高中導(dǎo)數(shù)的幾何意義

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》＞

113的幾何意義

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》＞

學(xué)習(xí)

目標(biāo)理解曲線的切線的含義.2.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

3.會(huì)求曲線在某點(diǎn)處的切線方程.

4.理解導(dǎo)函數(shù)的定義，會(huì)用定義法求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

預(yù)習(xí)案▲自主學(xué)習(xí)研讀?思考?嘗試

新知提煉“

1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

(1)切線的定義

④

欄目

導(dǎo)引

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用〉

如陸對(duì)于割畿鶴,瀉點(diǎn)孔趨近于點(diǎn)。時(shí)*IB明趨近于

確定的位置雋這個(gè)確定位置的直J線PT稱為點(diǎn)p

⑵導(dǎo)藪的幾何意義

當(dāng)點(diǎn)外無限趨近于點(diǎn)產(chǎn)時(shí)'扁無限趨近于切線口的斜率.因

此慧函數(shù)對(duì)在落二/處的導(dǎo)藪就是切線方的斜率氟即黛=

學(xué)

配7。

公導(dǎo)函數(shù)的概念

⑴定義？當(dāng)*變化時(shí),/2__便是崖的一個(gè)函數(shù).我們稱

它為/件）的導(dǎo)函數(shù)（簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)）.

f（k+八3）-/€x）

⑵記法JG二.■h菊m

廢第T<

欄目

導(dǎo)引

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用〉

r*-i<I?

3判斷正誤(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打

(1)函數(shù)生?點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)八4)是一個(gè)常數(shù).()

(2)函數(shù)y/(A)住點(diǎn).次處的號(hào)數(shù)/'(.%)就是導(dǎo)函數(shù)/(A，)住點(diǎn).■

0處的函數(shù)值.()

(3)函數(shù)/(.A)0沒仃心數(shù).()

(4)11紋叮曲線相匹則11線V該曲線只仃一個(gè)公共點(diǎn).()

警案案⑴J(2)V(3)X(噬X

欄目

導(dǎo)引

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

國(guó)

L妣處圾綾定義與射前廝學(xué)過的切畿定義的比較

0）初中賽M學(xué)習(xí)過圓的切線圖直線和園有唯y

的公共點(diǎn)時(shí).糠直線蒯圓相煩野唯一的公共點(diǎn)

叫做切點(diǎn)直線叫做圓的圾畿凈但因?yàn)猷魇?x

種畤珠的曲舞步所以圓的胡巍定義不適用于一殿的岫筑尊如圖

中的曲畿g直線&與曲畿c有唯一的公共點(diǎn)跖但或不是曲

嘉雖舞與曲線c有不止一個(gè)公共短怛&是曲箕

c在點(diǎn)落贊的惻線

修）此處是通過逼近宓薇一將割線越近于確定的域置附在繳定義

海忸徽適用于落種曲瀛所鼠這其種定義才:其正反映了切線的

本質(zhì)欄目

導(dǎo)引

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用〉

2.由數(shù)A，.1什處的導(dǎo)數(shù)./'（輯）、力困數(shù)/（.I）上「川的1M別'J

聯(lián)系

區(qū)別：⑴八?。┦巧玿A0處函數(shù)H的改變川變;止的改變顯

之比的極限，是一個(gè)常數(shù),不是變段.

（2）八.\）是函數(shù)人\）的號(hào)數(shù)，是對(duì)某四間內(nèi)任總工向言的，即

如果函數(shù),r/代）住開區(qū)間（小〃）內(nèi)的每點(diǎn)處都仃導(dǎo)數(shù)，此時(shí)川

J,句；一個(gè).\士（〃，〃），都對(duì)位n一個(gè)仙j定的嚀'數(shù)/（V）,從ii'ij國(guó)成

「一個(gè)新的函數(shù)——日函數(shù)/（、）.

聯(lián)系：函數(shù)/（x）在x=Xo處的導(dǎo)數(shù)，C就是導(dǎo)函數(shù)/（X）在X=M）

處的函數(shù)值.這也是求函數(shù)在工=.次處的導(dǎo)數(shù)的方法之一.”

出目

導(dǎo)引

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用〉

探究察▲講練互動(dòng)（解惑?探究?突破]

探究點(diǎn)1求曲線在定點(diǎn)處的切線方程

例1求曲線J，=2.LY在點(diǎn)（一1,—1）處的切線方程.

m支麻■徵詈Cr+配》

m因?yàn)閥n磨一

=HH[2—3^—A^2|

所以射1-1=2-3（-if=2-3=一最

所鼠場(chǎng)畿方程為y—（一期==[^—（=1）]

BP蠢心耳需=瞰

欄目

導(dǎo)引

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》＞

,股切點(diǎn)坐標(biāo)為g.的一靖繆則物線方程為j—^+J4~P-

3^瓢一詞.

因?yàn)閯澗€過點(diǎn)(一，一期所以一2一羽士/=(2-黛iM一1一

照y涉

即14士泥一明解卷/T1成凝一

所以胡點(diǎn)坐標(biāo)為恤嗨或［一率I

欄目

導(dǎo)引

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1s

當(dāng)初感坐標(biāo)為便目做制3「小=瓢切穌方程為

y—^i

當(dāng)切點(diǎn)壁舞為［<洲h切蝴率距

(-1)

翻線方程為茅+2=一7&+1>8PMte+^+27=??

鬣上司W(wǎng)h慧點(diǎn)（一T蒙一期且與曲翳第=凝一一鬻物觴直舞而程

為y=lr麋1如■+鰥+27=軌

欄目

導(dǎo)引

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

方法歸納

解決曲線的一線同題的思路

⑴求曲線rAr)在點(diǎn)產(chǎn)出),/(.))處的切線方程,即點(diǎn)P的坐標(biāo)

既滿足曲線方程,乂滿足切線/評(píng)對(duì),分點(diǎn)p處的1力線斜率"

隹,則點(diǎn)P處的I力線方程為—.*)+/(.*);7；曲線J

/('?)隹點(diǎn)〃處的切線斜率不如隹(此時(shí)切線平行Jj釉)，則點(diǎn)

〃處的力我方用為.V

(2)公力點(diǎn)卡加，則需設(shè)事1〃點(diǎn)*標(biāo)，I用R據(jù)題應(yīng)列出關(guān)「1〃點(diǎn)

橫坐標(biāo)的方程，最儲(chǔ)求轉(zhuǎn)力點(diǎn)縱坐標(biāo)及切線的/”工此收求

的口氣"小彳"、山一個(gè).把自

欄目

導(dǎo)引

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》

掾霸點(diǎn)2求謝點(diǎn)坐標(biāo)

?在曲綾上取一點(diǎn)胃使得在讀點(diǎn)罐的切畿工

（D平行于直線j—4x—Si

（委）垂直于直線2x—翻+5=%

（3"螭翔為》舞觸.

分別求出蹣足上述條件的點(diǎn)的坐標(biāo)

Cx+Ax)

謾電聾居）是滿足條件的總

欄目

導(dǎo)引

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

㈤因?yàn)轹泵社艿挠蚰遗c亶纏第=而一塔胄行」m垢=4r解

舞淘=2修所以購(gòu)=熹

(2)H>^P舞的翻畿與直囊加一期+盤垂直期旦直舞2r

^+5=#的鬻率為彘WRH一心解世W*所以

(爵因?yàn)辄c(diǎn)P薨的麴線的幅糯篇為135領(lǐng)等所以物爨觴^率為

~—所鼠產(chǎn)產(chǎn)今即

-欄目

導(dǎo)引

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

方法歸［納

求滿足一條件的ilh線的.點(diǎn)坐標(biāo)的步牌

(1)先設(shè)1力點(diǎn)坐標(biāo)(、》,山).

(2)求嚀函數(shù)/'(.V).

(3)求切線的斜率/■).

(4)由斜率間的大系列出大「心的方程，解方程求

(5)點(diǎn)、(.“，心)作曲線/(x)上，將(.％,J%)代入求.1,得」力點(diǎn)坐標(biāo).

欄目

導(dǎo)引

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用〉

探究點(diǎn)3導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用

例3：我市某家電制造集團(tuán)為盡快實(shí)現(xiàn)家電F鄉(xiāng)提出四種運(yùn)

輸方案,據(jù)預(yù)測(cè)，這四種方案均能在規(guī)定時(shí)間7,內(nèi)完成預(yù)期的

運(yùn)輸任務(wù)各種方案的運(yùn)輸總量。與時(shí)間，的函數(shù)關(guān)系如卜

所示.在這四種方案中，運(yùn)輸效率（單位時(shí)間內(nèi)的運(yùn)輸量）逐步

提高的是（）

欄目

導(dǎo)引

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

【解析】從函數(shù)圖象卜.右，要求圖象在［0,7］卜.越來越陡峭,

荏各選項(xiàng)中,只有B項(xiàng)中的切線斜率在不斷增大,也即運(yùn)輸效

率（單位時(shí)間內(nèi)的運(yùn)輸量戶豕步提高.

R答案】B

欄目

導(dǎo)引

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用〉

血國(guó)畫磔

⑴曲線/（X）在Ao附近的變化情況可通過U處的切線刻

1.r（vo）＞o說明曲線在4處的切線的斜率為正值，從而得出

住心附近曲線是上開的；/■）＜（）說明住小附近曲線是卜降的.

（2）曲線在某點(diǎn)處的切線斜率的大小反映了曲線在相應(yīng)點(diǎn)處的

變化情況，由切線的傾斜程度,可以判斷出曲線升降的快慢.

欄目

導(dǎo)引

一I第一童導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用~

V跟蹤訓(xùn)練1.已知函數(shù)/（X）的圖象如圖所示,/⑶是血）的導(dǎo)

函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

A.0<f(2)<r(3)</(3)-/(2)

B.0<f(3)</(3)-/(2)<f(2)

C.0v/，(3)v〃2)v/(3)—/(2)

D.0</(3)-/(2)<r(2)<f(3)

解析：選B.從圖象上可以行出/代）在x=2處的切線的斜率比住

x=3處的斜率大,且均為正數(shù),所以有0</（3）勺。），過此兩

/,（3）—r（））

點(diǎn)的割線的斜率/,；“比/（X）在工=2處的切線的斜率

小，比/(x)在x=3處的斜率大,mW0<f(3)</(3)-/(2)</r(2),

故選B.

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用〉

2,李華在參加一次同學(xué)聚會(huì)時(shí)/他用如圖所示的圓口杯喝欽料

李華認(rèn)為?如果向杯子中倒飲料的速度一定（即單位時(shí)間內(nèi)鋤入

的飲料量相同上那么杯子中霰料的高度1是關(guān)于時(shí)間r的函數(shù)

則開始階毆飲

料的高度增加較快』以后高度增加得越來越慢，僅有B中的圖

象符合題意■欄目

導(dǎo)引

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

畫贊產(chǎn)的圖象在彘P處的翻線方程是事==x+S

愚的“⑸等于

解析能易得切點(diǎn)/心3）

所以型）=3牙k=-l

即F（母==L

所以的）+r⑸=3-1=就

答案：2

欄目

導(dǎo)引

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

/11

4.己知曲線j，=j上兩點(diǎn)，(2,-1),Q—1,).

\L)

(1)求曲線在點(diǎn)P,。處的切線的斜率;

(2)求曲線在點(diǎn)尸，2處的切線方程.

解：將點(diǎn)”(2,1)代入「1，

?1x

得/1，所以廠J.

f(.V+Xv)f(.v)

r'lim?

Vv0V

11

1—(A+\A)1—A

Iini《

欄目

導(dǎo)引

第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

(1》徽鬻能就P健的韌爨翻率為嬲線能點(diǎn)

修》觸爨在點(diǎn)P健的糊畿方程為

欄目