＋c2，∴a2＝3.∴橢圓的方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1.(2)證明：由題意設(shè)P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，設(shè)l方程為x＝t(y－m)，由eq\o(PM,\s\up6(→))＝λ1eq\o(MQ,\s\up6(→))知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)，∴y1－m＝－y1λ1，由題意y1≠0，∴λ1＝eq\f(m,y1)－1.同理由eq\o(PN,\s\up6(→))＝λ2eq\o(NQ,\s\up6(→))知λ2＝eq\f(m,y2)－1.∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0，①聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋3y2＝3，,x＝ty－m))得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0，∴由題意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2且有y1＋y2＝eq\f(2mt2,t2＋3)，y1y2＝eq\f(t2m2－3,t2＋3)，③③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，∴(由題意mt<0，∴mt＝－1，滿(mǎn)足②，得直線(xiàn)l方程為x＝ty＋1，過(guò)定點(diǎn)(1,0)，即Q為定點(diǎn)．[刷好題]如圖，過(guò)頂點(diǎn)在原點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸為y軸的拋物線(xiàn)E上的定點(diǎn)A(2,1)作斜率分別為k1，k2的直線(xiàn)，分別交拋物線(xiàn)E于B，C兩點(diǎn)．(1)求拋物線(xiàn)E的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線(xiàn)方程；(2)若k1＋k2＝k1k2，證明：直線(xiàn)BC恒過(guò)定點(diǎn)．(1)解：設(shè)拋物線(xiàn)E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝ay，a＞0，將A(2,1)代入得，a＝4.所以?huà)佄锞€(xiàn)E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝4y，準(zhǔn)線(xiàn)方程為y＝－1.(2)證明：由題意得，直線(xiàn)AB的方程為y＝k1x＋1－2k1，直線(xiàn)AC的方程為y＝k2x＋1－2k2，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝4y，,y＝k1x＋1－2k1，))消去y得x2－4k1x－4(1－2k1)＝0，解得x＝2或x＝4k1－2，因此點(diǎn)B(4k1－2,(2k1－1)2)，同理可得C(4k2－2,(2k2－1)2)．于是直線(xiàn)BC的斜率為：k＝eq\f(2k1－12－2k2－12,4k1－2－4k2－2)＝eq\f(4k1－k2k1＋k2－1,4k1－k2)＝k1＋k2－1，又k1＋k2＝k1k2，所以直線(xiàn)BC的方程為y－(2k2－1)2＝(k1k2－1)·[x－(4k2－2)]，即y＝(k1k2－1)x－2k1k2－1＝(k1k2－1)(x－2)－3.故直線(xiàn)BC恒過(guò)定點(diǎn)(2，－3)．圓錐曲線(xiàn)中的定值問(wèn)題[明技法]圓錐曲線(xiàn)中的定值問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值．依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡(jiǎn)即可得出定值；(2)求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為定值．利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡(jiǎn)、變形求得；(3)求某線(xiàn)段長(zhǎng)度為定值．利用長(zhǎng)度公式求得解析式，再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形即可求得．[提能力]【典例】已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，過(guò)A(2,0)，B(0,1)兩點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程及離心率；(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線(xiàn)PA與y軸交于點(diǎn)M，直線(xiàn)PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值．(1)解：由題意得a＝2，b＝1，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.又c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(3)，所以離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).(2)證明：設(shè)P(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，則xeq\o\al(2,0)＋4yeq\o\al(2,0)＝4.又A(2,0)，B(0,1)，所以直線(xiàn)PA的方程為y＝eq\f(y0,x0－2)(x－2)．令x＝0，得yM＝－eq\f(2y0,x0－2)，從而|BM|＝1－yM＝1＋eq\f(2y0,x0－2).直線(xiàn)PB的方程為y＝eq\f(y0－1,x0)x＋1.令y＝0，得xN＝－eq\f(x0,y0－1)，從而|AN|＝2－xN＝2＋eq\f(x0,y0－1).所以四邊形ABNM的面積S＝eq\f(1,2)|AN|·|BM|＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(x0,y0－1)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2y0,x0－2)))＝eq\f(x\o\al(2,0)＋4y\o\al(2,0)＋4x0y0－4x0－8y0＋4,2x0y0－x0－2y0＋2)＝eq\f(2x0y0－2x0－4y0＋4,x0y0－x0－2y0＋2)＝2.從而四邊形ABNM的面積為定值．[刷好題]如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，直線(xiàn)l：x＝－eq\f(1,2)，點(diǎn)P在直線(xiàn)l上移動(dòng)，R是線(xiàn)段PF與y軸的交點(diǎn)，RQ⊥FP，PQ⊥l.(1)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C的方程；(2)設(shè)圓M過(guò)A(1,0)，且圓心M在曲線(xiàn)C上，TS是圓M在y軸上截得的弦，當(dāng)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，弦長(zhǎng)|TS|是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)依題意知，點(diǎn)R是線(xiàn)段FP的中點(diǎn)，且RQ⊥FP，∴RQ是線(xiàn)段FP的垂直平分線(xiàn)．∵點(diǎn)Q在線(xiàn)段FP的垂直平分線(xiàn)上，∴|PQ|＝|QF|，又|PQ|是點(diǎn)Q到直線(xiàn)l的距離，故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，其方程為y2＝2x(x>0)．(2)弦長(zhǎng)|TS|為定值．理由如下：取曲線(xiàn)C上的點(diǎn)M(x0，y0)，M到y(tǒng)軸的距離為d＝|x0|＝x0，圓的半徑r＝|MA|＝eq