課標(biāo)專用5年高考3年模擬A版2024高考數(shù)學(xué)專題八立體幾何1空間幾何體的三視圖表面積和體積試題文

PAGEPAGE27專題八立體幾何【真題探秘】§8.1空間幾何體的三視圖、表面積和體積探考情悟真題【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5年考情預(yù)料熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖①相識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)潔組合體的結(jié)構(gòu)特征,并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)潔物體的結(jié)構(gòu);②能畫(huà)出簡(jiǎn)潔空間圖形的三視圖,能識(shí)別三視圖所表示的立體模型;會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出簡(jiǎn)潔幾何體的直觀圖;③會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法畫(huà)出簡(jiǎn)潔空間圖形的三視圖和直觀圖,了解空間圖形的不同表示形式2024課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,9,5分空間幾何體的三視圖空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及空間幾何體表面最短路徑問(wèn)題★★★2024課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,3,5分空間幾何體的三視圖數(shù)學(xué)文化2024課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,16,5分空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征數(shù)學(xué)文化空間幾何體的表面積通過(guò)對(duì)柱、錐、臺(tái)、球的探討,駕馭柱、錐、臺(tái)、球的表面積的求法2024課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,5,5分圓柱的表面積圓柱的軸截面★★★2024課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,16,5分三棱錐外接球的表面積面面垂直的性質(zhì)定理及三棱錐的體積2024課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,7,5分球的表面積空間幾何體的三視圖2024課標(biāo)Ⅰ,11,5分組合體的表面積空間幾何體的三視圖空間幾何體的體積①理解柱、錐、臺(tái)體的體積概念;②能運(yùn)用公式求解柱、錐、臺(tái)、球的體積,并且熟識(shí)臺(tái)體、柱體與錐體之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系2024課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,10,5分長(zhǎng)方體的體積直線與平面所成角★★★2024課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,6,5分不規(guī)則幾何體的體積空間幾何體的三視圖2024課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,16,5分不規(guī)則幾何體的體積數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用,幾何體的質(zhì)量分析解讀1.理解柱、錐、臺(tái)、球的概念,牢記它們的幾何特征及形成過(guò)程.正確把握軸截面、中截面的含義及空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的方法.2.理解三視圖的概念及駕馭三視圖與直觀圖的畫(huà)法.3.理解柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積的概念,駕馭其表面積和體積公式.4.高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查主要以幾何體的三視圖為背景考查幾何體的表面積和體積,分值約為5分,屬于中檔題.破考點(diǎn)練考向【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖1.(2025屆貴州貴陽(yáng)8月摸底考試,7)將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐,得到的幾何體如圖所示,則該幾何體的側(cè)視圖為()答案D2.(2024北京,7,5分)某四棱錐的三視圖如圖所示,該四棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為()A.1 B.2 C.3 D.2答案C3.(2024河南非凡聯(lián)盟4月聯(lián)考,9)某組合體的正視圖和側(cè)視圖如圖(1)所示,它的俯視圖的直觀圖是圖(2)中粗線所表示的平面圖形,其中四邊形O'A'B'C'為平行四邊形,D'為C'B'的中點(diǎn),則圖(2)中平行四邊形O'A'B'C'的面積為()A.12 B.32 C.62 D.6答案B考點(diǎn)二空間幾何體的表面積答案A2.(2024河南鄭州一模,7)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫(huà)出的是某個(gè)幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為()A.(4+45)π+42 B.(4+45)π+4+42C.12π+12 D.12π+4+42答案A3.(2025屆吉林梅河口五中9月月考,16)已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為5的球O的球面上,且AB=6,BC=25,則棱錐O-ABCD的側(cè)面積為.

答案44考點(diǎn)三空間幾何體的體積1.(2024江西上饒二模,7)已知下圖為某幾何體的三視圖,則其體積為()A.π+23 B.π+13 C.π+4答案C2.(2024吉林長(zhǎng)春質(zhì)檢,8)《九章算術(shù)》卷五商功中有如下問(wèn)題:今有芻甍,下廣三丈,袤四丈,上袤二丈,無(wú)廣,高一丈,問(wèn)積幾何.芻甍:底面為矩形的屋脊?fàn)畹膸缀误w(網(wǎng)格紙中粗線部分為其三視圖,設(shè)網(wǎng)格紙上每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1丈),那么該芻甍的體積為()A.4立方丈 B.5立方丈C.6立方丈 D.12立方丈答案B3.(2024天津,12,5分)已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,側(cè)棱長(zhǎng)均為5.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn),另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心,則該圓柱的體積為.

答案π煉技法提實(shí)力【方法集訓(xùn)】方法1空間幾何體表面積的求解方法1.(2024課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,7,5分)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為()A.20π B.24π C.28π D.32π答案C2.(2025屆湖北部分重點(diǎn)中學(xué)9月摸底考試,9)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該棱錐的表面積為()A.32+2+52 B.12+2C.12+2+5 D.32+2答案A3.(2024河南安陽(yáng)診斷卷,4)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A.16+2π B.20+2πC.14+π D.20+π答案D4.(2024廣東韶關(guān)一調(diào),15)若圓錐與球的體積相等,且圓錐底面半徑與球的直徑相等,則圓錐側(cè)面積與球的表面積之比為.

答案5∶2方法2空間幾何體體積的求解方法1.(2024北京,6,5分)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為()A.60 B.30 C.20 D.10答案D2.(2024河南頂尖安排聯(lián)考,9)如圖,網(wǎng)格紙中小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A.8 B.10 C.20 D.32答案C3.(2024天津,11,5分)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,則四棱錐A1-BB1D1D的體積為.

答案14.(2024江蘇,10,5分)如圖所示,正方體的棱長(zhǎng)為2,以其全部面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為.

答案4方法3與球有關(guān)的切、接問(wèn)題的求解方法1.(2024寧夏銀川質(zhì)量檢測(cè),11)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面為直角三角形,且兩直角邊長(zhǎng)分別為1和3,此三棱柱的高為23,則該三棱柱的外接球的體積為()A.32π3 B.16π3 C.8π答案A2.(2024課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,11,5分)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是()A.4π B.9π2C.6π D.答案B3.(2024天津,11,5分)已知一個(gè)正方體的全部頂點(diǎn)在一個(gè)球面上,若這個(gè)正方體的表面積為18,則這個(gè)球的體積為.

答案924.(2025屆湖南頂級(jí)名校9月聯(lián)考,16)正三棱錐P-ABC(底面△ABC為正三角形,頂點(diǎn)P在底面的射影為底面△ABC的中心)中,PA⊥PB,其體積為92,則該三棱錐的外接球的表面積為答案27π【五年高考】A組統(tǒng)一命題·課標(biāo)卷題組考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖1.(2024課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,9,5分)某圓柱的高為2,底面周長(zhǎng)為16,其三視圖如圖.圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,則在此圓柱側(cè)面上,從M到N的路徑中,最短路徑的長(zhǎng)度為()A.217 B.25 C.3 D.2答案B2.(2024課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,16,5分)中國(guó)有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形態(tài)多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體,但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形態(tài)是“半正多面體”(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體,它的全部頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上,且此正方體的棱長(zhǎng)為1.則該半正多面體共有個(gè)面,其棱長(zhǎng)為.(本題第一空2分,其次空3分)

圖1圖2答案26;2-1考點(diǎn)二空間幾何體的表面積1.(2024課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,5,5分)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1,O2,過(guò)直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形,則該圓柱的表面積為()A.122π B.12π C.82π D.10π答案B2.(2024課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,10,5分)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫(huà)出的是某多面體的三視圖,則該多面體的表面積為()A.18+365 B.54+185C.90 D.81答案B3.(2024課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,15,5分)長(zhǎng)方體的長(zhǎng),寬,高分別為3,2,1,其頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表面積為.

答案14π4.(2024課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,16,5分)已知三棱錐S-ABC的全部頂點(diǎn)都在球O的球面上,SC是球O的直徑.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐S-ABC的體積為9,則球O的表面積為.

答案36π考點(diǎn)三空間幾何體的體積1.(2024課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,10,5分)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1與平面BB1C1C所成的角為30°,則該長(zhǎng)方體的體積為()A.8 B.62 C.82 D.83答案C2.(2024課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,6,5分)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得,則該幾何體的體積為()A.90π B.63π C.42π D.36π答案B3.(2024課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,9,5分)已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上,則該圓柱的體積為()A.π B.3π4 C.π2答案B4.(2024課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,16,5分)學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐,利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖,該模型為長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體,其中O為長(zhǎng)方體的中心,E,F,G,H分別為所在棱的中點(diǎn),AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3.不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量為g.

答案118.85.(2024課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,16,5分)已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB相互垂直,SA與圓錐底面所成角為30°.若△SAB的面積為8,則該圓錐的體積為.

答案8π6.(2024課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,18,12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12(1)證明:直線BC∥平面PAD;(2)若△PCD的面積為27,求四棱錐P-ABCD的體積.答案(1)證明:在平面ABCD內(nèi),因?yàn)椤螧AD=∠ABC=90°,所以BC∥AD.又BC?平面PAD,AD?平面PAD,故BC∥平面PAD.(2)取AD的中點(diǎn)M,連接PM,CM.由AB=BC=12因?yàn)閭?cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PM⊥AD,PM⊥底面ABCD.因?yàn)镃M?底面ABCD,所以PM⊥CM.設(shè)BC=x,則CM=x,CD=2x,PM=3x,PC=PD=2x.取CD的中點(diǎn)N,連接PN,則PN⊥CD,所以PN=142因?yàn)椤鱌CD的面積為27,所以12×2x×142x=2解得x=-2(舍去)或x=2.于是AB=BC=2,AD=4,PM=23.所以四棱錐P-ABCD的體積V=13×2×(2+4)27.(2024課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,19,12分)如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△D'EF的位置.(1)證明:AC⊥HD';(2)若AB=5,AC=6,AE=54,OD'=22答案(1)證明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得AEAD=CF由此得EF⊥HD,EF⊥HD',所以AC⊥HD'.(4分)(2)由EF∥AC得OHDO=AEAD=由AB=5,AC=6得DO=BO=AB所以O(shè)H=1,D'H=DH=3.于是OD'2+OH2=(22)2+12=9=D'H2,故OD'⊥OH.由(1)知AC⊥HD',又AC⊥BD,BD∩HD'=H,所以AC⊥平面BHD',因?yàn)镺D'?平面BHD',所以AC⊥OD'.又由OD'⊥OH,AC∩OH=O,所以O(shè)D'⊥平面ABC.(8分)又由EFAC=DHDO得EF=五邊形ABCFE的面積S=12×6×8-12×92所以五棱錐D'-ABCFE的體積V=13×694×22=B組自主命題·省(區(qū)、市)卷題組考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖1.(2024浙江,4,4分)祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)代的宏大科學(xué)家,他提出的“冪勢(shì)既同,則積不容異”稱為祖暅原理,利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體=Sh,其中S是柱體的底面積,h是柱體的高.若某柱體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該柱體的體積(單位:cm3)是()A.158 B.162 C.182 D.324答案B2.(2024北京,6,5分)某四棱錐的三視圖如圖所示,在此四棱錐的側(cè)面中,直角三角形的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4答案C考點(diǎn)二空間幾何體的表面積1.(2024福建,9,5分)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積等于()A.8+22 B.11+22 C.14+22 D.15答案B2.(2024浙江,9,6分)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的表面積是cm2,體積是cm3.

答案80;40考點(diǎn)三空間幾何體的體積1.(2024浙江,3,4分)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是()A.2 B.4 C.6 D.8答案C2.(2024山東,5,5分)一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體,其三視圖如圖所示.則該幾何體的體積為()A.13+23π B.13+23π C.13+答案C3.(2024江蘇,9,5分)如圖,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積是120,E為CC1的中點(diǎn),則三棱錐E-BCD的體積是.

答案10C組老師專用題組考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖1.(2024天津,3,5分)將一個(gè)長(zhǎng)方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截去一個(gè)棱錐,得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示,則該幾何體的側(cè)(左)視圖為()答案B2.(2024課標(biāo)Ⅰ,8,5分)如圖,網(wǎng)格紙的各小格都是正方形,粗實(shí)線畫(huà)出的是一個(gè)幾何體的三視圖,則這個(gè)幾何體是()A.三棱錐 B.三棱柱 C.四棱錐 D.四棱柱答案B考點(diǎn)二空間幾何體的表面積1.(2024課標(biāo)Ⅰ,11,5分)圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20π,則r=()A.1 B.2 C.4 D.8答案B2.(2024陜西,5,5分)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A.3π B.4π C.2π+4 D.3π+4答案D3.(2024安徽,9,5分)一個(gè)四面體的三視圖如圖所示,則該四面體的表面積是()A.1+3 B.1+22C.2+3 D.22答案C4.(2024大綱全國(guó),10,5分)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上.若該棱錐的高為4,底面邊長(zhǎng)為2,則該球的表面積為()A.81π4 B.16π C.9π D.答案A5.(2024課標(biāo)Ⅱ,10,5分)已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn),∠AOB=90°,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為()A.36π B.64π C.144π D.256π答案C6.(2013課標(biāo)Ⅰ,15,5分)已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn),AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H為垂足,α截球O所得截面的面積為π,則球O的表面積為.

答案9π7.(2013課標(biāo)Ⅱ,15,5分)已知正四棱錐O-ABCD的體積為322,底面邊長(zhǎng)為3,則以O(shè)為球心,OA為半徑的球的表面積為答案24π考點(diǎn)三空間幾何體的體積1.(2024課標(biāo)Ⅰ,6,5分)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書(shū)中有如下問(wèn)題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問(wèn):積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個(gè)圓錐的四分之一),米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺,米堆的高為5尺,問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有()A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛答案B2.(2024課標(biāo)Ⅱ,6,5分)一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如下圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()A.18 B.17 C.1答案D3.(2024浙江,2,5分)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積是()A.8cm3 B.12cm3C.323cm3 D.403答案C4.(2024山東,9,5分)已知等腰直角三角形的直角邊的長(zhǎng)為2,將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A.22π3 B.42π3答案B5.(2024重慶,5,5分)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A.13+2π B.13π6 C.7π答案B6.(2024湖南,10,5分)某工件的三視圖如圖所示.現(xiàn)將該工件通過(guò)切削,加工成一個(gè)體積盡可能大的正方體新工件,并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi),則原工件材料的利用率為材料利用率=新工件的體積原工件的體積()A.89π B.827π C.24答案A7.(2024課標(biāo)Ⅱ,6,5分)如圖,網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長(zhǎng)為1(表示1cm),圖中粗線畫(huà)出的是某零件的三視圖,該零件由一個(gè)底面半徑為3cm,高為6cm的圓柱體毛坯切削得到,則切削掉部分的體積與原來(lái)毛坯體積的比值為()A.1727 B.59 C.10答案C8.(2013課標(biāo)Ⅰ,11,5分)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A.16+8π B.8+8πC.16+16π D.8+16π答案A9.(2012課標(biāo)全國(guó),7,5分)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖,則此幾何體的體積為()A.6 B.9 C.12 D.18答案B10.(2012課標(biāo)全國(guó),8,5分)平面α截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面α的距離為2,則此球的體積為()A.6π B.43π C.46π D.63π答案B11.(2010全國(guó)Ⅰ,12,5分)已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點(diǎn),若AB=CD=2,則四面體ABCD的體積的最大值為()A.233 B.433答案B12.(2024山東,13,5分)由一個(gè)長(zhǎng)方體和兩個(gè)14圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖,則該幾何體的體積為答案2+π13.(2024四川,12,5分)已知某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積是.

答案314.(2024北京,11,5分)某四棱柱的三視圖如圖所示,則該四棱柱的體積為.

答案315.(2024天津,10,5分)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為m3.

答案8316.(2011課標(biāo),16,5分)已知兩個(gè)圓錐有公共底面,且兩圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上.若圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的316,則這兩個(gè)圓錐中,體積較小者的高與體積較大者的高的比值為答案117.(2024課標(biāo)Ⅱ,19,12分)如圖,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點(diǎn)E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.過(guò)點(diǎn)E,F的平面α與此長(zhǎng)方體的面相交,交線圍成一個(gè)正方形.(1)在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形(不必說(shuō)明畫(huà)法和理由);(2)求平面α把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值.答案(1)交線圍成的正方形EHGF如圖:(2)作EM⊥AB,垂足為M,則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因?yàn)镋HGF為正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH因?yàn)殚L(zhǎng)方體被平面α分成兩個(gè)高為10的直棱柱,所以其體積的比值為9718.(2024安徽,19,13分)如圖,三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°.(1)求三棱錐P-ABC的體積;(2)證明:在線段PC上存在點(diǎn)M,使得AC⊥BM,并求PMMC答案(1)由題設(shè)AB=1,AC=2,∠BAC=60°,可得S△ABC=12·AB·AC·sin60°=3由PA⊥平面ABC,可知PA是三棱錐P-ABC的高,又PA=1,所以三棱錐P-ABC的體積V=13·S△ABC·PA=3(2)證明:在平面ABC內(nèi),過(guò)點(diǎn)B作BN⊥AC,垂足為N.在平面PAC內(nèi),過(guò)點(diǎn)N作MN∥PA交PC于點(diǎn)M,連接BM.由PA⊥平面ABC知PA⊥AC,所以MN⊥AC.由于BN∩MN=N,故AC⊥平面MBN.又BM?平面MBN,所以AC⊥BM.在直角△BAN中,AN=AB·cos∠BAC=12,從而NC=AC-AN=32.由MN∥PA,得PMMC=AN19.(2024江西,19,12分)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥BC,A1B⊥BB1.(1)求證:A1C⊥CC1;(2)若AB=2,AC=3,BC=7,問(wèn)AA1為何值時(shí),三棱柱ABC-A1B1C1體積最大?并求此最大值.答案(1)證明:由AA1⊥BC知BB1⊥BC,又BB1⊥A1B,故BB1⊥平面BCA1,則BB1⊥A1C,又BB1∥CC1,所以A1C⊥CC1.(2)解法一:設(shè)AA1=x,在Rt△A1BB1中,A1B=A1B1同理,A1C=A1C1在△A1BC中,cos∠BA1C=A=-x2(4-x所以S△A1BC=12A1B·A1從而三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=S△A1BC·AA因?yàn)閤12-7x2=故當(dāng)x=67=427,即AA1=427解法二:過(guò)A1作BC的垂線,垂足為D,連接AD.由于AA1⊥BC,A1D⊥BC,故BC⊥平面AA1D,BC⊥AD.又∠BAC=90°,所以S△ABC=12AD·BC=12AB·AC,得AD=設(shè)AA1=x,在Rt△AA1D中,A1D=AD2-S△A1BC=12從而三棱柱ABC-A1B1C1的體積V=S△A1BC·AA因?yàn)閤12-7x2=故當(dāng)x=67=427,即AA1=42720.(2013課標(biāo)Ⅱ,18,12分)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別是AB,BB1的中點(diǎn).(1)證明:BC1∥平面A1CD;(2)設(shè)AA1=AC=CB=2,AB=22,求三棱錐C-A1DE的體積.答案(1)證明:連接AC1交A1C于點(diǎn)F,則F為AC1中點(diǎn).由D是AB中點(diǎn),連接DF,則BC1∥DF.因?yàn)镈F?平面A1CD,BC1?平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.(2)因?yàn)锳BC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1⊥CD.由已知AC=CB,D為AB的中點(diǎn),所以CD⊥AB.又AA1∩AB=A,于是CD⊥平面ABB1A1.由AA1=AC=CB=2,AB=22得∠ACB=90°,CD=2,A1D=6,DE=3,A1E=3,故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D.所以VC-A1DE=13×12【三年模擬】時(shí)間:50分鐘分值:60分一、選擇題(每小題5分,共45分)1.(2024廣東佛山一模,9)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A.212 B.15 C.33答案C2.(2025屆河南頂級(jí)名校摸底考試,6)在《九章算術(shù)》中,將四個(gè)