2.1 等式與不等式的性質(zhì)（精講）（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練（必修一）

2.1等式與不等式的性質(zhì)（精講）考點(diǎn)一用不等式（組）表示不等關(guān)系【例1-1】（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）完成一項(xiàng)裝修工程，請(qǐng)木工共需付工資每人400元，請(qǐng)瓦工共需付工資每人500元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算不超過(guò)20000元，設(shè)木工人，瓦工人，則工人滿足的關(guān)系式是A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，可得，化簡(jiǎn)得，故正確答案為A.【例1-2】（2022·福建）有糧食和石油兩種物資，可用輪船與飛機(jī)兩種方式運(yùn)輸，每天每艘輪船和每架飛機(jī)的運(yùn)輸量如表：輪船運(yùn)輸量飛機(jī)運(yùn)輸量糧食300150石油250100現(xiàn)在要在一天內(nèi)至少運(yùn)輸2000糧食和1500石油.寫(xiě)出安排輪船艘數(shù)和飛機(jī)架數(shù)所滿足的所有不等關(guān)系的不等式組.【答案】【解析】設(shè)需安排艘輪船和架飛機(jī)，則，即.【一隅三反】1．（2022·江蘇淮安）某公司準(zhǔn)備對(duì)一項(xiàng)目進(jìn)行投資，提出兩個(gè)投資方案：方案為一次性投資萬(wàn)；方案為第一年投資萬(wàn)，以后每年投資萬(wàn).下列不等式表示“經(jīng)過(guò)年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】經(jīng)過(guò)年之后，方案的投入為，故經(jīng)過(guò)年之后，方案的投入不大于方案的投入，即故選：D2．（2022·山東）如圖，在一塊長(zhǎng)為22m，寬為17m的矩形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路分別與矩形的一條邊平行），剩余部分種上草坪，使草坪的面積不小于300m2.設(shè)道路寬為xm，根據(jù)題意可列出的不等式為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】把所修的兩條道路分別平移到矩形的最上邊和最左邊，則剩下的草坪是一個(gè)長(zhǎng)方形，設(shè)道路的寬應(yīng)為x米，草坪面積為（22﹣x）（17﹣x），因?yàn)椴萜旱拿娣e不小于300m2，所以(22－x)(17－x)300，故選：B．3．（2022·青海）用不等式或不等式組表示下面的不等關(guān)系:(1)某高速公路規(guī)定通過(guò)車(chē)輛的車(chē)貨總高度h(單位:m)從地面算起不能超過(guò)4m;(2)a與b的和是非負(fù)實(shí)數(shù);(3)如圖,在一個(gè)面積小于的矩形地基的中心位置上建造一個(gè)倉(cāng)庫(kù),倉(cāng)庫(kù)的四周建成綠地,倉(cāng)庫(kù)的長(zhǎng)L(單位m)大于寬W(單位:m)的4倍.【答案】(1);(2);(3)【解析】（1）；（2）；（3）由題,則矩形地基的長(zhǎng)為,寬為,則考點(diǎn)二實(shí)數(shù)式比較大小【例2】（2022·江蘇·高一）已知，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．無(wú)法確定【答案】B【解析】，因?yàn)椋?，又，所以，?故選：B【一隅三反】1．（2022·江蘇·高一）若，，則與的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．不能確定【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，故選：B2．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）若y1＝2x2－2x＋1，y2＝x2－4x－1，則y1與y2的大小關(guān)系是（

）A．y1>y2 B．y1＝y(tǒng)2C．y1<y2 D．隨x值變化而變化【答案】A【解析】,故，故選：A3．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）已知0<a1<1，0<a2<1，記M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，則M與N的大小關(guān)系是（

）A．M<N B．M>NC．M＝N D．無(wú)法確定【答案】B【解析】∵0<a1<1，0<a2<1，∴－1<a1－1<0，－1<a2－1<0，∴M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)>0，∴M>N，故選：B.考點(diǎn)三不等式的性質(zhì)【例3】（2022·江蘇·高一）若，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則<【答案】C【解析】對(duì)于A，若，則，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，若，則，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)?，所以由不等式的性質(zhì)可得，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，即，所以D錯(cuò)誤，故選：C【一隅三反】1．（2022·內(nèi)蒙古）下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【解析】對(duì)于A，若，由可得：，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，此時(shí)未必成立，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由不等式性質(zhì)知：，D正確.故選：D.2．（2022·浙江）（多選）下列命題是真命題的是（

）A．若，則B．若，且，則C．若，則D．若，則【答案】BD【解析】對(duì)于A，若，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，且，則，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，若，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，所以，故D正確.故選：BD.3．（2022·湖南張家界·高一期末）（多選）下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，，則C．若，則D．若，則【答案】ACD【解析】由不等式性質(zhì)知若，則，即，A對(duì)，取，則，，，B錯(cuò)，因?yàn)?，所以，所?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)，而，故，C對(duì)，因?yàn)?，所以，，所以，D對(duì)，故選：ACD.考點(diǎn)四利用不等式求范圍【例4】（2022·江蘇·高一）已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，，所以，所以的取值范圍是，故選：D.【一隅三反】1．（2022·江蘇·高一）已知，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，故，，得故選：C2．（2022·吉林延邊·高一期末）已知，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，由，?故選：A.3．（2022·山西太原·高一開(kāi)學(xué)考試）已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，，解得，，，，，由不等式的性質(zhì)可得，即，因此，的取值范圍是，故選D.考點(diǎn)五不等式的證明【例5】（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）利用不等式的性質(zhì)證明下列不等式：(1)若，，則；(2)若，，則．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】(1)證明：，，又，；(2)證明：，，又，．【一隅三反】1．（2022·浙江）證明下面的結(jié)論：（1）如果，，且，那么；（2）如果，，那么；（3）如果，，那么；（4）如果，，，那么.【答案】見(jiàn)解析.【解析】（1），