1.4.2一元二次不等式及其解法1.4.3一元二次不等式的應(yīng)用課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

4.2一元二次不等式及其解法4.3一元二次不等式的應(yīng)用第一章預(yù)備知識(shí)北師大版

數(shù)學(xué)

必修第一冊(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義.2.能夠借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式;并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助一元二次函數(shù)的圖象,了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)1

一元二次不等式的概念1.定義:一般地,形如ax2+bx+c>0,或ax2+bx+c<0,或ax2+bx+c≥0,或ax2+bx+c≤0(其中,x為未知數(shù),a,b,c均為常數(shù),且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式.2.使一元二次不等式成立的所有未知數(shù)的值組成的集合叫作這個(gè)一元二次不等式的解集.名師點(diǎn)睛1.一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知數(shù),并且這個(gè)未知數(shù)是唯一的,但這并不是說(shuō)不等式中不能含有其他字母,若含有其他字母,則把其他字母看成常數(shù).2.一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知數(shù)的最高次數(shù)必須是2,且最高次項(xiàng)的系數(shù)不為0.思考辨析一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略嗎?提示

不能,必須保證a≠0.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫(huà)√,錯(cuò)誤的畫(huà)×)(1)mx2-5x>0是一元二次不等式.(

)(2)若m為不為0的實(shí)數(shù),則mx2+5>0是一元二次不等式.(

)×√2.已知下列不等式:①ax2+2x+1>0;②x2-y>0;③-x2-3x<0;④

>0,其中一元二次不等式的個(gè)數(shù)為(

)

A.1 B.2 C.3 D.4A解析

①中當(dāng)a=0時(shí),它不是一元二次不等式;②中有兩個(gè)未知數(shù),它不是一元二次不等式;③是一元二次不等式;④是分式不等式.知識(shí)點(diǎn)2

一元二次不等式的解法一元二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表:y=ax2+bx+c(a>0)方程ax2+bx+c=0的判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0方程ax2+bx+c=0的實(shí)數(shù)根有兩相異實(shí)數(shù)根x1,2=

(x1<x2)有兩相等實(shí)數(shù)根x1=x2=-沒(méi)有實(shí)數(shù)根函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象

y=ax2+bx+c(a>0)方程ax2+bx+c=0的判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0不等式ax2+bx+c>0的解集(-∞,x1)∪(x2,+∞)

R不等式ax2+bx+c<0的解集(x1,x2)??名師點(diǎn)睛

一元二次不等式ax2+bx-c>0(a>0)的求解方法,如圖.說(shuō)明:圖中的函數(shù)圖象僅為示意圖

思考辨析1.對(duì)任意的一元二次不等式,求解集的關(guān)鍵點(diǎn)有哪些?

2.一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立的含義是什么,系數(shù)a,b,c之間有什么關(guān)系?提示

①拋物線y=ax2+bx+c與x軸的位置情況,也就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況;②拋物線y=ax2+bx+c的開(kāi)口方向,也就是a的正負(fù).提示

一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立的含義是指不等式的解集為R,系數(shù)a,b,c之間的關(guān)系是a>0且Δ=b2-4ac<0.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫(huà)√,錯(cuò)誤的畫(huà)×)(1)若a>0,則一元二次不等式ax2+1>0無(wú)解.(

)(2)若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1,x2(x1<x2),則一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集為{x|x1<x<x2}.(

)××2.[人教B版教材例題]求不等式x2-x-2>0的解集.解

因?yàn)閤2-x-2=(x+1)(x-2),所以原不等式等價(jià)于(x+1)(x-2)>0,因此所求解集為(-∞,-1)∪(2,+∞).3.[人教A版教材習(xí)題]x是什么實(shí)數(shù)時(shí),下列各式有意義?重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一一元二次不等式的求解【例1】

解下列不等式:(1)2x2-3x-2>0;(2)-3x2+6x-2>0;(3)4x2-4x+1≤0;(4)x2-2x+2>0.(4)因?yàn)閤2-2x+2=0的判別式Δ=4-4×1×2=-4<0,所以方程x2-2x+2=0無(wú)實(shí)數(shù)解.又因?yàn)楹瘮?shù)y=x2-2x+2的圖象是開(kāi)口向上的拋物線,所以原不等式的解集為R.規(guī)律方法

解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟(1)化標(biāo)準(zhǔn).通過(guò)對(duì)不等式的變形,使不等式的右側(cè)為0,使二次項(xiàng)系數(shù)為正.(2)判別式.對(duì)不等式的左側(cè)進(jìn)行因式分解,若不能分解,則計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式.(3)求實(shí)根.求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說(shuō)明方程無(wú)實(shí)根.(4)畫(huà)圖象.根據(jù)一元二次方程根的情況畫(huà)出對(duì)應(yīng)的一元二次函數(shù)的圖象.(5)寫(xiě)解集.根據(jù)圖象寫(xiě)出不等式的解集.變式訓(xùn)練1解下列不等式:(1)4x2-20x<-25;(2)(x-3)(x-7)<0;(3)-3x2+5x-4<0;(4)x(1-x)≥x(2x-3)+1.解

(1)不等式可化為4x2-20x+25<0,由于Δ=0,且對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象是開(kāi)口向上的拋物線,所以不等式的解集是?.(2)不等式對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)根是3和7,且對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象是開(kāi)口向上的拋物線,故不等式的解集是{x|3<x<7}.(3)不等式-3x2+5x-4<0可化為3x2-5x+4>0,由于判別式Δ=25-48=-23<0,函數(shù)y=3x2-5x+4的圖象開(kāi)口向上,所以不等式的解集是R.(4)不等式x(1-x)≥x(2x-3)+1可化為3x2-4x+1≤0.因?yàn)榉匠?x2-4x+1=0的兩個(gè)根是

,1,函數(shù)y=3x2-4x+1的圖象開(kāi)口向上,所以不等式的解集是探究點(diǎn)二分式不等式的求解【例2】

解下列不等式:規(guī)律方法

1.分式的分子、分母同號(hào)時(shí),分式為正;異號(hào)時(shí)為負(fù).轉(zhuǎn)化為整式后分子、分母作為兩因式之積,同樣是同號(hào)時(shí)為正,異號(hào)時(shí)為負(fù).2.分式不等式的解法:先通過(guò)移項(xiàng)、通分整理成標(biāo)準(zhǔn)型(≤0),再化成整式不等式來(lái)解.如果能判斷出分母的正負(fù),直接去分母也可.變式訓(xùn)練2解下列不等式:探究點(diǎn)三不等式中的含參類(lèi)問(wèn)題角度1已知不等式的解集求參數(shù)值【例3-1】

求實(shí)數(shù)a,b的值,使得關(guān)于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集分別為:(1)[-1,2];(2)(-∞,-1]∪[2,+∞);(3)[-1,+∞).(3)由題意知,原不等式必為一元一次不等式,所以a=0,從而不等式變?yōu)?/p>

規(guī)律方法

1.一元二次不等式的解集的端點(diǎn)就是對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根,要充分利用這個(gè)關(guān)系解題.2.不等式解集的形式與二次項(xiàng)系數(shù)有直接的關(guān)系,對(duì)于關(guān)于x的一元二次不等式a(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2),當(dāng)a>0時(shí),其解集是{x|x<x1,或x>x2},當(dāng)a<0時(shí),其解集是{x|x1<x<x2}.變式訓(xùn)練3已知關(guān)于x的不等式x2+ax+b<0的解集為(1,2),求關(guān)于x的不等式bx2+ax+1>0的解集.

解

∵關(guān)于x的不等式x2+ax+b<0的解集為(1,2),∴1,2是關(guān)于x的方程x2+ax+b=0的兩個(gè)根.將其代入所求不等式bx2+ax+1>0,得2x2-3x+1>0.由2x2-3x+1>0,得(2x-1)(x-1)>0,解得x<或x>1.故bx2+ax+1>0的解集為角度2含參數(shù)的一元二次不等式的解法【例3-2】

解關(guān)于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.規(guī)律方法

解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟

變式訓(xùn)練4解關(guān)于x的不等式x2+3ax-4a2<0(a∈R).解

由于x2+3ax-4a2<0可化為(x-a)(x+4a)<0,且方程(x-a)(x+4a)=0的兩個(gè)根分別是a和-4a.當(dāng)a=-4a,即a=0時(shí),不等式的解集為?;當(dāng)a>-4a,即a>0時(shí),解不等式為-4a<x<a;當(dāng)a<-4a,即a<0時(shí),解不等式為a<x<-4a.綜上所述,當(dāng)a=0時(shí),不等式的解集為?;當(dāng)a>0時(shí),不等式的解集為{x|-4a<x<a};當(dāng)a<0時(shí),不等式的解集為{x|a<x<-4a}.角度3不等式的恒成立問(wèn)題【例3-3】

(1)已知不等式kx2+2kx-(k+2)<0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解

當(dāng)k=0時(shí),原不等式化為-2<0,顯然符合題意.當(dāng)k≠0時(shí),令y=kx2+2kx-(k+2),由y<0恒成立,∴其圖象都在x軸的下方,即開(kāi)口向下,且與x軸無(wú)交點(diǎn).綜上,實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-1,0].(2)當(dāng)x∈[1,2]時(shí),不等式x2+mx+4<0恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解

令y=x2+mx+4.∵y<0在[1,2]上恒成立,∴y=0的根一個(gè)在(-∞,1)上,另一個(gè)在(2,+∞)上.∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,-5).規(guī)律方法

1.如圖①,一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)在R上恒成立?一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集為R?一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象恒在x軸上方?ymin>0?圖①

圖②

2.如圖②,一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)在R上恒成立?一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集為R?一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象恒在x軸下方?ymax<0?3.含參數(shù)的一元二次不等式在某一區(qū)間上恒成立問(wèn)題,求解時(shí)主要有兩種方法:一種是將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題;另一種是利用一元二次不等式根的分布及數(shù)形結(jié)合思想求解.變式訓(xùn)練5[2024山西大同高一期末]設(shè)函數(shù)y=mx2-mx-1.(1)若對(duì)于一切實(shí)數(shù)x,y<0恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;★(2)對(duì)于x∈{x|1≤x≤3},y<-m+5恒成立,求m的取值范圍.解

(1)若m=0,顯然y=-1<0恒成立;綜上,m的取值范圍為{m|-4<m≤0}.(2)y<-m+5恒成立,即mx2-mx-1+m-5<0恒成立,即m(x2-x+1)-6<0恒成立,探究點(diǎn)四一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用【例4】

行駛中的汽車(chē),在剎車(chē)時(shí)由于慣性作用,要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下,這段距離叫作剎車(chē)距離.在某種路面上,某種型號(hào)汽車(chē)的剎車(chē)距離s(單位:m)與汽車(chē)的車(chē)速v(單位:km/h)滿足下列關(guān)系:(n為常數(shù),且n∈N),做了兩次剎車(chē)實(shí)驗(yàn),有關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖所示,其中(1)求n的值;(2)要使剎車(chē)距離不超過(guò)12.6m,則行駛的最大速度是多少?變式探究本例中,條件不變,若該型號(hào)的汽車(chē)在某一限速為80km/h的路段發(fā)生了交通事故,交警進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)勘查,測(cè)得該車(chē)的剎車(chē)距離超過(guò)了25.65m,試問(wèn)該車(chē)是否超速行駛?

解

由題意知s>25.65,即

>25.65,即v2+24v-10

260>0,解得v>90或v<-114.由于v≥0,所以該車(chē)當(dāng)時(shí)的速度v>90>80,因此該車(chē)超速行駛.規(guī)律方法

用一元二次不等式解決實(shí)際問(wèn)題的操作步驟(1)理解題意,搞清量與量之間的關(guān)系.(2)建立相應(yīng)的不等關(guān)系,把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)中的一元二次不等式問(wèn)題.(3)解一元二次不等式,得到實(shí)際問(wèn)題的解.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)解一元二次不等式的常見(jiàn)方法;(2)與一元二次不等式有關(guān)的恒成立問(wèn)題;(3)利用不等式解決實(shí)際問(wèn)題.2.方法歸納:數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化、恒等變形.3.常見(jiàn)誤區(qū):忽略二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào);利用一元二次不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),應(yīng)注意實(shí)際意義.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)12345678910111213141516A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)一]不等式x-x2>0的解集是(

)A.(0,1)B.(-∞,-1)∪(0,+∞)C.(-1,0)D.(-∞,0)∪(1,+∞)A解析

一元二次不等式對(duì)應(yīng)方程的兩根為0和1,且拋物線開(kāi)口向下,所以解集為{x|0<x<1}.123456789101112131415162.[探究點(diǎn)一][2023陜西寶雞質(zhì)檢]若集合A={x|(2x+1)(x-3)<0},B={x|x∈N+,x≤5},則A∩B等于(

)A.{1,2,3} B.{1,2}C.{4,5} D.{1,2,3,4,5}B解析

∵(2x+1)(x-3)<0,∴-<x<3.又x∈N+且x≤5,則x=1,2.故選B.123456789101112131415163.[探究點(diǎn)二·2024江蘇南京高一期末]若關(guān)于x的不等式ax-b>0的解集為(1,+∞),則關(guān)于x的不等式

>0的解集為(

)A.{x|x<-2或x>1} B.{x|1<x<2}C.{x|x<-1或x>2} D.{x|-1<x<2}C123456789101112131415164.[探究點(diǎn)四]某商場(chǎng)若將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元出售,每天可銷(xiāo)售100件,現(xiàn)準(zhǔn)備采用提高售價(jià)來(lái)增加利潤(rùn),已知這種商品每件銷(xiāo)售價(jià)提高1元,銷(xiāo)售量就要減少10件.那么要保證每天所賺的利潤(rùn)在320元以上,銷(xiāo)售價(jià)每件應(yīng)定為(

)A.12元

B.16元C.12元到16元之間

D.10元到14元之間C12345678910111213141516解析

設(shè)銷(xiāo)售價(jià)定為每件x元,利潤(rùn)為y,則y=(x-8)[100-10(x-10)],依題意,得(x-8)[100-10(x-10)]>320,即x2-28x+192<0,解得12<x<16,所以每件銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為12元到16元之間.123456789101112131415165.[探究點(diǎn)三](多選題)

已知一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c,且不等式y(tǒng)>-2x的解集為(1,3),則(

)A.a<0B.方程ax2+bx+c=0的兩根為1,3C.b=-4a-2D.若方程y+6a=0有兩個(gè)相等的根,則實(shí)數(shù)a=-ACD12345678910111213141516123456789101112131415166.[探究點(diǎn)一]設(shè)x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范圍為

.

123456789101112131415167.[探究點(diǎn)三·2024吉林梅河口高一期末]若關(guān)于x的不等式(m-1)x2+(m-1)x+2>0的解集為R,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.

[1,9)解析

關(guān)于x的不等式(m-1)x2+(m-1)x+2>0的解集為R,當(dāng)m-1=0,即m=1時(shí),不等式化為2>0,顯然恒成立,符合題意;當(dāng)m-1≠0,即m≠1時(shí),則123456789101112131415168.[探究點(diǎn)三]解關(guān)于x的不等式:ax2+(2-4a)x-8>0.解

若a=0,不等式可化為2x-8>0,所以x>4,不等式的解集為{x|x>4}.若a≠0,不等式可化為(ax+2)(x-4)>0,12345678910111213141516123456789101112131415169.

[探究點(diǎn)三]已知函數(shù)y=x2-2x+a,且不等式y(tǒng)<0的解集為{x|-1<x<t}.(1)求實(shí)數(shù)a,t的值;(2)實(shí)數(shù)c為何值時(shí),一元二次不等式(c+a)x2+2(c+a)x-1<0的解集為R.解

(1)∵x2-2x+a<0的解集為{x|-1<x<t},∴-1+t=2,-1×t=a,解得t=3,a=-3.(2)由(1)可知a=-3,代入得(c-3)x2+2(c-3)x-1<0,∵其解集為R,故實(shí)數(shù)c的取值范圍為(2,3].12345678910111213141516B級(jí)關(guān)鍵能力提升練10.(多選題)已知命題p:?x∈R,x2+ax+4>0,則命題p是真命題的一個(gè)充分不必要條件可以是(

)A.a∈[-1,1] B.a∈(-4,4)C.a∈[-4,4] D.a∈{0}AD解析

由題意知命題p:?x∈R,x2+ax+4>0,∴Δ=a2-16<0,∴-4<a<4,∴命題p成立的一個(gè)充分不必要條件是(-4,4)的真子集.故AD符合.1234567891011121314151611.在R上定義運(yùn)算“☉”:a☉b=ab+2a+b,則滿足x☉(x-2)<0的實(shí)數(shù)x的取值范圍為(

)A.{x|0<x<2} B.{x|-2<x<1}C.{x|x<-2或x>1} D.{x|-1<x<2}B解析

根據(jù)給出的定義,得x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1).因?yàn)閤☉(x-2)<0,所以(x+2)(x-1)<0,所以不等式的解集是{x|-2<x<1}.1234567891011121314151612.一元二次不等式x2+ax+b≤0(a,b∈R)的解集為{x|x1≤x≤x2},且|x1|+|x2|≤2,下列結(jié)論正確的是(

)A.|a+2b|≥2 B.|a+2b|≤2 C.|a|≥1 D.b≤1D1234567891011121314151613.若不等式x2+mx+m≥0在x∈[1,2]上恒成立,則實(shí)數(shù)m的最小值為

.

1234567891011121314151614.某水果批發(fā)商銷(xiāo)售每箱進(jìn)價(jià)為40元的蘋(píng)果,假設(shè)每箱售價(jià)不得低于50元且不得高于55元.市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),若每箱以50元的價(jià)格銷(xiāo)售,平均每天銷(xiāo)售90箱.價(jià)格每提高1元,平均每天少銷(xiāo)售3箱.(1)求平均每天的銷(xiāo)售量y(單位:箱)與銷(xiāo)售單價(jià)x(單位:元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系.(2)求該批發(fā)商平均每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)w(單位:元)與銷(xiāo)售單價(jià)x(單位:元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系.(3)當(dāng)每箱蘋(píng)果的售價(jià)為多少元時(shí),